%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écritur décimale des nombres

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\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=formname,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!15, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
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#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques sujet 1 ]{\small Mathématiques sujet 1 }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small CRPE 2012 - \thepage]{\small CRPE 2012 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicesdumanuel}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{CRPE épreuve de mathématique 2012 groupe 1.}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1.}

	\begin{enumerate}
	\item $\frac{1}{4}<\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.
	
	\medskip
	L'affirmation 1 est fausse.
	
	\item La somme des chiffres du numérateur égale $30$ qui est divisible par 3, donc le numérateur est divisible par 3.
	
	La somme des chiffres du dénominateur égale $39$ qui est divisible par 3, donc le numérateur est divisible par 3.
	
	$3$ est diviseur commun aux numérateur et dénominateur donc la fraction n'est pas irréductible.
	
	\medskip
	L'affirmation 2 est vraie.
	
	\item L'univers constitué des chocolats comporte $35+20=55$ issues. Toutes ces issues sont équiporbables (\og indiscernables au toucher\fg{}). L'événement $A$:\og le chocolat extrait est blanc peut être réalisé par $20$ issues. Nous en déduisons la probabilité \[ P(A)=\frac{20}{35}=\frac{4}{7} \]
	
	\item Le taux d'évolution en pourcentage entre 2009 et 2008 est \[t\%=100\times \frac{32,8-25}{25}=31,2\% \]
	
	Le pourcentage de l'article est probablement le pourcentage de baisse entre 2008 et 2009.
	
	\medskip
	L'affirmation 4 est fausse.
	
	\item Travaillons par conditions nécessaires et suffisantes.
	
	Supposons donc qu'il existe $n$ tel que décrit dans l'énoncé.
	
	Procédons aux divisions euclidiennes $\np{11000}= 545\times 20+100$
	
	et $\np{12000}=545\times 22+10$
	
	Ainsi le $n$ recherché, s'il existe, ne peut être que $545\times 21 =\np{11445}$ et $545\times 22 =\np{11990}$.
	
	Supposons dorénavant que $n=\np{11445}$ ou $n=\np{11990}$. Recherchons les diviseurs de ces deux nombres autres que $545$.
	
	$\np{11445}=545\times 3\times 7$ ou $\np{11990}=545\times 2\times 2$. Par hypothèse le plus grand diviseur commun de $n$ et de $\np{2180}=545\times 2\times 2$, la valeur $\np{11445}$ ne peut donc être retenue contrairement à $np{11990}$.
	
	\medskip
	L'affirmation 5 est vraie.
	
	\item L'affirmation signifierait que le poids de la boule et le poids de peinture sont proportionnels.
	
	Le poids est proportionnel au volume de la boule qui est une fonction du cube du rayon.
	
	La quantité de peinture nécessaire est proportionnelle à la surface de la boule qui est une fonction du carré du rayon.
	
	Ces deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles.
	
	\medskip
	Détaillons de façon numérique.
	
	Notons $m$ la masse volumique, en $\mathrm{kg.m}^{-3}$, du bois utilisé et $s$ la masse de peinture, en $kg$, nécessaire pour $1\ \mathrm{m}^2$.
	\[24=m\times \frac{4}{3}\pi R^3 \text{ et }3=m\frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow \left( \frac{R}{r} \right)=3 \]
	et donc: $\frac{R}{r}=2$.
	
	En notant $x$ la masse de peinture n kilogrammes nécessaire pour la petite boule:
	\[0,9=s\times 4\pi R^2 \text{ et } x=s\times 4\pi r^2 \Rightarrow \frac{0,9}{x}=\left( \frac{R}{r}\right)^2=4\]
	donc $x=\frac{0,9}{4}=0,225\ \mathrm{kg}$.
	
	\medskip
	L'affirmation 6 est fausse.
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2.}

	\begin{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item $3^2+4^2=9+16=25=5^2$.
		\item 
		\begin{align*}
		(3n)^2+(4n)^2 &= 3^2n^2+4^2n^2\\
		&= 9n^2+16n^2\\
		&= (9+16)n^2\\
		&= 25n^2\\
		&=5^2n^2\\
		&= (5n)^2
		\end{align*}
		
		\item On déduit de la question précédente (avec $n=1000$) que $(3000,4000,5000)$ est un triplet Pythagoricien.
		\end{enumerate}
	
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Formule entrée en D12:
		\begin{verbatim} =B2*B2-A2*A2
		\end{verbatim}
		
		\item Ligne 12
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		&A & B & C & D & E & F & G \\ \hline
		12 & 4 & 5 & 40 & 9 & 41 & 1681 & 1681\\ \hline
		\end{tabular}
		
		\item Au vu des colonnes  F et G il semble que le triplet $(a,b,c)$ soit pythagoricien.
		
		\medskip
		Démontrons le.
		
				\begin{align*}
		a^2+b^2 &= (2xy)^2+(y^2-x^2)^2\\
		&= 4x^2y^2+y^4-2x^2y^2+x^4\\
		&=y^4+2x^2y^2+x^4\\
		&= (y^2)^2+2(x^2)(y^2)+(x^2)^2\\
		&= (y^2+x^2)^2
		&=c^2
		\end{align*}
		
		\end{enumerate}
	
	\item Raisonnons par conditions nécessaires et suffisantes.
	
		\begin{enumerate}
		
		\item[$\Rightarrow$.]
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $n^2+(n+1)^2=(n+2)^2$. Autrement dit $(n,n+1,n=2)$ est un triplet pythagoricien.
		
		\begin{align*}
		n^2+(n+1)^2=(n+2)^2 &\Leftrightarrow n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4\\
		&\Leftrightarrow n^2-2n-3=0
		\end{align*}
		
		Recherchons les racines réelles du trinôme $P(X)=X^2-2X-3$.
		
		$\Delta =b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1 \times (-3)=16>0$ donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes:
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		$\begin{aligned}
		x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-(-2)-\sqrt{4}}{2\times 1}\\
		&= 1
		\end{aligned}$
		&
		$\begin{aligned}
		x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-(-2)+\sqrt{4}}{2\times 1}\\
		&= 3
		\end{aligned}$
		 \\ \end{tabular}
	 	
	 	Ainsi nécessairement $n\in \{1,3\}$.
	 	
	 	\item[$\Leftarrow$.]
	 	
	 		\begin{enumerate}
	 		\item Si $n=1$ alors $n^2+(n+1)^2=1+2^2=5$ et $(n+2)^2=3^2=9$. Ce n'est donc pas un triplet pythagoricien.
	 		\item Si $n=3$ nous avons déjà démontré qu'il s'agit d'un triplet pythagoricien.
	 		\end{enumerate}
	 		 	
	 	\item[$\Leftrightarrow$] il n'y a qu'un seul triplet pythagoricien qui soit constitué d'entiers consécutifs.
	 	 
	 	\end{enumerate}
	 
	\end{enumerate}
	
\subsection*{\color{purple}Exercice 3.}

	\begin{enumerate}
	\item $H$ est le pied de la hauteur de $ABC$ issue de $C$, donc $AHC$ et $BHC$ sont des rectangles en $H$.
	
	Nous en déduisons avec le théorème de Pythagore \[ \left\{ \begin{array}{l}
	AH^2+HC^2=AC^2\\
	BH^2+HC^2=BC^2
	\end{array} \right. \]
	En soustrayant membre à membre ces deux égalités \[ AH^2-BH^2 = AC^2 -BC^2 \]
	Or $BH=14-AH$, $AC=13$ et $BC=15$ donc \[ AH^2-(14-AH)^2=13^2-15^2 \] ce qui équivaut successivement à
	\begin{align*}
	AH^2-(196-28AH+AH^2)&=-56\\
	28AH &=196-56\\
	AH &= \frac{140}{28}\\
	AH &= 5
	\end{align*}
	
	\medskip
	De l'égalité $AH^2+HC^2=AC^2$ nous déduisons \[ HC^2=AC^2-AH^2=13^2-5^2=144 \]
	et comme $HC$ est une longueur donc positive \[ HC=\sqrt{144}=12 \]
	
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item C'était prévisible car $0\le KL\le CH=12$ et $0\le KN \le AB=14$.
		\item Le rectangle $KLMN$ est un carré si et seulement si $KN=KL$ donc lorsque $KL$ égale l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la première bissectrice.
		
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5,2.5);
	\draw[ ->,thick] (-1, -0) -- (5, 0) node[above left]{$KL$};
	\draw[ ->,thick] (0, -1) -- (0, 5) node[below left]{$KN$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{4*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {1, 2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{4*\y}\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{\x});
	\draw (0,4)--(3,0);
	\draw[red,dashed] (1.714285,0)--(1.714285,1.714285);	
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
		
		Autrement dit $KN=KL\approx 7$.
		
		\end{enumerate}
	
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Exprimons $AK$ en fonction de $KL$.
		
			\begin{enumerate}[*]
			\item Configuration de Thalès.
			
			Les droites $(LC)$ et $KH)$ sont sécantes en $A$.
			
			Les points $A$, $L$, $C$ d'une part et $A$, $K$, $H$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
			
			\item Théorème de Thalès.
			
			Les droites $(KL)$ et $CH)$ sont parallèles puisque toutes deux perpendiculaires à $(AB)$.
			
			Donc d'aprés le théorème de Thalès \[ \frac{AK}{AH}=\frac{KL}{CH} \]
			
			Autrement dit \[ AK=AH\times \frac{KL}{CH}=\frac{5}{12}KL \]
			
			\end{enumerate}
	
		De même nous montrerions que d'après le théorème de Thalès  \[	\frac{BN}{BH}=\frac{MN}{CH} \] et comme $BH=14-5=9$, $MN=KL$, $CH=12$ \[ BN=\frac{9}{12}KL=\frac{3}{4}KL \]
		
		\item Les points $A$, $K$, $N$, $B$ sont alignés dans cet ordre donc 
		\begin{align*}
		KN=AB-AK-NB\\
		&= 14-\frac{5}{12}KL-\frac{3}{4}KL\\
		&= 14-\frac{14}{12}KL\\
		&= 14-\frac{7}{6}KL
		\end{align*}
		 	
		\end{enumerate}
	
	\item Le rectangle $KLMN$ est un carré si et suelement si $KL=KN$. Autrement dit, d'après la question précéente si et seulement si \[ KL= 14 -\frac{7}{6}KL \]
	C'est une équation du premier degré d'inconnue $KL$ dont l'unique solution est: \[ KL= \frac{6}{13}\times 14 \]
	\end{enumerate}


\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
