\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Les six nombres de la famille sont: $100a+10b+c$, $100a+10c+b$, $100b+10a+c$, $100b+10c+a$, $100c+10a+b$, et $100c+10b+a$. En additionnant ces nombres: $S=222a+222b+222c=222.(a+b+c)$ et on en déduit la moyenne: $M=\frac{1}{6}\times 222.(a+b+c)=37.(a+b+c)$.\\
En particulier pour $(a,b,c)=(2,5,7)$: $S=222\times 14=3108$ et $M=37\times 14=518$.
\item Voir ci-dessus.
\item Si $M=370$ alors $a+b+c=10$.Comme $a,b,c$ sont des entiers naturels non nuls:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
1&1&8\\
\hline
1&2&7\\
\hline
1&3&6\\
\hline
1&4&5\\
\hline
2&2&6\\
\hline
2&3&5\\
\hline
2&4&4\\
\hline
3&3&4\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Une valeur minimale de $EF$ est atteinte pour $BM\simeq 6,25$ et alors $EF\simeq 4,75$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $EAF$ est rectangle en $A$ et $AFM$ est rectangle est rectangle en $F$ donc $EAFM$ est un trapèze rectangle. Comme de plus $AEM$ est rectangle en $E$, $EAFM$ est un rectangle.\\
Donc $AM=EF$ (diagonales du rectangle).
\item Le minimum de $AM$ est réalisé pour $M$ réalisant la distance de $A$ à la droite $(BC)$ c'est-à-dire pour $M$ projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. Autrement dit pour $M$ placé au pied de la hauteur issue de $A$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc d'après le théorème de Pythagore: $AB^2+AC^2=CB^2$. Or $AB=8$ et $AC=6$ donc $CB^2=64+36=100$. Comme $CB\ge 0$ (car longueur euclidienne): $CB=10$cm.
\item L'aire du triangle $ABC$ est, puisqu'il rectangle en $A$: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times AB \times AC=\frac{6\times 8}{2}=24\mathrm{cm}^2$.
\item Notons $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$. On a: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times AH\times BC$. Donc d'après les deux questions précédentes: $AH=\frac{1}{10}\times 2\times 24=4,8\mathrm{cm}$.\\
Donc $EF$ et $AM$ sont minimales lorsqu'elles égalent $4,8$cm.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item La somme recherchée est observable dans la cellule $E16$. La solution du problème est donc 12 adultes et 16 enfants.
\item ~\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre adultes&Nombre enfants&Prix adultes&Prix enfants&total\\
\hline
17&10&765&225&990\\
\hline
\end{tabular}
\item $C4=A4*45$, $D4=B4*22,5$, $E4=C4+D4$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Si $x$ (resp. $y$) désigne le nombre d'adultes (resp. d'enfants) alors:\\
$\left\{\begin{array}{c} x+y=27\\ 45x+22,5y=877,5\\\end{array}\right.$\\
On résout ce système par substitution: $y=27-x$ donc $45x+22,5.(27-x)=877,5$. Enfin: $x=\frac{877,5-22,5\times 27}{22,5}=12$. Et donc$y=27-12=15$.
\item 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}