\documentclass{article}
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\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

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\pagestyle{empty}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{Remarques}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{ex}{Exemples}
\newtheorem{exer}{\textbf{\underline{{\Large Exercice}}}}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{\textbf{Définition}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{propi}{\textbf{Proposition}}% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

\renewcommand{\thesection}{{$\blacksquare$ Semaine du}}
\renewcommand{\thesubsection}{{$\spadesuit$ Séance du:}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{{$\bullet$ Activité:}}

\begin{document}
\begin{exer}~
\begin{enumerate}
\item  Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\le 100$, l'âge de l'homme. 11 est un diviseur de $n-1$ donc: $n\in\{ 1, 12, 23,34,45, 56,67, 78,89, 100\}$. Et $n+1$ est divisible par 5 donc $n$ est congru à 4 modulo 5. Parmi les éléments de l'ensemble précédents les seuls qui soient congru à 4 modulo 5 sont:  34 e 89. L'homme peut donc avoir 34 ou 89 ans. \newline L'affirmation est fausse.
\item Notons $S_i$ et $H_i$ les événements respectivement:\og temps sec le jour $i$\fg et \og temps humide le jour $i$\fg . Les événements $H_1$ et $S_1$ constituent un système d'événement complet. On en déduit la probabilité que le temps soit humide après demain: $P(H_2)=P(H_1)\times P_{H_1}( H_2)+ P(S_1)\times P_{S_1}( H_2)=\frac{1}{6}\times \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{4}{6}= \frac{2}{3}$.\newline L'affirmation 2 est fausse.
\item $150\mathrm{m}=0,15\mathrm{km}$ et $8\mathrm{s}=\frac{8}{3\ 600} \mathrm{h}$. La vitesse moyenne est donc: $\frac{0,15}{\frac{8}{3\ 600}}=\frac{0,15\times 3\ 600}{8}=94,5\mathrm{km/h}$. \newline L'affirmation 3 est vraie.
\item Étant donnés deux nombres entiers impairs il existe $(n,m)\in\mathbb{R}^2$ tels que ces nombres puissent s'écrire: $2n+1$ et $2m+1$. On a: \begin{eqnarray*} (2n+1)^2+(2m+1)^2 &=& 4n^2 +4n +1 + 4m^2+4m+1\\ &=& 2(2n^2+2n+2m^2+m+1) \end{eqnarray*} Il s'agit bien d'un nombre pair. \newline L'affirmation 4 est vraie.
\item 5 et 3 sont des nombres premiers et pourtant leur somme, 8, n'est pas premier.\newline L'affirmation 5 est fausse.\newline 2 et 3 sont des nombres premiers et leur somme, 5, est aussi un nombre premier.\newline L'affirmation 6 est fausse.
\end{enumerate}\end{exer}

\begin{exer}~
\begin{enumerate}
\item Dans une bouteille de 0,5 litre de boisson A il y a $0,5\times \frac{10}{100}=0,05$ L de jus d'orange. Dans une bouteille de 1,25 L de boisson B il y a $1,25\times \frac{5}{100}=0,0625$ L de jus d'orange.\newline La bouteille de B contient la plus grande quantité de jus d'orange.
\item 20 cL de A contient $20\frac{10}{100}=2$ cL de jus d'orange. 30 cL de B contient $30\times \frac{5}{100}=1,5$ cL. Le mélange contient donc $2+1,5=3,5$ cL de jus d'orange pour quantité totale de $20+30=50$ cL. Le pourcentage de jus d'orange dans le mélange est donc: $\frac{3,5}{50}\times 100= 7\%$.
\item Notons $x$ et $y$ les quantités de A et B mélangées ($x,y\in [0,40]$). On doit avoir: $$\left\{\begin{array}{l} x+y=40 \\ \frac{\frac{10}{100}x+\frac{5}{100}y }{x+y}\times 100 =8 \\ \end{array} \right.$$
En résolvant ce système d'équations linéaires à deux inconnues par substitution on obtient: \begin{eqnarray*} x &=& 40-y \\ \text{donc } \frac{\frac{10}{100}(40-y)+\frac{5}{100}y }{40-y+y}\times 100 &=&	8 \\ \left( 4-\frac{5}{100}y \right) \frac{10}{4} &=& 8 \\-\frac{5}{100}y &=& 8\times \frac{4}{10}-4 \\ y&=&-\frac{100}{5}\times \frac{-8}{10} \\ y&=& 16 \\ \text{d'où: 8} x&=&40-8 \\ x&=& 32\end{eqnarray*}
Le mélange souhaité est obtenu lorsqu'on mélange 32 cL de A et 8 cL de B.
\item Le nombre obtenu dans la cellule C14 est la proportion de jus d'orange du mélange obtenu en ajoutant 2 cL de A à  38 cL de B.
\end{enumerate}
\end{exer}

\begin{exer}~\newline \textbf{Partie A.}
\begin{enumerate} \item Puisque $ABCD$ est un rectangle et que $M\in [BC]$ et $N\in [CD]$ (car $N$ est le symétrique par rapport à $O$ de $M$):
\begin{itemize}
\item $(MB)//(CN)$ \item $(MP)\perp (PC)$ \item $(PC) \perp (CN)$\end{itemize} On en déduit que $MPCN$ est un trapèze rectangle.
\item $M$ (resp. $A$) est le symétrique de $N$ (resp. $C$) par rapport à $O$. Donc: $AO=OC$ et $MO=ON$.\newline D'autre part les points $A,O,C$ et $B,O,N$ sont alignés dans cet ordre et $(AM)$ et $(NC)$ sont parallèles donc, d'après le théorème de Thalès: $\frac{AM}{CN}=\frac{AO}{OC}=1$. On en déduit que $AM=CN$.
\item On a une configuration de Thalès: les points $B,P,C$ et $D,N,C$ sont alignés dans cet ordre. De plus $(BD)//(NP)$, donc, d'après le théorème de Thalès: $\frac{PC}{BC}=\frac{NC}{CD}$. Autrement dit:\begin{eqnarray*} \frac{5-BP}{5} &=& \frac{9-DN}{9} \\ \frac{BP}{5} &=& \frac{DN}{9} \\ BP &=& \frac{5}{9} DN \end{eqnarray*}
D'après la question précédente $AM=CN$ donc $BM=DN$. D'où: $BP=\frac{5}{9}BM$ 
\end{enumerate}
\textbf{Partie B.}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item L'aire du trapèze rectangle $MBCN$ est: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}(MBCN) &=& \frac{1}{2}(MB+CN) . BC \\ &=& \frac{1}{2}(9-6+6)5 \\ &=& \frac{45}{2}\ \mathrm{cm}^2 \end{eqnarray*}
\item $BMP$ est rectangle en $B$ donc son aire est: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}(BMP) &=& \frac{1}{2}. BM.BP \\ &=& \frac{1}{2} .BM.\frac{5}{9}.BM \\ &=& \frac{5}{18}(9-6)^2 \\ &=& \frac{5}{2} \ \mathrm{cm}^2 \end{eqnarray*}
$PCN$ est rectangle en $C$ donc son aire est: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}(PCN) &=& \frac{1}{2}.PC.CN \\ &=& \frac{1}{2}(5-BP).AM \\ &=& \frac{1}{2}\left( 5- \frac{5}{9}.BM \right)6 \\ &=& \frac{1}{2}\left( 5 -\frac{5}{9}.(9-6)\right) .6 \\ &=& 10\ \mathrm{cm}^2 \end{eqnarray*}
\item L'aire de $MNP$ se déduit du découpage en triangle du trapèze $MBCN$: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}(MNP) &=& \frac{45}{2}-\frac{5}{2} -10 \\ &=& 10 \ \mathrm{cm}^2
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Comme dans le cas particulier: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}(MBCN) &=& \frac{1}{2}(MB+CN).BC \\ &=& \frac{1}{2}.9.5 \\ \frac{45}{2}\ \mathrm{cm}^2 \end{eqnarray*} Donc l'aire $MBCN$ est indépendante de $x$.
\item \begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{45}{2}-\frac{1}{2}(9-x).\frac{5}{9}(9-x)-\frac{1}{2}\left( 5-\frac{5}{9}(9-x)\right) x \\ &=& \frac{45}{2}-\frac{5}{18}(81-18x +x^2) -\frac{5}{18}x^2 \\ &=& -\frac{5}{9}x^2+5x \end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item $f$ est polynomiale de degré 2. Sa courbe représentative est donc l'une des paraboles \emph{figure 1} ou \emph{figure 3}. Comme de plus $f(3)=10$ nécessairement la courbe représentative de $f$ est sur la \emph{figure 3}.
\item Par lecture graphique l'aire de $MNP$ semble maximale pour $x=4,3$ et ce maximum est alors de 11,2.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Soit $x\in ]0,9[$ \begin{eqnarray*} \frac{45}{4}-\frac{5}{9}\left( x-\frac{9}{2} \right) ^2 &=& \frac{45}{4}-\frac{5}{9}\left( x^2 -9x +\frac{81}{4} \right) \\ &=& \frac{45}{4}-\frac{5}{9}x^2+5x-\frac{45}{4} \\ &=& f(x) \end{eqnarray*} Ainsi l'expression proposée dans l'énoncé est bien la forme canonique de $f$.
\item $f$ est une fonction polynomiale de degré 2. Elle admet donc un extremum; son coefficient dominant étant négatif, $-\frac{5}{9}$, cet extremum est un maximum. D'après la forme canonique trouvée à la question précédente l'aire du triangle est maximale pour $x=\frac{9}{2}$ et ce maximum est alors $\frac{45}{4}$.\newline On peut retrouver ce résultat en remarquant que $\frac{45}{4}$ est un majorant de $f$ puis que que ce majorant est un maximum puisqu'il est atteint pur $x=\frac{9}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exer}
 
 
\end{document}