\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item $\left\{\begin{array}{c}\text{Divieurs de }6,\ 1,2,3\\ 6=1+2+3\\\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{c}\text{Divieurs de }496,\ 1,2,4,8,16,31,62,124,248\\ 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248\\\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{c}\text{Divieurs de }120:\ 1,2,4,8,3,6,12,24,5,10,20,40,15,30,60\\ 1+2+4+8+3+6+12+24+5+10+20+40+15+30+60=240\\\end{array}\right.$\\
Donc 120 n'est pas parfait.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Si $n=1$, alors $N=2.(2^2-1)=6$ et $2^2-1=3$ est premier.\\
Si $n=2$, alors $N=2^2.(2^3-1)=28$ et $2^3-1=7$ est premier.\\
Si $n=3$, alors $N=2^3.(2^4-1)=120$ mais $2^4-1=15=3.5$ n'est pas premier.\\
Si $n=4$, alors $N=2^4.(2^5-1)=496$ et $2^4-1=31$ est premier.\\
On retrouve les résultats des questions précédentes.
\item $2^6-1=63=7.9$ n'est pas premier. $2^7-1=127$ est premier d'après l'énoncé. Donc le plus petit nombre parfait paire supérieur à 496 est $2^6.(2^7-1)=8128$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet4_exercice2.png}
\caption{Construction.}
\end{center}
\end{figure}

\item \begin{enumerate}[a)]
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dans un carré les diagonales se coupent à angle droit. Donc $(AC)$ est la hauteur de $ABD$ issue de $A$.\\
Puisque $ABCD$ est un carré $ABD$ est isocèle rectangle en $A$. Donc $(AD)$ est non seulement la hauteur mais aussi la médiane de $ABD$ issue de $A$.
\item Puisque $I$ est le milieu de $[AB]$, $(DI)$ est la médiane de $ABD$ issue de $D$.
\end{enumerate}
On en déduit que $E$ oint d'intersection de deux médiane de $ABD$ est le centre de gravité de ce triangle.\\
Puisque $E$ est le centre de gravité il est au deux tiers de la médiane en partant du sommet: $\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}$.\\
Puisque $A,E,O$ et $C$ sont alignés dans cet ordre: $\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{2\times AO}=\frac{1}{2}\times \frac{AE}{AO}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
\item Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Donc d'après le théorème de Pythagore on a: $AB^2+BC^2=AC^2$. Comme le triangle $ABC$ est isocèle en $B$: $2AB^2=AC^2$. Donc: $AC^2=2\times9^2$. Comme $AC\ge 0$, $AC=9\sqrt{2}$.\\
Or $AE=\frac{1}{3}\times AC$, donc $AE=3\sqrt{2}$.
\item Le triangle $AEH$ est isocèle rectangle en $E$. En effet l'angle $(A\overset{\wedge}{E}H)$ est droit par construction. L'angle $(H\overset{\wedge}{A}E)$ est la moitié d'un angle droit puisque $ABD$ étant isocèle rectangle en $A$, $(AC)$ est aussi la bissectrice de l'angle $\overset{\wedge}{A}$. Comme la somme ds angles d'un triangle égale l'angle plat, nécessairement $(E\overset{\wedge}{H}A)$ mesure $45^{circ}$.\\
Puisque le triangle $AEH$ est isocèle rectangle en $E$, $AE=EH$ et donc $EH=3\sqrt{2}$.
\item En notant $s_{(DB)}$ la symétrie par rapport à l'axe $(DB)$, on a $\left\{\begin{array}{c}s_{(DB)}(E)=F\\s_{(DB)}(H)=G\\\end{array}\right.$\\
La symétrie étant une isométrie: $EF=FG=FC=3\sqrt{2}$.\\
Donc: $EF=9\sqrt{2}- 2\times 3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
\item $EFGH$ est un quadrilatère ayant trois angles droits. C'est donc un trapèze rectangle. Comme de plus il a trois côtés de même longueur c'est un carré.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Si l'isométrie se fait sans rotation du carré il est clair que toute tentative de pavage fera apparaître des triangles impossible à recouvrir avec un carré. Si on s'autorise une rotation de façon que les carrés soient orientés de la même façon le fait que la mesures des côtés de l'un soit rationnelle et l'autre irrationnelle garantie qu'on ne pourra jamais paver l'un par l'autre.
\item Par la symétrie d'axe $(HG)$ on voit que l'on peut paver un carré de côté $3$cm. On peut alors aisément paver tout le carré $ABCD$ avec ce dernier carré.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Les 15 litres de vins coûtent au litre: $\frac{10\times 75+5\times 60}{10+5}=70$ centimes.
\item Il y a $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ de vin à 70 centimes et $\frac{1}{3}$ de vin à 60 centimes.
\end{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet4_exercice3.png}
\caption{Schématisation du mélange.}
\end{center}
\end{figure}
On devra mélanger les viens dans la proportion de 3 volumes de vin à 80 centimes pour 7 volumes de vin à 60 centimes.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet4_exercice3bis.png}
\caption{Schématisation du mélange.}
\end{center}
\end{figure}
La maîtresse a acheté $\frac{2}{5}$ d'album à 13\euro ~ et que donc elle a acheté 6 albums à 13\euro ~ et 9 albums à 8\euro .
\item $x$ et $y$ vérifient:\\
$\left\{\begin{array}{c}x+y=15\\13x+8y=150\\\end{array}\right.$\\
En utilisant une méthode par substitution: $y=15-x$, donc $13x+8.(15-x)=150$. 
On en déduit $x=\frac{150-8.15}{5}=6$. Puis on en déduit $y=15-6=9$.
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $M4=8*M1+2*A4$.
\item Il est inutile d'aller au-delà de la colonne V car la maîtresse achète 15 albums. Il est inutile d'aller au-delà de la ligne 14 car les sommes qu'elle indique sont déjà toutes supérieures à 150\euro .
\item La seule solution est la cellule $L8$. Autrement dit 6 livres à 13\euro ~ et 9 livres à 8\euro .
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}