\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{pstricks-add}
\pagestyle{empty}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{Remarques}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemples}
\newtheorem{exer}{\underline{Exercice}}
\newtheorem{activ}{$\blacksquare$Activité:}[section]
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{\textbf{Définition}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{propi}{\textbf{Proposition}}% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

\renewcommand{\thesection}{{$\blacksquare$ Semaine du}}
\renewcommand{\thesubsection}{{$\spadesuit$ Séance du:}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{{$\bullet$ Activité:}}
\newcommand{\cm}{\mathrm{cm}}
\newcommand{\m}{\mathrm{m}} 
\newcommand{\dm}{\mathrm{dm}}
\begin{document}
\begin{exer}~
\begin{enumerate}\item La question est équivalente à la suivante: peut-on construire un triangle rectangle dont les dimensions soient $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{64}=8$ et $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$? Or ceci est possible d'après le théorème de Pythagore si et seulement si: $100=64+32$. Cette dernière égalité étant fausse on en déduit qu'un triangle ayant de telles dimensions ne peut être rectangle.\newline L'affirmation 1 est fausse.
\item Soit $k\in\mathbb{Z}$ un nombre qui soit un multiple de 6 et de 9. Alors: $\exists p\in\mathbb{Z},\ k=6.9.p $. Autrement dit: $\exists p\in\mathbb{Z},\ k=54.p$. Ainsi $k$ est un multiple de 54.\newline L'affirmation 2 est vraie.
\item Soient $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ tels que: $x+y=400$. Si on augmente de 3 $x$ et $y$ alors: $(x+3)(y+3)=xy+3(x+y)+9=xy+3\times 400+9=xy+1\ 209$.\newline L'affirmation 3 est vraie.
\item Si $T$ désigne la quantité totale d'alimentation dont dispose l'agriculteur. La quantité consommée quotidiennement par chaque vache est: $\frac{T}{8.20}$. Pour nourrir $8+2=10$ vaches pendant 18 jours il faudra fournir: $\frac{T}{8.20}.10.18=T.\frac{3^2}{2^3}$. Comme $\frac{3^2}{2^3}>1$, il y aura assez d'aliments pour chaque jour.\newline L'affirmation 4 est vraie.
\item Si on le dessine en perspective cavalière: \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{exercice_1_01.eps}\end{center} On compte sur la figure 8 cubes élémentaires.\newline L'affirmation 5 est vraie.
\item ~
\begin{eqnarray*} (8\times 7) + 3\times 5 &=& 71 \\ (8\times 7 + 3)\times 5 &=& 295 \\ 8\times (7 + 3)\times 5 &=& 400 \\ 8\times (7 + 3\times 5) &=& 176 \\ \end{eqnarray*} L'affirmation 6 est fausse.
\end{enumerate}\end{exer}

\begin{exer}~\newline
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Déterminons $DE$ en fonction de $x$. \newline 
$(DA)$ et $(EC)$ sont sécantes en $B$. Les points $C,E,B$ d'une part et $A,D,B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.$(DE)//(AC)$ car $ADEF$ est un rectangle.\newline On en déduit, d'après la théorème de Thalès: \begin{eqnarray*}\frac{DE}{AC}&=& \frac{BD}{AB} \\ \frac{DE}{1} &=& \frac{1-x}{1} \\ DE&=&1-x\end{eqnarray*}

L'aire du rectangle $AFED$ est: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}(AFED)&=& AD\times DE \\ \mathcal{A}(AFED)&=&x\times (1-x) \\ \mathcal{A}(AFED)&=& -x^2+x \end{eqnarray*}
Autrement dit: $\forall x\in [0;1],\ f(x)=-x^2+x$
\item \begin{enumerate}\item Formule entrée en $B2$: $=-A2\wedge 2+A2$ \item Le tableau permet uniquement d'affirmer que le maximum est atteint pour un nombre compris entre 0,4 et 0,6.\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Soit $x\in [0;1]$.\newline En développant: \begin{eqnarray*}-\left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{1}{4}&=&-x^2+2\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ &=& -x^2+x\\ &=& f(x)\end{eqnarray*} \item $f$ est une fonction polynomiale de degré 2 dont la question précédente nous donne la forme canonique on peut donc affirmer que $f$ admet un maximum égal à $\frac{1}{4}$ qui est atteint en $\frac{1}{2}$. \item Si $x=\frac{1}{2}$ alors $1-x=\frac{1}{2}$ donc l'aire est maximale lorsque le quadrilatère $ADEF$ est un carré. \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Puisque $ABC$ est rectangle en $A$ et que $AB=AC=1$, d'après le théorème de Pythagore: $BC=\sqrt{2}$. Notons $M$ le milieu de $[BC]$. Si $G\in [MC]$, alors $DEFG$ n'est plus un rectangle pas même un quadrilatère convexe. Donc, nécessairement $G\in [BM]$.\newline $\left\{\begin{array}{l} G\in [BM] \\BM=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array}\right. \Rightarrow x\in\left[ 0; \frac{\sqrt{2}}{2} \right]$\newline Ainsi: $I=\left[ 0; \frac{\sqrt{2}}{2} \right]$.
\item $ABC$ est isocèle rectangle en $A$ donc $\widehat{GBD}=45^{\circ}$. 
\item \begin{enumerate}\item Par lecture graphique le rectangle mesure $ 0,2 m^2$ lorsque $x=0,2$ ou $x\simeq 0,52$.\item D'après le graphique $g$ admet un maximum égal à 0,25 atteint en $x=0,35$. \item Si $x=0,35$, alors $DG=x$ et $GF=sqrt{2}-2\times 0,35\simeq 0,714$. Le quadrilatère n'est dans ce cas pas un carré.\end{enumerate}
\end{enumerate}\end{exer}

\begin{exer}~
\begin{enumerate}\item Soit $n\in\mathbb{N}^*$. \begin{eqnarray*}A_n&=&\underset{=n \text{fois}}{\underbrace{111\dots 1}}\\ &=& \sum_{k=0}^n 10^k\\ &=& 11\sum_{k=0}^{E\left( \frac{n}{2} \right) } 10^k +\epsilon (n)\end{eqnarray*}
où $\epsilon(n)= 10^n$ si $n$ est impair 0 sinon.\newline
Distinguons deux cas. Si $n$ est pair alors clairement $A_n$ est divisible par 11. Si $n$ est impair alors: $\exists (p,h)\in\mathbb{N}^2,\ A_n=11p+10^{2h+1}$. Raisonnons par l'absurde; supposons que $A_n$ soit divisible par 11. Dans ce cas $11p$ étant divisible par $11$ nécessairement $10^n$ l'est aussi. Or ceci est absurde puisque les facteurs premiers de 10 sont 2 et 5 tandis que 11 est premier.\newline
Les réciproques sont immédiates et l'on conclut: $A_n$ est divisible par 11 si et seulement si $n$ est paire.
\item Si $A_n$ est divisible par 33 alors il est en particulier divisible par 11. Donc nécessairement $n$ est paire. Comme de plus il est divisible par 3 la somme de ses chiffres doit être divisible par 3; autrement dit $n$ est divisible par 3. Ainsi est un multiple de 6. La réciproque est immédiate et l'on conclut: $A_n$ est divisible par 33 si et seulement si $n$ est un multiple de $6$.
\end{enumerate} \end{exer}


\end{document}