\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
\setlength\textwidth{18cm}\setlength\hoffset{-3cm}




\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item ~\\
\opidiv[decimalsepsymbol={,},displayintermediary=all]{61}{4} \\
Donc: $61=4\times 15 +1$. Le dernier nombre de cette liste est donc 1.
\item ~\\
\opidiv[decimalsepsymbol={,},displayintermediary=all]{9843}{4} \\
Donc: $9843= 2460 \times 4 +3$. Le dernier nombre de cette liste est donc 3.
\item Elle comporte $2460+1=2461$ termes.
\item Le $100^{\e}$ terme est $9843 - 99 \times 4=9447$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Puisque $3651 < 4548$ le quotient de la division euclidienne de 16 135 407 par 4 548 est 3 547 et le reste est 3651.
\item On remarque que: $3651=3547+104$. Puisque $104 < 3651$ le quotient de la division euclidienne de 16 135 407 par 3651 est $4548+1=4549$ et le reste est 104.
\end{enumerate}
\item on a:\\
$\left\{\begin{array}{l}
1000000=(1996\times 501) +4\\
100000=(1996\times 50) +200\\
10000=(1996\times 5)+20\\
\end{array}\right.$\\
On multiplie opportunément chaque égalité puis on les additionnent:\\
$\left\{\begin{array}{lr}
1000000=(1996\times 501) +4&\times 8\\
100000=(1996\times 50) +200 &\times 6\\
10000=(1996\times 5)+20& \times 4\\
\end{array}\right.$\\
et on obtient:\\
$8640000=1996 \times \left[8\times 501 +6\times 50+4\times 5 \right] +4\times 8 +6\times200 +4\times 20$\\
Ou encore:\\
$8640000=1996 \times 4328+1312$, qui est l'expression de la division euclidienne par 1996.\\
Donc: $8640219=8640000+219=1996 \times 4328+1531$.\\
Comme $1531< 1996$ on peut affirmer que le quotient de la division euclidienne de 8640219 par 1996 est 4328 tandis que le reste est 1531.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Son IMC en septembre est: $\frac{64}{1,6}=40$.
\item Puisqu'il a perdu $10\%$ de son poids en septembre, son poids initial $P_i$ à été multiplié par $0,88$. Donc: $P_i=\frac{64}{0,88}\simeq 72,7$Kg.
\end{enumerate}
\item Le premier coefficient multiplicateur été 0,88 le second est 0,92 puisqu'il s'agit d'une diminution de $8\%$. La diminution complète correspond donc à un coefficient multiplicateur de $0,88\times 0,92=0,8096$. Le pourcentage de perte de poids est donc $19,04\%$. Le résultat arrondi à $1\%$ près est $19\%$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item pour construire $M$ et $M'$ on utilise le fait que $[AB]$ est l'hypoténuse si et seulement si c'est un diamètre du cercle circonscrit au triangle.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2009__maths_sujet3_exercice3.png}
\caption{Figure en vraie grandeur.}
\end{center}
\end{figure}

\item \begin{enumerate}
\item Notons $A'$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.\\
$AA'CD$ est un rectangle donc: $AA'=CD=8$cm.\\
$AA'CD$ est un rectangle donc: $A'C=AD=2$cm et comme $BC=5$cm on en déduit: $A'B=3$cm.\\
Par construction $AA'B$ est rectangle en $A'$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $AA'^2+A'B^2=AB^2$. En utilisant les données numériques explicitées ci-dessus: $AB^2= 8^2+3^2=73$. Comme $AB\ge 0$ on en déduit: $AB=\sqrt{73}$cm.
\item \begin{enumerate}[*]
\item $AMD$ est rectangle en $D$, donc, d'après le théorème de Pythagore: $AM^2=AD^2+DM^2=4+a^2$.
\item $BMC$ est rectangle en $C$, donc, d'après le théorème de Pythagore: $BM^2=MC^2+CB^2=(8-a)^2+5^2= (8-a)^2+25$.
\end{enumerate}
\item $ABM$ est rectangle en $M$, donc, d'après le théorème de Pythagore: $AB^2=AM^2+BM^2=2^2+a^2+(8-a)^2+5^2$. D'après une question précédente on doit avoir: $2^2+a^2+(8-a)^2+5^2=73$ autrement dit: $2a^2-1-a+20=0$ ou encore: $a^2-8a+10=0$.\\
Ainsi $a$ est solution de: $x^2-8x+10=0$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour $x$ variant entre 1 et 2 la fonction $x\mapsto x^2-8x+10$ change de signe et puisqu'elle est continue cela signifie qu'elle s'annule sur $]1;2[$ donc une valeur possible de $a$ est dans cet intervalle.\\
Afin d'obtenir une valeur approchée plus fine de $a$ on recommence en se plaçant sur l'intervalle $[1;2]$ et en considérant une subdivision de pas $0,1$ de cet intervalle. On remarque alors (colonnes D et E) que $x\mapsto x^2-8x+10$ change de signe sur l'intervalle $[1,5;1,6]$ donc qu'une valeur de $a$ appartient à cet intervalle.\\
Le raisonnement est le même entre 6 et 7.
\item L'encadrement d'amplitude un millième des solutions $a_1$ et $a_2$ de $x^2-8x+10=0$ s'obtient grâce aux colonnes J et K (avec un raisonnement similaire à celui de la question précédente): $1,550 \le a_1 \le 1,551$ et $6,449 \le a_2 \le 6,450$.
\end{enumerate}
\item Les valeurs approchées au millimètre près par défaut sont: $DM\simeq 1,5$cm et $DM'\simeq 6,4$cm.
\end{enumerate}

\end{document}