\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
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\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
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\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Soit $ABCD$ un rectangle du plan euclidien tel que $AB=a$ et $BC=b$. Notons $O$ le point d'intersection des diagonales de $ABCD$.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2006__maths_sujet5_exercice1.png}
\caption{Illustration du partage du rectangle.}
\end{center}
\end{figure}

L'aire du triangle $AOB$ est donnée par: $\mathcal{A}(AOB)=\frac{1}{2}\times a \times \frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab$.\\
En procédant de même avec les autres parts on vérifie bien que toutes les parts sont égales.
\item Du fait de la symétrie par rapport à la diagonale il suffit de résoudre la question pour les deux parts qui sont d'un même côté de la diagonale.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2006__maths_sujet5_exercice1bis.png}
\caption{Illustration du partage du demi rectangle.}
\end{center}
\end{figure}

Les triangles $ABD$ et $ADC$ ont même hauteur $[AB]$ et des bases de même longueur $BD=DC$. Donc ils ont même aire.\\
Les parts sont donc égales.
\item Calculons l'aire de $ABC$.\\
$\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}\times 4CJ \times 6CI$. Donc en notant $a=CJ$ et $b=CI$: $\mathcal{A}(ABC)=\frac{1}{2}4a\times 6b=12ab$.\\

Calculons l'aire de $ABGD$.\\
$\mathcal{A}(ABGD)=\mathcal{A}(ABC)-\mathcal{A}(DGC)=12ab-\frac{1}{2}\times 5b\times 3a=\frac{1}{2}ab\times (24-15)=\frac{9}{2}ab$.\\

Calculons l'aire de $DGFE$.\\
$\mathcal{A}(DGFE)=\mathcal{A}(DGC)- \mathcal{A}(ECF)=\frac{15}{2}ab-4ab=\frac{7}{2}ab$.\\

Calculons l'aire de $EFC$.\\
$\mathcal{A}(EFC)=\frac{1}{2}\times 2a\times 4b=4ab$.\\

Les figure proposées ont toutes des aires différentes.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Numéro récipient&R1&R2&R3&R4&R5&R6\\
\hline
Jauge&E&C&F&A&B&D\\
\hline
Graphique&2&1&5&4&6&3\\
\hline
\end{tabular}

\item Le rayon du cylindre est $1,6$dm. Donc le volume du cylindre est donné par: $\pi (1,6)^2 \times h$, $h$ désignant la hauteur du cylindre. D'après l'énoncé: $\pi (1,6)^2 \times h=10$. Donc $h=\frac{10}{\pi (1,6)^2}$. Avec la calculatrice on obtient une valeur approchée de $h$ au centimètre près: $h\simeq 1,2$dm.
\item Le volume est proportionnel à la hauteur du cylindre. Le volume lorsque le récipient est rempli aux deux tiers est donc: $V'=\frac{2}{3}\times 10$. Une valeur approchée au dixième de litre près est donc: $V'\simeq 6,7$l.
\item Si l'on superpose les courbes 1 et 3 représentant les remplissages des récipients R2 et R6 on voit que la courbe représentant le remplissage de R2 est au-dessus de celle représentant le remplissage de R6. La hauteur de remplissage de R2 est donc plus haute que celle de R6.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{CRPE_2006__maths_sujet5_exercice3.png}
\caption{Construction $OPQR$.}
\end{center}
\end{figure}

Programme de construction:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Construire $Q$ comme symétrique de $O$ par rapport à $I$.
\item Construire la perpendiculaire à $(d_1)$ passant par $Q$.
\item Construire la perpendiculaire à la droite précédemment construite passant par $Q$.
\item Construire le point $R$ point d'intersection de la droite précédemment tracée et de la droite $(d_2)$.
\item Construire le point $P$ point d'intersection de $(RI)$ et de $(d_1)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Puisque $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ et puisque $(AM)$ est la médiane issue de $A$ on a: $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{MG}$(1).\\
D'autre part puisque $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $G$: $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{A'G}$(2).\\
Des égalités (1) et (2) on déduit: $\overrightarrow{A'G}=2\overrightarrow{MG}$. En usant de la relation de Chasles: $\overrightarrow{A'M}\overrightarrow{MG}$. Autrement dit $M$ est le milieu de $[A'G]$.
\item $[GA']$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu donc $GBA'C$ est un parallélogramme.
\item $GBA'C$ est un parallélogramme donc d'une part $(GB)$ et $(CA')$ sont parallèles et d'autre part $(GC)$ et $(BA')$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2006__maths_sujet5_exercice3bis.png}
\caption{Construction du triangle $ABC$.}
\end{center}
\end{figure}

Programme de construction:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On construit $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $G$.
\item $M$ est le milieu de $GA'$ (avec une médiatrice).
\item On utilise alors le programme de la question 1) pour construire le parallélogramme $ABCA'$ de centre $M$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}