\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{slashbox} %pour dessiner la diagonale d'un tableau latex \backslashbox{\$y^2\$}{\$x^2\$ }


\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\pagestyle{empty}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rema}{\underline{Remarque}}%l'étoile signifie qu'on ne numérote pas
\newtheorem*{inter}{Interprétation grahique}
\newtheorem*{ex}{Exemple}
\newtheorem*{exer}{Exercice}
\newtheorem*{dem}{Démonstration}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{\textbf{Définition}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{propi}{\textbf{Proposition}}[section]% le [section] indique qu'il faut numéroter comme les sections.
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme.-~}
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]

%\newtheoremstyle{oilier}{3pt}{3pt}{\textnormal}{1pt}{\bfseries}{:}{}{}

%\newenvironment{prop}{\begin{thmbox}[L] }{\end{thmbox}}
%\newenvironment{propi}{\begin{prop}}{\end{prop}}
%\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}%[theo] impose aux propositions de s'intégrer dans la numértation des théorèmes 

\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\suite}{\sum_{n\ge 0}u_n}
\newcommand{\cn}{$\Rightarrow$}
\newcommand{\cs}{$\Leftarrow$}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\x}{\mathrm{X}}
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\newcommand{\card}{\mathrm{Card}}
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\newcommand{\li}{\mathcal{L}}
\newcommand{\gli}{\mathcal{GL}}
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\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}

\newenvironment{preuve}{\noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}

%\newenvironment{theo}[1]{\mbox{\Large{\uppercase{#1}}}}

\begin{document}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item Le salaire de Dominique est augmenté de $5\%$ donc son nouveau salaire est: $x'=1,05.x$.\\
Le salaire de Claude est augmenté de $12,5\%$ donc son nouveau salaire est: $y'=1,125y$.\\
Le nouveau revenu du couple est donc: $x'+y'=1,05.x+1,125y$.\\
Puisque Dominique gagne $50\%$ de plus que Claude: $x=1,5.y$. La précédente égalité s'écrit donc en substituant $x$ par cette nouvelle expression: $x'+y'=1,05\times 1,5.y+1,125y=2,7.y$.\\
Or $y=1800$ donc le nouveau salaire du couple est: $2,7\times 1800=4860$\euro .
\item D'après la question précédente le nouveau revenu du couple est donc: $1,05.x+1,125y$.
\item Les revenus initiaux du couple sont: $x+y=1800+1,5\times 1800=4500$\euro . Donc le pourcentage d'augmentation des revenus du couple est: $100\times \frac{x'+y'-(x+y)}{x+y}=100\times \frac{4860-4500}{4500}=8\%$.
\item L'augmentation des revenus du couple est: $100\times \frac{x'+y'-(x+y)}{x+y}=100\times \frac{2,7.y-2,5.y}{2,5.y}=100\times \frac{0,2}{2,5}=8\%$.
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item La décomposition additive de 33 comporte au maximum quatre fois 7 car $4\times 7\le 33<5\times 7$.\\
La décomposition additive de 33 comporte au maximum 6 fois 5 car $6\times 5\le 33<7\times 5$.\\
Recensons toutes les possibilités de couples de 5 et de 7 en comptant combien de fois ces nombres sont utilisés:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{7}{5}&0&1&2&3&4\\
\hline
0&0&7&14&21&28\\
\hline
1&5&12&19&26&33\\
\hline
2&10&17&24&31&38\\
\hline
3&15&22&29&36&43\\
\hline
4&20&27&34&41&48\\
\hline
5&25&32&39&46&53\\
\hline
6&30&37&44&51&58\\
\hline
\end{tabular}

Les cases du tableau correspondant à des solutions sont celles contenant un nombre inférieur ou égale à 33. De plus la quantité manquant pour avoir 33 doit être un multiple de trois. Or les quantités restantes correspondantes sont:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{7}{5}&0&1&2&3&4\\
\hline
0&33&26&19&12&5\\
\hline
1&28&21&14&7&0\\
\hline
2&23&16&9&2&-\\
\hline
3&18&11&4&-&-\\
\hline
4&13&6&-&-&-\\
\hline
5&8&1&-&-&-\\
\hline
6&3&-&-&-&-\\
\hline
\end{tabular}

On ne retient que les nombres divisible par 3:\\
$11\times 3+0\times 5+0\times 7$\\
$4\times 3+0\times 5+3\times 7$\\
$7\times 3+ 1\times 5+ 1\times 7$\\
$3\times 3+ 2\times 5+2\times 7$\\
$6\times 3+3\times 5+0\times 7$\\
$2\times 3+4\times 5+1\times 7$\\
$1\times 3+6\times 6+0\times 7$
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Yanis affirme donc qu'il existe une décomposition telle que celles de la question 1) pour laquelle il y a 2 fois 7 et 0 fois 5. Or il n'y a pas de telle solutions parmi celles que nous avons recensées. Ce n'est donc pas possible.
\item Notons $m$ le nombre de drop (et donc de pénalités marquées) et $n$ le nombre d'essais non transformés. On a donc: $27=2\times m\times 3+ n\times 5+2\times 14$. Donc: $5.n+6.m=13$. Nécessairement: $n\le 2$.\\
Or si $n=2$, alors $m=\frac{3}{6}$ est impossible.\\
Si $n=1$, alors $m=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ est impossible.\\
Si $n=0$, alors $m=\frac{13}{6}$ est impossible.\\
C'est donc impossible.
\item On reprend le raisonnement de la question 1) et on a:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{7}{5}&0&1&2\\
\hline
0&0&7&14\\
\hline
1&5&12&19\\
\hline
2&10&17&24\\
\hline
3&15&22&29\\
\hline
4&20&27&34\\
\hline
\end{tabular}

et donc il reste:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{7}{5}&0&1&2\\
\hline
0&20&13&6\\
\hline
1&15&8&1\\
\hline
2&10&3&-\\
\hline
3&5&-&-\\
\hline
4&0&-&-\\
\hline
\end{tabular}

On identifie les multiples de 3 et on en déduit les possibilités:\\
$2\times 3+0\times 5+ 2\times 7$\\
$5\times 3+1\times 5+0\times 7$\\
$1\times 3+2\times 5+1\times 7$\\
$0\times 3+4\times 5+0\times 7$.\\
On peut reprendre les différentes égalités précédentes en remplaçant 3 par pénalités, 5 par essai non transformé et 7 par essai transformé.


\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Exercice}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item La longueur de ficelle utilisée se trouve en calculant les périmètres des rectangles que décrivent cette ficelle: $L=2.(x+y)+4.x=6.x+2.y$. D'après l'énoncé $L=100$, donc $y=\frac{100-6x}{2}=50-3.x$.
\item L'aire du parallélépipède est: $A=2.x^2+4.xy$. On remplace $y$ par l'expression trouvée à la question précédente: $A=2.x^2+4.x.(50-3.x)$.
\item On obtient un cube si et seulement si $x=y$ donc si et seulement si $x=50-3.x$. Autrement dit: $x=\frac{5}{4}=12,5$cm.
\end{enumerate}

\item D'après l'annexe 5 l'aire maximale du parallélépipède est $1000\mathrm{cm}^2$. Et d'après les annexes 5 et 6 cette aire maximale est obtenue pour$x\simeq 10$cm. Et Donc $y=50-3\times 10=20$cm.
\item On lit sur l'annexe 6:\\
\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
\hline
$L$ en cm &$A$ en $\mathrm{cm}^2$\\
\hline
100&750\\
\hline
80&550\\
\hline
75&500\\
\hline
50&250\\
\hline
\end{tabular}

\item D'après les premières questions:\\
$\left\{\begin{array}{c}L=6.x+2.y\\A=2.x^2+4.x.y\\ \end{array} \right.$
Si $L=60$cm, alors $y=30-3x=15$ et $A=350\mathrm{cm}^2$.\\
Si $L=70$cm, alors $y=35-15=20$ et $A=450\mathrm{cm}^2$.\\
\item On complète le tableau:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Longueur de la ficelle exprimée en cm&80&70&60&50\\
\hline
Aire du parallélépipède en $\mathrm{cm}^2$&550&450&350&250\\
\hline
Écart longueur&10&10&10&\\
\hline
Écart aire&100&100&100&\\
\hline
\end{tabular}






\end{enumerate}




\end{document}

