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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
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\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
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\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
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\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
$\left\{\begin{array}{l} C_1\in [AB] \\ BC_1=2.AC_1\\\end{array}\right. \Rightarrow 2.\overrightarrow{AC_1}= \overrightarrow{C_1B}$\\
Or: $\overrightarrow{C_1B}= \overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{AB}$, d'après la relation de Chasles, et donc: $\left( 2+1 \right) \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}$.\\
Ainsi: $\overrightarrow{AC_1}=\frac{1}{3}.\overrightarrow{AB}$.\\
Donc: $AC_1=\frac{1}{3}.AB=\frac{1}{3}\times 6=2$cm.
\item Puisque le cas précédent est exclue ($C_2\ne C_1$), nécessairement: $\overrightarrow{BC_2}=2.\overrightarrow{AC_2}$. Autrement dit $A$ est le milieu du segment $[C_2B]$. Donc $AC_2=AB=6$cm.
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2009__maths_sujet1_exercice1.png}
\caption{Figure illustrant tout l'exercice.}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrons grâce à un raisonnement par l'absurde que $x=9$ est impossible. Supposons construit un triangle dont les dimensions sont $AB=6$, $AC=x=9$ et $BC=18$. Or on dispose de l'inégalité triangulaire: $BC\le AC +AB$ et donc: $18\le 6+9=15$ ce qui est impossible.\\
On a donc montré par l'absurde qu'un tel triangle ne peut être construit.
\item De façon plus générale on pourra construire un triangle $ABC$ vérifiant $2x=2.AC=BC$ si et seulement si les trois inégalités triangulaires suivantes sont vérifiées:\\
$\left\{\begin{array}{l} 6\le x+2x \\x \le 6+2x \\2x\le 6+x \\\end{array}\right.$\\
Ce qui équivaut, la seconde inégalité étant trivialement toujours vraie, à: $2\le x \le 6$.\\
Ainsi le triangle $ABC$ ne sera constructible que si $x\in [2;6]$. On peut d'après les questions précédentes exclure les bornes de l'intervalle qui correspondent à des triangles aplatis et donc à des cas pour lesquels $C\in (AB)$: $x\in ]2;6[$.\\
Donc, en particulier, on peut construire le triangle $ABC$ pour $x=5$cm.
\end{enumerate}
\item D'après le théorème de Pythagore $ABC$ est rectangle en $C$ si et seulement si	: $AB^2=AC^2+BC^2$. Cette dernière égalité peut encore s'écrire: $x^2=\frac{36}{5}$. Comme $x\ge 0$: $x=\frac{6}{5}\sqrt{5}$.
\item $x=2x \Leftrightarrow x=0$ et comme $x\ne 0$ on en déduit que, soit $x=6$, soit $2x=6$. Puisque le cas $x=6$ est à exclure ($C \notin (AB)$) nécessairement $x=3$.\\
Réciproquement le triangle est effectivement constructible pour $x=3$ et il est alors isocèle en $B$
\end{enumerate}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $20\mathrm{cL}=2\mathrm{dL}=2\mathrm{dm}^3$. La brique a pour base un rectangle de dimensions $0,4$dm et $0,6$dm. Donc: $h=\frac{2}{0,4 \times 0,6}\simeq 8,33$dm.
\item Le prix d'un litre de jus est: $\frac{2,89}{6\times 0,2}\simeq 2,41$\euro .
\item Calculons le prix au litre pour chaque option:
\begin{enumerate}[\text{option }A]
\item Le coefficient multiplicateur correspondant à un baisse de $30\%$ est 0,70. Le nouveau prix du lot est donc de: $2,89\times 0,70=2,023$\euro . On en déduit le prix au litre: $\frac{2,023}{6\times 0,2}=1,69$\euro .
\item Puisque deux briques sont rajoutées le volume de jus dans un lot est, en litres, de: $8\times 0,2=1,6$. Donc le prix au litre est: $\frac{2,89}{1,6}\simeq 1,81$\euro .
\end{enumerate}
C'est donc l'option A qui donne le prix au litre le moins élevé.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Si la TVA est de $5,5\%$ le prix hors taxe a été multiplié par 1,055. En notant $x$ le prix hors taxe on a: $x\times 1,055=42,55$; et donc: $x=\frac{42,55}{1,055}\simeq 40,33$\euro .
\item En D2 on entre la formule: =B2/1,055. Et en D3: =B3/1,196.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Développons l'expression $A(x)$ proposée: $A(x)=x^2-1-(x^2-2^2)$ en usant d'une identité remarquable. Puis réduisons cette expression: $A(x)=3$.
\item D'après la question précédente: $A(296)=3$, autrement dit: $297\times 295-298\times 294=3$.
\end{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux entiers consécutifs. Supposons par exemple: $b=a+1$. Alors: $b^2-a^2=(a+1)^2-a^2=2a+1=(a+1)+a=b+a$. Seule la propriété 2 est exacte.
\end{enumerate}

\end{document}



