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%########
% Packages #
%########

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\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écritur décimale des nombres

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\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

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\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

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\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

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%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
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#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques sujet 2 ]{\small Mathématiques sujet 2 }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small CRPE 2012 - \thepage]{\small CRPE 2012 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
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%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{CRPE épreuve de mathématique 2012 groupe 2.}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1. \hfill (3 points)}

\begin{sujet}
\emph{Dans cet exercice, 5 affirmations sont proposées. Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.}

\emph{Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.}

\emph{Une réponse fausse n’enlève pas de point.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Soient $a$ et $b$ deux nombres strictement positifs.
	
	\textbf{Affirmation 1}: $\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{a+b}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Si $a=9$ et $b=16$ alors $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ et $\sqrt{a+b}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
	
	\medskip
	L'affirmation 1 est fausse.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $a$ un nombre strictement supérieur à $1$.
	
	\medskip
	\textbf{Affirmation 2}: Si les longueurs des côtés d’un triangle sont $a$, $\frac{1}{2} (a^2-1)$ et $\frac{1}{2}(a^2+1)$, alors ce triangle est rectangle.
	
	\end{sujet}

	\begin{correction}
	
	Nous remarquons 
	\begin{align*}
	a^2+\left[ \frac{1}{2} (a^2-1) \right]^2 &= a^2 +\frac{1}{4}(a^2-1)^2 \\
	&= a^2+\frac{1}{4}(a^4-2a^2+1)\\
	&= a^2+\frac{1}{4}a^4-\frac{1}{2}a^2+1\\
	&= \frac{1}{4}a^4 +\frac{1}{2}a^2+1\\
	&= \frac{1}{4}(a^4+2a^2+1)\\
	&= \left[\frac{1}{2}(a^2+1) \right]^2
	\end{align*}
	
	D'après le théorème de Pythagore nous pouvons affirmer que ce triangle est rectangle.
	
	\medskip
	L'affirmation 2 est vraie.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
	
	\medskip
	\textbf{Affirmation 3}: La probabilité d’obtenir pile à l’un des deux lancers et face à l’autre est $\frac{1}{3}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[*]
		\item Épreuve de Bernoulli.
		
		Expérience: lancer une pièce parfaitement équilibrée.
		
		Succès: \og obtenir pile \fg{}.
		
		Probabilité de succès: $p=0,5$.
		
		\item Schéma de Bernoulli.
		
		La précédente épreuve de Bernoulli est répétée $n=2$ fois à l'identique et de façon indépendante. Donc il s'agit d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n=2$ et $p=0,5$.
		
		\item Loi binomiale.
		
		Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenus. $X$ compte le nombre de succès du schéma de Bernoulli, donc $X$ suit une loi binomiale: $X\hookrightarrow \mathcal{B}(2;0,5)$.
		\end{enumerate}
	
	Obtenir face à l'un des lancers et pile à l'autre est l'événement $(X=1)$.
	
	Or
	\begin{align*}
	P(X=1) &= \binom{2}{1} p^1\times (1-p)^{(2-1)}\\
	&=2\times 0,5\times 0,5\\
	&= \frac{1}{2}
	\end{align*}
	
	Nous pourrions également représenter la situation par un arbre probabiliste:
	
		\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A2) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-2);
		\coordinate (A4) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,-0.8);
		\coordinate (B2) at (1.6,-2.4);
		\coordinate (C1) at (0,-1.6);
		\draw node (A11) at (A1) {$p$};
		\draw node (A12) at (A2) {$f$};
		\draw node (A13) at (A3) {$p$};
		\draw node (A14) at (A4) {$f$};
		\draw node (B11) at (B1) {$p$};
 		\draw node (B12) at (B2) {$f$};
		\draw node (C11) at (C1){};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous voyons sur l'arbre \[ P(X=2)=P(pf)+P(fp) \]
	
	Or, d'après le principe multiplicatif: $P(pf)=P(fp)=0,5\times 0,5$, donc \[ P(X=2)=2\times 0,5\times 0,5= \frac{1}{2} \]
	
	\medskip
	L'affirmation 3 est fausse.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Un article a le même prix dans deux magasins A et B.
	
	Dans le magasin A, le prix de l’article subit successivement une baisse de $20\%$ puis une hausse de $20\%$.
	
	Dans le magasin B, le prix de l’article subit successivement une hausse de $20\%$ puis une baisse de $20\%$.
	
	\medskip
	\textbf{Affirmation 4}: À la suite de ces modifications de prix, il est plus rentable d’acheter alors l’article dans le magasin A que dans le magasin B.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Calculons les évolutions globales dans chacun des magasins en utilisant les coefficients multiplicateurs.
	
		\begin{enumerate}[*]
		\item $CM_A=\left( 1-\frac{20}{100} \right) \left( 1+\frac{20}{100} \right)=0,96$. Le taux d'évolution global est donc $0,96-1=-0,04$ autrement dit il s'agit d'une baisse de $4\%$.
		\item De même $CM_B=\left( 1+\frac{20}{100} \right)\left( 1-\frac{20}{100} \right)=0,96$. Le taux d'évolution global est donc $0,96-1=-0,04$ autrement dit il s'agit d'une baisse de $4\%$.
		\end{enumerate}
	
	Les prix après les évolutions sont encore les mêmes dans les deux boutiques.
	
	\medskip
	L'affirmation 4 est fausse.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	La longueur du côté d’un carré augmente de $5\%$.
	
	\medskip
	\textbf{Affirmation 5}: le périmètre du carré augmente de $20\%$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Le périmètre d'un carré de côté de longueur $c$ est $4c$. Si $c$ augmente $5\%$ alors la nouvelle longueur du côté est $c\times \left( 1+\frac{5}{100} \right) =1,05\times c$. Donc le nouveau périmètre du carré est $4\left( 1,05\times c\right)=1,05\left( 4\times c \right)$. Autrement dit le périmètre a été augmenté lui aussi de $5\%$.
	
	\medskip
	L'affirmation 5 est fausse.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2.\hfill (5 points)}

\begin{sujet}

\emph{On justifiera toutes les réponses.}

\medskip
On appelle \og fraction égyptienne \fg{} toute fraction de la forme $\frac{1}{n}$, $n$ désignant un nombre entier naturel non nul. Dans l’Egypte ancienne, on n’écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à $1$ que sous la forme de sommes de \og fractions égyptiennes \fg{} toutes différentes.
\begin{center}
Par exemple, $\frac{25}{28}$ peut s’écrire $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}$.
\end{center}
Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en somme de \og fractions égyptiennes \fg{} toutes différentes.

\end{sujet}

\textbf{Partie A: Exemples.}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Calculer la somme des six \og fractions égyptiennes \fg{} $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{32}$ et $\frac{1}{64}$.
	
	\end{sujet}
	 
	\begin{correction}
	 
	\begin{align*}
	\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} &= \frac{32\times 1}{32\times 2}+\frac{16\times 1}{16\times 4}+\frac{8\times 1}{8\times 8}+\frac{4\times 1}{4\times 16}+\frac{2\times 1}{2 \times 32}+\frac{1}{64} \\
	&= \frac{32+16+8+4+2+1}{64}\\
	&= \frac{63}{64}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Décomposer $\frac{5}{8}$ en somme de \og fractions égyptiennes\fg{} toutes différentes, dont les dénominateurs sont tous des puissances de $2$.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$\frac{5}{8}=\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B: Présentation d’une méthode de décomposition dans un cas particulier.}

\begin{sujet}

On s’intéresse au cas où la fraction à décomposer a un numérateur égal à $2$ et un dénominateur égal au produit de deux nombres entiers naturels impairs $p$ et $q$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Démontrer la formule \[ \frac{2}{pq}=\frac{1}{p\left( \frac{p+q}{2}\right)}+\frac{1}{q\left( \frac{p+q}{2}\right)} \]
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{align*}
	\frac{1}{p\left( \frac{p+q}{2}\right)}+\frac{1}{q\left( \frac{p+q}{2}\right)} &= \frac{q}{pq\left( \frac{p+q}{2}\right)} + \frac{p}{pq\left( \frac{p+q}{2}\right)}\\
	&=\frac{p+q}{pq\left( \frac{p+q}{2}\right)}\\
	&= \frac{1}{\frac{1}{2}pq}\\
	&= \frac{2}{pq}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Justifier que les dénominateurs des fractions précédentes sont des nombres entiers naturels.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}

	Puisque $p$ et $q$ sont impairs $p+q$ est paire, donc divisible par 2. Ainsi $\frac{p+q}{2}$ est une entier naturel.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{En utilisant la formule établie à la question 1)}, trouver deux décompositions différentes de $\frac{2}{15}$ en somme de \og fractions égyptiennes \fg différentes.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Puisque $15=1\times 15$, d'après la question précédente \[ \frac{2}{15}=\frac{1}{1\times \frac{1+15}{2}}+\frac{1}{15\times \frac{1+15}{2}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{120}\]
	
	Puisque $15=3\times 5$, d'après la question précédente \[ \frac{2}{15}=\frac{1}{3\times \frac{3+5}{2}}+\frac{1}{5\times \frac{3+5}{2}}=\frac{1}{12}+\frac{1}{20} \]
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $n$ un nombre entier naturel non nul. Donner une décomposition de la fraction $\frac{2}{2n+1}$ en somme de deux \og fractions égyptiennes \fg{} différentes.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Puisque $2n+1=1\times (2n+1)$, d'après les questions précédentes \[\frac{2}{2n+1}=\frac{1}{1\times \frac{1+(2n+1)}{2}}+\frac{1}{(2n+1)\times \frac{1+(2n+1)}{2}}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(2n+1)(n+1)} \]
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie C: \og Algorithme glouton \fg{} de Fibonacci.}

\begin{sujet}

En 1201, Léonard de Pise (1175-1250), dit \og Fibonacci \fg{}, prouva que tout nombre rationnel compris entre $0$ et $1$ peut s'écrire sous la forme d'une somme de \og fractions égyptiennes \fg toutes différentes et proposa la méthode suivante pour obtenir une telle décomposition:

\medskip
\og Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible qui lui est inférieure, répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne 0. \fg{}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Appliquer cet algorithme à $\frac{13}{81}$ et donner une décomposition de la fraction $\frac{13}{81}$ en somme de trois \og fractions égyptiennes \fg toutes différentes.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Dire que $\frac{1}{n}$ est la plus grande fraction qui soit inférieure à $\frac{13}{81}$ c'est dire que $n$ est le plus petit entier naturel non nul tel que $\frac{1}{n}\le \frac{13}{81}$.
		
		Or \[	\frac{1}{n}\le \frac{13}{81} \Leftrightarrow \frac{81}{13} \le n \] et \[ 81=13\times 6+3 \]
		donc $7\le n$.
		
		\item $\frac{13}{81}-\frac{1}{7}=\frac{13\times 7 -1\times 81}{81\times 7}=\frac{10}{567}$.
		
		Nous recherchons à nouveau le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $\frac{1}{n}\le \frac{10}{567}$.
		
		Donc: $\frac{567}{10}\le n$ et enfin $57\le n$.
		
		\item $\frac{10}{567}-\frac{1}{57}=\frac{10\times 57 -1\times 567}{567\times 57}=\frac{3}{\np{32319}}=\frac{1}{\np{10773}}$.
		
		\end{enumerate}
	
	En reprenant les calculs précédents nous obtenons avec l'algorithme de Fibonacci \[ \frac{13}{81}=\frac{1}{7}+\frac{1}{57}+\frac{1}{\np{10773}} \]
	
	\end{correction}
		
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Écrire $\frac{256}{81}$ sous la forme d’une somme d’un entier naturel et d’une fraction comprise entre $0$ et $1$.

		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Division euclidienne: $256=81\times 3+13$ donc \[ \frac{256}{81}=3+\frac{13}{81}\]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Proposer une écriture de l’approximation de $\pi$ donnée dans le papyrus Rhind sous forme d’une somme d’un nombre entier naturel et de \og fractions égyptiennes \fg{} toutes différentes.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		En utilisant de deux précédentes questions \[ \frac{256}{81}=3+\frac{1}{7}+\frac{1}{57}+\frac{1}{\np{10773}} \]
		
		Donc \[ \pi \approx 3+\frac{1}{7}+\frac{1}{57}+\frac{1}{\np{10773}} \]
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3. \hfill (4 points)}

\begin{sujet}

\emph{On justifiera toutes les réponses.}

\medskip
Un fabricant vend de la pâte d’amande dans un emballage cartonné ayant la forme d’un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral (voir la figure ci-dessous).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (A1) at (-0.5,0);
		\coordinate (B) at (6,0);
		\coordinate (C) at (9,1);
		\coordinate (D) at (3,1);
		\coordinate (E) at (1,3.5);
		\coordinate (E1) at (0.5,3.5);
		\coordinate (E2) at (1,4);
		\coordinate (F) at (7,3.5);
		\coordinate (F1) at (7,4);
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(F)--(E);
		\draw[blue, thick](E)--(A)node[midway]{\Large $\circ$};
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)node[midway]{\Large $\circ$};;
		\draw[blue, thick] (D)--(C);
		\draw[blue, thick](B)--(F);
		\draw[blue, thick](D)--(E)node[midway]{\Large $\circ$};
		\draw[>=latex,<->,thick] (A1)--(E1);
		\draw (-0.5,1.75) node{$x$};
		\draw[>=latex,<->,thick] (E2)--(F1);
		\draw (3.75,4.5) node{$h$};
		\draw[>=latex,<->,thick] (B)--(8,2.25);
		\draw (7,1.5) node{$d$};
		\draw (7.5,2.875) node{$//$};
		\draw (8.5,1.675) node{$//$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $x$ est la longueur d’un côté de la base triangulaire.
	\item $d$ est la hauteur de cette base triangulaire.
	\item $h$ est la hauteur du prisme droit.
	\end{enumerate}

Dans tout l’exercice, on exprime les longueurs en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3.

\begin{center}
\emph{Questions préalables}
\end{center}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Représenter sur la copie un patron de l’emballage pour les valeurs $x = 3\ \mathrm{cm}$ et $h = 6\ \mathrm{cm}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,-4.5);
		\coordinate (B) at (6,-4.5);
		\coordinate (C) at (6,-1.5);
		\coordinate (D) at (6,1.5);
		\coordinate (E) at (6,4.5);
		\coordinate (F) at (0,4.5);
		\coordinate (G) at (0,1.5);
		\coordinate (H) at (0,-1.5);
		\coordinate (I) at (-2.5981,0);
		\coordinate (J) at (8.5981,0);
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(H)--(G)--(D)--(E)--(F)--(A);
		\draw[blue, thick](E)--(B);
		\draw[blue, thick](H)--(I)--(G);
		\draw[blue, thick](C)--(J)--(D);
	   \draw [dashed,domain=200:220] plot ({3*cos(\x)}, {1.5+3*sin(\x)});
	   \draw [dashed,domain=140:170] plot ({3*cos(\x)}, {-1.5+3*sin(\x)});
	   \draw [dashed,domain=320:340] plot ({6+3*cos(\x)}, {1.5+3*sin(\x)});
	   \draw [dashed,domain=20:40] plot ({6+3*cos(\x)}, {-1.5+3*sin(\x)});
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On désigne par $A$ l’aire du triangle équilatéral de base. Montrer que \[ A=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 .\]
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Déterminons l'aire d'un triangle équilatéral de coté de longueur $a$.
	
	Pour cela commençons par calculer la longueur $d$ de la hauteur.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (-1.5,0);
		\coordinate (B) at (1.5,0);
		\coordinate (C) at (0,2.5981);
		\coordinate (H) at (0,0);
		\draw (-0.75,0)node[below]{$\frac{a}{2}$};
		\draw (0.25,1)node[below right]{$d$};
		\draw (-1.5,1)node[right]{$a$};
		\draw[blue, thick](A)--(H)--(C)--(A);
		\draw (H)--(B)--(C);
		\draw (-0.2,0)--(-0.2,0.2)--(0,0.2);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	D'après le théorème de Pythagore \[ \left( \frac{a}{2} \right)^2+d^2=a^2 \]
	Nous en déduisons successivement
	\begin{align*}
	d^2 &= a^2-\frac{1}{4}a^2\\
	&= \frac{3}{4}a^2\\
	\intertext{Puis $a$ et $d$ étant positifs}
	d &= \frac{\sqrt{3}}{2}a
	\end{align*}
	
	\medskip
	Nous en déuisons l'aire du triangle équilatéral
	\begin{align*}
	A &= \frac{1}{2}a\times d \\
	&=\frac{1}{2}a\times\frac{\sqrt{3}}{2}a\\
	&= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
\begin{sujet}

\begin{center}
Dans la suite du problème, les emballages ont un volume égale à $\mathbf{100\ \mathrm{\mathbf{cm}}^3}$.
\end{center}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		 
		Donner l'expression de $h$ en fonction de $x$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Le volume du prisme délimité par l'emballage est \[ 100= h\times A\]
		ce qui équivaut successivement à 
		\begin{align*}
		100 &= h\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \\
		h &= \frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 }\\
		h &= \frac{400}{\sqrt{3}x^2}
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire que l'aire $S$ du patron de cet emballage, exprimée en $\mathrm{cm}^2$, est donnée par la formule \[ S=\frac{400\sqrt{3}}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}x^2.\]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{align*}
		S &= 2A+3\times x\times h\\
		&= 2\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3x\frac{400}{\sqrt{3}x^2}\\
		&= \frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{400\sqrt{3}}{x}\\
		&= \frac{400\sqrt{3}}{x} + \frac{\sqrt{3}}{2}x^2
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On a construit une feuille de calcul reproduite ci-après, donnant les valeurs de $S$ en fonction des valeurs de $x$, ainsi que la représentation graphique de $S$ en fonction de $x$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Donner une méthode permettant de remplir la colonne \texttt{A} (de la ligne 2 à 35) en utilisant la fonction de \og recopie vers le bas \fg{}.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Il faut mettre $0,5$ en cellule \texttt{A}2 puis mettre en \texttt{A}3 la formule \[ =\texttt{A}2+0,5 \]
		
		Puis par recopie vers le bas de la cellule \texttt{A}3 nous obtiendrons le colonne \texttt{A}.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Donner une formule qui, entrée dans la cellule \texttt{B}2, puis recopiée vers le bas, permet de compléter la colonne \texttt{B} (de \texttt{B}3 à \texttt{B}35).
		
		Indication: pour calculer $\sqrt{3}$ dans le tableur, on fait appel à la commande: \og racine(3) \fg{}.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Formule entrée en \texttt{B}2: \[ =400*\mathrm{racine}(3)/ \texttt{A}2+\mathrm{racine}(3)*\texttt{A}2*\texttt{A}2/2 \]
		
		\end{correction}
		
		\begin{sujet}
		
		\begin{center}
		
		\emph{Le fabricant souhaite minimiser la quantité de carton utilisée.}
		
		\end{center}
		
		\end{sujet}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En utilisant les résultats de la feuille de calcul reproduite ci-après, donner à $0,5\ \mathrm{cm}$ près la valeur de $x$ qui minimise la quantité de carton utilisée pour l’emballage.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		D'après le tableur le minimum de $S$ (qui semble proche de $141,09$) est atteint lorsque $x$ est proche de $7,5$.
		
		\end{correction}

		\item \begin{sujet}
		
		Calculer la hauteur de l’emballage pour cette valeur approchée de $x$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{align*}
		S(7,5) &= \frac{400\sqrt{3}}{7,5}+\frac{\sqrt{3}}{2}7,5^2\\
		\intertext{Avec la calculatrice:}
		S(7,5) &\approx 141,09
		\end{align*}
		
		\end{correction}

		\end{enumerate}

	\end{enumerate}

\begin{center}
\emph{FEUILLE DE CALCUL}

\medskip
\includegraphics[scale=0.38]{crpe_2012_maths_externe_sujet2_image_tableur.png}
\end{center}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
