\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item $DCGH$: hachures. $ADHE$: uni. $ABCD$: points.
\item Patron 4: non côtés unis adjacents. Patron 2: non côtés points adjacents. Les patrons 1 et 3 correspondent à des patrons du cube $ABCDEFGH$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item On obtient 27 petits cubes.
\item Le volume d'un petit cube est $\frac{216}{27}=8\mathrm{cm}^3$.
\item L'arrête d'un cube est: $\sqrt[3]{8}=2$cm. Donc l'arrête du grand cube est: $3\times 3=9$cm.
\item ~\\
\begin{tabular}{|m{2cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|}
\hline
Nombre de faces décorées&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
Nombres de petits cubes&1&6&12&8&0&0&0\\
\hline
\end{tabular}
\item Le nombre total de petites faces décorées: $6\times 9=54$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Le volume du solide est: $216-8\times 2^3=152\mathrm{cm}^3$.
\item L'aire du patron est: $54\times 2^2=216\mathrm{cm}^2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item $1\mathrm{km}=10^3\mathrm{m}=10^5\mathrm{cm}$.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2006__maths_sujet3_exercice2.png}
\caption{Représentation à l'échelle 1/100.000.}
\end{center}
\end{figure}
\item Par construction $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(DC)$ et $F\in (DC)$ . Donc $AE=AF+FB$. Comme $M\notin [DC]$ on a l'égalité triangulaire: $AM+ME>AF+FB$. Et comme $ME=MB$, $AM+MB>AF+FB$.
\item D'après la question précédente la distance $AF+AB$ est un minorant de la distance $AM+MB$. Ce minorant est atteint lorsque $G=F$; c'est donc un minimum. La gare $G$ doit donc être construite en $F$.
\item On a une configuration de Thalès:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les points $A$, $F$, $E$ d'une part et $D$, $F$, $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
\item Les droites $(AE)$ et $(DC)$ sont sécantes en $F$.
\end{enumerate}
$\left\{\begin{array}{c}(AD)\bot (DC)\\(BC)\bot (DC)\\\end{array}\right. \Leftrightarrow (AD)//(BC)$\\
D'après le théorème de Thalès on a donc la relation métrique: $\frac{FC}{FD}=\frac{CE}{AD}$. Comme $CE=BC=4$ et $AD=6$: $\frac{FC}{FD}=\frac{2}{3}$. Finalement: $FD=\frac{3}{2}FC$.
\item Donc: $CD=CF+FD=FC\times \left( \frac{3}{2}+1 \right)$. On en déduit: $FC=\frac{2}{5}\times 14=5,6$km.
\item Calculons $AF$. $ADF$ est rectangle en $D$ donc d'après le théorème de Pythagore on a la relation métrique: $AD^2+DF^2=AF^2$. Puisque $AF$ est un nombre positif: $AF=\sqrt{6^2+(14-5,6)^2}=\sqrt{106,56}$. D'après le théorème de Thalès: $BF=EF=\frac{2}{3}FA=\frac{2}{3}\sqrt{106,56}$. Donc: $AF+FB=\frac{5}{3}\sqrt{106,56}$. $AF+FB\simeq 17,20$km.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item On raisonne comme sur un rendu de monnaie. Pierre donne trop. Comme il doit donner 34 points il donne plus c'est-à-dire au moins $12\times 3=36$. Il y a alors 2 points de trop que Jean ne peut rendre puisque ce n'est pas un multiple de 7. Ajoutons des jetons de 3 points jusqu'à ce que l'excès par rapport aux 33 points soit un multiple 7: 2,5,7. Comme 7 est un multiple de 7 Jean peut rendre la monnaie.\\
Finalement Pierre donne $12+2=14$ jetons de 3 et Jean rend un jeton de 7.
\item Notons $n$ le nombre de jetons de 3 points que possède Paul. On doit avoir: $3n+7.(29-n)=94$. Cette égalité équivaut à: $n=27,25$. Il n'y a donc pas de solution dans $\mathbb{N}$ de cette équation. Paul ment ou se trompe.
\item Notons $n$ (respectivement $p$) le nombre de jetons de 3 points (resp. 7 points). On doit avoir: $3n+7p=34$. Donc nécessairement:\\ $\left\{\begin{array}{c}n\le 11\\p\le 4\\\end{array}\right.$\\
Représentons toutes les cas possibles par un tableau double entrée:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$p \setminus n$ &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
\hline
0&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27&30&33\\
\hline
1&7&10&13&16&19&22&25&28&31&34&&\\
\hline
2&14&17&20&23&26&29&32&35&&&&\\
\hline
3&21&24&27&30&33&36&&&&&&\\
\hline
4&28&31&34&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}

On trouve exactement deux possibilités: $34=4\times 7+2\times 3$ et $34=1\times 7 +9\times 3$.
\end{enumerate}
\item Quelque soit le découpage précédent choisi on obtient 34 rectangle qui recouvrent exactement la feuille.
\end{enumerate}



\end{document}