\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}


\section{Exercice }

\begin{enumerate}
\item $d=e=\frac{1}{2}c$ donc $b=\frac{3}{2}c$ donc $a=\frac{5}{2}c$.
\item Aire de la feuille: $\mathcal{A}=(a+b)a$ et d'après la question précédente :$\mathcal{A}=\left( \frac{5}{2}c+\frac{3}{2}c \right) \frac{5}{2}c$. En simplifiant: $\mathcal{A}=10 c^2$. Or $\mathcal{A}=3610$ donc: $c=\sqrt{\frac{3610}{10}}=19$ ou $c=-\sqrt{\frac{3610}{10}}$. Mais $c$ étant une longueur c'est un nombre positif et finalement: $c=19 \mathrm{cm}$.\\
On en déduit les dimensions de la feuille: $a=\frac{5}{2}\times 19$ et $b=\frac{3}{2}\times 19$.
\item La pièce B pèse 100 grammes. Sa masse au centimètre carré est en grammes: $m=\frac{100}{\left( \frac{3\times c}{2} \right) ^2 }$.
Donc le poids de la pièce A est de: $M(A)=m\times \left( \frac{5}{2} \times c \right) ^2=
\frac{100}{\left( \frac{3\times c}{2} \right) ^2 } \times \left( \frac{5}{2} \times c \right) ^2=
100 \times \left( \frac{5}{3} \right) ^2$. En arrondissant à un décigramme près: $\mathcal{A}\simeq 833,3$g.
\item L'arrête du cube A a une longueur de $a=\sqrt[3]{2}$. D'après la question 1) le cube C a donc une arrête de longueur $c=\frac{2}{5}\times a=\frac{2}{5}\times \sqrt[3]{2}$. Donc le volume de C est, en $\mathrm{m}^3$,  $\mathcal{V}(C)=\left( \frac{2}{5}\times \sqrt[3]{2} \right) ^3=\frac{2^3}{5^3} \times 2$. Donc en $\mathrm{dm}^3$: $\mathcal{V}(C)=\frac{2^3}{5^3} \times 2\times 10^3$ 


\end{enumerate}

\section{Exercice }

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{CRPE_2006__maths_sujet1_exercice2.png}
\caption{Illustration de l'exercice.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item Puisque $K\in \mathcal{C}$, $AKB$ est rectangle en $K$. Comme de plus l'angle $ \overset{\wedge}{B} $ mesure $45^{\circ }$ et que la somme des angles d'un triangle égale un angle plat on en déduit que le triangle $ABK$ est isocèle rectangle en $K$. La hauteur issue de $K$ et la médiatrice du segment $[AB]$ sont donc confondues. Donc $KI$ est la médiatrice de $[AB]$.
\item Montrons que $O$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $L\in \mathcal{C} \Rightarrow ALB \text{ est rectangle en }L.$ Donc $(LB)$ est la hauteur issue de $B$.
\item $k\in \mathcal{C} \Rightarrow AKB \text{ est rectangle en }K.$ Donc $(KA)$ est la hauteur issue de $A$.
\end{enumerate}
$O$ est donc le point d'intersection de deux hauteurs du triangle $ABC$.\\
Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en l'orthocentre si bien que $O$ appartient nécessairement à la troisième hauteur $(HC)$.\\
Autrement dit les points $O$, $H$ et $C$ sont alignés.
\item Le quadrilatère convexe $IKCD$ est trapèze. En effet les droites $(OC)$ et $(KI)$ sont (en tant que hauteur et médiatrice) perpendiculaires à $(AB)$ donc sont parallèles entre elles.
\item ~\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{CRPE_2006__maths_sujet1_exercice2bis.png}
\caption{Construction.}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}

\section{Exercice }

\begin{enumerate}
\item $26=5+3\times 7$, $43=2\times 5 +3\times 11$ et $220012=5+7+20000\times 11$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Un score du jeu est un nombre qui peut s'écrire: $5\alpha +7\beta +11\gamma$. Si le score est 34 alors nécessairement $\alpha \le 7$, $\beta \le 4$ et $\gamma \le 3$.
Écrivons dans le tableau ci-dessous toutes les sommes $5\alpha +7\beta$ possibles.\\
\begin{tabular}{|m{1cm}||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\alpha$ \newline -- \newline $\beta$&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\hline
0&0&5&10&15&20&25&30&35&40\\
\hline
1&7&12&17&22&27&32&37&42&47\\
\hline
2&14&19&24&29&34&39&44&49&54\\
\hline
3&21&26&31&36&41&46&51&56&61\\
\hline
4&28&33&38&43&48&53&58&63&68\\
\hline
5&35&40&45&50&55&60&65&70&75\\
\hline
\end{tabular}

Si $\gamma =3$ alors $5\alpha + 7\beta=1$ ce qui est impossible.\\
Si $\gamma =2$ alors $5\alpha + 7\beta=12$ qui a une solution: $(\alpha ;\beta )= (1;1)$.\\
Si $\gamma =1$ alors $5\alpha + 7\beta=23$ ce qui est impossible.\\
Si $\gamma =0$ alors $5\alpha + 7\beta=34$ qui a une solution: $(\alpha ;\beta )= (4;2)$.\\
En conclusion il n'existe que deux jeux correspondant au score 34 qui sont 5+7+11+11 et 5+5+5+5+7+7.
\item En procédant de même (avec le même tableau) on peut affirmer que le score 45 est réalisé par les quatre jeux: 5+7+7+7+7+7, 5+5+5+5+5+5+5+5, 5+5+7+7+11, 7+11+11+11.
\end{enumerate}

\item Déterminons tous les triplets $(\alpha ;\beta ; \gamma )$ tels que $\alpha +\beta + \gamma=3$.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\alpha$&$\beta$&$\gamma$&Score\\
\hline
0&0&3&33\\
0&1&2&29\\
0&2&1&25\\
1&0&2&27\\
1&1&1&23\\
1&2&0&19\\
2&0&1&21\\
2&1&0&17\\
3&0&0&15\\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{enumerate}[a)]
\item $14=7+7$, $15=5+5+5$, $16=5+11$, $17=5+5+7$ et $18=7+11$.\\
Notons $P_n$ pour $n\ge 14$ un entier naturel, la proposition: \og $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ sont des scores possibles. \fg .\\
La proposition est vraie pour $n=14$.\\
Soit $n\ge 14$ un entier naturel. Supposons $P_n$ vraie et montrons qu'alors $P_{n+1}$ est vraie. Par hypothèse de récurrence $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ sont des scores possibles. De plus $n+5$ est un score possible puisque $n$ est un score possible et que 5 est aussi un score possible. Ainsi $P_{n+1}$ est vraie.
\item Les entiers qui ne correspondent à aucun score sont donc des entiers $n<14$. L'ensemble des entiers ne correspondant pas à un score est: $\{ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13 \}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}