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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
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\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Notons $x$ le nombre de 1 utilisés et $y$ le nombre de trois utilisés dans l'écriture du nombre. On a:\\
$\left\{\begin{array}{c}x+y=5\\x+3.y=11\\\end{array}\right.$\\
Résolvons ce système par substitution: $x=5-y$. Donc: $5-y+3.y=11$. Ainsi: $y=\frac{11-5}{3-1}=3$. On en déduit: $x=5-3=2$.\\
Autrement dit nous cherchons des nombres de cinq chiffres avec deux 1 et trois 3. Recensons toutes les possibilités du plus petit au plus grand:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1&1&3&3&3\\
\hline
1&3&1&3&3\\
\hline
1&3&3&1&3\\
\hline
1&3&3&3&1\\
\hline
3&1&1&3&3\\
\hline
3&1&3&1&3\\
\hline
3&1&3&3&1\\
\hline
3&3&1&1&3\\
\hline
3&3&1&3&1\\
\hline
3&3&3&1&1\\
\hline
\end{tabular}
\item Notons $a,b$ les chiffres composant le nombre. Puisque la somme des chiffres égale 11:\\
$\left\{\begin{array}{cc}0.a+5.b=11&(1)\\ 1.a+4.b=11&(2)\\ 2.a+3.b=11&(3)\\ 3.a+2.b=11 & (4)\\ 4.a+1.b=11&(5)\\ 5.a+0.b=11&(6)\\\end{array}\right.$\\
Du fait des rôles symétriques joués par $a$ et $b$, les équations (4), (5) et (6) sont des redites des trois premières. Détaillons celles-ci:
\begin{enumerate}[\text{Si }(1) \text{est vraie}]
\item $5.b=11$ ce qui signifie que 5 divise 11. Or ceci est impossible puisqu'ils sont premiers entre eux, donc il n'y a pas de telle solution.
\item $a+4.b=11$. Et donc: $4.b=11-a$, autrement dit 11-a est divisible par 4. Étudions tous les cas possibles. Si $a=0$ alors $4.b=11$ est impossible car 4 est premier à 11.
\begin{enumerate}[\text{Si $a=$}1\text{ alors,}]
\item $4.b=10$ est impossible car le PGCD de 4 et 10 est $4\wedge 10=2$.
\item $4.b=9$ est impossible car le PGCD de 4 et 9 est $4\wedge 9=1$.
\item $4.b=8$ et alors $b=2$ et donc $a=3$.
\item $4.b=7$ est impossible car le PGCD de 4 et 7 est $4\wedge 7=1$.
\item $4.b=6$ est impossible car le PGCD de 4 et 6 est $4\wedge 6=2$.
\item $4.b=5$ est impossible car le PGCD de 4 et 5 est $4\wedge 5=1$.
\item $4.b=4$ et alors $b=1$ et donc $a=7$.
\item $4.b=3$ est impossible car $3\le 4$.
\item $4.b=2$ est impossible car $2\le 4$.
\item $4.b=1$ est impossible car $1\le 4$.
\end{enumerate}
\item $3.b=11-2.a$. Donc $11-2.a$ est divisible par 3. Étudions tous les cas possibles. Si $a=0$ alors $3.b=11$ est impossible car le PGCD de 3 et 11 est $3\wedge 11=1$. De même:
\begin{enumerate}[\text{Si $a=$}1\text{ alors,}]
\item $3.b=9$ donc $b=3$ et $a=1$.
\item $3.b=7$ est impossible car $3\wedge 7=1$.
\item $3.b=5$ est impossible car $3\wedge 5=1$.
\item $3.b=3$ donc $b=1$ et $a=4$.
\item $3.b=1$ est impossible car $3\ge 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Finalement les couples d'entiers possibles sont: $\{ (4;1),(1;3),(2;3),(1;7)\}$.
\item Étudions chaque couple.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(4;1)$.\\
Notons $x$ le nombre de 1 utilisés et $y$ le nombre de quatre utilisés dans l'écriture du nombre. On a:\\
$\left\{\begin{array}{c}x+y=5\\x+4.y=11\\\end{array}\right.$\\
Donc: $\left\{\begin{array}{c}x=3\\y=2\\\end{array}\right.$\\
Le nombre s'écrit avec deux 4. On choisi leur place parmi les 5 possibles il y a donc $\binom {5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$ nombres possibles.
\item $(1;3)$.\\
Ce cas a déjà été étudié à la question 1). Il y a 10 tels nombres.
\item $(2;3)$.\\
Notons $x$ le nombre de 2 utilisés et $y$ le nombre de 3 utilisés dans l'écriture du nombre. On a:\\
$\left\{\begin{array}{c}x+y=5\\2.x+3.y=11\\\end{array}\right.$\\
On résout ce système en: $y=1$ et $x=4$. Il faut donc choisir une place parmi les 5 possibles pour le 3 dans l'écriture du nombre. Il y a donc $\binom{5}{1}=\frac{5!}{4!1!}=5$ nombre possibles.
\item $(1;7)$.\\
Notons $x$ le nombre de 1 utilisés et $y$ le nombre de 7 utilisés dans l'écriture du nombre. On a:\\
$\left\{\begin{array}{c}x+y=5\\ x+7.y=11\\\end{array}\right.$\\
Donc $y=1$ et $x=4$. Il faut donc choisir une place parmi les 5 possibles pour le 7 dans l'écriture du nombre. Il y a donc $\binom{5}{1}=\frac{5!}{4!1!}=5$ nombre possibles.
\end{enumerate}
Au total le nombre de différents nombres que l'on peut écrire est: $\binom{5}{2}+\binom{5}{2}+\binom{5}{1}+\binom{5}{1}=30$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item En adoptant des notations évidentes: si $S_V$ représente $35\%$ de $S$ et si $S_J$ représente $25\%$ de $S$ alors $S_R$ représente $100-35-25=40\%$ de $S$. Donc: $\frac{S_R}{S}\times 100=40$. On en déduit: $S=S_R\times \frac{100}{40}=2688\times \frac{100}{40}=6720\mathrm{cm}^2$.
\item On en déduit le pourcentage de l'aire total que représente l'aire $S$: $\frac{S}{S_{totale}}\times 100=\frac{6720}{120\times 84}\times 100
\simeq 66,7\%$.
\item $x=\frac{1}{8}\times AB=\frac{1}{8}\times 120=15$cm.\\
Déterminons la surface hachurée: $S_h=84\times x+ 120\times y-x.y$.\\
Or $S_h=120\times 84 -S=3360\mathrm{cm}^2$ donc $y=\frac{3360-84\times 15}{120-15}=20$cm.
\end{enumerate}
\item $S_h=84\times x+ 120\times y-x.y=84\times 12+ 120\times y -12.y=1008-108y$.\\
Pour que l'aire hachurée soit entre 20 et 22$\%$ de la surface total il faut et il suffit que: $\frac{20}{100}\le 100\times \frac{1008-108.y}{10080}\le \frac{22}{100}$.\\
$\frac{20}{100} \times \frac{10080}{100 }\le 1008-108.y\le \frac{22}{100} \times \frac{10080}{100 }$\\
$\frac{1}{108} \left(1008-\frac{20}{100} \times \frac{10080}{100 } \right) \ge y\ge \frac{1}{108} \left( 1008-\frac{22}{100} \times \frac{10080}{100 } \right)$\\
$9,15> y>9,12$\\
Il n'y a donc aucune valeur entière de $y$ (en centimètres) qui soit possible. 
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Le triangle $SOA$ étant rectangle en $O$, d'après le théorème de Pythagore: $OA^2+OS^2=AS^2$.\\
Déterminons $OA$.\\
$OA$ est la demi-diagonale $AC$.\\
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $B$, car $ABCD$ est un carré, d'après le théorème de Pythagore: $AB^2+BC^2=AC^2$. Donc: $AC^2=2\times 4^2=32$ et donc: $AC= 4\sqrt{2}$ puisque $AC\ge 0$.
Ainsi: $OA^2+OS^2=AS^2 \Leftrightarrow (2\sqrt{2})^2+2^2=AS^2$.\\
Donc: $AS^2=2^2.(1+2)=2^2.3$. On en déduit la valeur exacte de $AS$ puisqu'une longueur est positive: $AS=2\sqrt{3}$cm.\\

Puisque $ABCD$ est un carré $OA=OB$ et donc on montrerait de même que ci-dessus que $SB=2\sqrt{3}$. Par conséquent le triangle $SAB$ est isocèle en $S$.
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{CRPE_2008__maths_sujet4_exercice3.png}
\caption{Construction de $\sqrt{2}$ puis de $\sqrt{3}$.}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\item  ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{CRPE_2008__maths_sujet4_exercice3bis.png}
\caption{Patron du solide.}
\end{center}
\end{figure}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Le volume de la pyramide $SABCD$ est: $V_1=\frac{1}{3}\times 4\times 4\times 2=\frac{1}{3}\times 2^5$.\\
Le volume du solide construit est donc: $V=4\times \frac{1}{3} \times 2^5 +4\times 4= 2^4( \frac{1}{3}\times 2^3+1)=2^4\times \frac{11}{3}$.
\item \begin{enumerate}[(i)]
\item $OJS$ est isocèle rectangle en $O$ (car $OJ=\frac{1}{2}\times AB$ et $(S\overset{\wedge}{O}J$ est droit) donc: $(S\overset{\wedge}{J}O)=45^{\circ}$.\\
De même: $(S'\overset{\wedge}{J}O')=45^{\circ}$.\\
Or $(O\overset{\wedge}{J}O')=90^{\circ}$.\\
Donc: $(S\overset{\wedge}{J}S')=180^{\circ}$.\\
$(S\overset{\wedge}{J}S')$ est donc plat.
\item $SBS'C$ est un quadrilatère plan convexe dont les quatre côtés ont même longueur; $SBS'C$ est un losange.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}