\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Il a baissé son prix de $\frac{35-33}{35}\times 100 \simeq 9,09\%$.
\item Le prix du menu hors taxe était de: $35\times 0,804=28,14$\euro . S'il avait répercuté la baisse de TVA le menu aurait coûté: $28,14 \times 1,055 \simeq 29,69$\euro .
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Formule en B2: =100-A1.
\item Formule en E2: =D2-C2.
\end{enumerate}
\item On peut conjecturer que la différence entre le nouveau produit et le produit est constante égale à $-475$. Notons $x$ le premier nombre . Le second est alors $100-x$. Leur produit est donc: $P(x)=x(100-x)=100x-x^2$ et le nouveau produit est: $NP(x)=(x-5)(95-x)=100x-475-x^2=P(x)-475$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Vitesse moyenne au 100 mètres.\\
$V_{100}= \frac{100}{9,58} \mathrm{m.s}^{-1}=\frac{100}{9,58} \times \frac{60\times 60}{1000}\mathrm{km.h}^{-1}\simeq 37,58 \mathrm{km.h}^{-1}$.
\item Vitesse moyenne au 200 mètres.\\
$V_{200}=\frac{200}{19,19} \mathrm{m.s}^{-1}=\frac{200}{19,19} \times \frac{60\times 60}{1000}\mathrm{km.h}^{-1}\simeq 37,52 \mathrm{km.h}^{-1}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Il court à $30\mathrm{km.h}^{-1}$ il parcourt donc les $100\mathrm{m}=0,1\mathrm{km}$ en $\frac{0,1}{30}\mathrm{h}=\frac{0,1}{30} \times 60\times 60\mathrm{s}=12$s. Donc même en partant avec 2 secondes d'avance il arriverait après Usain Bolt ($12-2=10> 9,58$).
\item Pour arriver en même temps que Usain Bolt en partant avec deux secondes d'avance il faudrait qu'il parcourt les 100 mètres en 11,58 secondes. Il devrait donc courir à $\frac{100}{11,58}\mathrm{m.s}^{-1}=\frac{100}{11,58}\times \frac{60\times 60}{1000}\simeq 31,10 \mathrm{km.h}^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Appelons $O$ le sommet manquant pour avoir un parallélépipède rectangle. $OFG$ est un triangle rectangle en $O$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $FG^2=FO^2+GO^2$. Donc puisque $FG$ est une longueur: $FG=\sqrt{(EO-EF)^2+(OB-GB)^2}= \sqrt{ (AB-EF)^2+ (EA-GB)^2 }= \sqrt{5}$.\\
De même: $GH=\sqrt{5}$ et $FH=\sqrt{2}$.\\
Le triangle $FGH$ est donc isocèle en $G$.
\item D'après la question précédente $FG=GH$ et en arrondissant au dixième de centimètre $FH=\sqrt{2}\simeq 1,41$cm et $FG\simeq 2,24$cm.
\end{enumerate}
\item Voir figure.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{CRPE_2009__maths_sujet1_exercice3.png}
\caption{Patron du parallélépipède tronqué.}
\end{center}
\end{figure}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La pyramide $FGHO$ a un volume égale au tiers de l'aire de la base $FHO$ que multiplie la hauteur $OG$. Or l'aire de $GHO$ est $\mathcal{A}(FHO)=\frac{1}{2} \times FO \times OH$ et la hauteur est $OG=2$, donc le volume de la pyramide est: $V_P=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \times 2=\frac{1}{3} \mathrm{cm}^3$.
\item Le volume du parallélépipède rectangle est: $V_{\text{Pa}}=AE\times AB \times BC=20 \mathrm{cm}^3$.
\item Le volume du solide $ABCDEFGHIJ$ est donc $V=V_{\text{Pa}}-V_P=\frac{59}{3}\simeq 19,667\mathrm{cm}^3$, en arrondissant au millimètre cube.
\end{enumerate}
\item Le parties tronquées sont toutes symétriques donc la partie évidée est une pyramide à base carré.
\end{enumerate}


\end{document}