%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2014 sujet 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2014 groupe 1.}

\begin{sujet}
	
	Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
	
\end{correction}

\begin{sujet}
	
	\emph{Durée: 4 heures.}
	
	\emph{Épreuve notée sur $40$.}
	
\end{sujet}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Dans ce problème, on s’intéresse à différentes méthodes de calcul ou d’estimation de l’aire de certains quadrilatères.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: chez les Mayas.}

\begin{sujet}
	
	Les civilisations anciennes utilisaient divers procédés pour estimer les aires des champs. Les Mayas, par exemple, estimaient l'aire d'un quadrilatère en calculant le demi-produit des longueurs des diagonales. \[ Aire \approx \frac{D \times d}{2}. \]
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (10,3);
			\coordinate (C) at (8,6);
			\coordinate (D) at (2,7);
			\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\draw[dashed] (A)--(C);
			\draw[dashed] (B)--(D);
			\draw (4.5,2) node{$D$};
			\draw (4,5) node{$d$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}
	
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		
		Justifier que cette estimation Maya donne la valeur exacte de l’aire d’un carré de côté $a$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire donnée par la formule maya pour un carré.}
		
		L'aire d'un carré de côté $a$ est $a^2$.
		
		La diagonale d'un carré de côté $a$, a, d'après le théorème de Pythagore, une longueur de $a\sqrt{2}$. Puisque c'est un rectangle ses diagonales ont même longueur et leur produit vaut donc: $(a\sqrt{2})^2=a^2$.
		
		Ainsi: 
		
		\begin{conclusion}
			
			L'estimation des Maya donne l'aire exacte dans le cas d'un carré.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère un rectangle de longueur $4 \mathrm{cm}$ et de largeur $3\ \mathrm{cm}$.
		
		La formule Maya donne-t-elle la valeur exacte de l’aire de ce rectangle ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons les aires du rectangle et celle renvoyée par la formule maya.}
		
		Pour un rectangle les diagonales ont la même longueur. 
		
		Par le théorème de Pythagore il est aisé d'obtenir la mesure de cette diagonale: $\sqrt{\left( 4^2+3^2 \right) }=5$. 
		
		L'approximation de l'aire obtenue par les Maya est donc: $D \times d= 5 \times 5= 25$, alors que l'aire est $4\times 3= 12$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La formule des Maya ne donne pas l'aire exacte du rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: chez les Indiens.}

\begin{sujet}
	
	On dit qu’un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si ses quatre sommets sont des points de ce cercle.
	
	C’est le cas du quadrilatère ci-dessous.
	
	\medskip
	Brahmagupta, mathématicien indien du $\text{VII}^{\text{e}}$ siècle, a établi une formule donnant l’aire d’un tel quadrilatère lorsqu’il est non croisé: \[ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \] où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont les longueurs des côtés du quadrilatère et $p$ son \textbf{demi-périmètre}.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({10*cos(\x)},{10*sin(\x)});
			\draw ({10*cos(150)},{10*sin(150)})--({10*cos(220)},{10*sin(220)})--({10*cos(350)},{10*sin(350)})--({10*cos(80)},{10*sin(80)})--({10*cos(150)},{10*sin(150)});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude d’une configuration particulière.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			
			Construire un cercle $\Gamma$ et deux points $A$ et $C$ diamétralement opposés sur ce cercle.
			
			Placer un point $B$ sur le cercle $\Gamma$ distinct des points $A$ et $C$.
			
			Construire le point $D$, symétrique du point $B$ par rapport à la droite $(AC)$.
			
			\emph{Laisser apparents les traits de construction.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}	[scale=0.2]
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({10*cos(\x)},{10*sin(\x)});
					\draw[blue] (12,-4) node{$\Gamma$};
					\draw (0,0) node{$\times$};
					\def\angleA{20};
					\def\angleB{130};
					\coordinate (A) at ({10*cos(\angleA)},{10*sin(\angleA)});
					\coordinate (B) at ({10*cos(\angleB)},{10*sin(\angleB)});
					\coordinate (C) at ({10*cos(180+\angleA)},{10*sin(180+\angleA)});
					\coordinate (D) at ({10*cos(360-\angleB +2*\angleA)},{10*sin(360-\angleB+2*\angleA)});
					\def\xM{0.5*(10*cos(\angleB)+10*cos(360-\angleB +2*\angleA))};
					\def\yM{0.5*(10*sin(\angleB)+10*sin(360-\angleB+2*\angleA))};
					\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
					\draw (A) node[above, right]{$A$};
					\draw (B) node[above]{$B$};
					\draw (C) node[above, left]{$C$};
					\draw (D) node[below]{$D$};
					\draw (A)--(C);
					\draw (B)--(M)node[midway,sloped]{$//$};
					\draw (D)--(M)node[midway,sloped]{$//$};
					\def\longueurperp{1};
					\draw ({\xM+\longueurperp*cos(\angleA)},{\yM+\longueurperp*sin(\angleA)})
					--({\xM+\longueurperp*sqrt(2)*cos(\angleA+45)},{\yM +\longueurperp*sqrt(2)*sin(\angleA+45)})
					--({\xM +\longueurperp*cos(\angleA+90)},{\yM+\longueurperp*sin(\angleA+90)});
					\def\arc{10*sin(180+\angleA-\angleB)};
					\draw[dashed][samples=100,domain=270:315] plot({\xM + \arc*cos(\x)},{\yM+\arc*sin(\x)});
				\end{tikzpicture}					
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que le quadrilatère $ABCD$ est inscriptible dans le cercle $\Gamma$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par construction $A$ et $B$ sont sur le cercle. 
			
			$C$ est le symétrique $A$ par rapport au centre du cercle donc est aussi sur le cercle.
			
			Puisque $(AC)$ est un diamètre de $\Gamma$, le symétrique de $\Gamma$ par rapport à $(AC)$ est $\Gamma$ lui-même. En particulier le symétrique de $B$, c'est-à-dire $D$ est aussi sur $\Gamma$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$ABCD$ est inscriptible dans $\Gamma$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer l’aire du quadrilatère $ABCD$ en fonction des longueurs $AB$ et $BC$ en utilisant la formule de Brahmagupta. \emph{On admettra que le quadrilatère $ABCD$ est non croisé.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire, $S$, de $ABCD$.}
			
			Puisque $ABCD$ est inscrit dans $\Gamma$ et qu'il est non croisé nous pouvons utiliser la formule de l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				S &= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\\
			\end{align*}
			
			Or en utilisant les symétries remarquées à la question précédente, nous obtenons $p=AB+BC$ et
			\begin{align*}
				p-a &= AB+BC-AB=BC\\
				p-b &= AB+BC-BC=AB\\
				p-c &= AB+BC-AB=BC\\
				p-d &= AB+BC-BC=AB
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{align*}
				S &= \sqrt{BC \times AB \times BC \times AB}\\
				&= \sqrt{AB^2 \times BC^2}\\
				\intertext{Puisqu'il s'agit de longueurs ce sont des nombres positifs donc}
				S &= AB \times BC
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$S=AB \cdot BC$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Retrouver l’expression précédente de l’aire du quadrilatère $ABCD$ par une autre méthode.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $S'$ de $ABCD$.}
			
			$\Gamma$ est circonscrit à $ABC$ et $[AC]$ en est un diamètre donc $ABC$ est rectangle en $B$. Doc l'aire de ce triangle est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A} &= \frac{1}{2} AB \times BC
			\end{align*}
			
			Par symétrie nous avons de même \[ \mathscr{A}(ACD)= \frac{1}{2} AB \times BC. \]
			
			Finalement nous en déduisons l'aire de $ABCD$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$S'= AB \cdot BC$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude d’une autre configuration particulière : le rectangle.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier qu’un rectangle est inscriptible dans un cercle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Donc tout rectangle est inscrit dans le cercle de centre le centre du rectangle et dont le rayon a pour longueur la moitié d'une diagonale.
			
			\begin{conclusion}
				
				Un rectangle est inscriptible dans un cercle.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À l’aide de la formule de Brahmagupta, retrouver l’expression usuelle de l’aire d’un rectangle de longueur et de largeur.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire du rectangle.}
			
			D'après la question précédente les rectangles sont inscrits dans un cercle et, de plus, ne sont pas croisés, nous pouvons donc utiliser la formule de Brahmagupta.
			
			\begin{align*}
				S &= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\\
				\intertext{Or $p=a+b$, $a=c$ et $b=d$ donc}
				S &= \sqrt{(a+b-a)(a+b-b)(a+b-a)(a+b-b)}\\
				&= \sqrt{b^2a^2}\\
				\intertext{Puisque $a\ge 0$ et $b\ge 0$ (car ce sont des longueurs)}
				S &= ab
			\end{align*}
			
			En notant $a=l$ la larguer et $b=L$ la longueur nous retrouvons bien que
			
			\begin{conclusion}
				
				l'aire d'un rectangle est $l\times L$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: à l'ère du tableur.}

\begin{sujet}
	
	On s’intéresse à l’aire des rectangles dont \textbf{le périmètre est $14\ \mathrm{cm}$}.
	
	On note $x$ la mesure en $\mathrm{cm}$ d’un des côtés d’un tel rectangle. La fonction $A$ qui à $x$ associe l’aire $A(x)$ en $\mathrm{cm}^2$ du rectangle est représentée ci-dessous.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,dashed,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(49/4-(\x-3.5)*(\x-3.5) )/2});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pourquoi se limite-t-on à des valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $7$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$x$ désignant une longueur, c'est un nombre positif: $x\ge 0$.
		
		Notons $y$ la longueur de l'autre côté du rectangle. Nous avons alors: $2(x+y)=14$ et donc $x+y \le 7$. Puisque $y\ge 0$, nécessairement: $x\le 7$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$x\in [0;7]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude graphique.}
		
		Répondre aux questions suivantes, par lecture de la représentation graphique de la fonction $A$.
		
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les dimensions d’un rectangle de périmètre $14\ \mathrm{cm}$ et d’aire $10\ \mathrm{cm}^2$ ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,dashed,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(49/4-(\x-3.5)*(\x-3.5) )/2});
			\draw[red,dashed] (0,5)--(8,5);
			\draw[red,dashed] (2,5)--(2,0);
			\draw[red,dashed] (5,5)--(5,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les dimensions d’un rectangle de périmètre 14 cm et d’aire $10\ \mathrm{cm}^2$ sont $2$ et $5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Encadrer par deux nombres entiers consécutifs la valeur de x pour laquelle l’aire du rectangle semble maximale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,dashed,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(49/4-(\x-3.5)*(\x-3.5) )/2});
			\draw[red,dashed] (3,5)--(3,0);
			\draw[red,dashed] (4,5)--(4,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire semble maximale pour: $3\le x\le 4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Encadrer par deux nombres entiers consécutifs la valeur de l’aire maximale du rectangle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,dashed,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(49/4-(\x-3.5)*(\x-3.5) )/2});
			\draw[red,dashed] (0,6)--(8,6);
			\draw[red,dashed] (0,6.5)--(8,6.5);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
			
			\begin{conclusion}
			
				L'aire maximale $\mathcal{A}$ vérifie l'encadrement: $ 12\le \mathcal{A} \le  13$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Poursuite de l’étude à l’aide d’un tableur.}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2014_maths_externe_sujet_1_01_tableur.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une formule qui, entrée dans la cellule B2 et recopiée vers la droite, a permis d’obtenir les valeurs de $A(x)$ sur la ligne 2.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				=B2*(12-B2)
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À partir du tableau ci-dessus, améliorer l’encadrement de la valeur de x obtenu par lecture graphique à la question 2. b). Donner alors une estimation de la valeur de l’aire maximale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous lisons:  
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire maximale est obtenue lorsque $3,4\le  \le  3,6$ et alors $\mathcal{A}\approx 12,25$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Détermination des valeurs exactes.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que pour tout $x$ de l’intervalle $[0 ; 7]$, on a \[ A(x)= \frac{49}{4}-\left( x-\frac{7}{2} \right). \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $A(x)$.}
			
			Comme nous l'avions remarqué: $x+y=7$, et donc $y=7-x$. Par conséquent l'aire du rectangle est \[ A(x)=x(7-x). \]
			
			\medskip
			Démontrons maintenant que la formule proposée est bien celle de $A(x)$.
			
			Soit $x\in [0\ ;\ 7]$.
			
			On peut développer avec une identité remarquable.  
			\begin{align*} 
			\frac{49}{4}- \left( x-\frac{7}{2} \right) ^2 &= \frac{49}{4}-\left( x^2-7x+\frac{7^2}{2^2} \right) \\ 
			&= -x^2+7x\\ &=& x(7-x)\\ &=& \mathcal{A}(x)
			\end{align*} 
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \forall x\in [0; \; 7],\ \mathcal{A}(x)=\frac{49}{4}- \left( x-\frac{7}{2} \right) ^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle valeur de $x$ l’aire $A(x)$ est-elle maximale? Justifier.
			
			Quelle est la valeur maximale de $A(x)$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons établi la forme canonique de la fonction polynomiale de degré deux , $A$, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				le maximum de $A$ est $\frac{49}{4}$ et il est atteint pour $x=\frac{7}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que peut-on dire du rectangle de périmètre $14\ \mathrm{cm}$ et d’aire maximale ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le rectangle d'aire maximale et de périmètre $14\ \mathrm{cm}$ est un carré de côté $\frac{7}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Le cross du collège a eu lieu. $200$ élèves de troisième ont franchi la ligne d'arrivée. Voici les indicateurs des performances réalisées en minutes.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{X|}}
			\hline
			Minimum & Premier quartile & Médiane & Troisième quartile & Moyenne & Étendue
			\\
			\hline
			$12,5$ & $14,8$ & $15,7$ & $16,3$ & $15,4$ & $4,2$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	Répondre aux questions suivantes en justifiant.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la performance en minutes du dernier arrivé?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La performance du dernier arrivé est $12,5+4,2=16,7$ minutes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la somme des 200 performances en minutes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La somme des 200 performances en minutes est $200\times 15,4=610$ minutes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Ariane est arrivée treizième. Donner l’encadrement le plus précis possible de sa performance en minutes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La treizième position se situe avant l'effectif correspondant au premier quartile, qui est la position $\frac{200}{4}=50$. Donc le temps mis par Ariane, $T_A$ vérifie
		
		\begin{conclusion}
			
			$12,5 \le Temps_{A} \le 14,8$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’affirmation suivante est-elle vraie?
		
		Affirmation: Plus de $50\ \%$ des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'affirmation est vraie car la médiane, $15,7$, est supérieure à la moyenne, $15,4$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
	
	\medskip
	\emph{Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 1}: La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de $5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$. 
		
		\begin{align*} 
			n+(n+1)+(n+2)+(n+3) + (n+4) &= 5n+10 \\
			&= 5(n+2)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: La somme des angles d’un pentagone convexe est égale à $540\ {}^{\circ}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On peut inscrire le pentagone régulier dans un cercle de centre $O$. Dans les triangles isocèles en $O$ ainsi formés la somme des angles à la base égale $180-\frac{360}{5}=108^{\circ}$.
		
		En sommant tous ces angles à la base on obtient: $5\times 108=540^{\circ}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est vraie. 
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On dispose du plan d’une maison à l’échelle $1/50$.
		
		
		\textbf{Affirmation 3}: Les aires sur le plan sont $50$ fois plus petites que les aires réelles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Considérons par exemple un carré d'aire $1$. Son aire sera $\left( \frac{1}{50} \right)^2=\frac{1}{\np{2 500}}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Shéhérazade commence à lire un conte un lundi soir. Elle lit $\np{1001}$ nuits consécutives.
		
		\textbf{Affirmation 4 : Elle terminera un dimanche soir.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$1001= 143\times 7$. 
		
		Elle lira donc sa dernière histoire un dimanche soir.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie. 
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour s’entraîner, un cycliste effectue un parcours aller-retour entre deux villes $A$ et $B$ distantes de $45\ \mathrm{km}$. Il part de la ville $A$ à 9 h 30 et on considère qu’à l’aller, il roule à une vitesse constante de $30\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$. Après un repos d’une heure, il repart de la ville $B$ et cette fois-ci rejoint la ville $A$ à la vitesse constante de $50\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À quelle heure arrive-t-il à la ville $B$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisqu'il roule à $30\mathrm{km}.\mathrm{h}^{-1}$ il parcourra $45\ \mathrm{km}$ en $\frac{45}{30}=1,5\ \mathrm{h}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il arrivera à $B$ à 11 heure.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représenter graphiquement la distance entre le cycliste et la ville $A$ sur l’intégralité du parcours. On placera en abscisse l’heure de la journée et en ordonnée la distance entre le cycliste et la ville $A$ exprimée en $\mathrm{km}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above,fill=white]{\small Heure};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[right,fill=white]{$\mathrm{km}$};
			\foreach \x in {0,1, 2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{9+\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:1.5] plot(\x,{3*\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=1.5:{12/5}] plot(\x,{-5*\x +12});
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À quelle heure est-il de retour à la ville $A$? Donner le résultat en heures et minutes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'heure de son retour.}
		
		Pour faire $45\ \mathrm{km}$ à $50 \mathrm{km.h}^{-1}$ il met: $\frac{45}{50}=0,9\ \mathrm{h}$.
		
		Donc le trajet aller-retour prend $1,5+0,9=2,4\ \mathrm{h}= 2\ \mathrm{h} + \frac{4}{10}\times 60\ \mathrm{mn}$. 
		
		Autrement dit 
		
		\begin{conclusion}
			
			le trajet dure $2$ heures et $24$ minutes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On considère un dé à quatre faces en forme de tétraèdre régulier. Ses quatre faces sont numérotées de $1$ à $4$. Le résultat d’un lancer est le nombre indiqué sur la face sur laquelle repose le dé.
	
	Le dé est supposé équilibré.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a lancé le dé six fois et obtenu la série de résultats : $1$; $2$; $4$; $1$; $1$; $2$.
		
		Au $7^{\text{e}}$ lancer, la probabilité d’obtenir le nombre $1$ et celle d’obtenir le nombre $3$ sont-elles différentes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les expériences sont indépendantes les probabilités ne sont donc pas modifiées.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance le dé deux fois de suite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[yscale=0.25]
				\coordinate (A1) at (0,15);
				\coordinate (A2) at (0,13);
				\coordinate (A3) at (0,11);
				\coordinate (A4) at (0,9);
				\coordinate (A5) at (0,7);
				\coordinate (A6) at (0,5);
				\coordinate (A7) at (0,3);
				\coordinate (A8) at (0,1);
				\coordinate (A9) at (0,-1);
				\coordinate (A10) at (0,-3);
				\coordinate (A11) at (0,-5);
				\coordinate (A12) at (0,-7);
				\coordinate (A13) at (0,-9);
				\coordinate (A14) at (0,-11);
				\coordinate (A15) at (0,-13);
				\coordinate (A16) at (0,-15);
				\draw node (A1) at (A1) {$1$};
				\draw node (A2) at (A2) {$2$};
				\draw node (A3) at (A3) {$3$};
				\draw node (A4) at (A4) {$4$};
				\draw node (A5) at (A5) {$1$};
				\draw node (A6) at (A6) {$2$};
				\draw node (A7) at (A7) {$3$};
				\draw node (A8) at (A8) {$4$};
				\draw node (A9) at (A9) {$1$};
				\draw node (A10) at (A10) {$2$};
				\draw node (A11) at (A11) {$3$};
				\draw node (A12) at (A12) {$4$};
				\draw node (A13) at (A13) {$1$};
				\draw node (A14) at (A14) {$2$};
				\draw node (A15) at (A15) {$3$};
				\draw node (A16) at (A16) {$4$};
				\coordinate (B1) at (-2,12);
				\coordinate (B2) at (-2,4);
				\coordinate (B3) at (-2,-4);
				\coordinate (B4) at (-2,-12);
				\draw node (B1) at (B1) {$1$};
				\draw node (B2) at (B2) {$2$};
				\draw node (B3) at (B3) {$3$};
				\draw node (B4) at (B4) {$4$};
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B1)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw (B2)--(A7);
				\draw (B2)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B3)--(A10);
				\draw (B3)--(A11);
				\draw (B3)--(A12);
				\draw (B4)--(A13);
				\draw (B4)--(A14);
				\draw (B4)--(A15);
				\draw (B4)--(A16);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C1)--(B3);
				\draw (C1)--(B4);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Quelle est la probabilité d’obtenir une seule fois le nombre $1$ lors de ces deux lancers?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Cette expérience peut être assimilée à un tirage avec remise. Il y a $2\times 3$ issues qui réalisent cet événement parmi les $4\times 4=16$ issues toutes équiprobables possibles. Donc la probabilité d'obtenir  une seule fois le nombre $1$ est de $\frac{6}{16}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$P(1)=\frac{3}{8}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que le nombre obtenu au deuxième lancer soit strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$: \og le nombre obtenu au deuxième lancer est strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer\fg{}.
			
			$A= \{ (1;2),\ (1;3),\ (1;4),\ (2;3),\ (2;4),\ (3;4) \}$. 
			
			Il y a équiprobabilité, $A$ est réalisé par $6$ issues et l'univers comporte $16$ issues donc \[ P(A)=\frac{6}{16}.\]
			
			\begin{conclusion}
				
				$P(A)=\frac{3}{8}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}