\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Les points $E,\ H$ et $T$ sont deux à deux distincts et alignés dans cet ordre.\\
Les points $E,\ O$ et $J$ sont deux à deux distincts et alignés dans cet ordre.\\
Les droites $(EJ)$ et $(ET)$ sont sécantes en $E$.\\
On a donc une configuration de Thalès.\\
Les droites $(OH)$ et $(TJ)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(\Delta )$. Donc sont parallèles ente elles.\\
D'après le théorème de Thalès on a la relation métrique: $\frac{EA}{ET}=\frac{EO}{EJ}=\frac{OH}{TJ}$.\\
Or $EO=3.r$, $EJ=5.r$, et $TJ=r$, donc $\frac{OH}{r}=\frac{3.r}{5.r}$. Et enfin: $a=OH=\frac{3}{5}.r$.
\item ~\\
$\left\{\begin{array}{c}\frac{3}{5} \in \mathbb{Q}\\a\in \mathbb{N}^* \subseteq \mathbb{Q}\\ (\mathbb{Q},+,.)\text{ est un anneau}\\\end{array}\right. \Rightarrow a=\frac{3}{5}.r \in \mathbb{Q}$
\item $a=\frac{3}{5}r \Rightarrow a=\frac{6.r}{10}$\\
$\exists (n,p)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N},\ a=n.10^p \Leftrightarrow a\in \mathbb{D}$\\
en notant $\mathbb{D}$ l'ensemble des nombres décimaux.
\item ~\\
$\left\{\begin{array}{c}3\wedge 5=1 \\ \frac{3}{4}.r\in \mathbb{N}* \\\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}5| r \\ r\in \mathbb{N}^*\\\end{array}\right. \Rightarrow r\in\{5.n| n\in \mathbb{N}^*\}$
\item Si $a$ est premier alors en particulier c'est un entier et donc d'après la question précédente $r$ est multiple positif non nul de 5.\\
Soit $m.5=r$, avec $m\in \mathbb{N}$ un tel multiple.\\
Alors $a=3.m$ et donc $a$ est premier si et seulement si $m=1$. Autrement dit $a$ est premier si et seulement si $r=5$ et alors $a=3$.
\item En arguant du théorème de Pythagore:\\
$\left\{\begin{array}{c}(OH)\bot (HB) \\OH=a=\frac{3}{5}.r\\OB=r\\\end{array}\right.  \Rightarrow HB^+\frac{9}{25}.r^2=r^2$\\
Autrement dit: $HB^2=\frac{16}{25}.r^2$. Et puisque $HB$ est une quantité positive: $HB=\frac{4}{5}.r$
\item On utilise le théorème de Pythagore appliqué au triangle $AHO$ rectangle de $H$ et on obtient le même résultat qu'à la question précédente.\\
On en déduit: $b=2.a=\frac{8}{5}.r$.
\item ~\\
$5\wedge 2=1 \Rightarrow 5\wedge 2^3=1$\\
Donc si $b$ est un entier nécessairement $r$ est un multiple de 5:\\
$\exists m\in \mathbb{N},\ b=2^3.5.m$\\
Donc: $2^3| b$ et par conséquent $b$ n'est pas premier.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item On dit qu'on a une division euclidienne de $a\in \mathbb{Z}$ par $b\in \mathbb{N}^*$ lorsque l'on a trouvé l'unique couple $(q,r)\in \mathbb{Z}^2$ tel que:\\
$\left\{\begin{array}{c}a=b.q+r\\ 0\le r<b\\\end{array}\right.$\\
Dans la division euclidienne de 57148468 par 17:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item dividende 57148468
\item diviseur 17
\item quotient 3361674
\item reste 10
\end{enumerate}
\item Dans la division euclidienne de 84279733 par 17:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item dividende 84279733
\item diviseur 17
\item quotient 4957630+1=4957631
\item reste 23-17=6
\end{enumerate}
\item En sommant les égalités des deux questions précédentes $57 148 468 + 84 279 733=(3361674+4957631).17+10+6=(3361674+4957631).17+16$. Puisque 16<17 on peut affirmer que dans ce cas le quotient est 3361674+4957631 et le reste 16.\\
$57148468\times 2=3361674\times 2\times 17+10\times 2=(3361674\times 2+1).17+3$. Puisque 3<17 on peut affirmer que dans ce cas le quotient est $3361674\times 2+1$ et le reste 3.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $a+a'=(q+q').17+r+r'$\\
$\left\{\begin{array}{c}0\le r<17\\0\le r'<17\\\end{array}\right. \Rightarrow 0\le r+r'<34$\\
On distingue deux cas:
\begin{enumerate}[$\bullet$\text{Si }]
\item $r+r'<17$ alors le quotient est la somme des quotients et le reste est la somme des restes.
\item $17\le r+r'<34$, alors le quotient est la somme des quotients plus 1 et le reste est la somme des restes moins 17.
\end{enumerate}
\item $2a=(2.q).17+2.r$\\
$0\le r<17 \Rightarrow 0\le 2.r<34$\\
On distingue deux cas:
\begin{enumerate}[$\bullet$\text{Si }]
\item $2.r<17$ alors le quotient est le double du quotient et le reste est le double du restes.
\item $17\le r+r'<34$, alors le quotient est le double du quotient plus 1 et le reste est le double du reste moins 17.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Si on note $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ les droites parallèles à  $(L)$ et située de part et d'autre de $(L)$ à cinq cents mètres, alors le trésor se trouve soit dans le demi-plan délimité par $\mathcal{D}$ et ne contenant pas $(L)$ soit dans le demi-plan délimité par $\mathcal{D}'$ et ne contenant pas $(L)$.
\item Le trésor se trouve à l'extérieur du disque de centre $E$ et de rayon huit cents mètres.
\item Le trésor se trouve à l'intérieur du disque de centre $B$ et de rayon trois cents mètres.
\item Le trésor est sur la médiatrice du segment $[SP]$.
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{CRPE_2008__maths_sujet1_exercice3.png}
\caption{Tracé à la règle et au compas.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{CRPE_2008__maths_sujet1_exercice3bis.png}
\caption{Positions possibles du trésor en bleu.}
\end{center}
\end{figure}

\end{enumerate}

\end{document}




