\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Notons $u_n$ le nombre de cubes nécessaires pour construire un escalier de taille $n$ pour $n\ge 5$ une entier naturel. Il est clair que: $\forall n\in \mathbb{N}, \ \left( n\ge 5 \Rightarrow u_{n+1}=n+1+u_n \right) $. Donc: $u_5=5+10=15$, $u_6=21$, $u_7=28$, $u_8=36$ et $u_9=45$.
\item Non il n'y a pas de proportionnalité. Par exemple pour $n=5$, $\frac{n}{u_n}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ tandis que pour $n=6$, $\frac{n}{u_n}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$. Comme $\frac{1}{3}\ne \frac{2}{7}$ on peut affirmer qu'il n'y a pas proportionnalité.
\item En observant le mur il est clair que le nombre de cube est: $u_n=\frac{1}{2}n(n+1)$.
\item On peut trouver la réponse en étudiant les variations de la fonction $x\mapsto \frac{1}{2}x(x+1)-3523$ qui est un trinôme dont la recherche des racines se fait par l'étude du signe du discriminant $\dots$\\
On vérifie alors que $\frac{1}{2}\times 83 \times (83+1)=3403$ et $\frac{1}{2}\times 84 \times (84+1)=3570$. Le plus haut escalier que l'on peut construire avec 3523 cubes mesure 83 cubes de haut et il reste $3570-3403=167$ cubes inutilisés.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item L'aire du jardin est: $\frac{1}{2}(AB+CD)\times DA$ puisque $(DA)$ est une hauteur. En remplaçant par des valeurs numériques on trouve que l'aire du jardin est $1800\mathrm{m}^2$.
\item Notons $\mathcal{A}(AMGD)$ la mesure de l'aire de $AMGD$ en mètres. $\mathcal{A}(AMGD)=30x$.\\
Avec des notations similaires: $\mathcal{A}(MBCG)=1800-30X$.
\item La pelouse et le potager ont la même aire si et seulement si: $30x=1800-30x$. Autrement dit si et seulement si $x=\frac{1800}{2\times 30}=30$m.\\
Le potager est alors un carré car c'est un rectangle dont deux côtés consécutifs ont la même longueur.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{CRPE_2006__maths_sujet6_exercice2.png}
\caption{Représentation graphique des aires en fonction de $x$.}
\end{center}
\end{figure}

\item Les aires du potager et de la pelouse sont égales lorsque $x$ égale l'abscisse du point d'intersection des  courbes. On retrouve bien le résultat de la question précédente. Les courbes représentatives sont des droites puisque les fonction s de la variable $x$ sont affines.
\item Il y a proportionnalité entre la quantité d'engrais et la surface à recouvrir. Si on note $x$ la quantité d'engrais nécessaire pour recouvrir $900\mathrm{m}^2$ alors: $\frac{10}{500}=\frac{x}{900}$. On en déduit: $x=\frac{10\times 900}{500}=18$kg.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Si on accepte les tirages contradictoires alors on tire une étiquette parmi les 10 possibles puis une nouvelle étiquette parmi les 9 restantes. Au total on a donc $10\times 9$ possibilités.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{CRPE_2006__maths_sujet6_exercice3.png}
\caption{Deux quadrilatères ayant deux angles droits seulement.}
\end{center}
\end{figure}

\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2006__maths_sujet6_exercice3bis.png}
\caption{Deux quadrilatères ayant deux angles droits seulement.}
\end{center}
\end{figure}

On construit les deux diagonales perpendiculaires. Soit $B$ un sommet du quadrilatère donc sur une diagonale pour lequel l'angle est droit. Alors nécessairement pour que l'angle soit droit $C$ et $D$ appartiennent aux cercle de centre $A$ passant par $B$. Ceci impose le dernier point $E$ pour avoir un autre angle droit.
\end{enumerate}
\item L'étiquette \og Deux côtés égaux seulement\fg signifie que le quadrilatère n'est pas un parallélogramme. Il faut donc exclure:
\begin{itemize}
\item Quatre angles droits
\item Côtés égaux deux à deux
\item Quatre côtés égaux
\item Côtés opposés parallèles
\item Diagonales se rencontrant en leur milieu
\end{itemize}
\item Montrons que $EFGH$ est un parallélogramme en montrant que les côtés opposées sont parallèles.\\
Puisque $E$ (respectivement $F$) est le milieu de $[AB]$  (resp. $[BC]$), on peut affirmer, d'après le théorème de Thalès, que $(FE)$ et $(CA)$  sont parallèles. De la même façon: $(GH)//(CA)$. Donc: $(EF)//(GH)$.\\
De la même façon on montrerait que: $(FG)//(EH)$.\\
Montrons que $EFGH$ est un rectangle en montrant que ce parallélogramme a un angle droit.\\
$\left\{\begin{array}{c}(EF)//(CA)\\ (CA)\bot (BD)\\ (BD)//(FH)\\\end{array}\right. \Rightarrow (EF) \bot (FG)$\\
\end{enumerate}

\end{document}

