\documentclass{article}
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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau


\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

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\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{pstricks-add}
\pagestyle{empty}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{Remarques}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemples}
\newtheorem{exer}{\underline{Exercice}}
\newtheorem{activ}{$\blacksquare$Activité:}[section]
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{\textbf{Définition}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{propi}{\textbf{Proposition}}% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

\renewcommand{\thesection}{{$\blacksquare$ Semaine du}}
\renewcommand{\thesubsection}{{$\spadesuit$ Séance du:}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{{$\bullet$ Activité:}}
\newcommand{\cm}{\mathrm{cm}}
\newcommand{\m}{\mathrm{m}} 
\newcommand{\dm}{\mathrm{dm}}
\begin{document}

\begin{exer}~
\begin{enumerate}
	\item On peut représenter cette expérience aléatoire par un tableau:\newline \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 3&4&5&6&7&8&9\\ \hline 4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 5&6&7&8&9&10&11\\ \hline 6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \end{tabular}\newline On voit que l'événement \og le résultat est pair\fg est réalisé par $1=+3+5+5+3+1=18$ 2-listes. Or il y au total 36 2-listes qui sont toutes équiprobables donc l'événement \og l'issue est un nombre pair\fg est obtenu avec une probabilité de $\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. L'événement contraire, à savoir \og obtenir une issue impaire\fg , à donc une probabilité de $1-\frac{1}{2}$.\newline L'affirmation 1 est vraie.
	\item En considérant des angles supplémentaires: $\widehat{EBA}=180-120=60^{\circ}$. Puisque la somme des mesures des angles du triangle vaut $180^{\circ}$: $\widehat{BAE}=180-25-60=95^{\circ}$. Le triangle $ABE$ n'est donc pas rectangle en $A$. \newline L'affirmation 2 est fausse.
	\item $125 \ \mathrm{L}= 125\ \mathrm{dm}^3= 0,125\ \mathrm{m}^3$.\newline $2\ \mathrm{min}\ 30\ \mathrm{s}=2\times 60+30 \ \mathrm{s}=150\ \mathrm{s}=\frac{150}{3\ 600} \ \mathrm{h}$.\newline Le débit du robinet est donc en mètres cubes par heure de: $\frac{0,125}{\frac{150}{3\ 600}}=0,125\times \frac{3\ 600}{150}=3\ \mathrm{m^3.h^{-1}}$.\newline L'affirmation 4 est vraie.
	\item Supposons qu'il existe un multiple de 81 qui ne s'écrit qu'avec des 9: $\exists n\in\mathbb{N},\ \exists p\in\mathbb{Z},\ 81p=\sum_{k=0}^n 9.10^k$. Donc	: $9p=\sum_{k=0}^n 10^k$. En particulier $\sum_{k=0}^n 10^k$ est divisible par neuf; autrement dit la somme de ses chiffres l'est; donc $n$ est un multiple de 9. \newline Choisissons (par exemple) $r=999\ 999\ 999$. $r=12345679\times 81$.\newline L'affirmation 4 est vraie.	
\end{enumerate}
\end{exer}

\medskip

\begin{exer}~
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item 3-10-5-16-8-4-2-1-4-2
	\item 5-16-8-4-2-1-4-2-1-4
	\item 6-3-10-5-16-8-4-2-1-4
	\item Il semble qu'à partir d'un certain rang la suite devienne 3-périodique de période 4-2-1.
	\end{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item 20 et 3.
		\item Étant donné le deuxième terme d'une suite de Syracuse, l'algorithme définissant la suite ne prévoit que 2 façons d'obtenir ce deuxième terme. Ce deuxième terme n'a donc au maximum que deux prédécesseurs.
		\end{enumerate}
	\item  Soit $p\in\mathbb{N}$ un nombre impair: $\exists n\in\mathbb{N},\ p=2n+1$. Le terme suivant $p$ est donc: $3(2n+1)+1=6n+3+1=2(3n+2)$; qui est donc pair.\newline Dans une suite de Syracuse un nombre impair ne peut pas être suivi d'un nombre pair.
\end{enumerate}
\end{exer}

\medskip

\begin{exer}
	\begin{enumerate}
	\item Raisonnons par l'absurde. Supposons que $OC\ne OF$.
	
	\medskip
	Puisque $CDEF$ est un rectangle, d'une part $CD=EF$ et d'autre part d'après le théorème de Pythagore on a: $$OD^2=CD^2+CO^2$$ $$OF^2=EF^2+OE^2$$ On en déduit que $OD\ne OE$, ce qui contredit le fait $[OD]$ et $[OE]$ sont des rayons d'un même cercle.
	
	\medskip
	On a donc démontré par l'absurde que, nécessairement,  $CO=OF$.
	\item La plus petite valeur de $OC$ est 0 et la plus grande est 5 lorsque $[OC]$ exhausse $[OA]$.
	\item Calculons $CD$.\newline Par construction $CDO$ est rectangle en  $C$, donc, d'après le théorème de Pythagore, $CD^2=OD^2-CO^2=5^2-3^2=16$. Et comme $CD$ est positive (puisque c'est une longueur) on en déduit: $CD=4$.\newline L'aire de $CDEF$ est donc: $\mathcal{A}(CDEF)=CD\times 2.OC=4\times 6=24\ \mathrm{cm}^2$,\newline et son périmètres est: $\mathcal{P}(CDEF)=2(CD+2.OC)=2(4+2\times 3)$ cm.
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item En reprenant le raisonnement précédent: $CD^2=5^2-CD^2=25-x^2$. Comme $CD$ est une longueur c'est une quantité positive et donc: $CD= \sqrt{25-x^2}$.
		\item L'aire de $CDEF$ est: $\mathcal{A}(CDEF)(x)=CD\times 2.OC=2x\sqrt{25-x^2}\ \mathrm{cm}^2$,\newline et son périmètres est: $\mathcal{P}(CDEF)(x)=2(CD+2.OC)=2(\sqrt{25-x^2}+2x)$ cm.
		\item Raisonnons par conditions nécessaires et suffisantes.
		
		\medskip
		Dire que $CDEF$ est une carré c'est dire que deux côtés consécutifs ont la même longueur:
		\begin{eqnarray*} \sqrt{25-x^2} = x &  \Rightarrow & 25-x^2=x^2 \\ & \Rightarrow & x=\frac{5}{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*}
		Réciproquement si $x=\frac{5}{2} \sqrt{2}\in [0\ ;\ 5]$ alors:
		\begin{eqnarray*} \sqrt{25-x^2} &=& \frac{5}{2} \sqrt{2}\\ x=\frac{5}{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*} 
		Ainsi il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle $CDEF$ est un carré.
		
		\medskip
		L'aire de ce carré est alors $\frac{25}{2}$ et son périmètre est $10\sqrt{2}$.
		
		\end{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Si $x=0$ le rectangle est aplati et son aire est nulle. La courbe $\mathcal{C}_1$ représente l'aire du rectangle.
		\item Il est clair, d'après le graphique, qu'au voisinage de $x=4$ l'aire est une fonction strictement décroissante de $x$ tandis que le périmètre est une fonction strictement croissante de $x$.\newline Donc l'aire du rectangle n'augmente pas lorsque son périmètre augmente.
		\end{enumerate}
	\item \begin{verbatim} = 2*RACINE(25-A2^2)+4*A2
	\end{verbatim}
	\item \begin{verbatim} = 2*A2*RACINE(25-A2^2)
	\end{verbatim}
	\item On en déduit l'encadrement: $4,4 \le x_1 \le 4,5$.
	\end{enumerate}
\end{exer}




\end{document}