\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}~}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2008__maths_sujet3_exercice1.png}
\caption{Représentation des données de l'énoncé.}
\end{center}
\end{figure}

\item Puisque $D$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$, $BCD$ est rectangle en $D$. De même $BCE$ est rectangle en $E$.\\
Donc $(CE)$ et $(BD)$ sont des hauteurs du triangle $ABC$. Le point d'intersection de $(CE)$ et $(BD)$ est donc l'orthocentre du triangle $ABC$.\\
Donc $(AC)$ est la troisième hauteur du triangle. On en déduit que $(BC)$ et $(AH)$ sont perpendiculaires.
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{CRPE_2008__maths_sujet3_exercice1bis.png}
\caption{Tracé des points $D,E,H$.}
\end{center}
\end{figure}
\item $BCMA$ est un parallélogramme donc: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}$. $BCAN$ est un parallélogramme donc: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{NA}$. De ces deux égalités on déduit par transitivité: $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{AM}$. Et donc $A$ est milieu de $[MN]$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item La largeur de la pièce est 418 cm. On précède à la division euclidienne: $418=14\times 29+12$. Le nombre maximal de dalles que l'on peut poser dans la largeur est 14.
\item La longueur de la pièce est 567 cm. On procède à la division euclidienne: $567=19 \times 29+16$. Le nombre maximal de dalles que l'on peut poser dans la longueur est 19.
\item Puisqu'il pose 14 dalles dans le sens de la largeur il y aura 15 joints et chaque joint mesurera donc $\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8$cm.\\
Puisqu'il pose 19 dalles dans le sens de la largeur il y aura 20 joints et chaque joint mesurera donc $\frac{16}{20}=\frac{4}{5}=0,8$cm.\\
Les joints auront tous la même longueur à savoir 0,8cm.
\end{enumerate}
\item Notons $x$ le nombre (réel) de dalles posées dans le sens de la largeur. On a: $(36+0,6).x=418$. Donc: $x=\frac{418}{36,6}\simeq 11,421$. Il faudra donc 12 carreaux dans le sens de la largeur.\\
Notons $y$ le nombre (réel) de dalles posées dans le sens de la longueur. On a: $(36+0,6).y=567$. Donc: $x=\frac{567}{36,6}\simeq 15,492$. Il faudra donc 16 carreaux dans le sens de la longueur.\\
Le nombre de dalles nécessaires est $14\times 16=224$.
\item Calculons le coût en choisissant le premier modèle.\\
Dans ce cas il pose $14\times 19=266$ dalles. Chaque dalle coûtant 2,30\euro , cela coûtera en tout: $266\times 2,30=611,80$\euro .\\
Calculons le coût en choisissant le second modèle.\\
Dans ce cas il pose $244$ dalles. Chaque dalle coûtant 3,10\euro , cela coûtera en tout: $244\times 3,10=756,40$\euro .\\
Le premier choix est donc moins coûteux.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Notons $a,b,c$ les trois chiffres du nombre $\overline{abc}$ recherché.\\
Puisque la différence entre ce nombre et son \og retourné\fg ~est 99: $100.a+10.b+c-100.c-10.b-a=99$. Autrement dit: $a-c=1$. Et donc $c=a-1$.\\
Puisque la somme de ses trois chiffres égale 14: $a+b+c=14$. Comme $c=a-1$, $2.a+b=15$.\\
Puisque la différence entre le double du chiffre des dizaines et le triple du chiffre des centaines égale 2: $2.b-3.a=2$.\\
On a ainsi un système de deux équations à deux inconnues:\\
$\left\{\begin{array}{c}2.a+b=15\\ -3.a+2.b=2\\\end{array}\right.$\\
En multipliant la première équation terme à terme par -2 puis en additionnant les deux équations on obtient: $-7.a=-28$. Autrement dit: $a=4$. Puis d'après la première équation: $b=15-2\times 4=7$.\\
Comme $c=a-1$, $c=3$.\\
Finalement: $\overline{abc}=473$.
Réciproquement on s'assure que ce nombre vérfie bien toutes les conditions de l'énoncé, notamment \og ce nombre est plus grand que son retourné\fg : $473 \ge374$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Puisque:\\
$\left\{\begin{array}{c}473=11\times 43\\ 4+3=7\\\end{array}\right.$\\
cette conjecture s'applique au nombre trouvé à la question 1.
\item Soient $a,b,c$ trois chiffres tels que $b=a+c$. On a alors: $\overline{abc}=100.a+10.b+c=100.a+10.a+10.c+c=11\times 10 .a+11.c=11.(10.a+c)=11.\overline{ac}$. Donc $\overline{abc}$ est divisible par 11.
\item $\left\{\begin{array}{c}979=11\times 89\\ 9+9\ne 7\\\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
