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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
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\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore, on a la relation métrique: $AC^2+AB^2=BC^2$. Puisque $AB$ est une longueur donc un nombre positif: $AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{12,5^2-3,5^2}=12$cm.
\item On multiplie terme à terme les deux égalités: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2=36\times 4=144$ donc $\sqrt{a^2-b^2}=12$. On en déduit que $a$ peut correspondre à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les dimmensions sont: $a=BC$, $b=AB$ et $c=AC$ alors $ABC$ est rectangle en $A$.
Et $c=12$. D'après ce qui précède: $a^2=b^2+c^2$ donc si $a=BC$, $b=AB$ et $c=AC$ alors $ABC$ est rectangle en $A$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Pour répondre à cette question utilisons le théorème fondamental de l'arithmétique. La décomposition en facteur premier de 144 est: $144=2^4.3^2$.\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
m&m&p&p\\
\hline
$2^4.3^2$&144&1&1\\
\hline
$2^4.3$&48&$3$&3\\
\hline
$2^3.3$&24&$2.3$&6\\
\hline
$2^2.3$&12&$2^2.3$&12\\
\hline
$2^4$&16&$3^2$&9\\
\hline
$2^3$&8&$2.3^2$&18\\
\hline
$2^2$&4&$2^2.3^2$&36\\
\hline
2&2&$2^3.3^2$&72\\
\hline
\end{tabular}

\item Lien entre $m$, $n$, $a$ et $b$:
$\left\{ \begin{array}{c}a+b=m\\a-b=n\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}2a=m+n \\ 2b=|m-n|\\ \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{m+n}{2}\\ b=\frac{|m-n|}{2}\\ \end{array}\right.$\\
On peut donc exclure toutes les valeurs pour lesquelles $m+n$ n'est pas pair. On arrive ainsi à quatre solutions qui vérifient le précédent système: $(a,b) \in \{(15,9);(12,12);(13,5);(20,16)\} $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2006__maths_sujet2_exercice2.png}
\caption{Figure de l'exercice.}
\end{center}
\end{figure}

\item \begin{enumerate}[a)]
\item ~\\
Puisque $(d)$ est la médiatrice de $[BC]$: $(d)\bot (BC)$.\\
$\left\{\begin{array}{c}(BC)//(EF)\\ (d)\bot (BC)\\\end{array}\right. \Rightarrow (EF)\bot (d)$\\
Comme de plus par construction: $EA=AF$ et $A\in [EF]$, on en déduit que $E$ est le symétrique de $F$ par rapport à $(d)$.
\item Notons $s$ la symétrie d'axe $(d)$. On a: $\left\{\begin{array}{c} s(E)=F \\s(B)=C\\\end{array}\right.$\\
Donc (comme $A\ne B$) soit $EC$ et $BF$ se coupent en un unique point de $(d)$, soit elles sont parallèles. Le cas parallèles est à exclure puisque, par construction, elles sont supposées sécantes. Autrement dit: $I\in (d)$.\\
Comme on l'a déjà vu: $(d) \bot (EF)$ et puisque $(A,I)^2\in (d)\times (d)$ $(AI)\bot (EF)$. Ainsi les diagonales du parallélogramme $IEJF$ sont orthogonales; $IEJF$ est donc un losange. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Puisque $ABC$ est équilatéral la médiatrice et la hauteur se confondent donc le milieu de $[BC]$ est aussi le pied de la hauteur issue de $A$. Donc $AHB$ est rectangle en $H$.\\
D'après le théorème de Pythagore on a donc la relation métrique: $AH^2+HB^2=AB^2$. Puisque $HB=\frac{1}{2}BC$ et que $AB=BC=10$, $AH^2=\frac{3}{4}\times 100=75$. $HB$ étant une longueur (donc positive): $AH=5\sqrt{3}$cm.
\item On a une configuration de Thalès:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les points $B$, $I$, $F$, d'une part et $H$, $I$, $A$ sont alignés dans le même ordre.
\item Les droite $(BF)$ et $(HA)$ sont sécantes en $I$.
\end{enumerate}
Comme de plus les droites $(AF)$ et $(BH)$ sont parallèles, d'après le théorèmes de Thalès on a la relation métrique: $\frac{x}{5}=\frac{IA}{IH}$.
\item Comme $I\in [AH]$, $AI+IH=AH=5\sqrt{3}$. Donc: $IH=5\sqrt{3} -AI$. En remplaçant $IH$ par cette valeur dans l'égalité de la question précédente: $\frac{x}{5}=\frac{IA}{5sqrt{3}-AI}$. On en déduit: $AI=\frac{5x\sqrt{3}}{5+x}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Puisque les graduations sont régulières des deux côtés il y a proportionnalité entre les variations des deux systèmes de graduation. Or à un variation de $212-32=180^{\circ}$F correspond une variation de $100^{\circ}$C. Donc une variation de $1^{\circ}$C correspond à une variation de $1,8^{\circ}$F.\\
De plus comme la température à $0^{\circ}$C correspond à $32^{\circ}$F, si on note $t$ la température en degrés Celsius et T la température en degrés Fahrenheit: $T=32+1,8\times t$. On peut donc compléter les graduations.\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CRPE_2006__maths_sujet2_exercice3.png}
\caption{Double échelle de température.}
\end{center}
\end{figure}
\item Il n'y a pas de relation de relation de proportionnalité puisque: $\frac{212}{100}\ne \frac{50}{10}$ par exemple.
\end{enumerate}
\item Voir ci-dessus.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item En considérant $T$ comme une fonction de $t$ d'après le question précédente c'est une fonction affine et: $T(25)=1,8\times 25 +32=77^{\circ}$F.
\item Sur le dessin les 25 degrés sont à la moitié des graduations 20 et 30 de droite. En correspondance de cette graduation on est à la moitié entre 68 et 86: $\frac{68+86}{2}=77$. On retrouve bien le précédent résultat.
\end{enumerate}
\item Les deux échelles donnent la même température $t_0$ si et seulement si: $t_0=1,8\times t_0+32$. Autrement dit: $t_0=\frac{-32}{0,8}=-40^{\circ}$.\\
On vérifie bien sur le dessin.
\end{enumerate}



\end{document}