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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
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\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Supposons qu'il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que: $n+(n+1)+(n+2)=207$ (E1). Alors nécessairement: (E1) $\Leftrightarrow n=68$.\\
Réciproquement, si $n=68$ il est clair que $n+(n+1)+(n+2)=207$.\\
Il existe donc un unique triplet de nombres entiers consécutifs dont la somme est 207.
\item Supposons qu'il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que: $n+(n+1)+(n+2)=329$ (E2). Alors nécessairement: (E2) $\Leftrightarrow n=\frac{326}{3}$. Comme 3 ne divise pas 3+2+6, $\frac{326}{3}\notin \mathbb{Z}$.\\
Il n'existe donc aucun triplet de nombres entiers consécutifs dont la somme est 326.
\item Soit $n\in \mathbb{N}$. $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$. On en déduit une caractérisation des entiers, $m$, qui sont la somme de trois entiers naturels consécutifs: $\left\{\begin{array}{c}3|m\\m\ge 3\\\end{array}\right.$\\ 
Par conditions nécessaire puis suffisante triviales on montre que cette propriété caractérise bien les entiers sommes de trois entiers naturels consécutifs.
\item D'après la question précédente $\overline{47d5}$ est nécessairement divisible par 3. Or $\overline{47d5}$ est divisible par 3 si et seulement si $4+7+d+5=16+d$ est divisible par trois. Ce qui n'est vrai que pour $d\in \{ 2;5;8\} $.\\
On vérifie de façon calculatoire que, réciproquement:\\
$\left\{\begin{array}{c}4725=1574+1575+1576\\47255=1584+1585+1586\\4785=1594+
1595+1596\\\end{array}\right.$\\
$\overline{47d5}$ est somme de trois entiers naturels consécutifs si et seulement si $d\in \{ 2;5;8\} $.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2007_maths_externe_sujet1_exercice2.png}
\caption{Reproduction triangle et lunules.}
\end{center}
\end{figure}

\item L'aire des lunules s'obtient comme la somme des aires des demi-cercle de diamètre $[BC]$ et $[BA]$ et du triangle $ABC$ à laquelle on soustrait l'aire du demi-cercle de diamètre $[AC]$.\\

Calculons $\mathcal{A}(\mathcal{C}_1)$ l'aire du demi-cercle de diamètre $[AB]$.\\
$\mathcal{A}(\mathcal{C}_1)=\frac{1}{2} \times \pi \left( \frac{7}{2} \right) ^2=\pi \frac{49}{8}$\\

Calculons $\mathcal{A}(\mathcal{C}_2)$ l'aire du demi-cercle de diamètre $[BC]$.\\
Puisque $ABC$ est rectangle en $B$ d'après le théorème de Pythagore: $AC^2=BC^2+AB^2$. Comme $ABC$ est isocèle en $B$: $AC^2=2BC^2$. Donc: $BC=\sqrt{\frac{1}{2}\times 49}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times7$. Donc $\mathcal{A}(\mathcal{C}_2)=\frac{1}{2}\times \pi \times \frac{49}{2}=\pi \frac{49}{8}$.\\
Le troisième demi-cercle a même aire.\\

Calculons $\mathcal{A}(ABC)$.\\
$\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times BA\times BC$\\
$\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 49$\\
$\mathcal{A}(ABC)=\frac{49}{4}$.\\

Donc l'aire des lunules est: $\mathcal{A}(l)=\mathcal{A}(ABC)=\frac{49}{4}$. Donc au millimètre carré près: $\mathcal{A}(l)\simeq 12,250$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $(IK)$, $(JL)$, $(AC)$ et $(DB)$.
\item $BIP$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item $AIL$ est isocèle rectangle en $A$. L'angle est droit car $ABCD$ est un carré. $AI=AL$ car ce sont des moitiés de côtés d'un carré.
\item %Les points $A$, $L$, $D$ d'une part et $A$, $I$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre. Les droite s $(AD)$ et $(AB)$ se coupent en $A$. On a donc une configuration de Thalès. Comme $\frac{AL}{AD}=\frac{AI}{AB}=\frac{1}{2}$ car $L$ et $I$ sont les milieux de $[AD]$ et $[AB]$, d'après le théorème de Thalès, $(LI)$ et $(DB)$ sont parallèles. On en déduit: $\frac{LI}{DB}=\frac{1}{2}$.\\
Le triangle $ALI$ est rectangle en $A$ donc ,d'après le théorème de Pythagore: $AL^2+AI^2=LI^2$. Or: $AL=AI=\frac{1}{2}AB=3$cm, donc $LI^2=18$. Nécessairement (seule valeur positive): $LI=3\sqrt{2}$.\\
On en déduit: $LM=\frac{1}{3}LI=\sqrt{2}$cm.
\item Du fait des symétries remarquées à la question 1) a) (ou en recommençant le même travail qu'à la question précédente) on voit que $IJ=JK=KL=LI=\sqrt{2}$. $IJKL$ est donc un losange.\\
On peut remarquer $D\overset{\wedge}{L}A$ est un angle de $180^{\circ}$. En tant qu'angle à la base d'un triangle isocèle rectangle: $D\overset{\wedge}{L}K=I\overset{\wedge}{L}A=45^{\circ}$. Donc $K\overset{\wedge}{L}I$ est un angle droit.\\
Ainsi $IJKL$ est un losange avec un angle droit; autrement dit c'est un carré.
\end{enumerate}
\item Cela faciliterait le tracé puisque les segments $LM$, $MN$ et $NI$ seraient alors des diagonales (de longueur $\sqrt{2}$) des carreaux du quadrillage.
\item Avec les notations évidentes on a d'une part:\\
$\mathcal{A}(ABCD)=6^2=36$\\
et d'autre part:\\
$\mathcal{A}(IJKL)=\left( 3\sqrt{2} \right) ^2=18$.\\
On a donc bien: $\mathcal{A}(ABCD)=2\times \mathcal{A}(IJKL)$.
\item Les trois triangles considérés ont la droite $OA$ pour hauteur commune issue de $A$. De plus le côté opposé à $A$ dans ces trois triangles égale $\sqrt{2}$. Ayant même base et même hauteur ces triangles ont même aire.
\end{enumerate}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item 18
\item Cinq graduations supérieures correspondent à  deux graduations inférieures. Procédons à la divisions euclidienne: $2007=401\times 5+2$. Comme le 2 de la graduation supérieure correspond à 14 de la graduation inférieure, 2007 correspond à $14+401\times 2=816$.
\item On recul de cinq en cinq sur l'axe du haut:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Graduation inférieure&14&12&10&8&6&4&2&0\\
\hline
Graduation supérieure&2&-3&-8&-13&-18&-23&-28&-33\\
\hline
\end{tabular}
\item En lisant sur l'axe: $(x,y)\in \{ (2;14),(12;18)\}$. Donc $a$ et $b$ vérifient le système:\\
$\left\{\begin{array}{c}2=a\times 14+b\\12=a\times 18+b\\\end{array}\right.$\\
En soustrayant les égalités membres à membres: $4a=10$ et donc $a=\frac{5}{2}$. On en déduit $b$ en substituant $a$ par cette valeur dans l'une des équations: $b=-33$.
\end{enumerate}




\end{document}