\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
\setlength\textwidth{18cm}\setlength\hoffset{-3cm}




\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrons le avec l'outil vectoriel (possible avec le théorème de Thalès ou le théorème des milieux).\\
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, d'après la relation de Chasles.\\
$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{BJ}$ puisque $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[BC]$.\\
Donc, d'après la relation de Chasles: $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IJ}$.\\
Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{IJ}$ sont donc colinéaires donc les droites $(AC)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
\item De me on montre que: $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{LK}$. Donc: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$. Autrement dit $IJLK$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \underline{A}, \underline{C}
\item \underline{A}, \underline{B}, \underline{C} et \underline{D}
\end{enumerate}
\item Si $ABCD$ est un rectangle alors $IBJ$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $IJ^2=IB^2+BJ^2=\left( \frac{1}{2}AB\right) ^2+ \left( \frac{1}{2} BC \right)^2$.\\
De même $KDL$ est rectangle en $D$ donc: $JK^2=JC^2+CK^2=\left( \frac{1}{2}BC\right) ^2+ \left( \frac{1}{2} CD \right)^2=\left( \frac{1}{2}BC\right) ^2+ \left( \frac{1}{2} AB \right)^2$, car $ABCD$ est un rectangle.\\
Ainsi $IJ^2=JK^2$. Le parallélogramme $IJKL$ est donc un losange.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrons que $IJKL$ est un carré.\\
D'après la question précédente $IJKL$ est un losange.\\
Montrons que $(I\overset{\wedge}{A}L)$ est un angle droit.\\
Puisque $ABCD$ est un carré les triangles $AIL$ et $DKL$ sont isocèles rectangles. Donc les angles à la base mesure $45^{\circ}$. Par conséquent: $(I\overset{\wedge}{K}L)=180^{\circ} -(A\overset{\wedge}{L}I)-(D\overset{\wedge}{L}K)=90^{\circ}$. Autrement dit: $(I\overset{\wedge}{A}L)$ est droit.\\
Donc $IJKL$ est un losange avec un angle droit donc c'est un carré.
\item Calculons l'aire, $\mathcal{A}$, de $IJKL$.\\
$\mathcal{A}=IJ^2$.\\
Or, d'après la question 3: $IJ^2=2\times \left( \frac{1}{2} AB \right)^2= \frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}a$.
\end{enumerate}
\item Le quadrilatère $MNPQ$ est à $IJKL$ ce que $IJKL$ est à $ABCD$ donc l'aire de $MNPQ$ est: $\frac{a}{4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Pour chaque lettre de l'alphabet en dernière position sur la plaque il y a 999 nombres possible. Le numéro AA-999-AZ est celui du $26\times 999=25974$-ème véhicule immatriculé.
\item Pour aller de AA-001-AA à AA-999-AZ il faut immatriculer 25974 véhicules, d'après la question précédente.\\
Pour aller de AA-001-BA à AA-999-BC il faut immatriculer $3\times 999=2997$ véhicules.\\
Pour aller de AA-001-BD à AA-011-BD il faut immatriculer 11 véhicules.\\
Donc au total pour aller AA-001-AA à AA-011-BD il faut immatriculer $25974+2997+11=28982$ véhicules.
\item Pour arriver au numéro AB-001-AA il faut avoir fait toutes les possibilités pour les cinq dernier caractères: $999\times 26 \times 26=675324$.
\item Le nombre total de plaques possibles est: $26\times 26 \times 999\times 26\times 26=456\ 519\ 024$.\\
À raison de 7 millions de plaques par an le système de numérotation sera épuisé au bout de $\frac{456\ 519\ 024}{7.10^6}\simeq 65,22$ans.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Puisque le revenu initial $x$ a été réduit de $10\%$, on a: $x\times 0,90=50 000$. Ainsi: $x= \frac{50000}{0,90}\simeq 55\ 556$\euro .
\item Notons $y$ le revenu annuel de Monsieur Durand. Le revenu annuel de Madame Durand est $85\%$ de celui de Monsieur, il s'élève donc à: $0,85.x$.\\
La somme des revenus égale 55 556, autrement dit: $55\ 556 =x+ 0,85.x=1,85.x$. On en déduit le revenu de Monsieur Durand: $x=\frac{55\ 556}{1,85}\simeq 30\ 030,30$\euro .
\item Le quotient familial du couple est: $QF=\frac{50000}{2}=25000$. Donc l'impôt du couple est: $50000\times 0,14 -1277,03 \times 2=4545,94$\euro .
\item La part de revenu imposable sur l'augmentation est $0,90 \times 1000=900$\euro .Donc le quotient familial du couple serait $\frac{50900}{2}=25450$\euro . Le couple changerait effectivement de tranche est l'impôt versé s'élèverait alors: $50900\times 0,30 -5308,23 \times 2=4653,54$\euro .\\
Le montant supplémentaire d'impôt est donc: $4653,54-4545,94=107,60$\euro . Ainsi si le salaire de Monsieur Durand augmente de 1000\euro ~ il gagnera, après impôt, $1000-107,6=892,4$\euro .\\
L'argument de Madame Durand n'est donc pas valable.
\end{enumerate}

\end{document}
