\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item S'il n'y en a qu'un c'est 57 car: $57=3\times 19$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $3737=37\times 100 +37 =37\times 101$ Donc 3737 n'est pas premier.
\item De même: $\overline{abab}=\overline{ab} \times 101$ et comme $\overline{ab}$ ne peut être égale à 1 le nombre n'est pas premier.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $\overline{abc}+\overline{abb}+\overline{acc}=3a.10^2+(2b+c).10+2c+b=3a.10^2+ (20+1)b+(10+2)c=300a+21b+12c=3[ 100a+7b+4c]$. Donc la somme des trois nombres est divisible par 3.
\item On fait une permutation sur les lettres des triplets proposé à la question précédente: $a$ de vient $c$ et $c$ devient $a$. Le troisième triplet est donc: $\overline{caa}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Si $V$ désigne le volume d'un pot de peinture hors promotion: $1,20 \times V=3$. Et donc: $V=\frac{3}{1,2}=2,5$L.
\item Le prix du litre de peinture hors promotion coûte: $P_{HP}=\frac{39}{2,5}=15,6$\euro $.\mathrm{L}^{-1}$.
\item Le prix au litre de la peinture en promotion est: $P_P=\frac{39}{3}=13$\euro $.\mathrm{L}^{-1}$.
\item La surface à peindre est: $S=6\times 5 +2\times 6 \times 2,25 +2\times 5 \times 2,25=79,5\mathrm{m}^2$.\\
Et puisqu'il en faut trois couche la surface peinte est en fait: $3S=238,5\mathrm{m}^2$.\\
Établissons le coût avec la promotion puis sans la promotion:
\begin{enumerate}[*]
\item Comme: $\frac{238,5}{48}\simeq 4,96875$ il faudra acquérir 5 pot de peinture ce qui coûtera: $5\times 39=195$\euro .
\item Puisque 3 litres permettent de couvrir $48\mathrm{m}^2$, les 2,5 litres du pot hors promotion permettent de couvrir: $\frac{2,5}{3}\times 48=40 \mathrm{m}^2$.\\
Puisque $\frac{238,5}{40}=5,8625$, pour peindre les trois couches de la piscine il faudra acheter 6 pots ce qui coûtera $6\times 39=234$\euro .
\end{enumerate}
La promotion permet une économie de $39$\euro .
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item $A'AB$ est un triangle rectangle en $A$ et $\Gamma$ est sont cercle circonscrit donc l'hypoténuse de $AA'B$ est le diamètre de $\Gamma$.\\
Les points $A'$, $O$ et $B$ sont donc alignés.
\item \begin{enumerate}
\item $ABCD$ est un carré donc la médiatrice de $[AB]$ est aussi celle de $[CD]$.\\
$EDC$ est équilatéral donc ses hauteurs se confondent avec ses médiatrices donc la médiatrice $\Delta$ de $[CD]$ est aussi une hauteur et donc: $E\in \Delta$.
\item On construit, dans chacun des demi-plans délimités par $[AB]$, un point équidistant de $A$ et de $B$ en reportant au compas en $A$ puis en $B$ une même longueur (supérieure à la moitié de $AB$). On relie les deux points ainsi construit à la règle non graduée.
\item Puisque $O$ est le centre de $\Gamma$ et puisque $A$ et $B$ sont des points de $\Gamma$: $OA=OB$. Et puisque $O$ est équidistant de $A$ et $B$: $O\in\Delta$.
\item $O$ est le point d'intersection de $(A'B)$ et de $\Delta$.
\end{enumerate}
\item Par construction $DA=DE$, le triangle $ADE$ est isocèle en $D$.\\
$O$ étant le centre de $\Gamma$ , $E$ et $A$ étant des points de $\Gamma$, on a $OA=OE$. Le triangle $AOE$ est donc isocèle en $E$.\\
Ainsi $D$ et $O$ sont deux points équidistants distincts de $A$ et $E$ donc $(DO)$ est la médiatrice de $[AE]$. Donc $(DO)$ est un axe de symétrie pour le quadrilatère $ADEO$ et donc $(D\overset{\wedge}{A}O)=(D\overset{\wedge}{E}O)$.\\
$EDC$ étant équilatéral la médiatrice $(EO)$ est aussi la bissectrice de $(D\overset{\wedge}{E}C=60^{\circ}$ on en déduit: $(D\overset{\wedge}{E}O)=30^{\circ}$.\\
Finalement: $(D\overset{\wedge}{A}O)=30^{\circ}$. 
\item $O\in \Delta \Rightarrow OA=OB$. Le triangle $AOB$ est donc isocèle en $O$.\\
On a: $(B\overset{\wedge}{A}O)+ (O\overset{\wedge}{A}D)=90^{\circ}$. En tenant compte de la question précédente: $(B\overset{\wedge}{A}O)=60^{\circ}$.\\
On en déduit que le triangle isocèle $AOB$ est en fait équilatéral. Donc $AO=AB$. Autrement dit le rayon du cercle est la longueur du carré $ABCD$
\end{enumerate}


\end{document}
