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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
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\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
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\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{Z}$.\\
$2n+1+2n+3+2n+5=3\times 2n+9$\\
Donc: $\left\{\begin{array}{c}2n+1+2n+3+2n+5=3.(2n+3)\\ 2n+1+2n+3+2n+5=6.(n+1)+3\\\end{array}\right.$\\
Donc en particulier:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $5+7+9=3\times 7=6\times 3+3$, et donc le reste de la division euclidienne de $5+6+7$ par 3 (resp. 6) est 0 (resp. 3).
\item $15+17+19=3\times 17=6\times 8+3$, et donc le reste de la division euclidienne de $15+16+17$ par 3 (resp. 6) est 0 (resp. 3).
\item $1527+1529+1531=3\times 1529=6\times 764$, et donc le reste de la division euclidienne de $1527+1529+1531$ par 3 (resp. 6) est 0 (resp. 3).
\end{enumerate}
\item D'après le résultat obtenu au début de la question précédente le reste de la division euclidienne de la somme de trois entiers impairs consécutifs par 3 (resp. 6) est 0 (resp. 3).
\item $12027=3\times 4009=3.(2\times 2003+3)$. On vérifie alors aisément que: $2\times 2003+1 +2\times 2003+3+2\times 2003+5=12027$. Autrement dit: $4007+4009+40011=12027$.
\item On suppose que l'énoncé parle de $p$ entier naturel non nul. De plus $p$ désignant le nombre de termes d'une somme pour que cela ne soit pas trivial supposons $p\ge 2$\\
Si $p=2$ alors $S_{1,2}=12$ n'est pas divisible par 5.\\
Si $p=3$ alors $S_{1,3}=21$ n'est pas divisible par 5.\\
Si $p=4$ alors $S_{1,4}=32$ n'est pas divisible par 5.\\
Soient $n\in \mathbb{Z}$ et $p\in \mathbb{N}$.\\
La somme des $p$ entiers impairs consécutifs à partir de $2n+1$ est $S_{n,p}=\sum_{k=0}^p 2n+1+2k=p.(2n+1)+2\sum_{k=0}^p k=p.(2n+1)+2\times \frac{p(p+1)}{2}=p.(2n+p+2)$.\\
Ainsi si $p=5$ alors la somme de $p$ nombres impairs consécutifs est divisible par 5.\\
Ainsi $S_{n,p}$ est divisible par $5$ pour $p=5$ mais pour aucun entier plus petit donc: la plus petite valeur possible de $p$ est 5.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrons que $BKDI$ est u parallélogramme.\\
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\\
Comme de plus $I$ (resp. K) est le milieu de $[AB]$ (resp. $[CD]$): $2\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{DK}$.\\
Donc: $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DK}$.\\
On en déduit que le quadrilatère $IBKD$ est un parallélogramme.
\item $IB=DK=\| \frac{1}{2}overrightarrow{AB}\| =\frac{1}{2}a$.
\item Calculons la longueur $ID$.\\
$AID$ est rectangle en $A$. Donc d'après le théorème de Pythagore on a la relation métrique: $AI^2+AD^2=ID^2$.\\
Or $AI=\frac{1}{2}a$ et $AD=a$ donc: $ID^2=\frac{5}{4}a^2$. Et puisque $DI$ est positive: $DI=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrons que $FG=AF$.\\
Les points $A,F,G$ d'une part et $A,I,B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre est distincts deux à deux. On a donc une configuration de Thalès.\\
Comme $EFGH$ est un carré $(EF)//(GH)$. Autrement dit: $(FI)//(GB)$.\\
D'après le théorème de Thalès on a donc: $\frac{AF}{AG}=\frac{AI}{AB}\frac{1}{2}$. Donc: $AF=FG$.
\item $ABG$ est rectangle en $G$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $AB^2=AG^2+BG^2$. Or $AG=2FG$ et $AB=a$ donc: $a^2=4FG^2+BG^2$ $(E_1)$.\\
$BGJ$ est rectangle en $G$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $BJ^2=BG^2+GJ^2$. Or $BJ=frac{1}{2}a$ et $GJ=AJ-AF=\frac{\sqrt{5}}{2}a- 2\times FG$ donc: $\frac{1}{4}a^2=BG^2+\left( \frac{\sqrt{5}}{2}a- 2\times FG \right) ^2$ $(E_2)$.\\
En soustrayant terme à terme $(E_1)$ et $(E_2)$: $a^2-\frac{1}{4}a^2=4\times FG^2-\left( \frac{\sqrt{5}}{2}a- 2\times FG \right) ^2$. 
Avec une identité remarquable: $\frac{3}{4}a^2=4\times FG^2 -\left( \frac{5}{4}a^2-2\sqrt{5}a\times FG+4FG^2\right) $. En simplifiant: $2\sqrt{5}a\times FG=2a^2$. Ou encore: $FG=\frac{\sqrt{5}}{5}a$.
\item Comme $AJ=\frac{\sqrt{5}}{2}a=\frac{5}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{5}a=\frac{5}{2}FG$. Autrement dit: $AJ=\frac{5}{2}FG$.
\end{enumerate}
\item Calculons $\frac{FG}{AB}$.\\
$\frac{FG}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}a}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.\\
Calculons le rapport des aires des carrés.\\
$\frac{\mathcal{A}(EFGH)}{\mathcal{A}(ABCD)}=\left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)=\frac{1}{5}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $EFGH$ est un carré donc $EF$ et $GB$ sont parallèles.
\item $EF=\frac{2}{5}\times AJ= BG$, par symétries ou en reprenant les démonstrations précédentes.
\item Donc $EFBG$ est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc nécessairement le milieu $M$ de $[FG]$ appartient à $[EB]$.
\end{enumerate}
\item En traçant les droites $(EB),(FC),(GD),(HA)$ on fait apparaître les milieux respectivement de $[FG],\ [GH],\ [HE],\ [EF]$. On peut alors aisément recommencer une construction similaire à celle effectuée au début de l'énoncé.
\item $PQ=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5} \times a=\frac{4}{25}a$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Notons $x$ la troisième longueur en dm (car $1L=1\mathrm{dm}^3$): $x=\frac{1}{1,9\times 0,94}$. Une valeur approchée de $x$ au millimètre près par 	excès et: $x\simeq 56$mm.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Soit $x\in \mathbb{R}_+$ la longueur d'un côté de la base carrée. On a: $x^2=\frac{1}{2}=0.5$. Comme $x\ge 0$, nécessairement $x=\sqrt{5}$. Une valeur approchée au millimètre près par excès: $x\simeq 0,71$dm.
\item S'il contient 20$\%$ de jus en plus alors il contient 1,2L. Donc en dm: $x=\sqrt{\frac{1,2}{2}}$.
\end{enumerate}
\item $1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$. Donc si on note $a,\ b$ et $c$ les dimensions entières de la boîte: $abc=1000=10^3=2^3.5^3$. 
Comme $a,\ b$ et $c$ sont entiers nécessairement ce sont des produits des facteurs 2 et 3 à l'ordre 3 au maximum. De plus leur rôle sont parfaitement symétriques et les cas symétriques sont à exclure. En utilisant le fait que $a,\ b,\ c$ sont plus grands que 3 il ne reste que:
$2^3.3^3=2.5\times 2.5\times 2.5$\\
$2^3.3^3=2^2\times 2.5\times 5^2$\\
$2^3.3^3=2^2\times 2.5^2 \times 5$\\
$2^3.3^3=2^3\times 5\times5^2$\\
\item on utilise les données de la question précédente:\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet3_exercice3.png}
\caption{Deux patrons possibles.}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}

\end{document}

