\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}



\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\pagestyle{empty}

\setlength\textheight{26.6cm}\setlength\headsep{-2.5cm}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{Id}_}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item ~\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Étape&1&2&3&4&5\\
\hline
Nombres de triangles&1&3&6&10&15\\
\hline
\end{tabular}

Pour recenser les triangles on peut les regrouper suivant la longueur (en graduation) de leur base.
\item Une façon de voir les choses:
\begin{itemize}
\item Il y a 1 triangle dont la base mesure 10.
\item Il y a 2 triangles dont la base mesure 9.
\item Il y a 3 triangles dont la base mesure 8.\\
$\vdots$
\item Il y a 10 triangles dont la base mesure 1.
\end{itemize}
Le nombre total de triangles dessinés est: $1+\dots +10=\sum_{k=1}^{10}k=\frac{11\times 10}{2}=55$.
\item Soit $n$ le dernier numéro inscrit sur la droite le nombre total de triangle est la somme des entiers naturels de 1 à $n$ donc: $\frac{n.(n+1)}{2}$. S'il y 105 triangles: $2\times 105=n^2+n$. Donc $n$ est une racine de: $X^2+X-210=0$. Il s'agit d'un trinôme du second degré: $\Delta =841$. Donc le trinôme admet deux racines distinctes: $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2.a}=14$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2.a}=-15$. Comme $n\in \mathbb{N}$, il n'y a qu'une solution possible: $n=14$.\\
Léa a fait 14 graduations.
\item On recommence: $X^2+X-6642=0$. $\Delta =26569$.  $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2.a}=81$ et  $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2.a}=-82$. Donc le dernier point marqué serait 81.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Le plus petit nombre répondant aux critères est: 43125.
\item $1) \Rightarrow $ le nombre peut s'écrire $\overline{1abcd}$ avec $0\le b,c,d\le 9$ et $a\in \{ 5,6\}$.\\
$3) \Leftrightarrow b\in \{ 0;3;6;9\} $\\
$4) \Leftrightarrow d\in \{ 6;8\} $\\
$5) \leftrightarrow 	c=b+1$\\
16000 est à exclure puisqu'on ne peut répéter un chiffre d'après 2). Donc $a=5$.\\
$b$ ne peut être égale à 9 car $c=b+1$ et $c\le 9$. Donc $d\in \{ 0;3;6\}$.
Si $b=6$ alors $d$ ne peut être égale qu'à 8. On résume cela sur le schéma:\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{CRPE_2006__maths_sujet0_2_exercice2.png}
\caption{Différents $a,b,c,c$ possibles.}
\end{center}
\end{figure}
Les nombres possible sont donc:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 15016
\item 15018
\item 15346
\item 15348
\item 15678
\end{enumerate}

\item Notons $N=\overline{abc}$ avec $0\le a,b,c \le 9$. Alors: $M=\overline{acb}$ et $P=\overline{bac}$. Comme dans tous les cas on obtient un nombre à trois chiffres nécessairement $a$ et $b$ sont non nuls.\\
On a les systèmes successivement équivalents:\\
$\left\{\begin{array}{c}N+36=M\\N-270=P\\\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{c}100.a+10.b+c+36=100.a+10.c+b\\ 100.a+10.b+c-270=100.b+10.a+c\\\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{c}9.b-9.c=-36\\90a-90b=270\\\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{c}b-c=4\\a-b=3\\\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{c}c=b-4\\a=3+b\\\end{array}\right.$\\
Donc nécessairement $b\ge 4$ et $b\le 6$ et l'on obtient toutes les solutions possibles:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
b&a&c&$\overline{abc}$\\
\hline
4&7&0&740\\
\hline
5&8&1&851\\
\hline
6&9&2&962\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Notons $x$ la largeur du rectangle 1. Notons $y$ la longueur du rectangle 1. On remarque sur la figure que: $2.x=y$.\\
D'autre part dire que le périmètre de $ABCD$ égale 55 équivaut à dire que: $2.(x+y)+2.y=55$. Compte tenu de la relation liant $x$ et $y$: $2.(x+2x)+2\times 2.x=55$. Autrement dit: $x=5,5$.\\
L'aire du rectangle 1 est donnée par: $A_1=y.(y+x)=2.x.(2.x+x)=6.x^2$. Donc $A_1= 181,5\mathrm{cm}^2$.
\item l'aire du rectangle $ABCD$ est trois fois celle du rectangle 1: $A_2=3\times A_1=544,5\mathrm{cm}^2$.
\item Le périmètre du rectangle 1 est: $P_1=2.x+2.y=6.x$. Le périmètre du rectangle 2 est: $P_2=2.y+2.(x+y)=10.x$. On en déduit le pourcentage du périmètre de $ABCD$ que représente celui du rectangle 1: $p=100\times \frac{P_1}{P_2}=100\times \frac{6}{10}=100\times \frac{3}{5}=60\%$.
\item Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore on a: $AB^2+BC^2=AC^2$. Autrement dit: $4.x^2+9.x^2=AC^2$. Donc, $AC$ étant une grandeur positive: $AC=x.\sqrt{13}$.\\
Le demi-périmètre du rectangle 1 est: $3.x$.\\
Donc les deux grandeurs sont différentes.
\end{enumerate}


\end{document}