\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
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\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
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\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\textbf{Partie A.}
\begin{enumerate}
\item Puisque $E$ et $f$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[CD]$ du carré $ABCD$ donc $(EF)$ est parallèle à $(AD)$; on en déduit que $AEFD$ est un parallélogramme et comme l'angle $(E\overset{\wedge}{A}D)$ est droit $AEFD$ est un rectangle.
\item On remarque une configuration de Thalès:
\begin{enumerate}[*]
\item les points $A,\ O$ et $C$ sont alignés dans cet ordre,
\item les points $D,\ F$ et $C$ sont alignés dans cet ordre,
\item les droites $(AC)$ et $(DC)$ se coupent en $C$.
\end{enumerate}
Or les droites $(OE)$ et $(AD)$ sont parallèles donc, d'après le théorème de Thalès: $\frac{OC}{AC}=\frac{CF}{CD}$. Autrement dit: $\frac{OC}{AC}=\frac{1}{2}$.\\
On en déduit que $O$ est le milieu de $[AC]$.\\
D'après ce même théorème on a encore: $\frac{OF}{AD}=\frac{CF}{CD}$. Donc: $2OF=AD$. Or $AD=EF$ puisque $AEFD$ est un rectangle, donc $2OF=EF$. Ainsi $O$ est le milieu de $EF$.
\item $O$ est aussi le milieu de $[DB]$ car $ABCD$ est un carré. Donc $(DE)$ et $(AO)$ sont des médianes du triangle $ABD$. Donc $O$ est le centre de gravité de $ABD$ et donc $AG=2GO$. Autrement dit: $\frac{AG}{GO}=2$.
\item $(AO)$ est une médiane du triangle $AEF$ or $G$ est un point du segment $[AO]$ et situé au deux tiers de la médiane, d'après la question précédente, donc $G$ est le centre de gravité du triangle $AEF$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B.}\\
\begin{enumerate}
\item L'aire du triangle, rectangle en $E$, $AEO$ est: $\mathcal{A}(AEO)=\frac{1}{2}\times AE\times EO=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
\item Si l'on note $H$ le projeté orthogonal de $E$ sur $(AO)$ on remarque d'une part que l'aire de $AOG$ est $\mathcal{A}(AOG)=\frac{1}{2}\times EH \times AG$ et d'autre part que l'aire de $EGO$ est $\mathcal{A}(AEG)=\frac{1}{2}\times EH\times GO$. Comme $AG=2GO$ on en déduit: $\mathcal{A}(AOG)=2\mathcal{A}(EGO)$.\\
Finalement: $\mathcal{A}(AEG)= \frac{2}{3}\mathcal{A}(AEO)=\frac{2}{24}$ et$\mathcal{A}(EOG)=\frac{1}{3}\mathcal{A}(AEO)=\frac{1}{24}$.
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a: $\mathcal{A}(DAG)=\mathcal{A}(AED) -\mathcal{A}(AGE)$.\\
Calculons $\mathcal{A}(AED)$.\\
Le triangle $AED$ est rectangle en $A$ donc $\mathcal{A}(AED)=\frac{1}{2}\times AE \times AD=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{4}$.\\
Finalement: $\mathcal{A}(DAG)= \frac{1}{4}-\frac{2}{24}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
\item $\mathcal{A}(OFDG)=\mathcal{A}(AEFD)-\mathcal{A}(DAG)-\mathcal{A}(AEO)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{5}{24}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
$\begin{array}{lll}
K(5294)&=9542-2459&=7083\\
K(7083)&=8730-378&=8352\\
K(8352)&=8532-2358&=6174\\
K(6174)&=7641-1467&=6174\\
\dots&&\\
\end{array}$

Donc l'algorithme appliqué au nombre 5294 conduit à l'entier $p=6174$ pour lequel $K(6174)=6174$.
\item \begin{enumerate}
\item Puisque $0<a<b<c$ on a:\\
$$K(m)=\overline{cba}-\overline{abc}=100.(c-a)+a-c=(c-a).99$$
Donc $m$ est un multiple de 99.
\item Le nombre $K(m)$ est un multiple de 99. Par construction c'est même $\alpha \times 99$ avec $2<\alpha \le 9$ en notant $\alpha =c-a$. Le nombre $K(m)$ et donc pris parmi:
$$\begin{array}{l}
99\times 2 =198\\
99\times 3=297\\
99\times 4=396\\
99\times 5=495\\
99\times 6=594\\
99\times 7=693\\
99\times 8=792\\
99\times 9=871\\
\end{array}$$

Montrons que l'algorithme appliqué à chacun de ces nombres conduit à 495.\\
Pour 198:
$$\begin{array}{l}
K(198)=981-189=792\\
K(792)=972-279=693\\
K(693)=963-369=594\\
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$
Pour 297:
$$\begin{array}{l}
K(297)=972-279=693\\
K(693)=963-369=594\\
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$
Pour 396:
$$\begin{array}{l}
K(396)=963-369=594\\
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$
Pour 495 c'est immédiat.\\
Pour 594:\\
$$\begin{array}{l}
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$
Pour 693:
$$\begin{array}{l}
K(693)=963-369=594\\
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$
Pour 792:
$$\begin{array}{l}
K(792)=972-279=693\\
K(693)=963-369=594\\
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$
Pour 871:
$$\begin{array}{l}
K(871)=871-178=693\\
K(693)=963-369=594\\
K(594)=954-459=495\\
\end{array}$$

Donc l'algorithme appliqué au nombre $m$ conduit à 495 en cinq itérations au plus.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Une réduction de $25\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $\frac{3}{4}$.\\
Si seuls deux des trois pantalons sont payés alors le coût d'un pantalon est $\frac{2}{3}$ du coût hors promotion.\\
Or $\frac{3}{4} \ge \frac{2}{3}$, donc la réduction la plus importante est obtenue avec la promotion sur les pantalons.\\
Le client a donc tord de vouloir utiliser sa carte de fidélité.
\item \begin{enumerate}
\item Si les pantalons coûtent respectivement 2 et 2 et 1, alors on paye les pantalons au trois quart  de leur prix avec la carte et au quatre cinquième avec la promotion sur les pantalons. Dans ce cas le client a intérêt à utiliser sa carte de fidélité.
\item Si les pantalons coûtent respectivement 100 et 101 et 102, alors on paye les pantalons au trois quart de leur prix avec la carte et à $\frac{201}{303}=\frac{67}{101}$ du prix d'origine avec la promotion sur les pantalons. Dans ce cas le client a intérêt à utiliser la promotion car $\frac{67}{101} \le \frac{3}{4}$.
\item Le prix des pantalons avec la promotion est multiplier par: $\frac{p_2+p_3}{p_1+p_2+p_3}$. Avec la carte de fidélité le prix des pantalons est multiplié par $\frac{3}{4}$ donc pour que la carte de fidélité soit plus intéressante il faut que: $\frac{p_2+p_3}{p_1+p_2+p_3} \ge \frac{3}{4}$. Autrement dit: $p_2+p_3\ge 3p_1$.\\
On vérifie aisément que cette condition est suffisante.\\
Le client a intérêt à utiliser sa carte de fidélité si et seulement si $p_2+p_3\ge 3p_1$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
