\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
\setlength\textwidth{18cm}\setlength\hoffset{-3cm}




\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

Soit $a$ et $b$ deux chiffres.\\
En appliquant l'algorithme de l'énoncé au nombre $\overline{ab}$ on obtient: $\overline{ab}-a-b=10.a +b -a-b= 9a$. Le nombre obtenue est donc un multiple de 9 inférieur ou égale à 81.\\
On remarque que tous les multiples de 9 dans le tableau sont des symboles de visages souriants.

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item deux côtés consécutifs d'un carré forment un triangle isocèle rectangle dont l'hypoténuse est la diagonale du carré. D'après le théorème de Pythagore la longueur $l$ de la diagonale vérifie: $l^2=2x^2$. Puisque $x$ et $l$ sont des longueurs donc des grandeurs positives: $l=x\sqrt{2}$.
\item \begin{enumerate}
\item L'aire du carré $ABCD$ est: $\mathcal{A}(ABCD)=c^2$.\\
L'aire, $\mathcal{A}(EFGH)$, du carré $EFGH$ est la moitié de l'aire de $ABCD$ donc: $\mathcal{A}(EFGH)=\frac{1}{2}c^2$.
\item L'aire du carré $EFGH$ est: $\mathcal{A}(EFGH)=EF^2$ donc, d'après la question précédente: $EF^2=\frac{1}{2} c^2$. les quantités considérées étant toutes positives: $EF=\frac{\sqrt{2}}{2}c$.
\item D'après la question liminaire: $EG=\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}c=c$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[\text{Instruction }1]
\item Construire un carré $ABCD$ de 6cm de côté.
\item Tracer les diagonales de ce carré.
\item Tracer le cercle de centre le point d'intersection des diagonales et de rayon le 3cm.
\item Relier par des segments les points d'intersections des diagonales et du cercle pour faire apparaître le carré $EFGH$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Il faut deux dalles triangulaires pour faire un carré de côté $a$. Comme l'aire de $EFGH$ est 18 on a: $\frac{1}{2}n.a^2=18$. Donc $n.a^2=36$.
\item De la précédente relation on déduit: $a^2=\frac{36}{n}$. Donc $a^2\le 36$. Ainsi: $a^2\in \{ 1, 4,9,16,25,36 \}$.\\
Comme de plus $a^2$ doit diviser 36, on peut exclure 16 et 25 des valeurs possibles de $a^2$.\\
Nécessairement: $a^2 \in \{ 1,4,9,36 \}$.\\
On vérifie immédiatement que les couples $(n,a)$ qui vérifient la relation (1) sont: $\{ (36;1),(9;2),(4;3),(1;6) \}$.
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2010_maths_sujet3_exercice2.png}
\end{center}
\end{figure}
\item Si $a=2$, alors $a^2=4$ donc $n=9$. Or s'il y a 9 triangle on ne peut former un nombre exacte de carré et on ne peut donc pas recouvrir exactement le carré avec ces dalles triangulaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Le volume de la pyramide est $V_{Py}=\frac{1}{3}\times SK \times EF\times EH=\frac{1}{3}\times SK \times AB\times AD=\frac{1}{3}\times 5\times 6 \times 8=80\mathrm{cm}^3$.\\
Le volume du parallélépipède est: $V_{Pa}=AB\times AD\times AE= 6\times 8 \times 10=480\mathrm{cm}^3$.\\
Le volume du verre est donc: $V=480+ 80=560 \mathrm{cm}^3$.\\
Donc: $V_{Py}=\frac{560}{1000}=0,56\mathrm{dm}^3=0,56 \mathrm{L}$.
\item \begin{enumerate}
\item Le volume de sirop de fraise est $0,56 \times \frac{25}{100}=0,14$L. Ce qui coûte: $2\times 0,14=0,28$\euro .\\
Le volume de jus d'orange est $0,56 \times \frac{33}{100}=0,1848$L. Ce qui coûte: $2,4\times 0,1848\simeq 0,44$\euro .\\
Le volume d'eau gazeuse est $0,56-0,14-0,1848=0,2352$L. Ce qui coûte: $0,2352 \times 0,5\simeq 0,12$\euro .\\
Le prix de revient d'un verre de ce cocktail est donc: $0,28 +0,44 +0,12=0,84$\euro .
\item Le coût du cocktail est: $0,56 \left[ \frac{33}{100}\times 2,4+ \frac{25}{100} \times 2+ \frac{42}{100} \times 0,5 \right]$. Si le coût du cocktail est augmenté de $5\%$ il vaut: $0,84\times 1,05=0,882$\euro .\\
Si le sirop de fraise augment de $20\%$ alors le nouveau prix du cocktail est: $0,56 \left[ \frac{33}{100}\times 2,4+ \frac{25}{100} \times \left( 2\times \left( 1+\frac{20}{100} \right) \right) + \frac{42}{100} \times 0,5 \right] =0,56 \left[ \frac{33}{100}\times 2,4+ \frac{25}{100} \times 2,4 + \frac{42}{100} \times 0,5 \right] =0,89712$\euro .\\
L'affirmation de l'énoncé est donc fausse.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Le triangle $FHG$ est rectangle en $G$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $FH^2=FG^2 +GH^2$. Avec les données numériques de l'énoncé: $FH^2=8^2+6^2=100$. Donc $FH=10$cm.\\
$K$ étant le milieu de la diagonale $[FH]$ du rectangle $EFGH$: $FK=\frac{1}{2}\times FH=5$cm.\\
Pour représenter à l'échelle 1/2 on divise toutes les longueurs par 2.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2010_maths_sujet3_exercice3.png}
\caption{Triangle $FSK$.}
\end{center}
\end{figure}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{CRPE_2010_maths_sujet3_exercice3bis.png}
\caption{Patron du verre.}
\end{center}
\end{figure}
\item La contenance du verre étant de 0,56L le modèle réduit à l'échelle 1/2 a une contenance de: $0,56 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^3=0,07\mathrm{L}= 7\mathrm{cL}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}