\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé et la figure les points $E$, $C$ et $B$ d'une part sont alignés dans cet ordre et les points $D$, $C$ et $A$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.\\
Les droites $(EB)$ et $(DA)$ sont sécantes en $A$. On a donc une configuration de Thalès.\\
Or: $\frac{EC}{CB}=\frac{EB-BC}{BC}=\frac{8,1}{4,5}=1,8$ et $\frac{CD}{CA}=\frac{AD-AC}{AC}=\frac{5,4}{3}=1,8$, donc, d'après le théorème de Thalès: $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.
\item Les droites $(ED)$ et $(AB)$ étant parallèles les angles $(C\overset{\wedge}{D}E)$ et $(A\overset{B}C)$ sont alternes-internes. Donc: $(C\overset{\wedge}{D}E)=(A\overset{B}C)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $CAB$ est rectangle en $A$ donc sont aire est $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\times AB\times AC$.\\
$Ac$ est donné par l'énoncé. Déterminons $AB$. Le triangle $CAB$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $AB^2=CB^2-AC^2=11,25$. Comme $AB \ge 0$, donc: $AB=\sqrt{11,25}$.\\
On en déduit que: $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\times \sqrt{11,25} \times 3\simeq 5 \mathrm{cm}^2$.
\item Puisqu'il s'agit d'un agrandissement, le coefficient d'agrandissement est $\frac{8,4}{3}=2,8$. On en déduit que l'aire du triangle $EDC$ est $2,8^2$ fois celle du triangle $ABC$: $7,84\times \mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Si l'on note $x$ (resp. $y$) le nombre de lirettes (resp. contettes) dans chaque sachet et $n$ le nombre de sachets on a: $$\left\{\begin{array}{l} nx=1386\\ ny=308\\ \end{array}\right.$$
$n$ est donc un diviseur commun à 1386 et 308. Dire que $n$ est maximum revient à dire que $n$ est plus grand comme diviseur de 1386 et 308. Pour déterminer ce pgcd on peut utiliser l'algorithme d'Euclide ou bien considérer leur décomposition en facteurs premiers: $$\left\{\begin{array}{l}1386=2.3.3.7.11 \\308=2.2.7.11\\ \end{array}\right.$$
Donc $1386 \wedge 308 =2.7.11=154$.
\item Dans chaque sachet il y a:
\begin{itemize}
\item $\frac{1386}{154}=9$ lirettes,
\item $\frac{308}{154}=2$ contettes.
\end{itemize}
\item Il faut en prendre 1387 pour être sûr d'avoir au moins une lirette et une contette.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Si l'on note $z$ le score obtenu par Marc au troisième tour: $z=\frac{18+28+12+29+26+19+22}{7}=22$.\\
Donc la moyenne de Marc est: $\frac{18+28+12+29+26+19+22+22}{8}=22$.
\item S'il avait eu un score parfait au troisième tour il aurait égalé le score moyen de Lucie: $\frac{18+28+12+29+26+19+22+30}{8}=23$.
\item $x$ est supérieur de $40\%$ à $y$ donc: $x=1,4 \times y$.\\
Le score moyen de Lucie est: $\frac{x+y+29+12+26+27+17+25}{8}=\frac{1,4\times y+y+29+12+26+27+17+25}{8}=\frac{2,4\times y+29+12+26+27+17+25}{8}$. Donc:$y=\frac{23 \times 8-(29+12+26+27+17+25)}{2,4}=20$.\\
On en déduit: $x=1,4\times y=1,4\times 20=28$.
\end{enumerate}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Calculons le volume d'aluminium d'un tube.\\
$V=\pi \times (12^2-8^2)\times 75=6\pi .10^3\mathrm{cm}^3$.
\item Calculons le poids d'un tube.\\
$P=2,7\times V=162\times \pi .10^2$g.\\
\item Nombre maximum de tube pour une masse n'excédant pas 14 tonnes c'est-à-dire $14.10^6$g.\\
$N_{\text{max}}=\frac{14.10^6}{162\pi .10^2}\simeq 275,08$.\\
Le camion transportera au maximum 275 tubes d'aluminium.
\end{enumerate}

\end{document}

