%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2015 sujet 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2015 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie: problème.\hfill 13 points}

\begin{sujet}

Dans tout le problème on travaille dans un réseau pointé à maille carrée.

On notera une unité de longueur $1\ u.l.$ et une unité d’aire $1\ u.a.$.

\medskip
On appelle polygone de Pick, un polygone non aplati construit sur un tel réseau et dont chacun des sommets est un point du réseau.

\medskip
L’objet de ce problème est le calcul d’aires de polygones de Pick.


\end{sujet}

\subsubsection*{A: Calcul de l’aire d’un polygone de Pick sur un exemple.}

\begin{sujet}
	
	Calculer l’aire du polygone $ABCDEF$ (figure 1), en unité d’aire. Expliciter les étapes du raisonnement.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{9};
		\def\yB{5.5};
		\foreach \x in {0,0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5, 4,4.5, 5,5.5, 6,6.5, 7,7.5,8,8.5,9}	\foreach \y in {0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
		\coordinate (A) at (4.5,5);
		\coordinate (B) at (3.5,3);
		\coordinate (C) at (3.5,0.5);
		\coordinate (D) at (6,0.5);
		\coordinate (E) at (8.5,3);
		\coordinate (F) at (6,3);
		\draw (A) node[above]{$A$};
		\draw (B) node[left]{$B$};
		\draw (C) node[below left]{$C$};
		\draw (D) node[below right]{$D$};
		\draw (E) node[above right]{$E$};
		\draw (F) node[above right]{$F$};
		\draw[blue,thick](A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(A);
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(A)-- cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (0,0.5)--(0.5,0.5)--(0.5,1)--(0,1)--(0,0.5)--cycle;
		\draw[>=stealth,<->,thick] (1.5,0.5)--(2,0.5);
		\draw (0.2,0.1)node{$1\ u.a.$};
		\draw (1.7,0.1)node{$1\ u.l.$};
		\draw (5,-0.5) node{\emph{figure 1}};
		\end{tikzpicture}
	
	\end{center}
	
\end{sujet}
	
\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons l'aire $\mathcal{A}(ABCDEF)$ du polygone $ABCDEF$.}
	
	On décompose le polygone en un carré et deux triangles et on peut ainsi calculer l'aire:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{9};
		\def\yB{5.5};
		\foreach \x in {0,0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5, 4,4.5, 5,5.5, 6,6.5, 7,7.5,8,8.5,9}	\foreach \y in {0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
		\coordinate (A) at (4.5,5);
		\coordinate (B) at (3.5,3);
		\coordinate (C) at (3.5,0.5);
		\coordinate (D) at (6,0.5);
		\coordinate (E) at (8.5,3);
		\coordinate (F) at (6,3);
		\draw (A) node[above]{$A$};
		\draw (B) node[left]{$B$};
		\draw (C) node[below left]{$C$};
		\draw (D) node[below right]{$D$};
		\draw (E) node[above right]{$E$};
		\draw (F) node[above right]{$F$};
		\draw[blue,thick](A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(A);
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(A)-- cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (0,0.5)--(0.5,0.5)--(0.5,1)--(0,1)--(0,0.5)--cycle;
		\draw[>=stealth,<->,thick] (1.5,0.5)--(2,0.5);
		\draw (0.2,0.1)node{$1\ u.a.$};
		\draw (1.7,0.1)node{$1\ u.l.$};
		\draw[red,very thick] (A) -- (B) -- (F) -- cycle;
		\fill[red,opacity=0.3] (A) -- (B) -- (F) -- cycle;
		\draw[orange,thick] (B) -- (C) -- (D) -- (F) -- cycle;
		\fill[orange,opacity=0.3] (B) -- (C) -- (D) -- (F) -- cycle;
		\draw[green] (F) -- (D) -- (E) -- cycle;
		\fill[green,opacity=0.3] (F) -- (D) -- (E) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(ABCDEF) &= \mathcal{A}(ABF) + \mathcal{A}(DEF) + \mathcal{A}(BCDF)\\
	\end{align*}
	Calculons chacune des aires.
	
	\medskip
	Pour le triangle $ABF$ la longueur de la hauteur issue de $A$ est facilement lisible. Si on note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$:
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(ABF) &= \frac{AH\times BF}{2}\\
	&= \frac{4\times 5}{2}\\
	&= 10\ u.a.\\
	\end{align*}
	
	\medskip
	Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$ donc:
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(DEF) &= \frac{FD\times FE}{2}\\
	&= \frac{5\times 5}{2}\\
	&= \frac{25}{2}\ u.a.\\
	\end{align*}
	
	\medskip
	Et pour le carré:
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(BCDF) &= BC\times  CD\\
	&= 5\times 5\\
	&= 25\ u.a.\\
	\end{align*}
	
	\medskip
	on somme les aires (disjointes):
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(ABCDEF) &= 10+\frac{25}{2}+25
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\mathcal{A}(ABCDEF)=\frac{95}{2}\ u.a.$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\begin{sujet}
	
	Une formule trouvée sur Internet sous le nom de formule de Pick prétend permettre de calculer l’aire $\mathcal{A}$ d’un polygone de Pick, à partir du nombre $i$ de points du réseau strictement intérieurs à ce polygone et du nombre $b$ de points du réseau sur le bord du polygone:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{3cm}|}
			\hline
			\[ \mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1.\]
			\\
			\hline 
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Le résultat est en unité d’aire avec $1\ u.a =$ aire d’un carré unité.
	
	Par exemple, pour le polygone ci-dessous: $i=15$ et $b=16$, donc, en utilisant la formule  $\displaystyle \mathcal{A}=15+\frac{16}{2}-1=22$.
	
	\begin{center}	
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{5.5};
		\def\yB{3};
		\foreach \x in {0,0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5, 4,4.5, 5,5.5}	\foreach \y in {0,0.5,1,1.5,2,2.5,3} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
		\coordinate (A) at (0,0.5);
		\coordinate (B) at (3.5,0.5);
		\coordinate (C) at (5,1.5);
		\coordinate (D) at (5,2);
		\coordinate (E) at (4,2);
		\coordinate (F) at (3,2.5);
		\coordinate (G) at (2,2);
		\coordinate (H) at (2,1.5);
		\coordinate (I) at (1.5,1.5);
		\draw (A) node{$\times$};
		\draw (B) node{$\times$};
		\draw (C) node{$\times$};
		\draw (D) node{$\times$};
		\draw (E) node{$\times$};
		\draw (F) node{$\times$};
		\draw (G) node{$\times$};
		\draw (H) node{$\times$};
		\draw (I) node{$\times$};
		\draw (0.5,0.5) node{$\times$};
		\draw (1,0.5) node{$\times$};
		\draw (1.5,0.5) node{$\times$};
		\draw (2,0.5) node{$\times$};
		\draw (2.5,0.5) node{$\times$};
		\draw (3,0.5) node{$\times$};
		\draw (4.5,2) node{$\times$};
		\draw[blue,thick](A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--(I)--(A);
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--(I)--(A)-- cycle;
		\draw (2.25,-0.25) node{\emph{figure 2}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\end{sujet}


\subsubsection*{B: Utilisation de la formule de Pick sur un exemple.}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Appliquer cette formule au polygone $ABCDEF$ de la \emph{figure 1} et vérifier que l’on retrouve bien son aire.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
	Nous lisons sur le dessin:
	$$\left\{\begin{array}{l}
	i=37\\
	b=23\\
	\end{array} \right.$$
	Donc: $$i+\frac{b}{2}-1=\frac{95}{2}$$
	On retrouve bien l'aire obtenue dans la partie A.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
		
	\textbf{Propriété d’additivité des aires.}
	
	Appliquer la formule de Pick aux deux polygones de Pick $ABCDF$ et $DEF$ de la \emph{figure 1}.
	
	Vérifier que la somme des résultats obtenus est égale au résultat trouvé à la question \textbf{B.1}.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
	
			Vérifions la formule de Pick pour $ABCDF$.
			
			\[ \left\{\begin{array}{l}
			i=27\\
			b=18\\
			\end{array} \right. \]
			
			Donc: \[i+\frac{b}{2}-1=35. \]
			
			\item Vérifions la formule de Pick pour $DEF$.
			
			\[ \left\{\begin{array}{l}
			i=6\\
			b=15\\
			\end{array} \right. \]
			
			Donc: \[ i+\frac{b}{2}-1=\frac{25}{2}.\]
			
			\item Nous en déduisons par sommation (les surfaces étant disjointes) l'aire de $ABCDEF$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABCDEF) &= 35 + \frac{25}{2}\\
				&= \frac{95}{2}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous retrouvons bien le résultat de la question B.1.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

	Les parties \textbf{C} et \textbf{D} sont indépendantes.

\end{sujet}

\subsubsection*{C: Quelques conséquences de la formule de Pick.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie du problème, on admet que la formule est vraie dans le cas général.

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Prouver qu’il ne peut pas y avoir de polygone de Pick d’aire $7,5$ avec $b$ pair.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons qu'il ne peut y avoir de polygone de Pick d'aire $7,5$ avec $b$ pair en raisonnant par l'absurde.}
		
		Supposons qu'il existe deux entiers naturels $i$ et $b$, avec $b$ pair, tels que l'aire du polygone soit $7,5$ et démontrons que cela conduit nécessairement à une contradiction.
		
		\medskip
		Puisque $b$ est pair il existe une entier naturel $b_1$ tel que: $b=2b_1$.
		
		L'aire étant de $7,5$, d'après la formule de Pick nous avons:
		
		\begin{align*}
			i+\frac{b}{2}-1 &= 7,5\\
			\intertext{Ce qui équivaut à:}
			i+b_1 &= 8,5
		\end{align*}
		
		Ce qui est impossible puisque la somme de deux entiers naturels est encore un entier naturel {\color{orange}(ou $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe)}.
		
		Ainsi 
		
		\begin{conclusion}
			
			nous avons montré par l'absurde qu'il ne peut y avoir de polygone de Pick d'aire 7,5 avec $b$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère un polygone de Pick d’aire $7,5$. Démontrer que la valeur maximale que peut prendre $b$ est $17$.
		
		Tracer sur la copie un réseau pointé à maille carrée, et sur ce réseau un polygone de Pick correspondant à cette valeur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le maximum de $b$.}
		
		{\color{orange}Nous faisons la démonstration en deux étapes: d'abord s'assurer que $b$ est inférieur à $17$ puis qu'il existe au moins un polygone pour lequel $b=17$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Si le polygone de Pick a une aire $7,5$, alors nous avons successivement:
			
			\begin{align*}
				i+\frac{b}{2}-1 &= 7,5\\
				{\color{orange}2 \times }\left( i+\frac{b}{2}-1\right) &= {\color{orange}2 \times}7,5\\
				{\color{orange}2 \times }i+{\color{orange}2 \times }\frac{b}{2}-{\color{orange}2 \times }2 &= 15\\
				2i+b-2{\color{WildStrawberry}+2} &= 15{\color{WildStrawberry}+2}\\
				2i+b &= 17
				\intertext{Et comme $i$ est positif:}
				b &\leqslant 17
			\end{align*}
			
			Ainsi la valeur de $b$ ne peut pas excéder $17$. {\color{orange}$17$ est un majorant de $b$. Il nous reste à vérifier que nous pouvons effectivement trouver un polygone pour lequel $b=17$.}
			
			\item Nous souhaitons dessiner un polygone de Pick d'aire $7,5$ et pour lequel $b=17$ donc:
			
			\begin{align*}
				i+\frac{17}{2}-1 &= 7,5\\
				\intertext{ce qui équivaut sucessivement à:}
				i+7,5 &= 7,5\\
				i &= 0
			\end{align*}
			
			Nous devons dessiner un polygone de Pick ne contenant aucun point et passant par $17$ points.
			
			Voici un exemple de polygone de Pick d'aire $7,5$ pour lequel $b=17$:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\foreach \x in {-0.5,0,...,4.5}	\foreach \y in {-0.5,0,0.5,...,1.5} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
				\draw[blue] (0,0) -- (3.5,0) -- (3.5,1) -- (3,0.5) -- (0,0.5) --cycle;
				\fill[gray,opacity=0.3] (0,0) -- (3.5,0) -- (3.5,1) -- (3,0.5) -- (0,0.5) --cycle;
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Ainsi il existe bien un polygone d'aire $7,5$ pour lequel $b=17$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La valeur maximale de $b$ lorsque le polygone a une aire de $7,5$ est $17$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On veut tracer un polygone de Pick d’aire 7,5 et contenant un seul point intérieur.
		
		Quelle est alors la valeur de $b$?
		
		Tracer sur la copie un réseau pointé à maille carrée, et sur ce réseau un polygone de Pick d’aire 7,5 vérifiant ces conditions.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item La formule de Pick pour un polygone d'aire $7,5$: \[ i+\frac{b}{2}-1=7,5. \]
			
			Si le polygone ne contient qu'un point alors $i=1$, et donc
			\begin{align*}
				1+\frac{b}{2}-1 &= 7,5\\
				\frac{b}{2} &= 7,5\\
				{\color{orange}2 \times }\frac{b}{2} &= {\color{orange}2 \times}7,5\\
				b &= 15
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nécessairement $b=15$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Voici un polygone de Pick tel que décrit dans l'énoncé:
			
			\begin{center}		
				\begin{tikzpicture}
					\foreach \x in {0,0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5}	\foreach \y in {0,0.5,1,1.5,2,2.5} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
					\coordinate (A) at (0.5,2);
					\coordinate (B) at (0.5,1);
					\coordinate (C) at (1,1.5);
					\coordinate (D) at (1.5,0.5);
					\coordinate (E) at (1.5,1.5);
					\coordinate (F) at (2.5,0.5);
					\coordinate (G) at (2.5,2);
					\draw (A) node[above]{$A$};
					\draw (B) node[left]{$B$};
					\draw (C) node[above]{$C$};
					\draw (D) node[below]{$D$};
					\draw (E) node[above right]{$E$};
					\draw (F) node[below]{$F$};
					\draw (G) node[above]{$G$};
					\draw[blue,thick](A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(A);
					\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(A)-- cycle;
				\end{tikzpicture}		
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que le nombre maximal de points sur le bord d’un polygone de Pick d’aire $\mathcal{A}$ quelconque est: $2\mathcal{A}+2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}	
		
		\objectif{Démontrons que la valeur maximale de $b$ est $2\mathcal{A}+2$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item On a la formule de Pick:
			
			\begin{align*}
				i+\frac{b}{2}-1 &= \mathcal{A}\\
				\intertext{Comme $i$ est positif:}
				\frac{b}{2}-1 &\leqslant \mathcal{A}\\
				\frac{b}{2} &\leqslant \mathcal{A}+1\\
				{\color{orange}2 \times} \frac{b}{2} &\leqslant {\color{orange}2 \times} \left( \mathcal{A}+1 \right) \\
				b &\leqslant 2\mathcal{A} +2\\
			\end{align*}
			
			Le nombre maximal de points sur le bord d'un polygone de Pick est d'aire $\mathcal{A}$ est $2\mathcal{A}+2$.
			
			\item Vérifions qu'il est possible de trouver un polygone d'aire $\mathcal{A}$ tel que $b=2\mathcal{A}+2$.
			
			Si $b=2\mathcal{A}+2$ alors $i=0$ ce qui nous permet de deviner la forme que doit nécessairement avoir le polygone.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item Si $\mathcal{A}$ est un entier alors voici un polygone qui convient:
					
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\foreach \x in {-0.5,0,...,4.5}	\foreach \y in {-0.5,0,0.5,...,1.5} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
					\draw[blue] (1,0.5) -- (0,0.5) -- (0,0) -- (1,0);
					\draw[blue,dashed] (1,0.5) -- (2,0.5);
					\draw[blue,dashed] (1,0) -- (2,0);
					\draw[blue] (2,0) -- (4,0) -- (4,0.5) -- (2,0.5);
					\fill[gray,opacity=0.3] (0,0) -- (4,0) -- (4,0.5) -- (0,0.5) -- cycle;
					\draw[>=latex,<->] (0,-0.75) -- (4,-0.75) node[midway,below] {$\mathcal{A}$ unités de longueur};
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				\item Si $\mathcal{A}$ est n'est pas un entier alors voici un polygone qui convient:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\foreach \x in {-0.5,0,...,4.5}	\foreach \y in {-0.5,0,0.5,...,1.5} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
					\draw[blue] (1,0.5) -- (0,0.5) -- (0,0) -- (1,0);
					\draw[blue,dashed] (1,0.5) -- (2,0.5);
					\draw[blue,dashed] (1,0) -- (2,0);
					\draw[blue] (2,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (3.5,0.5) -- (2,0.5);
					\fill[gray,opacity=0.3] (0,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (3.5,0.5) -- (0,0.5) -- cycle;
					\draw[>=latex,<->] (0,-0.75) -- (4,-0.75) node[midway,below] {$\mathcal{A}$ unités de longueur};
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection*{D: Démonstration de la formule de Pick dans le cas d’un rectangle.}

\begin{sujet}

	On considère un rectangle de Pick de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles au réseau (comme dans l’exemple ci-dessous).
	
	On note:
	
	\begin{itemize}
		\item $L$ sa longueur,
		\item $l$ sa largeur,
		\item $i$ le nombre de points du réseau strictement intérieurs au rectangle,
		\item $b$ le nombre de points sur le bord du rectangle.
	\end{itemize}
	
	\begin{center}	
		\begin{tikzpicture}
			\foreach \x in {0,0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5, 4,4.5, 5}	\foreach \y in {0,0.5,1,1.5,2,2.5,3} \draw (\x,\y)node{$\cdot$};
			\coordinate (A) at (0.5,0.5);
			\coordinate (B) at (4,0.5);
			\coordinate (C) at (4,2.5);
			\coordinate (D) at (0.5,2.5);
			\draw (4.5,1.5) node[above]{$l$};
			\draw (2.25,2.95) node[left]{$L$};
			\draw[blue,thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--(A)-- cycle;
			\draw[>=stealth,<->,thick] (0.5,2.75)--(4,2.75);
			\draw[>=stealth,<->,thick] (4.25,0.5)--(4.25,2.75);
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer $b$ et $i$ en fonction de $L$ et $l$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On compte sur chaque côté du rectangle le nombre de points sauf le dernier ce qui donne $L$ points pour les longueurs et $l$ points pour les largeurs. Le nombre de points sur le bord est donc: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$b=2L+2l.$
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Le nombre de points intérieurs est le produits du nombre de points intérieurs en largeur, $l-1$, par le nombre de points extérieurs en hauteur, $L-1$. Ainsi: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$i=(L-1)(l-1)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que l’aire $\mathcal{A}$ du rectangle vérifie $\mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Vérifions que la formule convient.}
				
		\begin{align*}
			i+\frac{b}{2}-1 &= {\color{orange}(L-1)(l-1)}+\frac{2L+2l}{2}-1 \\
			&= {\color{orange}L\times l -L-l +1} + L+l -1\\
			&= L\times l\\
			&= \mathcal{A}
		\end{align*}
		
		donc: 
		
		\begin{conclusion}
			
			l'aire du rectangle vérifie bien: $\mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie. \hfill 13 points}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}

	$A$ et $B$ sont deux nombres entiers positifs tels que:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $111$ est un multiple du nombre entier positif $A$;
		\item $A-B$ est un nombre entier positif ou nul divisible par $10$;
		\item $B$ est le cube d’un nombre entier.
	\end{enumerate}
	
	Trouver toutes les valeurs possibles pour $A$ et $B$.

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons toutes les valeurs possibles pour $A$ et $B$ en par conditions nécessaire et suffisante.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item {\color{orange}Conditions nécessaires.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item La décomposition de $A$ en facteurs premiers fournit: \[ 111=3\times 37, \] donc: \[ A\in\{ 1,\ 3\ ,\ 37,\ 111 \}. \]
			
			\item $B$ est le cube d'un nombre entier et $B$ est un nombre entier positif, donc: $\exists r\in\mathbb{N},\ r^3=B$.
			
			$A-B$ est un nombre entier positif ou nul, donc $B\le 111$. Ainsi $r^3\leqslant 111$. Ou encore: $r\le \sqrt[3]{111}$ et donc $r\leqslant 4$. Ainsi: $B\in \{ 0,\ 1,\ 8,\ 27,\ 64 \}$.
			
			\item Faisons apparaître dans un tableau les valeurs possibles pour $A-B$ en tenant compte des conditions nécessaires précédemment trouvées:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& 0 & 1 & 8 & 27 &  64 \\ \hline
				1 & 1 & 0 & -7 & -26 & -63 \\ \hline
				3& 3 & 2 & -5 & -24 & -61 \\ \hline
				37& 37 & 36 & 29 & \cellcolor{pink} 10 & -27 \\ \hline
				111& 111 & \cellcolor{pink} 110 & 103 & 84 & 47\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Comme $A-B$ est divisible par $10$: $A-B \in \{ 10,\ 110 \}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{orange}Vérifions que ces conditions sont suffisantes pour les deux couples possibles.} 
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Si $(A,B)=(37,27)$, alors:
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $111$ est un multiple du nombre entier positif $37$.
				\item $37-27$ est un nombre entier positif ou nul divisible par 10.
				\item $27=3^3$ est le cube d'un entier.
			\end{enumerate}
			
			\item Si $(A,B)=(111,1)$, alors:
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $111$ est un multiple du nombre entier positif $111$.
				\item $111-1$ est un nombre entier positif ou nul divisible par 10.
				\item $1=1^3$ est le cube d'un entier.
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		On a donc démontré par conditions nécessaire et suffisante que l'ensemble des valeurs possibles pour le couple $(A,B)$ est $\{ (37,27),\ (111,1) \}$.
		
	\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	\emph{(D'après le sujet du DNB Métropole 2010)}
	
	\medskip
	L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litre), en fonction du volume d'eau liquide (en litre).
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{11.5};
		\def\yB{7};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
		\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[gray,thin] (\xA,{0.5+\z})--(\xB,{0.5+\z});
		\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[dashed,gray,thin] (\xA,{0.25+\z})--(\xB,{0.25+\z});
		\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[dashed,gray,thin] (\xA,{0.75+\z})--(\xB,{0.75+\z});
		\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
		\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
		\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.5] plot(\x,{(1/2)*(10.8/10)*\x});
		\node[rotate=90](E1) at (-1,4){Volume de la glace (en $\mathrm{L)}$};
		\node (E2) at (6,-0.75){Volume de l'eau liquide (en $\mathrm{L}$)};
		\node (E3) at (5.5,7.25){Volume de la glace en litres en fonction du volume d'eau liquide en litres};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\emph{On répondra aux questions 1., 2. et 3. en utilisant le graphique ci-dessus.}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le volume de glace obtenu avec 7 litres de liquide?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{11.5};
		\def\yB{7};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
		\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[gray,thin] (\xA,{0.5+\z})--(\xB,{0.5+\z});
		\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[dashed,gray,thin] (\xA,{0.25+\z})--(\xB,{0.25+\z});
		\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[dashed,gray,thin] (\xA,{0.75+\z})--(\xB,{0.75+\z});
		\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
		\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
		\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.5] plot(\x,{(1/2)*(10.8/10)*\x});
		\node[rotate=90](E1) at (-1,4){Volume de la glace (en $\mathrm{L)}$};
		\node (E2) at (6,-0.75){Volume de l'eau liquide (en $\mathrm{L}$)};
		\node (E3) at (5.5,7.25){Volume de la glace en litres en fonction du volume d'eau liquide en litres};
		\draw[dashed,red,very thick] (7,0) -- (7,3.75) -- (0,3.75);
		\end{tikzpicture}
		}
		
		Notons $f$ le fonction qui à un volume d'eau liquide associe le volume de glace correspondant. Par lecture graphique l'image de $7$ est 
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(7)=7,5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel volume d'eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 9 litres de glace?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\xB{11.5};
			\def\yB{7};
			\coordinate (A) at (\xA,\yA);
			\coordinate (B) at (\xB,\yB);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
			\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[gray,thin] (\xA,{0.5+\z})--(\xB,{0.5+\z});
			\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[dashed,gray,thin] (\xA,{0.25+\z})--(\xB,{0.25+\z});
			\foreach \z in {0,1,2,3,4,5,6} \draw[dashed,gray,thin] (\xA,{0.75+\z})--(\xB,{0.75+\z});
			\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
			\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
			\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathresult};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.5] plot(\x,{(1/2)*(10.8/10)*\x});
			\node[rotate=90](E1) at (-1,4){Volume de la glace (en $\mathrm{L)}$};
			\node (E2) at (6,-0.75){Volume de l'eau liquide (en $\mathrm{L}$)};
			\node (E3) at (5.5,7.25){Volume de la glace en litres en fonction du volume d'eau liquide en litres};
			\draw[dashed,red,very thick] (0,4.5) -- (11.5,4.5);
			\draw[dashed,red,very thick] (8.3,4.5) -- (8.3,0);
			\end{tikzpicture}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'antécédent de $9$ par $f$ est, par lecture graphique, $8,3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le volume de glace est-il proportionnel au volume d'eau liquide? Justifier votre réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la nature de $f$.}
		
		La courbe représentative de $f$ est une droite passant par l'origine du repère donc il s'agit de la courbe représentative d'une fonction affine. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			le volume de glace est proportionnel au volume d'eau liquide.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que $10$ litres d'eau liquide donnent $10,8$ litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau augmente-t-il en gelant?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		Le taux d'évolution, en pourcentage, du volume d'eau entre les états liquides et solides est:
	
		\begin{align*}
			p &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
			&= \frac{10,8-10}{10}\times 100 \\
			&= 8
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le volume d'eau augmente de $8\ \%$ en gelant.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un souci de préservation de la ressource en eau, la ville de Lyon a imaginé un dispositif de recyclage. Cette ville fournit un volume de $20\ \mathrm{m}^3$ d'eau par jour aux engins de nettoiement grâce à l'eau récupérée de la fonte de la glace de la patinoire de Baraban.
		
		\medskip
		A combien de litres de glace correspond le volume d’eau fourni par la ville de Lyon pour $30$ jours de nettoyage?
		
		\medskip
		\emph{(source : article du 03/12/2013 - http://blogs.grandlyon.com).}
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le volume $V_g$ de glace correspondant à l'eau fournie par la ville.}
		
		Le volume d'eau liquide nécessaire pour 30 jours est (en $\text{m}^3$):
		\begin{align*}
			V_l(30) &= 30\times 20\\
			&= 600
		\end{align*}
		
		Ce qui avant fonte, et d'après la question précédente, correspondait à volume de glace (en $\text{m}^3$) de:
		\begin{align*}
			V_g &= \left( 1+\frac{8 }{100} \right) \times V_l(30)\\
			&= 648
		\end{align*}
		
		Et donc en litres ($1\ \text{m}^3 =\np{1000}\ \text{dm}^3 = \np{1000}\ \text{L}$):
		
		\begin{align*}
			V_g &= \np{1000}\times 648\\
			&= \np{648000}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Finalement le volume d’eau fourni par la ville de Lyon pour $30$ jours de nettoyage correspond à $\np{648000}\ \text{L}$ de glace.	
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice, on prendra $1\ \mathrm{cm}$ comme unité de longueur.
	
	\medskip
	On considère un trapèze $ABFE$ rectangle en $A$ et $B$, c’est-à-dire tel que les droites $(AE)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires à la droite $(AB)$, et tel que $AB = 14$; $AE = 3$; $BF = 9$.
	
	Le point $M$ est un point variable sur le segment $[AB]$. Le but de cet exercice est de déterminer la position de $M$ pour laquelle la valeur de $EM + MF$ est minimale.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire le trapèze $ABFE$ et le point $G$, symétrique du point $F$ par rapport à la droite $(AB)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici la figure à l'échelle un demi, pour l'avoir en taille réelle et en version dynamique cliquez sur l'image.
		
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.no-ip.biz/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_1_01_partie2_exercice_3.ggb}{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_01_partie2_exercice_3.png}}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $P$ l’intersection des droites $(AB)$ et $(EG)$. 
		
		Montrer que pour tout point $M$ de $[AB]$, on a: $EM + MG \ge EP + PG$.
		
		En déduire que la valeur $EM + MF$ est minimale lorsque $M$ est placé en $P$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la position de $M$ qui minimise $EM+MF$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item D'après l'inégalité triangulaire: 
			
			\begin{align*}
				EM+MG\ge EG \\ 
			\end{align*}
			
			Comme $E$, $G$ et $P$ sont alignés: $EG=EP+PG$.
			
			Nous pouvons réécrire la précédente inégalité triangulaire: \[ EM+MG\ge EP+PG. \]
			
			Nous en déduisons que $EG$ est un minorant de $EM+MG$. 
			
			\item Comme se minorant est atteint pour $M=P$, il s'agit d'un minimum.
			
		\end{enumerate}
			
		\begin{conclusion}
			
			Autrement dit $EM+MF$ est minimale lorsque $M$ et placé en $P$.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\displaystyle \frac{AP}{14-AP}=\frac{3}{9}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Remarquons une configuration de Thalès:
			
			\begin{itemize}
				
				\item Les points $E$, $P$ et $G$ sont alignés dans cet ordre.
				
				\item Les points $A$, $P$ et $B$ sont alignés dans cet ordre.
				
			\end{itemize}
			
			Comme de plus $(AE)//(BG)$, car $(AE)\perp (AB)$ et $(AB)\perp (BG)$, le théorème de Thalès permet d'affirmer que: \[ \frac{AP}{PB}=\frac{AE}{BG}. \]
			
			Autrement dit:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \frac{AP}{14-AP}=\frac{3}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $AP$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $AP$.}
			
			\begin{align*}
				\frac{AP}{\color{orange}14-AP} &= \frac{3}{\color{WildStrawberry}9}\\
				\intertext{équivaut successivement à:}
				AP \times {\color{WildStrawberry}9} &= 3 \times {\color{orange}(14-AP)}\\
				9AP &= 3 \times 14 -3 \times AP\\
				9AP{\color{orange}+3AP} &= 42 -3AP{\color{orange}+3AP}\\
				12AP &= 182\\
				\frac{12AP}{\color{orange}12} &= \frac{42}{\color{orange}12}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AP = \frac{7}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la valeur minimale de $EM + MF$. En donner la valeur exacte en cm, et la valeur arrondie au dixième.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $EG$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Calculons $EP$ en usant du théorème de Pythagore. 
			
			Le triangle $AEP$ est rectangle en $A$, donc, d'après le théorème de Pythagore:
			
			\begin{align*}
				AE^2+AP^2 &=EP^2\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				3^2 + \left(\frac{7}{2} \right)^2 &= EP^2\\
				\frac{85}{4} &= EP^2\\
				\intertext{Comme $EP$ estune longueur donc un nombre positif, nécessairement:}
				EP & =\sqrt{\frac{85}{4}}\\
				EP &= \frac{\sqrt{85}}{2}
			\end{align*}
						
			\item Calculons $PG$.
			
			$PBG$ est rectangle en $B$, donc, d'après le théorème de Pythagore:
			
			\begin{align*}
				PG^2 &= PB^2+BG^2\\
				\intertext{Nous en déduisons successivement:}
				PG^2 &= (AB-AP)^2+ 9^2\\
				&= \left( 14-\frac{7}{2} \right)^2+9^2\\
				&= \frac{765}{4}\\
				\intertext{Puisque $PG$ est une longueur donc positive:}
				PG &= \sqrt{\frac{765}{4}}\\
				PG &= \frac{\sqrt{765}}{2}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Enfin
		
		\begin{align*}
			EG &= EP +PG\\
			&= \frac{\sqrt{85}}{2} + \frac{\sqrt{765}}{2}\\
			&= 2\sqrt{85}\\
			&\approx 18,43908
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$EG \approx 18,4\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie. \hfill 14 points}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\emph{Cette partie est constituée de quatre situations indépendantes.}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1 : Extrait du manuel \og Outils pour les maths\fg{} CM1 Magnard (édition 2011).}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_03_manuel_magnard.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève a bien réussi la question $\textcircled{2}$ mais a fait plusieurs erreurs à la question $\textcircled{3}$. En comparant la présentation et les tâches demandées dans ces deux questions, donner trois raisons pouvant expliquer cette différence de réussite.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle définition d’un nombre décimal peut-on proposer à l’école élémentaire?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2 : Extrait du manuel scolaire \og Tribu des maths\fg{} CM2 Magnard (édition 2010).}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.9]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_04_manuel_magnard.png}
	\end{center}
	
	Trois copies d’élèves sont proposées ci-après (Lara, Clément et Léonie).
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles sont les erreurs faites par Lara? Indiquer pour chacune une origine possible.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer une compétence qui semble acquise dans le domaine de la numération pour Clément.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Léonie s'appuie sur les écritures décimales des nombres $\displaystyle 2+\frac{5}{10} + \frac{2}{100}$ et $2+ \frac{6}{10}+ \frac{1}{100}$ pour comparer ces nombres. Énoncer la règle de comparaison qu'elle utilise implicitement.
		
	\end{sujet}

\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Copies d'élèves.}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Lara
			\\
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_05_copie_lara.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Clément
			\\
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_06_copie_clement.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Léonie
			\\
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_07_copie_leonie.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	La situation suivante composée de trois problèmes a été proposée à des élèves. (d’après ERMEL CM2, Hatier).
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			P1: Avec une bouteille de $150\ \mathrm{cL}$ de jus de fruits, combien peut-on remplir de verres de $8\ \mathrm{cL}$?
			\\
			P2: Olivier achète $8$ CD de même prix pour $150\ \text{\euro}$. Quel est le prix d’un CD?
			\\
			P3: À la cantine, les enfants déjeunent par tables de $8$. Aujourd’hui $150$ enfants déjeunent à la cantine. Combien de tables faut-il préparer? Restera-t-il des places vides?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Ces trois problèmes relèvent de la division. Indiquer ce qui les différencie.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner l’ordre dans lequel ces exercices pourraient être proposés aux élèves. Justifier.
		
	\end{sujet}

\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 4: Technique opératoire de la division.}

\begin{sujet}
	
	Voici les productions de quatre élèves.
	
	\begin{center}
		
		\smallskip
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Adama.
			\\
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_08_division_adama.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Marie.
			\\
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_09_division_marie.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Kévin.
			\\
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_10_division_kevin.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Anaïs.
			\\
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_1_11_division_anais.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un avantage de chacune des techniques opératoires utilisées par Adama et Anaïs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Relever les erreurs faites par Marie et Kévin et, pour chacune, émettre une hypothèse sur son origine.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}