%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2015 sujet 0} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2015 sujet 0.}

\begin{sujet}
	
	Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_0_correction.pdf}{pdf}.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_0_sujet.pdf}{pdf}.
	
\end{correction}

\subsection{\color{purple}Première partie: problème. \hfill 13 points}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Autour du théorème de Pythagore.}
	
	\medskip
	L’objet de ce problème est la démonstration, par une méthode classique, du théorème de Pythagore, et son utilisation pour calculer des distances une situation concrète.
	
	Ce problème comprend deux parties \texttt{A} et \texttt{B}. Ces deux parties sont indépendantes.
	
	\medskip
	Dans tout le problème, on désigne par Théorème de Pythagore l’énoncé suivant: \emph{Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse}.

\end{sujet}

\subsubsection*{Partie A: démonstration par la méthode attribuée à Abraham Garfield (1831-1881), $\mathbf{20\ieme}$ président des États-Unis.}

\begin{sujet}
	
	Dans la figure ci-dessous, les triangles $ABC$, $BDE$, $BCE$ sont rectangles respectivement en $A$, $D$ et $B$. On pose: $AB = DE = c$; $AC = BD = b$; $BC = BE = a$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (3,0);
				\coordinate (C) at (0,4);
				\coordinate (D) at (7,0);
				\coordinate (E) at (7,3);
				\draw (A) node {$\bullet$};
				\draw (B)node {$\bullet$};
				\draw (C)node {$\bullet$};
				\draw (D)node {$\bullet$};
				\draw (E)node {$\bullet$};
				\draw (A)node[below]{$A$};
				\draw (B)node[below]{$B$};
				\draw (C)node[above]{$C$};
				\draw (D)node[below]{$D$};
				\draw (E)node[above right]{$E$};
				\draw(A)--+(0,0.25)--+(0.25,0.25)--+(0.25,0);
				\fill[color=gray , opacity=0.20] (A)--+(0,0.25)--+(0.25,0.25)--+(0.25,0)--cycle;
				\draw(D)--+(0,0.25)--+(-0.25,0.25)--+(-0.25,0);
				\fill[color=gray , opacity=0.20] (D)--+(0,0.25)--+(-0.25,0.25)--+(-0.25,0)--cycle;	
				\draw(B)--({3-3/22},{4/19})--({3-3/22+4/22},{4/19+3/19})--({3+4/22},{3/19});
				\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--({3-3/22},{4/19})--({3-3/22+4/22},{4/19+3/19})--({3+4/22},{3/19})--cycle;	
				\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(A);
				\draw[blue, thick](B)--(D)--(E)--(B);
				\draw (1.5,-0.25) node {$c$};
				\draw (5,-0.25) node {$b$};
				\draw (7.25,1.5) node {$c$};
				\draw (-0.25,2) node {$b$};
				\draw (1.6,{-(4/3)*1.5+4+0.35}) node {$a$};
				\draw (4.9,{(3/4)*5-(9/4)+0.35}) node {$a$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour que les points $A$, $B$ et $D$ soient alignés il suffit que $(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})$ soit un angle plat.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})=\pi \mod{2\pi}$.}
		
		Avec la relation de Chasles pour les angles:
		\begin{align*}
			(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}) &= (\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE}) + (\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}) \mod {2\pi}\\
			\intertext{Comme $ABC$ et $BDE$ sont isométriques (et donc semblables)}
			(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}) &= (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) + \frac{\pi}{2} + (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}) \mod {2\pi}\\
			&=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) +  (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) \mod {2\pi}\\
			\intertext{La somme des angles d'un triangle égalant l'angle plat}
			(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})&= \pi \ \mod{2\pi}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que le quadrilatère $ADEC$ est un trapèze.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $ADEC$ est un trapèze.}
		
		$ADEC$ est un quadrilatère non croisé.
		
		$\left\{ \begin{array}{l}
		(AD)\perp (AC) \\
		(AD) \perp (DE)
		\end{array} \right. 
		\Rightarrow (AC)//(DE)$
		
		\begin{conclusion}
			
			$ADEC$ est un trapèze de bases $[AC]$ et $[DE]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer de deux manières différentes l’aire du trapèze $ADEC$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Calculons l'aire de $ADEC$ avec la formule usuelle.}
			
			En utilisant la formule de l'aire d'un trapèze pour le trapèze $ADEC$ de bases $[AC]$ et $[DE]$:
			
			\begin{align*}
				\mathcal{A}(ADEC) &= \frac{(AC+DE)\times AD}{2}\\
				&= \frac{(b+c)\times (b+c)}{2}\\
				&= \frac{1}{2}(b+c)^2
			\end{align*}
			
			\item \objectif{calculons l'aire de $ADEC$ en s'inspirant du découpage proposé par l'énoncé.}
			
			En voyant $ADEC$ comme le recouvrement disjoint de trois triangles rectangles:
			
			\begin{align*}
				\mathcal{A}(ADEC) &= \mathcal{A}(ABC)+\mathcal{A}(BDE)+\mathcal{A}(BEC)\\
				&= \frac{1}{2}AB\times AC +\frac{1}{2}BD\times DE +\frac{1}{2}BE \times BC\\
				&=\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}a^2\\
				&=bc +\frac{1}{2}a^2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire de $ADEC$ est $\frac{1}{2}(+c)^2$ ou $bc+\frac{1}{2}a^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire l'égalité: $a^2=b^2+c^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $a^2=b^2+c^2$.}
		
		En égalant les deux expressions de l'aire de $ADEC$ obtenues à la question précédente, nous obtenons les égalités équivalentes suivantes:
		\begin{align*}
		\frac{1}{2}(b+c)^2&= bc+\frac{1}{2}a^2\\
		\frac{1}{2}(b^2+2bc+c^2) &= bc+\frac{1}{2}a^2\\
		\frac{1}{2}b^2+bc+\frac{1}{2}c^2&= bc+\frac{1}{2}a^2\\
		\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2 &= \frac{1}{2}a^2\\
		b^2+c^2 &= a^2
		\end{align*}
		
		Ainsi 
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons bien $a^2=b^2+c^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B: une application du théorème de Pythagore.}

\begin{sujet}
	
	La courbure terrestre limite la vision lointaine sur Terre.
	
	Plus l’altitude du point d’observation est élevée, plus la distance théorique de vision est grande.
	
	\medskip
	Dans cet exercice, la Terre est assimilée à une sphère de centre $A$ de rayon $6370\ \mathrm{km}$.
	
	La figure 1 ci-dessous représente une partie d’une vue en coupe de la Terre, qui ne respecte pas les échelles. $(C)$ désigne le cercle de coupe, de centre $A$ et de rayon $\np{6370}\ \mathrm{km}$.
	
	\begin{center}
	
		\begin{tikzpicture}
			\def\ray{3};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[right]{$A$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=140:270] plot({\ray*cos(\x)},{\ray*sin(\x)});
			\def\thetaM{190};
			\coordinate (M) at ({\ray*cos(\thetaM)},{\ray*sin(\thetaM)});
			\draw (M) node{$\bullet$};
			\draw (M) node[above left]{$M$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\ray*cos(140)},{\ray*sin(140)})
				-- plot[samples=100,domain=140:270] ({\ray*cos(\x)},{\ray*sin(\x)})
				-- ({\ray*cos(270)},{\ray*sin(270)})
				-- (A)
				-- cycle;
			\draw[blue,thick] ({\ray*cos(270)},{\ray*sin(270)})--(A)--({\ray*cos(140)},{\ray*sin(140)});
			\draw ({\ray*cos(140)+0.25},{\ray*sin(140)+0.25});
			\def\thetaV{220};
			\coordinate (V) at ({\ray*cos(\thetaV)},{\ray*sin(\thetaV)});
			\draw (V) node{$\bullet$};
			\draw (V) node[below left]{$V$};
			\draw(A)--(V);
			\def\OA{{(\ray )/ (cos(\thetaV - \thetaM))} };
			\coordinate (O) at (\thetaM:\OA);
			\draw (O) node{$\bullet$};
			\draw (O) node[left]{$O$};
			\draw (V)--(O)--(A);
			\draw(-5,0) node{\underline{Figure 1}};
			\draw (1,{-\ray})node{$(C)$};
		\end{tikzpicture}
	
	\end{center}
	
	Le point $O$ représente l’emplacement des yeux d’un observateur. Le point $M$ est le point d’intersection de la demi-droite $[AO)$ et du cercle $(C)$.
	
	On considère que $M$ se situe au niveau de la mer; la longueur $OM$ représente alors l’altitude à laquelle se trouvent les yeux de cet observateur.
	
	La droite $(OV)$ est tangente en $V$ au cercle $(C)$.
	
	Le point $V$ représente le point limite de vision de l’observateur. La longueur $OV$ est appelée \emph{portée visuelle théorique}.

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les points $O$, $M$ et $V$ étant définis comme ci-dessus, montrer que la portée visuelle théorique $OV$, exprimée en $\mathrm{km}$, est donnée par la formule: \[ OV=\sqrt{OM^2+\np{12740}\times OM} \quad \text{où $OV$ et $OM$ sont exprimés en $\mathrm{km}$.} \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $OV$ en fonction de $OM$.}
		 
		$(OV)$ est tangente à $(C)$ en $V$ donc $AVO$ est rectangle en $V$.
		
		Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore que \[ OV^2+VA^2=OA^2 \]
		
		$OV$ est une longueur donc positive donc:
		
		\begin{align*}
			OV &= \sqrt{OA^2-AV^2}\\
			&= \sqrt{(OM+AV)^2-AV^2}\\
			&=\sqrt{OM^2+2OM\times AV+AV^2-AV^2}\\
			&= \sqrt{MO^2+2\time 6370\times OM}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$OV = \sqrt{OM^2+12740 \times OM}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la portée visuelle théorique d'un observateur placé au niveau de la mer et dont les yeux sont situés à $1,70\ \mathrm{m}$ du sol (on arrondira au dixième de kilomètre près).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $OV$.}
		
		D'après la question précédente si $OM=1,70\ \mathrm{m}=1,70 \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}=1,7\cdot 10 ^{-3}\ \mathrm{km}$ alors
		
		\begin{align*}
			OV &= \sqrt{\left( 1,7\cdot 10^{-3} \right)^2+12740 \times 1,7 \cdot 10^{-3}}\\
			&\approx 4,653
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La portée visuelle, lorsque les yeux sont à $1,7\ \mathrm{m}$ du sol, est de $4,7\ \mathrm{km}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la fonction $f$: \[ f: h \mapsto \sqrt{h^2+12740h}. \]
		
		On a donc $OV=f(OM)$, où $OV$ et $OM$ sont exprimés en $\mathrm{km}$.
		
		On donne ci-après la représentation graphique de la fonction $f$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-1};
				\def\yY{-1};
				\def\xZ{9};
				\def\yZ{8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in { 1, 2,...,9}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x /10 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y *20 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9] plot(\x,{1/2*sqrt( (0.02*\x *0.02*\x + 12.74*2*\x) ) });
				\draw (5,-2)node{\underline{Figure 2}};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		En utilisant le graphique de la figure 2, répondre aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}

	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle altitude doit-on se situer pour avoir une portée visuelle théorique de $100$ kilomètres?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}

			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					\def\xY{-1};
					\def\yY{-1};
					\def\xZ{9};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in { 1, 2,...,9}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x /10 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y *20 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9] plot(\x,{1/2*sqrt( (0.02*\x *0.02*\x + 12.74*2*\x) ) });
					\draw[red,dashed,very thick] ({0.784881*10/2},0)--({0.784881*10/2},5)--(0,5);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}			
					
			\begin{conclusion}
				
				Il faut un altitude de $0,79\ \mathrm{km}$ pour que la portée soit de $100$ kilomètres.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un observateur situé au dernier étage de la Tour Eiffel dont l'altitude est environ $350$ mètres pourrait-il théoriquement voir la mer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
					\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					\def\xY{-1};
					\def\yY{-1};
					\def\xZ{9};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in { 1, 2,...,9}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x /10 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y *20 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9] plot(\x,{1/2*sqrt( (0.02*\x *0.02*\x + 12.74*2*\x) ) });
					\draw[red,dashed,very thick] ({0.350*10/2},0)--({0.350*10/2},{1/2*sqrt( (0.02*0.350*10/2*0.02*0.350*10/2+ 12.74*2*0.350*10/2) ) })--(0,{1/2*sqrt( (0.02*0.350*10/2*0.02*0.350*10/2+ 12.74*2*0.350*10/2) ) });
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			La mer étant située à plus de $66\ \mathrm{km}$ de Paris:
			
			\begin{conclusion}
				
				il n'est pas possible d'observer la mer depuis la Tour Eiffel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L'affirmation suivante est-elle vraie: \og si on est deux fois plus haut sur la Terre, alors on a une vision théorique deux fois plus grande\fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Il est possible de répondre en observant que la courbe n'est une droite passant par l'origine (fonction linéaire) et ne peut donc pas représenter une situation de proportionnalité.}
			
			\medskip
			Il apparaît clairement sur le graphique que si la hauteur de l'observateur passe de $0,2\ \mathrm{km}$ à $0,4\ \mathrm{km}$ alors la vision théorique n'est pas deux fois plus grande.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation proposée est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Deuxième partie: problème. \hfill 13 points}

\textbf{Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un stand à la foire du printemps propose un jeu dans lequel il faut d'abord faire tourner une roulette. Ensuite, \textbf{si} la roulette s'arrête sur un nombre pair, le joueur peut tirer une bille dans le sac.
	
	La roulette et le sac sont représentés ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2015_maths_externe_sujet_0_01_jeux.png}
	\end{center}
	
	Des prix sont distribués aux joueurs qui tirent une bille noire. Suzy tente sa chance une fois.
	
	\medskip
	Quelle est la probabilité que Suzy gagne un prix?
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $N$ l'événement \og la bille est noire \fg{} et $P$ l'événement \og le numéro est pair \fg{}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (2,-1);
			\coordinate (A2) at (2,-3);
			\coordinate (B1) at (0,2);
			\coordinate (B2) at (0,-2);
			\coordinate (C1) at (-2,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$N$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{N}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$\overline{P}$};
			\draw node (B2) at (B2) {$P$};
			\draw (C1)--(B1) node[midway,above]{$\frac{1}{6}$};
			\draw (C1)--(B2) node[midway,below]{$\frac{5}{6}$};
			\draw (B2)--(A1) node[midway,above]{$\frac{6}{20}$};
			\draw (B2)--(A2) node[midway,below]{$\frac{14}{20}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	D'après le principe multiplicatif, la probabilité d'obtenir un numéro pair puis une bille noire est de \[ \frac{5}{6} \times \frac{6}{20} = \frac{5}{20}. \]
	
	\begin{conclusion}
		
		La probabilité que Suzy gagne un prix est de $\frac{1}{4}]$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Lors d'un tournoi de bowling, on note les résultats des $15$ joueurs.
	
	\[ 268\ 220\ 167\ 211\ 266\ 152\ 270\ 279\ 192\ 191\ 164\ 229\ 223\ 222\ 246. \]
	
	Le nombre maximal de points réalisable par un joueur est de $300$.
	
	\medskip
	Quel résultat peut-on supprimer sans modifier la moyenne des résultats?
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	On peut enlever un résultat qui serait exactement égale à la moyenne des valeurs.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons la moyenne $\overline{x}$ des résultats.}
	
	\begin{align*}
		\overline{x} &= \frac{268 + 220 + \dots + 246}{15}\\
		&= 220
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		C'est le résultat $220$ que l'on peut supprimer sans modifier la moyenne des valeurs.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	La longueur officielle d'un marathon est $42,195\ \mathrm{km}$.
	
	Lors d'un marathon un coureur utilise sa montre-chronomètre. Après $5\ \mathrm{km}$ de course elle lui indique qu'il court depuis $17$ minutes et $30$ secondes.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le coureur pense que s'il gardait cette allure tout au long de la course, il mettrait moins de $2$ heures $30$ en tout. A-t-il raison?
	
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En réalité la vitesse moyenne du coureur pendant les vingt premiers kilomètres a été de $16\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ et cette vitesse a chuté de $10\ \%$ pour le restant du parcours.
		
		Quel a été son temps de parcours? Donner la réponse en heures, minutes, secondes, centièmes de seconde (le cas échéant).
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant a été proposé à des élèves.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Je suis parti à neuf heures moins dix; je suis arrivé à $10\ \mathrm{h} \ 40$.
			
			Quelle a été la durée de mon parcours? Explique comment tu as trouvé.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer le cycle et le niveau de classe auxquels cet énoncé peut être proposé.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chacune des deux productions d’élèves reproduites ci-dessous, décrire la procédure utilisée et analyser les erreurs commises en formulant des hypothèses sur leurs origines.
		
		\hspace*{-1.5cm}
		\includegraphics[scale=0.55]{crpe_2015_maths_externe_sujet_0_02_eleve.png}
		
		\hspace*{-1.5cm}
		\includegraphics[scale=0.55]{crpe_2015_maths_externe_sujet_0_03_eleve.png}
			
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$