\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{tkz-tab}

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
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\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Le volume du petit pavé est $2\times x \times 1=2x\mathrm{cm}^2$; le volume du grand pavé est $5\times 4\times 5=100\mathrm{cm}^2$.\\
Le volume du flacon 1 en $\mathrm{cm}^2$ est donc: $V_1(x)=2x+100$.
\item Le volume du solide $ABCDEFGH$ est la différence des volumes de s pyramides $ABCDS$ et $EFGHS$: $\frac{1}{3}\times \left( AB\times AC \times SO- EF\times FG \times SO' \right)=\frac{1}{3}\times \left( 6\times 4 \times 11- 3\times 2\times 5,5 \right) =77\mathrm{cm}^2$.\\
Et le volume du pavé droit est: $3\times 3\times x=6x$.\\
D'o\ le volume du flacon: $V_2(x)=6x+77$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=01]{CRPE_2008__maths_sujet5_exercice1.png}
\caption {Représentation graphique des volumes des flacons.}
\end{center}
\end{figure}

\item Si $V_1(x)=V_2(x)$ alors aux erreurs de lecture près: $x=5,7$cm.
\item $V_1(x)=V_2(x) \Leftrightarrow 2x+100=6x+77$\\
$V_1(x)=V_2(x) \Leftrightarrow 4x=23$\\
$V_1(x)=V_2(x) \Leftrightarrow x=5,75$\\
\item $V_1(5,75)=2\times 5,75+100=111,5\mathrm{cm}^2$\\
$V_2(5,75)= 6\times 5,75+77=111,5\mathrm{cm}^2$\\
$1\mathrm{cm}^3=10^{-3}\mathrm{dm}^3=10^{-3}\mathrm{L}=10^2.10^{-3}\mathrm{cL}= = 10^{-1}\mathrm{cL}$. Donc: $V_1(5,75)=11,15\mathrm{cL}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item On fait un rapport de proportionnalité: $d(28)=\frac{2,8}{10}\times 28=7,84$s.
\item Là encore on use de la proportionnalité: $l(3,5)=\frac{10}{2,8}\times 3,5=12,5$cm.
\item Notons $x$ et $y$ les dimensions du rectangle. Le périmètre du rectangle est: $l(6,3)=\frac{10}{2,8}\times 6,3=22,5$cm. Donc: $2.x+2.y=22,5$. Autrement dit: $x+y=11,25$.\\
On peut donc choisir, par exemple:\\
$\left\{\begin{array}{c}x=2\\y=9,5\\\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{c}x=3\\y=8,5\\\end{array}\right.$
\item Si le carré a une diagonale de 6cm, d'après le théorème de Pythagore, la longueur $x$ d'un de ses côtés vérifie: $2.x^2=6^2=36$. Et donc: $x=3\sqrt{2}$ $x$ étant une longueur est la seule solution positive.\\
Donc le périmètre du carré est: $4.x=12\sqrt{2}$. Donc le temps mit pour le tracé est: $d(4.x)=\frac{2,8}{10}\times 12\sqrt{2}\simeq 4,8$s.
\item \begin{enumerate}[*]
\item $ABED$ est un carré. Le temps mis pour tracé les côtés $AB$, $DE$ et $AE$ (hors temps de changement de direction) est: $d(3\times 6)=\frac{2,8}{10}\times 3\times 6=5,04$s.
\item Notons $O$ le milieu de $[BD]$. $(CH)$ est la médiatrice de $[AE]$ donc de $[BD]$. Le triangle $BCD$ est donc isocèle en $C$. Donc: $BC=CD$.\\
Calculons cette longueur $BC$.\\
$BOC$ est rectangle en $O$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $BO^2+OC^2=BC^2$. Ainsi: $BC=\sqrt{ \left( \frac{6}{2} \right) ^2 +(10-6)^2 }=5$cm.\\
Le temps mit pour tracer $BC$ est:  $d(5)=\frac{2,8}{10}\times 5=1,4$s.\\
Le temps mit pour tracer $BC$ et $CD$ est 2,8s.
\item En commençant le tracé de la figure par un des sommets il y a 4 changements de directions ce qui prend 0,4 secondes.
\end{enumerate}
En sommant les temps de tracé de tous les composants de la figure: $0,4+2,8+5,04=8,24$s.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item On peut utiliser le théorème de Thalès. Démontrons ce résultat par le biais des vecteurs. Montrons que $\overrightarrow{IJ}= \overrightarrow{LK}$.\\
D'une part: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}$ d'après la relation de Chasles. $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{AB}+ \frac{1}{2}.\overrightarrow{BC}$ car $I$ (resp. $J$) est le milieu de $[AB]$ (resp. $[BC]$). Donc, d'après la relation de Chasles: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{AC}$.\\
D'autre part et de la même façon on montre: $\overrightarrow{LK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.\\
Et donc: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$, autrement dit $IJKL$ est un parallélogramme.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Puisque $ABCD$ est un carré $(LJ)$ est la médiatrice de $[AD]$. De même $(IK)$ est la médiatrice de $[AB]$. $(AB)$ et $(AD)$ étant perpendiculaires $(LJ)$ et $(IK)$ le sont donc aussi.\\
Ainsi $IJKL$ est un parallélogramme dont les diagonales sont orthogonales, il s'agit donc d'un losange.\\
De plus: $LJ=AB=AD=IK$. Le diagonales du losange $IJKL$ ont même longueur donc c'est un carré.
\item L'image de $I$ par la symétrie d'axe $(AC)$ est $L$. Ceci peut être vérifié en remarquant que $(AC)$ est un axe de symétrie pour le carré $ABCD$ ou bien en remarquant une configuration de Thalès.
\item $(AC)$ est une médiane du triangle $ABD$. De même $(LB)$ est aussi une médiane de $ABD$. Donc $P$ est le centre de gravité de $ABD$. Puisque $DI$ est aussi une médiane les points $D$, $I$ et le centre de gravité $P$ sont alignés.
\item On a déjà remarqué que $(DI)$ est une médiane du triangle $ABD$ donc $\frac{DP}{DI}=\frac{2}{3}$.
\item Si $O$ est le centre du carré $ABCD$, alors $(CO)$ est une médiane de $BCD$, $(DJ)$ en est une autre donc $R$ est le centre de gravité du triangle $BCD$. On en déduit: $\frac{CR}{OC}=\frac{2}{3}$ et donc $CR=\frac{2}{3}.OC=\frac{2}{3}.\frac{AC}{2}$.\\
Or $PR=AC-2.CR=AC-\frac{2}{3}.AC=\frac{1}{3}.AC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

