\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{cancel}%pour barrer du texte: commande \cancel{text}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

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\setlength\textwidth{18cm}\setlength\hoffset{-3cm}




\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Si $b$ (resp. $t$) désigne le nombre de bicyclette (resp. tricycle), alors le conditions de l'énoncé peuvent se traduire par:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3\le b\le 10$
\item $3\le t \le 10$
\item $2.b+3.t=31$
\end{enumerate}

Donc $3.t=31-2.b$.\\
Déterminons toutes les valeurs possibles de $31-2?b$:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$b$&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
$31-2.b$&25&23&21&19&17&15&13&11\\
\hline
\end{tabular}

Or nécessairement, puisque $3.t=31-2.b$, le résultat de $31-2.b$ est un multiple de 3; autrement dit la somme des chiffres de $31-2.b$ est divisible par 3. On voit dans le précédent tableau qu'il n'y a que deux valeurs de $b$ qui conviennent: $b\in \{ 5;8\}$.
\item Une façon de faire peut s'inspirer du crible d'Ératosthène. On exclue tous les multiples de 2, de 3 et de 4 et on ne conserve que le multiples de 5 non barrés.\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cancel{0}&1&\cancel{2}&\cancel{3}&\cancel{4}&5&\cancel{6}&7&\cancel{8}& \cancel{9}\\
\hline
$\cancel{10}$&11&\cancel{12}&13&\cancel{14}&\cancel{15} &\cancel{16}&17&\cancel{18}&19\\
\hline
\cancel{20}&\cancel{21}&\cancel{22}&23&\cancel{24}&25&\cancel{26}& \cancel{27}&\cancel{28}&29\\
\hline
\cancel{30}&31&\cancel{32}&\cancel{33} &\cancel{34}&35&\cancel{36}&37&\cancel{38}&\cancel{39}\\
\hline
\cancel{40}&41&\cancel{42}&43&\cancel{44}&\cancel{45} &\cancel{46}&47&\cancel{48}&49\\
\hline
\cancel{50}&\cancel{51} &\cancel{52}&53&\cancel{54}&55&\cancel{56}&\cancel{57}&\cancel{58}&59\\
\hline
\cancel{60}&61&\cancel{62}&\cancel{63}&\cancel{64}&65&\cancel{66}&67 &\cancel{68}&\cancel{69}\\
\hline
\cancel{70}&71&\cancel{72}&73&\cancel{74}&\cancel{75} &\cancel{76}&77&\cancel{78}&79\\
\hline
\cancel{80}&\cancel{81}&\cancel{82}&83&\cancel{84}&85&\cancel{86}&\cancel{87} &\cancel{88}&89\\
\hline
\cancel{90}&91&\cancel{92}&\cancel{93}&\cancel{94}&95&\cancel{96}&97 &\cancel{98}&\cancel{99}\\
\hline
\cancel{100}&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
Dans la boîte il peut y avoir n'importe quel nombre de bonbons pris dans l'ensemble: $\{ 5;25;35;55;65;85;95\}$.\\

Une présentation plus rapide consiste à parti des multiples de 5 inférieurs à 100:\\
$\{ 0;5;10;15;20;25;30;35;40;45;50;55;60;65;70;75;80;85;90;95;100\}$.\\
On exclue les nombres pairs (et donc les multiples de 4):\\
$\{ 5;15;25;35;45;55;65;75;85;95\}$.\\
Puis on exclue les multiples de 3:\\
$\{ 5;25;35;55;65;85;95\}$.\\

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item on utilise le fait que $(BD]$ est la médiatrice de $[AC]$. Puis le fait que les diagonales se coupent en leurs milieux et ont même longueur.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2008__maths_sujet2_exercice2.png}
\caption{Construction du carré $ABCD$}
\end{center}
\end{figure}

\item \begin{enumerate}[a)]
\item On trace $[EF]$. On trace $(FG)$ en utilisant le fait que les angles d'un rectangle sont droits. Puis on trace la diagonale de longueur $9$cm. Le dernier sommet du parallélogramme $EFGH$ se trace au compas.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{CRPE_2008__maths_sujet2_exercice2bis.png}
\caption{Construction du carré $ABCD$}
\end{center}
\end{figure}
\item Le triangle $EFG$ étant rectangle en $F$, d'après le théorème de Pythagore, $EF^2+FG^2=EG^2$. Donc l'hypoténuse est toujours le plus grand côté du rectangle: $EF\le EG$ $FG\le EG$. Si $EG<EF$ ou $EG<FG$, alors le triangle ne peut pas être construit; et donc a fortiori le rectangle $EFGH$ ne peut pas plus être construit.
\end{enumerate}
\item $(MN)$ et $(JL)$ sont deux diamètres du cercle circonscrit à $IJK$. Donc $MJNL$ est un rectangle.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2008__maths_sujet2_exercice2ter.png}
\caption{Construction du carré $ABCD$}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item $V_{Arthur}=\frac{6\times 1000}{60}=100\mathrm{m}.\mathrm{mn}^{-1}$ et $V_{Boz}=\frac{24\times 1000}{60}=400\mathrm{m}.\mathrm{mn}^{-1}$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item La distance parcourue par Arthur à l'instant $t$ (en minutes) est $d_A(t)=t\times V_{Arthur}$. La distance séparant Boz du point à $A$ à l'instant $t$ est: $d_B(t)=300-t\times V_{Boz}$. On représente ces deux fonction affines dans un repère.\\

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.2]{CRPE_2008__maths_sujet2_exercice3.png}
\caption{Représentation graphique de la distance séparant les robots du point $A$.}
\end{center}
\end{figure}

\item Les robots se rencontrent lorsque $d_A(t)=d_B(t)$. Les robots se rencontrent au bout de $0,6$ minutes ou encore au bout de $0,6\times 60=36$ secondes. Puisqu'ils sont partis à 9 heures il se rencontrent à 9 heures et 36 secondes
\end{enumerate}
\item Les robots se rencontrent lorsque $d_A(t)=d_B(t)$. Donc lorsque: $t\times V_{Arthur}=300-t\times V_{Boz}$; ou encore: $100. t=300-400.t$. On en déduit que cela se produit lorsque: $t=\frac{300}{100+400}=0,6$ minutes.
\end{enumerate}


\end{document}
