\documentclass{article}
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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

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\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{pstricks-add}
\pagestyle{empty}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{Remarques}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemples}
\newtheorem{exer}{\underline{Exercice}}
\newtheorem{activ}{$\blacksquare$Activité:}[section]
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{\textbf{Définition}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{propi}{\textbf{Proposition}}% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

\renewcommand{\thesection}{{$\blacksquare$ Semaine du}}
\renewcommand{\thesubsection}{{$\spadesuit$ Séance du:}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{{$\bullet$ Activité:}}
\newcommand{\cm}{\mathrm{cm}}
\newcommand{\m}{\mathrm{m}} 
\newcommand{\dm}{\mathrm{dm}}
\begin{document}
\begin{exer}~
\begin{enumerate}
\item Un prisme droit à base triangulaire à 9 arêtes et 5 côtés.\newline L'affirmation 1 est donc fausse.
\item Les hauteurs des triangles $ABD$ et $ABC$ issues des sommets opposés au côté $[AB]$ ont même longueur	$AD$. Donc l'aire de ces deux triangles est donnée par: $\frac{1}{2}\times AB\times AD$.\newline L'affirmation 2 est donc vraie.
\item Le volume du pavé droit après modification de ses dimensions est: $V'=\left( 1+\frac{50}{100} \right) L \times 2h \times l=3Llh=3V$. \newline L'affirmation est fausse.
\item La taille moyenne des élèves de la classe est: $\frac{10\times 174+14\times 162}{24}=167$ cm.\newline L'affirmation 4 est donc vraie.
\item Si $p$ et $q$ sont deux nombres pairs consécutifs, alors il existe  $n\in\mathbb{N}$ tel que: $p=2n$ et $q=2n+2$. On en déduit: $pq=2n\times 2(n+1)=4n(n+1)$. Or $n$ et $n+1$ étant deux nombres consécutifs l'un des deux est pair et donc: $\exists m\in\mathbb{N},\ n(n+1)=2m$. D'où: $pq=4\times 2m=8m$. Ainsi $pq$ est divisible par 8.\newline L'affirmation 5 est vraie.
\end{enumerate} \end{exer}

\begin{exer}~
\begin{enumerate}
\item $1+6+4+ 3+3+0+ 2+5+8+ 6+4+7=49$ et $4+9=13$ et $1+3=4$. D'après la propriété P: le reste de la division euclidienne de $164\ 330\ 258\ 647$ par 9 est 4.
\item \begin{enumerate} \item \begin{eqnarray*} \overline{abcd}&=& a10^3 +b10^2+ c10+d \\ &=& a+b+c+d+999a+99b+9c\\ &=& a+b+c+d+9(111a+11b+c) \\ &=& a+b+c+d+9k\end{eqnarray*} où $k=111a+11b+c$.
\item D'une part, et par hypothèse: $\overline{abcd}= r \mod 9$ et d'autre part: \begin{eqnarray*} \overline{abcd} &=& a+b+c+d+9k \mod 9\\ &=& a+b+c+d \mod 9 \\ &=&  r' \mod 9\end{eqnarray*} puisque par hypothèse $r'$ est le reste de la division euclidienne de $a+b+c+d$ par 9.\newline Donc $r=r'$. \end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si son reste dans la division euclidienne par 9 est nul. Donc d'après la propriété P un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
\item $164\ 330\ 258\ 643$ est divisible par 9 puisque: \begin{eqnarray*} 1+6+4+ 3+3+0+ 2+5+8+ 6+4+3 &=& 45\\ 4+5&=&9 \end{eqnarray*} Donc, d'après la question précédente et la proposition P, on peut affirmer que 9 est un diviseur commun à 18 et $164\ 330\ 258\ 643$. Comme de plus $164\ 330\ 258\ 643$ n'est pas pair on en déduit le pgcd de 18 et $164\ 330\ 258\ 643$: 9.\end{enumerate} \end{enumerate}\end{exer}

\begin{exer}
\textbf{Partie A.}
\begin{enumerate}
\item $AB^2+AC^2=230\ 400 +129\ 600= 360\ 000$ et $BC^2=360\ 000$. On en déduit, d'après le théorème de Pythagore, que $ABC$ est rectangle en $A$.
\item \begin{enumerate} \item Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, les côtés de l'angle droit sont aussi des hauteurs du triangle. On en déduit son aire: $\frac{1}{2}\times AB\times AC=172\ 800 \mathrm{m}^2$.
\item La distance de $A$ à $(BC)$ est la distance de $A$ au projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$, autrement dit c'est la longueur de la hauteur de $ABC$ issue de $A$. Notons $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. On doit avoir: $\frac{1}{2}\times AH \times 600 = 172\ 800$. Donc nécessairement: $AH=576$ m.\newline La distance de $A$ à $(Bc)$ est 576 m.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B.}
\begin{enumerate}\item Le temps mis par José en heures est: $\frac{2\times 1\ 440}{8\ 000}=0,36$. Or: $0,36\times 60=21,6$ et $0,6\times 60=36$. Donc José fait son parcours en 0 heures 21 minutes et 36 secondes.
\item \begin{enumerate} \item La formule corrigée est: $=E\$ 1/(C4+D4*100/60)$. \item L'adressage absolu fait avec le \$ garantie qu'après recopie vers le bas la formule utilise toujours la cellule $E1$.\end{enumerate} \end{enumerate} 

\textbf{Partie C.}
\begin{enumerate}\item \begin{enumerate}
\item $J$ étant  équidistant de $A$ et $B$ il est sur la médiatrice de $[AB]$. En raisonnant de même avec les autres sommets du triangle on se rend compte que $J$ est nécessairement à l'intersection des médiatrices du triangle, au point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle. Or, le triangle étant rectangle en $A$, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
\item Si on dessine à l'échelle $1/5\ 000$, alors: $AC=0,072$ m, $AB=0,096$ m et $BC= 0,12$ m.\newline \includegraphics[scale=1]{crpe_2013_maths_externe_sujet3_exercice_3.eps} \end{enumerate}
\item Pour montrer que $AKJI$ est un rectangle, comme ce quadrilatère a un angle droit en $A$ il suffit de montrer que c'est un parallélogramme.\newline Puisque $K$ et $J$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[BC]$ du triangle $ABC$, d'après le théorème de Thalès $(AB)$ et $(KJ)$ sont parallèles. De même $(AC)$ et $(KI)$ sont parallèles. Les côtés opposés du quadrilatère (convexe) $AKJI$ sont parallèles: $AKJI$ est donc un parallélogramme.\newline On en déduit d'après notre remarque liminaire que $AKJI$ est rectangle.
\item Comme précédemment, $K$ et $I$ étant les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$, on en déduit, d'après le théorème de Thalès que: $(BC)//(KI)$. \newline Or $\left\{\begin{array}{l} (BC) // (IK) \\ (AH) \perp (BC) \\ \end{array} \right. \Rightarrow (IK) \perp (AH)$.\newline On déduit également de $(BC)//(KI)$ et de ce que $K$ est le milieu de $[AB]$, et toujours d'après le théorème de Thalès, qu'en notant $O=(AH)\cap (KI)$ on a: $AK=KH$.\newline Finalement on a montré: $\begin{array}{l}  (IK) \perp (AH) \\ O\text{est milieu de }[AH] \\ \end{array}$ autrement dit $(KI)$ est la médiatrice de $[IK]$.\newline Si l'infirmière se déplace sur $(KI)$ elle reste à égale distance des deux postes.
\end{enumerate}
\end{exer}

\end{document}