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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
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\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Raisonnement algébrique si $x$ désigne le nombre de parts de flans: $1,5\times x+2\times (72-x)=122$. Donc: $x=2\times \left( 2\times 72 -122 \right) =44$. Il a donc vendu 44 parts de flan et 28 parts de tarte aux pommes.
\item Jean-Marc $\frac{1}{3}$.\\
Sophie: $\frac{1}{8}\times \left( 1-\frac{1}{3} \right) =\frac{1}{12}$.\\
Antoine et Rémi: $\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{8}-\frac{1}{12}\right) =\frac{19}{48}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Le volume du parallélépipède est: $8\times 6\times 3=144$. Le volume de la pyramide est: $\frac{1}{3}x\times 8\times 6=16x$. Le volume total est donc de: $V=16x+144$.
\item $x=1,5 \Rightarrow V(x)=168$.
\item Dire que la serre a un volume de $200\mathrm{m}^3$ équivaut successivement à dire que:\\
$V=200$\\
$144+16x=200$\\
$x=\frac{200-144}{16}$\\
$x=\frac{7}{2}$\\
$x=3,5$m\\
Le volume de la serre est $200\mathrm{m}^3$ pour $x=3,5$m.
\item L'aire de la surface vitrée correspondant à $x=4,2$ est l'ordonnée des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $x=4,2$. On utilise le fait que une graduation sur l'axe des abscisses égale 0,2 et une graduation sur l'axe des ordonnées égale 2. L'aire de la surface vitrée correspondant à $x= 4,2$ est $160\mathrm{m}^2$.
\item On recherche l'abscisse du plus haut point de la courbe qui soit en dessous de la droite d'équation $y=150$. Comme la fonction représentée par la courbe est croissante il s'agit du point d'ordonné 150: $x=3,2$.
\item Lorsque $x=0$ la serre est un parallélépipède rectangle. D'après le graphique la surface vitrée est alors de $132\mathrm{m}^2$.\\
En utilisant les dimensions du pavé fournies par l'énoncé l'aire vitrée est: $2\times 3\times 8 +2\times 3\times 6+8\times 6=132\mathrm{m}^2$.
\item Notons $S'$ le pied de la hauteur issue de $S$ dans le triangle $SDC$.\\
Puisque $SDC$ est isocèle en $S$, $(SS')$ est aussi la médiane issue de $S$. Donc $S'$ est le milieu de $[DC]$. Donc $DS'=3$.\\
Puisque $SS'D$ est rectangle en $S'$, d'après le théorème de Pythagore, on a: $SS'^2=SD^2-S'D^2=SD^2-3^2$.\\

Calculons $SD^2$.\\
Le triangle $SKD$ est rectangle en $K$ donc: $SD^2=SK^2+KD^2=3^2+KD^2$.\\

Calculons $KD^2$.\\
$ABCD$ est un rectangle donc $K$ est le milieu de $[BD]$: $2KD=BD$.\\
Le triangle $ABD$ est rectangle en $A$ donc: $4KD^2=BD^2=AB^2+AD^2=8^2+6^2=100$.\\

Donc: $KD^2=25$.\\
Donc: $SD^2=9+KD^2=9+25=34$.\\
Donc: $SS'^2=SD^2-9=34-9=25$.\\
Et puisque $SS'$ est un quantité positive: $SS'=5$m.

\item \begin{enumerate}[a)]
\item $DC=6$. Donc en dessinant à l'échelle 1/200. $DC$sera représenté par un trait de $\frac{6}{200}=0,03\mathrm{m}=3$cm. D'autre part comme $SS'=5$ il sera représenté par un trait de $frac{5}{200}=0,025\mathrm{m}=2,5$cm.\\
programme de construction:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Construire le segment $DC$ en faisant un segment de 3 centimètres.
\item Tracer la médiatrice de $[DC]$ qui est le droite $(SS')$.
\item $S'$ est le point d'intersection et $S$ s'obtient comme le point à 2,5cm de $S'$ sur la médiatrice.
\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet2_exercice2.png}
\caption{Représentation de $SDC$ à l'échelle 1/200.}
\end{center}
\end{figure}

En fait il suffisait d'utiliser le quadrillage pas besoin de tracer la médiatrice au compas.

\item On construit au compas en utilisant: $SA=SD$ et $AD=8cm$ est représenté par $\frac{8}{200}=0,04\mathrm{m}=4$cm.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet2_exercice2bis.png}
\caption{Représentation de $SDA$ à l'échelle 1/200.}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2007_maths_externe_sujet2_exercice3.png}
\caption{Représentation de $ABC$, $I$, $J$.}
\end{center}
\end{figure}

\item \begin{enumerate}[a)]
\item $ABC$ est rectangle en $B$, donc son aire est: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times BC\times BA$.\\
Puisque $ABC$ est isocèle en $B$: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times BA^2$.\\

Puisque $ABC$ est rectangle en $B$ la hauteur issue de $B$ a la même longueur que le rayon du cercle circonscrit, c'est-à-dire $\frac{1}{2}AC$. Si l'on note $H$ le pied de cette hauteur, le triangle $ABH$ étant rectangle en $H$, on a d'après le théorème de Pythagore: $AB^2=AH^2+HB^2$. Et d'après la remarque précédente: $AB^2=\frac{1}{4}AC^2+\frac{1}{4}AC^2=\frac{1}{2}AC^2$.\\

Donc: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times AC^2$.\\
Ou: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{4}\times AC^2=56,25\mathrm{cm}^2$.
\item Comme $ABC$ est rectangle en $B$: $\mathcal{A}(AIC)=\frac{1}{2}\times IC\times AB=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times AC\times AB=\frac{1}{2} \times \mathcal{A}(ABC)$.\\
Donc: $\mathcal{A}(AIC)=\frac{12,25}{2}=28,125\mathrm{cm}^2$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{\begin{array}{c}I \text{ est le milieu de }[BC]\\J\text{ est le milieu de }[AB]\\\end{array}\right. \Rightarrow D\text{ est le centre de gravité de }ABC$\\
$\left\{\begin{array}{c}D\text{ est le centre de gravité de }ABC\\ K\text{ est le milieu de }[AC]\\\end{array}\right. \Rightarrow B,D\text{ et }K\text{ sont alignés}$\\
\item Le centre de gravité est situé au deux tiers de la médiane en partant du sommet: $DK=\frac{1}{3}\times BK=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \times AC=\frac{1}{6}\times AC=2,5$cm.\\
\item Puisque $ABC$ est isocèle en $B$ hauteur et médiane issues de $B$ se confondent. Donc $(BK)=(DK)$ est la hauteur de $ADC$ issue de $D$: $\mathcal{A}(ADC)=\frac{1}{2}\times AC\times DK=\frac{1}{12}\times AC^2=18,75\mathrm{cm}^2$.
\item $\mathcal{A}(ABCD)=\mathcal{A}(ABC)-\mathcal{A}(ADC)=56,25-18,75=37,5\mathrm{cm}^2$.

\end{enumerate}


\end{enumerate}



\end{document}