\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[\text{énoncé }1 ]
\item est faux car si $x=0,5$ alors $2x=1\in \mathbb{N}$ et pourtant $x\notin \mathbb{N}$.
\item est vrai. la multiplication est une loi interne de $\mathbb{N}$: $\frac{x}{2}\in \mathbb{N} \Rightarrow 2\times \frac{x}{2}\in \mathbb{N}$.
\item est faux. Si $x=-1$, alors $x+1=0 \in \mathbb{N}$ mais $x\notin \mathbb{N}$.
\end{enumerate}
\item Notons $x,y,z$ les trois nombres recherchés. On a:\\
$\left\{\begin{array}{c}x+y=78\\x+z=59\\y+z=43\\\end{array}\right.$\\
En additionnant les deux premières équations et en soustrayant la troisième on obtient: $x+y+x+z-y-z=78+59-43$. Autrement dit: $2x=94$ et donc: $x=47$\\
On en déduit: $y=78-47=31$.\\
Et: $z=43-47=-4$.\\
En conclusion:\\
$\left\{\begin{array}{c}x=47\\y=31\\z=-4\\\end{array}\right.$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

Partie A\\

\begin{enumerate}
\item Exprimons toutes les dimensions en décimètres afin que les volumes sitn exprimés en litres.\\
Le volume de l'aquarium est: $V_a=10\times 3 \times 4,5=135$L.\\
$80\%$ du volume est de l'eau on a donc un coefficient multiplicateur de 0,8 et le volume d'eau est: $V_e=0,8\times 135=108$L.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Le premier jour. Il faut verser 10 gouttes pour 20 litres. Il faut donc (règle de trois) versé 0,5 gouttes pour un litres. Le premier jour il versera donc: $0,5\times V_e=54$ gouttes.
\item Le deuxième jour il faudra en versé moitié moins que le premier jour. De même le troisième jour. Donc sur trois jours on verse au total: $0,5\times V_e+2\times \frac{0,5\times V_e}{2}=108$ gouttes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Partie B.\\

\begin{enumerate}
\item En reprenant les raisonnements de la partie A le nombre de gouttes versées le premier jour est: $V_a\times 0,8\times \frac{1}{2}=L\times l\times h \times 0,8\times \frac{1}{2}=L\times l\times 4,5 \times 0,8\times \frac{1}{2}=L\times l\times 1,8$.
\item Pour pouvoir utiliser la précédente formule on convertie les données numériques en dm.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{crpe_2007_maths_externe_sujet6_exercice2.png}
\caption{Tableau complété.}
\end{center}
\end{figure}

\end{enumerate}

Partie C.\\

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{crpe_2007_maths_externe_sujet6_exercice2bis.png}
\caption{Représentation graphique du nombre de gouttes en fonction de la longueur de l'aquarium.}
\end{center}
\end{figure}

\item \begin{enumerate}[a)]
\item Par lecture graphique le nombre de gouttes à verser le premier jour pour un aquarium de longueur 120 et de largeur 40 est 86,4.
\item Par lecture graphique le nombre de gouttes à verser le premier jour pour un aquarium de longueur 90 et de largeur 30 est 48,6.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

Partie A\\

\begin{enumerate}
\item En considérant la hauteur issue du même sommet que la médiane on observe que la médiane sépare le triangle initial en deux triangle ayant la me hauteur que le triangle initial et pour base la demi-base du triangle initial (puisque la médiane passe par le milieu du côté).
\item D'après la question précédente puisque $(BN)$ est une médiane de $ABM$ et puisque $(CN)$ est une médiane de $AMC$: $\mathcal{A}(ABN)=\mathcal{A}(MBN)$ et $\mathcal{A}(ACN)=\mathcal{A}(MCN)$.\\
Donc: $\mathcal{A}(BCN)=\mathcal{A}(MBN)+\mathcal{A}(MCN)=\mathcal{A}(ABN)+\mathcal{A}(ACN)=\mathcal{A}(BNCA)$.\\
Les surfaces hachurée et blanche ont donc même aire.
\end{enumerate}

Partie B\\

\begin{enumerate}
\item L'aire $\mathcal{A}_1$ de la partie grisée est donnée par:\\
$\mathcal{A}_1=\mathcal{A}(EDMF)+\mathcal{A}(GFHB)$\\
$\mathcal{A}_1=x^2+(20-x)(8-x)$\\
$\mathcal{A}_1=2x^2-28x+160$
\item Avec une identité remarquable: $2.(x-7)^2+62=2.(x^2-14x+49)+62$. Donc: $2.(x-7)^2+62=2x^2-28x+160$.
\item la fonction $x\mapsto 2.(x-7)^2+62$ est polynomiale de degré 2 et est donnée sous forme canonique. Comme son coefficient dominant est positif cette fonction admet un minimum. De plus du fait de l'expression sous forme canonique on peut affirmer que ce minimum égale 62 et est atteint pour $x=7$.\\
L'aire de la partie grisée est minimale pour $x=7$.
\item L'aire de la partie grisée égale 112 si et seulement si: $2.(x-7)^2+62=112$. Autrement dit si et seulement si: $(x-7)^2=\frac{112-62}{2}=25$. Donc: $x-7=5$ ou $x-7=-5$. Enfin: $x=12$ ou $x=2$. Comme $x\le 8$ il n'y a qu'une solution possible: $x=2$cm.
\end{enumerate}

\end{document}
