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\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
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\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $1=7\times 0+1$ avec $0\le 1<7$ donc A est le reste de la division euclidienne de 1 par 7.
\item $10=7\times 1+3$ le reste est 3.
\item $100=7\times 14+2$ le reste de la division euclidienne de 100 par 7 est 2.
\end{enumerate}
\item On a successivement:\\
$10^3=10\times (7\times 14+2)$.\\
$10^3=7\times 140 +2\times 10$.\\
$10^3=7\times 140 +2 \times (7\times 1 +3)$.\\
$10^3=7\times 140 +7\times 2 +6$.\\
$10^3=7\times 142 + 6$.\\
Comme $0\le 6<7$, le reste de la division euclidienne de $10^3$ par 7 est 6.
\item $10^{n+1}=10\times 10^{n}$\\
$10^{n+1}=10\times (7\times q_n+r_n)$, en notant $q_n$ et $r_n$ respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $10^n$ par 7.\\
$10^{n+1}=7\times 10\times q_n +10r_n$\\
$10^{n+1}=7\times 10\times q_n +7\times r_n +3\times r_n$\\
$10^{n+1}=7\times (10\times q_n +r_n) +3\times r_n$\\
Donc: $r_{n+1} \equiv 3r_n \mod 3$
\item Si $3r_n<7$ alors $r_{n+1}=3r_n$.\\
Si $7\le 3r_n <14$ alors $r_{n+1}= 3r_n -7$.\\
Si $14\le 3r_n <21$ alors $r_{n+1}= 3r_n -7$.\\
$\dots$
\item ~\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$10^n$&1&10&$10^2$&$10^3$&$10^4$&$10^5$&$10^6$&$10^7$&$10^8$&$10^9$\\
\hline
Reste&1&3&2&6&4&5&1&3&2&6\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\item $6\ 000\ 000\ 006=6.10^9+6$.\\
D'après le tableau de la question précédente: $10^9 \equiv 6 \mod7$.\\
Donc: $6.10^9\equiv 6\times 6 \mod 7$. C'est-à-dire: $6.10^9\equiv 1 \mod 7$.\\
Enfin: $6.10^9+6\equiv 1+6 \mod 7$, ou encore: $6.10^9+6\equiv 0\mod 7$.\\
Le reste de la division euclidienne de $6\ 000\ 000\ 006$ est 0.\\
Le nombre $6\ 000\ 000\ 006$ est divisible par 7.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Notons $a,\ b$ et $c$ les trois chiffres composant $N$: $N\overline{abc}$.\\
D'après l'énoncé:\\
$\left\{\begin{array}{l} a.b.c=120\\ a+b+c=16\\ \end{array}\right.$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si l'un des chiffres égale 0 leur produit est nul ce qui contredirait le fait que ce produit égale 120.\\
\item Si l'un des chiffres égale 1 le produit des deux autres égale 120 ce qui est impossible car le plus grand produit de deux chiffres est $9\times 9=81$.\\
\item Si (par exemple) $a=2$, alors le précédent système s'écrit:\\
$\left\{\begin{array}{l} b.c=60\\ b+c=2\\ \end{array}\right.$\\
Autrement dit $b$ et $c$ sont les éventuelles racines du trinôme $x^2-14X+60$. Or le discriminant de ce trinôme est: $\Delta =14^2-4\times 60 <0$, donc il n'a pas de racine réelle.\\
Si $a=2$ il n'y a donc pas de solution.
\end{enumerate}
\item Si $N$ contient le chiffre 7, alors 7 est diviseur du produit $abc$. Autrement dit on devrait avoir 7 diviseur de 120. Ceci est absurde car 120 et 7 sont premiers entre eux.\\
De même si 3 est effectivement diviseur de 120, 3 n'est pas diviseur de $\frac{120}{3}=40$, donc 9 n'est pas diviseur de 120.
\item $120=2^3.3.5$.\\
Les diviseurs de 120 sont $\{ 1, 2,2^2,2^3,3,5,2.3,2^2.3,2^3.3,2.5,2^2.5,2^3.5, 3.5,2.3.5,2^2.3.5,2^3.3.5 \}$.\\
Or d'après les questions précédentes $a$, $b$ et $c$ sont des diviseurs de 120 pris parmi $\{ 3,4,5,6,8 \}$, donc $a$, $b$ et $c$ sont nécessairement dans $\{ 2^2,2^3,3,5,2.3\}$.\\
\begin{enumerate}[(1)]
\item Si $a=2^2$, alors $bc=2.3.5$. Comme $b$ et $c$ sont des chiffres nécessairement $b=2.3$ et $c=5$ ou en inversant les rôles de $b$ et $c$.
\item Si $a=2^3$ alors $bc=2.5$ et donc nécessairement $b=3$ et $c=5$ (quitte à intervertir $b$ et $c$).
\item Si $a=2.3$ alors $bc=2^2.5$. La seule possibilité pour que $b$ et $c$ soit des chiffres est que $b=2^2$ et $c=5$, mais ce cas a déjà été traité au (2).
\item Si $a=3$ ou $a=5$ le cas a déjà été traité (en fait avec $b=3$ et $c=5$) au (2).
\end{enumerate}
Finalement les chiffres composant $N$ sont $4,\ 6$ et 5 ou $8,\ 3$ et $5$.
Comme de plus $a+b+c=16$ nécessairement les chiffres de $N$ sont $8,\ 3$ et $5$.\\
Réciproquement 835 convient bien.
\item Toutes les solutions pour $N$ sont nécessairement parmi les permutations circulaires sur les trois chiffres 8, 3 et 5: 835, 853, 583, 538, 385 et 358.\\
On vérifie aisément que ces trois nombres conviennent bien.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2009__maths_sujet6_exercice3.png}
\caption{Illustration de l'énoncé.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item L'aire du trapèze $ABCD$ est: $\mathcal{A}_1=\frac{1}{2}(4+10)\times 8=42\mathrm{cm}^2$.
\item Montrons que $BCD$ est isocèle en $C$.\\
Notons $H$ la projection orthogonale de $B$ sur $(AD)$.
Calculons la longueur $BC$.\\
Puisque $BCH$ est un triangle rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore: $HB^2+HC^2=BC^2$. Donc, $BC$ étant positive et comme $HB=AD$ et $HC=DC-AB$: $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$cm.\\
Donc $BC=CD$ et le triangle $BCD$ est isocèle en $C$.
\item $BCD$ est isocèle en $C$ donc la hauteur issue de $C$ est aussi une médiatrice. Donc $D$ est l'image de $B$ par la symétrie axiale par rapport à $(KC)$; $K$ et $C$ sont leurs propres images par cette symétrie. Donc $KDC$ est l'image de $KBC$ par la symétrie axiale par rapport à $(KC)$.\\
Les triangles $KBC$ et $KDC$ ont donc même aire.
\item \begin{enumerate}
\item L'aire du triangle $BCM$ est, avec des notations évidentes: $\mathcal{A}(BCM)=\mathcal{A}(ABCD)-\mathcal{A}(ABM)-\mathcal{A}(DCM)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a déjà calculé $\mathcal{A}(ABCD)=42\mathrm{cm}^2$.
\item Le triangle $AMB$ étant rectangle en $A$: $\mathcal{A}(ABM)=\frac{1}{2}AB\times AM=2x$.
\item Le triangle $DMC$ étant rectangle en $D$: $\mathcal{A}(DMC)=\frac{1}{2}DC\times DM=5\times (8-x)$.
\end{enumerate}
Donc: $\mathcal{A}(BCM)=42-2x-5(8-x)=2+3x$
\item Supposons que la position de $M$ est telle que: $\mathcal{A}(BMC)=\frac{1}{2} \mathcal{A}(ABCD)$.\\
On a donc: $2+3x=\frac{42}{2}$. On en déduit: $x=\frac{19}{3}= 6,333\dots$cm.
\end{enumerate}


\end{enumerate}



\end{document}
