\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{tikz}
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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage{tkz-tab}

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\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Puisqu'il s'agit d'un cône de révolution $(SA)\bot ((AB)$. Or le triangle $ABS$ est rectangle en $A$, donc, d'après le théorème de Pythagore $SA^2+AB^2=SB^2$. $h$ étant une longueur (donc positive) on en déduit: $h=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{21^2-14^2}=\sqrt{245}=7\sqrt{5}\simeq 15,6 $cm.
\item Le volume en $\mathrm{cm}^3$ de la bougie est: $V=\frac{\pi \times 14\times 7\sqrt{5}}{3}\simeq 229,477$, en arrondissant au $\mathrm{mm}^3$.
\item $20L=20\mathrm{dm}^3=20.10^3\mathrm{cm}^3$.\\
Avec 20 litres de bougies on peut donc fabriquer: $$\frac{20.10^3}{\frac{\pi \times 14\times 7\sqrt{5}}{3}}=\simeq 87,15$$ c'est-à-dire 87 bougies.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item La longueur de l'arc de cercle $BB'$ est le périmètre du disque formant la base de la bougie donc: $l(\overset{\frown}{BB'})=2\pi 14=28\pi$cm.
\item La mesure en radiant de $\alpha$ est: $\frac{2\pi\times 14 }{2\pi\times 21}\times 2\pi=\frac{2}{3}.2\pi$. Donc en degrés: $\alpha =\frac{2}{3}\times 360=240^{\circ}$.
\end{enumerate}
\item On remarque une configuration de Thalès.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2008__maths_sujet6_exercice1.png}
\caption{Moule remplie à moitié.}
\end{center}
\end{figure}

Les droites $(AB)$ et $(IJ)$ étant parallèles, d'après le théorème de Thalès: $IJ=\frac{1}{2}.AB=7$cm et $SJ=\frac{1}{2}.SB=10,5$cm. Donc le volume de la partie blanche représente un quart du volume total de la bougie.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Le chiffre des unités de $A$ est 8 car $6\times 8=48$. Donc le résultat affiché par la calculatrice n'est pas la valeur exacte de A.
\item ~\\
$\left\{\begin{array}{c}50\ 000\ 000< 50\ 000\ 006\\70\ 000\ 000< 70\ 000\ 008\\\end{array}\right. \Rightarrow 5\times 7 .10^{7+7}< A$\\
Autrement dit: $35.10^14<A$.\\
De même:\\
$\left\{\begin{array}{c}50000006< 60000000\\70000008< 80000000\\\end{array}\right. \Rightarrow A< 6\times 8 .10^{7+7}$\\
Autrement dit: $A<48.10^{14}$.\\
Donc: $35.10^14<A<48.10^{14}$.\\
$A$ s'écrit donc avec 16 chiffres.
\item En développant: $A=5\times 7 .10^14 =(5\times 8+6\times 7).10^7+6\times 8=3\ 500\ 000\ 000\ 000\ 000+820\ 000\ 000+48=3\ 500\ 000\ 820\ 000\ 048$.
\item $B=48\ 506\ 557\times 505\ 149=(48\ 506.10^3+557)\times(505.10^3+149)=24\ 495\ 530.10^3+281\ 285.10^3+7\ 227\ 394+ 82\ 993=24\ 794\ 125\ 387$
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item $q\in \mathbb{Q}$ est un décimal si et seulement si: $\exists (n,p)\in\mathbb{Z}^2,\ q=n.10^{-p}$.\\
\begin{enumerate}[*]
Montrons que $\frac{1}{7}$ n'est pas décimal en raisonnant par l'absurde. Supposons donc qu'il est décimal; donc: $(n,p)\in\mathbb{Z}^2,\ \frac{1}{7}=n.10^{-p}$. Autrement dit: $1=7\times n.10^{-p}$. Ce qui est absurde car 1 est premier à tout nombre hormis lui-même.
\item $\frac{27}{8}=\frac{27}{2^3}=\frac{27\times 5^3}{10^3}=27\times 5^3 .10^{-3}$. Donc: $\frac{27}{8}$ est un décimal.
\item $\frac{91}{7}=13\in\mathbb{N} \subseteq \mathbb{D}$.
\item Raisonnons comme pour $\frac{1}{17}$: $\frac{42}{17}=\frac{2\times 3\times 7}{17}$ donc: $(n,p)\in\mathbb{Z}^2,\ 2\times 3\times 7=17.n.10^{-p}$. Comme 17 est premier à chacun des facteurs 2, 3 et 7 ceci est absurde.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
\opdiv[decimalsepsymbol={,},displayintermediary=all]{1}{7} \\
La partie périodique est $142857$.\\
$\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$.
\item La partie périodique a une longueur de 6 et $32=6\times 8$. Donc le $32^{\text{ième}}$ terme de la suite des décimales est le dernier de la période: 7.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item La $20^{\text{ième}}$ décimale de $\frac{42}{17}$ se lit sur la $22^{\text{ième}}$ ligne du tableur puisque la première décimale se lit sur la $3^{\text{ième}}$ ligne.
\item L'écriture décimale périodique est: $\frac{42}{17}=2,\overline{470\ 588\ 235\ 294\ 117\ 6}$.
\item Je n'ai pas compris la question: $110=17\times 6+8$.
\end{enumerate}
\item $a=1+\sum_{k\ge 1} 23.10^{-2k}$ donc $100.a=100+23 +\sum_{k\ge 1} 23.10^{-2k}$. Ainsi: $100.a-a=122$ et finalement: $a=\frac{122}{99}$.
\end{enumerate}


\end{document}