%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

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% Packages #
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\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écritur décimale des nombres

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\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

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\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

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\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

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%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
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\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
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#2
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%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques sujet 3]{\small Mathématiques sujet 3}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small CRPE 2012 - \thepage]{\small CRPE 2012 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicesdumanuel}
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%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{CRPE épreuve de mathématique 2012 groupe 3.}

\subsection{\color{purple}Exercice 1 (5 points).}

\begin{sujet}

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 6,5$ et $AD = 4$, l’unité de mesure étant le centimètre.

$M$, $N$, $P$ et $Q$ sont des points respectivement sur les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$, et tels que $AM = BN = CP = DQ$.

\medskip
On s'intéresse dans cet exercice à la variation de l'aire du quadrilatère $MNPQ$ en fonction de la position du point $M$.	

\begin{center}
\textbf{Toute réponse devra être justifiée.}
\end{center}

On pose $AM = x$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Construire la figure dans le cas $x = 4$. Démontrer que $MNPQ$ est un parallélogramme. Calculer son aire.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\x{4};
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (6.5,0);
		\coordinate (C) at (6.5,4);
		\coordinate (D) at (0,4);
		\coordinate (M) at (\x,0);
		\coordinate (N) at (6.5,\x);
		\coordinate (P) at ({6.5-\x},4);
		\coordinate (Q) at (0,{4-\x});
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (M)node {$\bullet$};
		\draw (N)node {$\bullet$};
		\draw (P)node {$\bullet$};
		\draw (Q)node {$\bullet$};
		\draw (A) node[below left] {$A$};
		\draw (B)node[below right] {$B$};
		\draw (C)node[above right] {$C$};
		\draw (D)node[above left] {$D$};
		\draw (M)node[below] {$M$};
		\draw (N)node[below right] {$N$};
		\draw (P)node[above] {$P$};
		\draw (Q)node[above left] {$Q$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
		\draw[thick](M)--(N)--(P)--(Q)--(M);		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Si $x=4$ alors $MNPQ$ se confond avec $AMCP$.
	
	Or $\left\{ \begin{array}{l}
	(AM)\\(CP), \text{ car $ABCD$ parallélogramme}\\
	AM=CP=x, \text{ par construction}
	\end{array} \right.$
	
	donc $MNPQ$ est un parallélogramme.
	
	\medskip
	L'aire du parallélogramme $AMCP$ est, avec $H$ le projeté orthogonal de $P$ sur $(AB)$
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(AMCP) &= PH \times AM\\
	&= AD\times x\\
	&= 4\times 4\\
	&= 16
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Choisir une valeur de $x$ dans l’intervalle $]0, 4[$ et construire la figure correspondante. Quelle est la nature du quadrilatère $MNPQ$?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Pour $x=2$ nous obtenons la figure 
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\x{2};
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (6.5,0);
		\coordinate (C) at (6.5,4);
		\coordinate (D) at (0,4);
		\coordinate (M) at (\x,0);
		\coordinate (N) at (6.5,\x);
		\coordinate (P) at ({6.5-\x},4);
		\coordinate (Q) at (0,{4-\x});
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (M)node {$\bullet$};
		\draw (N)node {$\bullet$};
		\draw (P)node {$\bullet$};
		\draw (Q)node {$\bullet$};
		\draw (A) node[below left] {$A$};
		\draw (B)node[below right] {$B$};
		\draw (C)node[above right] {$C$};
		\draw (D)node[above left] {$D$};
		\draw (M)node[below] {$M$};
		\draw (N)node[below right] {$N$};
		\draw (P)node[above] {$P$};
		\draw (Q)node[above left] {$Q$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
		\draw[thick](M)--(N)--(P)--(Q)--(M);		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Démontrons que $MNPQ$ est un parallélogramme
	
	\medskip
	$AMQ$ est rectangle en $A$ car $ABCD$ est un rectangle. Donc, d'après le théorème de Pythagore nous avons l'égalité \[ MQ^2=AM^2+AQ^2 \]
	Autrement dit \[MQ^2=x^2+(4-x)^2 \]
	et comme $MQ$ est une longueur, donc est positive, \[ MQ= \sqrt{x^2+(4-x)^2 } \]
	
	\medskip
	En considérant $CPN$ nous obtiendrions de même: \[ PN= \sqrt{x^2+(4-x)^2 } \]
	
	\medskip
	En procédant de même avec les triangles $DQP$ et $BNM$ nous établirions \[ MN=PQ=\sqrt{(6,5-x)^2+x^2}\]
	
	\medskip
	Ainsi $MNPQ$ est un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés ont même longueur deux à deux.
	
	\medskip
	Pour obtenir un résultat qui démontre aussi le fait que le quadrilatère est non croisé il est possible de travailler dans le repère orthonormé $\left( A ,\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}, \frac{1}{AD}\overrightarrow{AD} \right)$ et de démontrer que, par exemple, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$.
	
	\end{correction}
	
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		On suppose que $0 < x < 4$. Exprimer l'aire de $MNPQ$ en fonction de $x$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		L'aire de $MNPQ$ est celle de $ABCD$ ôtée de celles des triangles $BNM$, $CPN$, $DQP$ et $AMQ$
		\begin{align*}
		\mathcal{A}(MNPQ) &= \mathcal{A}(MNPQ)-\mathcal{A}(BNM)-\mathcal{A}(CPN)-\mathcal{A}(DQP)-\mathcal{A}(AMQ)\\
		\intertext{Les triangles étant tous rectangles leurs aires se calculent aisément:}
		\mathcal{A}(MNPQ) &= 4\times 6,5 -\frac{1}{2}(6,5-x)\times x-\frac{1}{2}(4-x)\times x -\frac{1}{2}(6,5-x)\times x-\frac{1}{2}(4-x)\times x\\
		&=26-(6,5-x)\times x-(4-x)\times x\\
		\intertext{Donnons une expression développée, réduite et ordonnée de l'expression polynomiale}
		\mathcal{A}(MNPQ) &= 26-(6,5x-x^2)-(4x-x^2)\\
		&=26-6,5x+x^2-4x+x^2\\
		&= 26+2x^2-6,10,5x\\
		&= 2x^2-10,5x+26
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		La formule obtenue en (a) fournit-elle le bon résultat si on l’applique à $x = 0$ ? à $x = 4$ ?
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Pour $x=0$ l'aire est celle de $ABCD$ et pour $x=4$ l'aire a été calculé à l première question. 
		\begin{align*}
		2\times 0^2-10,5\times 0+26 &= 26\\
		2\times 4^2-10,5\times 4 +26 &= 16
		\end{align*}
		
		La formule fournit le bon résultat.
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	L’une des quatre courbes ci-dessous représente la variation de l'aire de $MNPQ$ en fonction de $x$. Laquelle ?
	\begin{figure}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xA{-0.5};
	\def\yA{-0.5};
	\def\xB{8.5};
	\def\yB{7};
	\coordinate (A) at (\xA,\yA);
	\coordinate (B) at (\xB,\yB);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
	\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick](0,6.5)--(8,4);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\caption{~}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xA{-0.5};
	\def\yA{-0.5};
	\def\xB{8.5};
	\def\yB{5.5};
	\coordinate (A) at (\xA,\yA);
	\coordinate (B) at (\xB,\yB);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
	\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{(1/4)*(2*(\x /2)*(\x /2) -10.5*(\x /2) +26)-1.5});
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\caption{~}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xA{-0.5};
	\def\yA{-0.5};
	\def\xB{8.5};
	\def\yB{7};
	\coordinate (A) at (\xA,\yA);
	\coordinate (B) at (\xB,\yB);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
	\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{(1/4)*(2*(\x /2)*(\x /2) -10.5*(\x /2) +26)});
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\caption{~}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xA{-0.5};
	\def\yA{-0.5};
	\def\xB{8.5};
	\def\yB{7};
	\coordinate (A) at (\xA,\yA);
	\coordinate (B) at (\xB,\yB);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
	\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick](0,6.5)--(6,2.5)--(8,4);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\caption{~}
	\end{figure}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Puisque l'énoncé affirme que l'une des courbes convient procédons par élimination. 
	
	$\mathcal{A}(MNPQ)$ est une fonction polynomiale de degré donc sa courbe représentative est une parabole les figures 1 et 4 sont donc à exclure.
	
	$\mathcal{A}(MNPQ))=26$ donc la figure 2 est à exclure. 
	
	Ainsi la courbe de la figure 3 représente les variations de l'aire de $MNPQ$ en fonction de $x$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer par lecture graphique sur cette courbe:
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		au demi-centimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de $MNPQ$ est minimale.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xA{-0.5};
	\def\yA{-0.5};
	\def\xB{8.5};
	\def\yB{7};
	\coordinate (A) at (\xA,\yA);
	\coordinate (B) at (\xB,\yB);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
	\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{(1/4)*(2*(\x /2)*(\x /2) -10.5*(\x /2) +26)});
	\coordinate (M) at ({2*2.625},{(1/4)*(2*(2.625 )*(2.625 ) -10.5*(2.625 ) +26)});
	\draw (M) node{$\times$};
	\coordinate (H) at ({2*2.625},0);
	\draw (H) node{$\times$};
	\draw (H) node[above right]{$2,6$};
	\draw[blue, dashed] (H)--(M);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
		
		Par lecture graphique l'aire est minimale pour $x\approx 2,6$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		au centimètre carré près, la valeur de l’aire minimale.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xA{-0.5};
	\def\yA{-0.5};
	\def\xB{8.5};
	\def\yB{7};
	\coordinate (A) at (\xA,\yA);
	\coordinate (B) at (\xB,\yB);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0);
	\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{(1/4)*(2*(\x /2)*(\x /2) -10.5*(\x /2) +26)});
	\coordinate (M) at ({2*2.625},{(1/4)*(2*(2.625 )*(2.625 ) -10.5*(2.625 ) +26)});
	\draw (M) node{$\times$};
	\coordinate (H) at (0,{(1/4)*(2*(2.625 )*(2.625 ) -10.5*(2.625 ) +26)});
	\draw (H) node{$\times$};
	\draw (H) node[above right]{$12,2$};
	\draw[blue, dashed] (H)--(M);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
		
		Par lecture graphique l'aire minimale est approximativement $12\ \mathrm{cm}^2$.
		
		\end{correction}
				
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Dans cette question on utilise un tableur pour étudier l’aire du quadrilatère $MNPQ$ en fonction de $x$. Différentes valeurs de $x$ sont inscrites sur la ligne $1$.
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2012_maths_externe_sujet3_image_tableur.png}
	\end{center}
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Donner une formule qui, entrée dans la cellule \texttt{B}2, puis recopiée vers la droite, a pu permettre de compléter la ligne $2$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Dans la cellule \texttt{B}2 il faut utiliser la formule $=2*\texttt{B}1*\texttt{B}1-10,5*\texttt{B}1 +26$.
		
		\end{correction}
		
		\item Entre $0$ et $4$ $x$ peut prendre une infinité de valeurs. Le tableur ne nous montre que quelques valeurs. Nous ne pouvons donc pas affirmer de façon certaine la valeur du minimum.

		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que l'on peut exprimer l'aire de $MNPQ$ trouvée à la question 3 sous la forme: \[ \mathrm{Aire}(MNPQ)=2\left( x-\frac{21}{8} \right)^2 +\frac{391}{32} \]
	En déduire la valeur de l’aire minimale de $MNPQ$ et la valeur de $x$ à laquelle elle correspond.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Montrons que la formule proposée par l'énoncé convient en la développant, en la réduisant puis en l'ordonnant
	\begin{align*}
	2\left( x-\frac{21}{8} \right)^2 +\frac{391}{32} &= 2\left( x^2-2\times x \times \frac{21}{8} +\left( \frac{21}{8} \right)^2 \right)^2+frac{391}{32}\\
	&= 2\left( x^2-\frac{21}{4}x+\frac{21^2}{8^2}\right) +\frac{391}{32}\\
	&= 2x^2-\frac{21}{2}x+\frac{441}{32}+\frac{391}{32}\\
	&= 2x^2-10,5x+\frac{441+391}{32}\\
	&= 2x^2-10,5x+26\\
	&= \mathrm{Aire}(MNPQ)
	\end{align*}
	
	La valeur minimale de l'aire est donc $\frac{391}{32}\approx 12,22$ et elle est atteinte pour $x=\frac{21}{8}=2,625$.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice 2 (4 points).}

\begin{sujet}

Dans cet exercice, sept affirmations sont proposées. Pour chacune d’elles, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
\emph{Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.}

\emph{Une réponse fausse n’enlève pas de point.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Depuis 5 ans, les prix augmentent de $10\%$ par an.
	
	\textbf{Affirmation 1}: En 5 ans, les prix ont augmenté de $50\%$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Il y a 5 évolutions successives correspondant chacune à une augmentation de $10\%$. Le coefficient multiplicateur correspondant est donc \[ CM=1+\frac{10}{100}=1,1 \]
	Le coefficient multiplicateur global correspondant à 5 évolutions est donc \[ CM_g=1,1\times 1,1\times 1,1\times 1,1\times 1,1=1,1^5= 1,61051 \]
	Donc le pourcentage d'évolution global est \[ t_g=100\times (CM_g-1)=61,051 \% \]
	L'affirmation 1 est donc fausse.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Affirmation 2}: En versant 5 volumes de sirop de fraise dans 9 volumes d’eau, on aura une boisson plus sucrée que si l’on verse 4 volumes du même sirop dans 7 volumes d’eau.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	La proportion de sirop dans le premier mélange est \[ \frac{5}{5+9}=\frac{5}{14} \]
	La proportion de sirop dans le second mélange est \[ \frac{4}{7+4}=\frac{4}{11} \]
	Or \[ \frac{5}{14}-\frac{4}{11}=\frac{5\times 11 -4\times 14}{11\times 14 }=\frac{55-56}{11\times 14}=-\frac{1}{11\times 14}<0 \]
	donc le second mélange est plus sucré que le premier.
	
	L'affirmation 2 est fausse.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On utilise une roulette (de type casino) avec 5 cases numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Cette roulette est truquée. Le tableau ci-dessous précise la probabilité d’obtenir chacun des numéros (où $p$ est un nombre positif).
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	Nombre obtenu & 1 &2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
	Probabilité & $\frac{1}{4}$ & $p$ & $p$ & $\frac{3}{8}$ & $p$ \\ \hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\textbf{Affirmation 3}: On a autant de chances d’obtenir un nombre pair qu’un nombre impair.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Puisque le tableau est une distribution de probabilité la somme des probabilités égale 1 \[ \frac{1}{4}+p+p+\frac{3}{8}+p=1\]
	Équation du premier degré que nous résolvons en \[ p=\frac{1}{8} \]
	Or la probabilité d'un événement, si l'univers est fini, est la somme des probabilités des issues qui le réalise donc \[P(\text{pair})=p+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
	et \[ P(\text{impair})=\frac{1}{4}+p+p=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
	
	\medskip
	L'affirmation 3 est vraie.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Affirmation 4}: La différence entre les carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres entiers.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Soit $n\in\mathbb{N}$. 
	\begin{align*}
	(n+1)^2-n^2 &= n^2+2\times n \times 1+1^2-n^2\\
	&= 2n+1\\
	&= n +(n+1)
	\end{align*}
	
	\medskip
	L'affirmation 4 est vraie.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Affirmation 5}: Si on augmente l’arête d’un cube de $10\ \%$, alors le volume de ce cube augment de $33,1\ \%$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Augmenter l'arête de $10\ \%$ revient à multiplier sa longueur par $1+\frac{10}{100}=1,2$. Son volume sera alors de \[ V=1,1\times 1,1\times 1,1=1,1^3=1,331 \]
	Le pourcentage d'augmentation du volume est donc \[ 100\times \frac{	1,331-1}{1}=33,1\ \% \]
	
	\medskip
	L'affirmation 5 est vraie.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	En position dite de \og l’œuf \fg{}, un skieur augmente de $50\ \%$ sa vitesse moyenne et descend ainsi la piste à $120\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
	
	\textbf{Affirmation 6}: Sans cette technique, sa vitesse moyenne n’est donc que de $60 \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$60\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ augmenté de $50\ \%$ est \[ 60\times \left( 1+\frac{50}{100} \right)=90 \]
	
	L'affirmation 6 est donc fausse.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Sur la figure ci-dessous, $C$ est un point du demi-cercle de diamètre $[AB]$.
	
	\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (-3,0);
		\coordinate (B) at (3,0);
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (H) at ({3*cos(110)},0);
		\coordinate (C) at ({3*cos(110)},{3*sin(110)});
		\draw (A)node{$\bullet$};
		\draw (B)node{$\bullet$};
		\draw (O)node{$\bullet$};
		\draw (H)node{$\bullet$};
		\draw (C)node{$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (O)node[below]{$O$};
		\draw (H)node[below]{$H$};
		\draw (C)node[above]{$C$};
		\draw[blue,thick](A)--(B);
		\draw[blue,thick](A)--(C);
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x)});
		\draw[blue,thick] (C)--(H);
		\draw[thin] ({3*cos(110)+0.3},0)--({3*cos(110)+0.3},0.3);
		\draw[thin] ({3*cos(110)},0.3)--({3*cos(110)+0.3},0.3);		
	\end{tikzpicture}
	
	\end{center}
	
	\textbf{Affirmation 7}: Si $AB = n$ et $AH = 1$ , alors $AC = n$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$AHC$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ AH^2+HC^2=AC^2 \]
	donc \[ HC^2=AC^2-AH^2 \]
	$OHC$ est rectangle en $H$ donc , d'après le théorème de Pythagore \[ OH^2+HC^2=OC^2 \]
	donc \[HC^2=OC^2-OH^2 \]
	Par transitivité 
	\begin{align*}
	AC^2-AH^2 &= OC^2-OH^2 \\
	AC^2-1 &= \left( \frac{n}{2} \right)^2-\left( \frac{n}{2}-1 \right) ^2\\
	AC^2 &= \frac{1}{4}n^2-\left( \frac{1}{4}n^2-n+1 \right) +1\\
	AC^2 &= n\\
	\intertext{Comme $AC$ st une longueur donc positive}
	AC &= \sqrt{n}
	\end{align*}
	
	\medskip
	L'affirmation 7 est vraie.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}


\subsection{\color{purple}Exercice 3 (3 points).}

\begin{sujet}

L'ove est une figure géométrique, constituée de quatre arcs de cercle, dont la forme fait penser à un œuf.

On a représenté ci-dessous un ove $BCEF$ (la figure n’est pas en vraie grandeur).

Pour cet ove on sait que:
	\begin{itemize}
	\item La partie supérieure de l’ove est un demi-cercle de diamètre $[BC]$ avec $BC = 10\ \mathrm{cm}$ et le reste de la figure est dans le demi-plan de frontière $(BC)$ ne contenant pas ce demi-cercle.
	\item $D$ est le point de ce demi-plan tel que le triangle $BCD$ soit isocèle et rectangle en $D$.
	\item L'arc de cercle $\overset{\frown}{CE}$ a pour centre $B$ avec $BDE$ alignés.
	\item L'arc de cercle $\overset{\frown}{FB}$ a pour centre $C$ avec $CDF$ alignés.
	\item L'arc de cercle $\overset{\frown}{EF}$ a pour centre $D$.
	\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,0);
		\coordinate (C) at (-5,0);
		\coordinate (D) at (0,{5*tan(135)});
		\coordinate (E) at ({10*cos(225)+5},{10*sin(225)});
		\coordinate (F) at ({10*cos(-45)-5},{10*sin(-45)});
		%\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (E)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		%\draw (D)node {$\bullet$};
		%\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[right]{$B$};
		\draw (C)node[left]{$C$};
		\draw (E)node[below left]{$E$};
		\draw (F)node[below right]{$F$};
		%\draw (D)node[above right]{$D$};
		%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-(\x*5*tan(135))/5 +5*tan(135)});
		%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{(\x*5*tan(135))/5 +5*tan(135)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({5*cos(\x)},{5*sin(\x)});	
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=180:225] plot({10*cos(\x)+5},{10*sin(\x)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-45:0] plot({10*cos(\x)-5},{10*sin(\x)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=225:315] plot({( (10*cos(225)+5)^(2) +(10*sin(225)-5*tan(135))^(2) )^(0.5) *cos(\x)},{( (10*cos(225)+5)^(2) +(10*sin(225)-5*tan(135))^(2) )^(0.5) *sin(\x)+5*tan(135)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Construire en vraie grandeur l’ove ainsi définie.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{center}
\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,0);
		\coordinate (C) at (-5,0);
		\coordinate (D) at (0,{5*tan(135)});
		\coordinate (E) at ({10*cos(225)+5},{10*sin(225)});
		\coordinate (F) at ({10*cos(-45)-5},{10*sin(-45)});
		%\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (E)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		%\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[right]{$B$};
		\draw (C)node[left]{$C$};
		\draw (E)node[above]{$E$};
		\draw (F)node[above]{$F$};
		\draw (D)node[right]{$D$};
		\draw[dashed](B)--(C);
		\draw[dashed][samples=100,domain=-8:5] plot(0,{\x});
		\draw[thin](-0.3,0)--(-0.3,-0.3);
		\draw[thin](0,-0.3)--(-0.3,-0.3);
		\draw[dashed][samples=100,domain=180:360] plot({5*cos(\x)},{5*sin(\x)});
		\draw[dashed][samples=100,domain=-3:5] plot(\x,{-(\x*5*tan(135))/5 +5*tan(135)});
		\draw[dashed][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{(\x*5*tan(135))/5 +5*tan(135)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({5*cos(\x)},{5*sin(\x)});	
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=180:225] plot({10*cos(\x)+5},{10*sin(\x)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-45:0] plot({10*cos(\x)-5},{10*sin(\x)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=225:315] plot({( (10*cos(225)+5)^(2) +(10*sin(225)-5*tan(135))^(2) )^(0.5) *cos(\x)},{( (10*cos(225)+5)^(2) +(10*sin(225)-5*tan(135))^(2) )^(0.5) *sin(\x)+5*tan(135)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Calculer le périmètre de l’ove construit à la question précédente (on donnera le résultat arrondi au millimètre).
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\emph{Le plus simple est de considérer directement les angles en radians. Il est néanmoins possible de raisonner avec les angles degrés.}
	
	\medskip
	L'arc $\overset{\frown}{BC}$ est la moitié d'un cercle de rayon de longueur 5, sa longueur est donc \[ \frac{2\pi \times 5}{2}=5\pi \]
	$\widehat{CBD}=45^{\circ}$ donc, par proportionnalité, l'arc $\overset{\frown}{CE}$ mesure \[ \frac{45}{360}\times 2\pi \times 10=\frac{5}{4}\pi \]
	De même l'arc $\overset{\frown}{FB}$ mesure \[\frac{5}{4}\pi \]
	
	\medskip
	Pour calcule la longueur de  l'arc $\overset{\frown}{EF}$, calculons $DE$.
	
	\medskip
	$DBC$ est isocèle-rectangle en $D$, donc, d'après le théorème de Pythagore, \[ 2DB^2=CB^2\]
	Donc \[ DB= \sqrt{\frac{10^2}{2}}=5\sqrt{2} \]
	Or $BE=10$ et $D\in [BE]$ donc $DE=BE-BD=10-5\sqrt{2}$
	Nous en déduisons la longueur de l'arc  $\overset{\frown}{EF}$ \[ \frac{\pi}{2}(10-5\sqrt{2}) \]
	
	\medskip
	Finalement le périmètre de l'ove est \[ 5\pi+2\times \frac{5}{4}\pi+\frac{\pi}{2}(10-5\sqrt{2}) \approx 28,2\ \mathrm{mm} \]
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}



\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
