%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/concours_general.html}{Concours général de mathématique s 2017} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours général de mathématique s 2017.}

\begin{sujet}

\begin{center}
	
	COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
	
	Classes de terminale S
	
	DURÉE : 5 HEURES
	
	La calculatrice est autorisée conformément à la réglementation.
	
	La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
	
	\begin{notes}
	
	Le sujet comporte trois problèmes indépendants et 5 pages numérotées 1 à 5.
	
	\end{notes}
	
	Le candidat peut traiter les questions dans l’ordre de son choix, à condition de l’indiquer
clairement dans la copie.
		
\end{center}

\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Problème: parties de $\mathbb{C}$ de type $S$.}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Ce problème peut être lié à une question algébrique (résolution d'équation, théorie de Gallois) à l'étude de fonctions holomorphes ou de suites complexes et donc de fractales. Bref, en fait je n'en sais rien.}
	
\end{correction}

\begin{sujet}
	
	Une partie $\mathscr{A}$ non vide de $\mathbb{C}$ (ensemble des nombres complexes) est dite de type $S$, si pour tout $z_1\in \mathscr{A}$ et $z_2 \in \mathscr{A}$ le produit $z_1z_2$ et la somme $z_1^2+z_2^2$ sont encore dans $\mathscr{A}$.
	
	\medskip
	Dans tout le problème $\mathscr{A}$ désigne une partie de $\mathbb{C}$ de type $S$.
	
	\medskip
	On note $b(\mathscr{A})$ le nombre de nombres complexes $z$ de $\mathscr{A}$ dont le module $|z|$ est inférieur ou égale à $1$.
	
	On note $b(\mathscr{A})=\infty$ si ce nombre est infini.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: Quelques exemples simples.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les ensembles suivants sont des parties de $\mathscr{C}$ de type $S$ (on ne demande pas de le vérifier), préciser pour chacun d'eux la valeur de $b(\mathscr{A})$:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$\mathscr{A}= \{ 0 \}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Pour ces questions il suffit de compter combien de nombre de l'ensemble proposé sont dans le disque unité du plan complexe. En notant $D$ ce disque unité nous remarquons: $b(\mathscr{A}) = \mathrm{Card}(\mathscr{A}\cap D$ (en ne distinguant pas les différentes puissances de l'infini). La fonction $b$ permet d'évaluer la densité du maillage qu'induit $\mathscr{A}$ dans $\mathbb{C}$.}
			
			\medskip
			$b(\{ 0 \})=1$
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$\mathscr{A}=\mathbb{C}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$b(\mathbb{C})=\infty$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$\mathscr{A}=\mathbb{N}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$b(\mathbb{N})=2$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$\mathscr{A}=\mathbb{N}^*$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$b(\mathbb{N}^*)=1$.
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b(\mathscr{A})=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			$]1;+\infty[$ est de type $S$ et $b(]1;+\infty[)=0$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b(\mathscr{A})=3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\mathbb{Z}$ est de type $S$ et $b\left( \mathscr{A} \right)=3$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $\overline{\mathscr{A}}= \{ \overline{z}, z\in\mathscr{A} \}$, c'est-à-dire la partie de $\mathbb{C}$ constituée de tous les nombres complexes conjugués des éléments de $\mathscr{A}$. Montrer que $\overline{\mathscr{A}}$ est de type $S$ et préciser $\displaystyle b\left(\overline{\mathscr{A}} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $\mathscr{A}$ une partie de type $S$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\overline{\mathscr{A}}$ est de type $S$.}
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\mathscr{A} \subseteq \mathbb{C} \Rightarrow \overline{\mathscr{A}} \subseteq \mathbb{C}$.
			\item $\mathscr{A}$ est non vide donc il existe $z\in\mathscr{A}$ et donc $\overline{z} \in \overline{\mathscr{A}}$. Donc $\overline{\mathscr{A}}$ est non vide.
			\item Soit $z_1,z_2 \in \overline{\mathscr{A}}$. 
			
			Donc $\overline{z_1} ,  \overline{z_2} \in \mathscr{A}$.
			
			Donc $\overline{z_1z_2} \in \mathscr{A}$.
			
			Donc $z_1z_2 \in \overline{\mathscr{A}}$.
			
			\item Soit $z_1,z_2 \in \overline{\mathscr{A}}$. 
			
			Donc $\overline{z_1} ,  \overline{z_2} \in \mathscr{A}$.
			
			Donc $\overline{z_1}^2+\overline{z_2}^2 \in \mathscr{A}$.
			
			Autrement dit $\overline{z_1^2+z_2^2} \in \mathscr{A}$.
			
			Donc $z_1^2+z_2^2 \in \overline{\mathscr{A}}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré que 
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $\mathscr{A}$ est de type $S$ alors $\overline{\mathscr{A}}$ est de type $S$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Précisons $\displaystyle b\left( \overline{\mathscr{A}} \right)$.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} z\in \mathscr{A} \\ |z|\le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overline{z} \in \overline{\mathscr{A}} \\ |\overline{z} | \le 1 \end{array} \right. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle b \left( \overline{\mathscr{A}} \right) = b(\mathscr{A} )$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: deux exemples de parties de $\mathbb{C}$ de type $S$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On définit le complexe $j$ par $j=\mathrm{e}^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3} $ et on note  $\mathbb{Z}[j]=\{ a+bj,\ (a,b)\in \mathbb{Z}^2 \}$, c'est-à-dire la partie de $\mathbb{C}$ constituée de tous les nombres complexes de la forme $a+bj$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $1+j+j^2$.
			
		\end{sujet}
			
		\begin{correction}
			
			Il s'agit de la somme des trois premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $j$. Donc \[ 1+j+j^2 = \frac{1-j^3}{1-j}. \]
			
			Or $j^3= \left( \mathrm{e}^{2i\frac{\pi}{3}} \right) ^3= \mathrm{e}^{2i\pi}=1$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$1+j+j^2=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $\mathbb{Z}[j]$ est de type $S$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\mathbb{Z}[j]$ est de type $S$.}
			
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item Pour $a$ et $b$ entiers $a+bj$ est un complexe. Donc $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathbb{C}$.
				\item $j\in\mathbb{Z}[j]$ donc $\mathbb{Z}[j]$ est non vide.
				\item 
				
				\begin{align*}
					z_1z_2 &= (a_1+jb_1)(a_2+jb_2)\\
					&= a_1a_2+j^2b_1b_2+j(b_1a_2+a_1b_2)\\
					\intertext{Donc, d'après la question précédente:}
					z_1z_2 &= a_1a_2+(-1-j)b_1b_2+j(b_1a_2+a_1b_2)\\
					&= \left[ a_1a_2-b_1b_2 \right] +j \left[ -b_1b_2+b_1a_2+a_1b_2 \right]
				\end{align*}
				
				Ainsi $z_1z_2 \in \mathbb{Z}[j]$.
				\item Soit $z\in \mathbb{Z}[j]$.
				
				\begin{align*}
					z^2 &= (a+jb)^2\\
					&= a^2+2jab+j^2b^2\\
					&= a^2+2jab+(-1-j)b^2\\
					&= a^2-b^2+j\left( 2ab-b^2 \right)
				\end{align*}
				
				Ainsi $z^2$ est bien élément de $\mathbb{Z}[j]$.
				
				En procédant de même nous établirions sans difficultés que pour $z_1,z_2 \in \mathbb{Z}[j]$, $z_1^2+z_2^2\in \mathbb{Z}[j]$.
			\end{enumerate}
			
			Nous avons démontré que 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{Z}[j]$ est de type $S$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Montrer que $\displaystyle b\left( \mathbb{Z}[j] \right)=7$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Recherchons les éléments de $\mathbb{Z}[j]$ de module inférieur ou égale à $1$ par analyse puis synthèse.}
			
			\begin{enumerate}
				\item Analyse.
				
				Soit $z=a+jb$ un élément de $\mathbb{Z}[j]$ tel que $|z|\le 1$.
				
				\medskip
				\begin{align*}
					|z| \le 1 &\Leftrightarrow \left| a+\left( -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3} \right) b \right|\le 1 \\
					&\Leftrightarrow \left| \left(a -\frac{1}{2}b\right)+i\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}b \right)  \right|\le 1 \\
					&\Leftrightarrow \sqrt{ \left(a -\frac{1}{2}b\right)^+\left( \frac{1}{2}b\sqrt{3} \right)]^2} \le 1 \\
					&\Leftrightarrow \sqrt{ \left(a -\frac{1}{2}b\right)^2+\left( \frac{1}{2}b\sqrt{3} \right)^2} \le 1 \\
					&\Leftrightarrow \left(a -\frac{1}{2}b\right)^2+\left( \frac{1}{2}b\sqrt{3} \right)^2 \le 1 \\
				\end{align*}
				
				Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} -1\le a -\frac{1}{2}b\le 1 \\ -1 \le \frac{1}{2}b\sqrt{3} \le 1 \end{array} \right. \]
				
				Du second encadrement on déduit: $b\in \{ -1;0;1 \}$.
				
				Puis on déduit les valeurs possibles pour $a$ avec le premier encadrement.
				
				\medskip
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					$b$ & $-1$ & $0$ & $1$
					\\
					\hline
					$a$ & $0$ & $-1$ & $0$ 
					\\
					& $-1$ & $0$ & $1$
					\\
					&& $-1$ & 
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
				Par conséquent les nombres recherchés sont parmi: $-j$, $-1-j$, $-1$, $0$, $-1$, $j$ et $1+j$. 
				
				\item Synthèse.
				
				On vérifie aisément que les nombres précédents sont dans $\mathbb{Z}[j]$ et de module inférieur ou égale à $1$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré que les seuls nombres de $\mathbb{Z}[j]$ de module inférieur à $1$ sont $-j$, $-1-j$, $-1$, $0$, $-1$, $j$ et $1+j$. Donc $\displaystyle b\left( \mathbb{Z}[j] \right)=7$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $\mathbb{Z}[j]^*=\mathbb{Z}[j]\setminus \{ 0 \}$ (les éléments non nuls de $\mathbb{Z}[j]$). Justifier que $\mathbb{Z}[j]^*$ est de type $S$ et déterminer $b\left( \mathbb{Z}[j]^* \right)$.
			
		\end{sujet}	
		
		\begin{correction}
			
			La démonstration faite à la question B.1.(b) reste valable.
			
			De même le résultat de la question précédente reste valable en excluant le zéro.
			
			Vérifions que si $z_1$ et $z_2$ sont non nuls, alors $z_1z_2 \ne 0$ et $z_1^2+z_2^2\ne 0$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le produit de deux nombres complexes est nul si et seulement si l'un d'entre eux est nul. Donc $z_1z_2\ne 0$.
				\item $	z_1^2+z_2^2=0 \Leftrightarrow (z_1-iz_2)(z_1+iz_2)=0$.
				
				En considérant les parties réelles et imaginaires: 
				
				$ \left\{ \begin{array}{l} a_1-\frac{1}{2} b_1 = \epsilon \frac{1}{2}\sqrt{3} b_2 \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} b_1 = \epsilon\left( a_2- \frac{1}{2}b_2 \right) \end{array} \right.$ avec $\epsilon \in \{ -1; 1 \}$.
				
				En raisonnant sur l'irrationalité de $\sqrt{3}$ nous obtenons que nécessairement $b_1=b_2=0$ et donc $a_1=a_2=0$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle b\left( \mathbb{Z}[j]^* \right)=6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On définie la partie $\mathscr{R}$ de $\mathbb{C}$ par \[ \mathscr{R}=\left\{ z\in \mathbb{C},\ z^2\in \mathbb{Z}[j] \right\}. \] Ainsi un nombre complexe $z$ est dans $\mathbb{R}$ si et seulement si son carré est dans $\mathbb{Z}[j]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\mathscr{R}$ est du type $S$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Remarquons $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathscr{R} \subseteq \mathbb{C}$, donc $\mathscr{R}$ est une partie non vide de $\mathbb{C}$.
			
			\begin{align*}
				z_1, z_2 \in\mathscr{R} &\Rightarrow z_1^2, z_2^2 \in \mathbb{Z}[j]\\
				&\Rightarrow z_1^2z_2 ^2 \in \mathbb{Z}[j]\\
				&\Rightarrow (z_1z_2)^2 \in \mathbb{Z}[j]\\
				&\Rightarrow z_1z_2 \in \mathscr{R}
			\end{align*}
			
			\begin{align*}
				z_1,z_2 \in \mathscr{R} &\Rightarrow z_1^2,z_2^2 \in \mathbb{Z}[j]\\
				&\Rightarrow z_1^2+z_2^2\in \mathbb{Z}[j]\\
				\intertext{et comme $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathscr{R}$:}
				&\Rightarrow z_1^2+z_2^2 \in \mathscr{R}
			\end{align*}
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer $b\left( \mathscr{R} \right)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathscr{R} \Rightarrow b\left( \mathbb{Z}[j] \right) \le b\left( \mathscr{R} \right)$.
			
			Notons $N=\{ -j, -1-j, -1, 0, -1, j,1+j \} $
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons les éléments de $\mathscr{R}$ dont le module est inférieur à $1$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Analyse.
				
				Soit $z \in \mathscr{R}$ de module inférieur à $1$.
				
				\begin{align*}
					|z|\le 1 &\Rightarrow |z^2|\le 1\\
					&\Rightarrow z^2 \in \mathbb{Z}[j] \cap N
				\end{align*}
				
				Donc il existe $r\in N$ tel que $z^2=r$.
				\item Synthèse. 
				
				Soit $z$ la racine carrée d'un élément de $N$. Alors clairement $z\in \mathscr{R}$ et $|z|\le 1$.

			\end{enumerate}
			
			Chaque élément de $N$, hormis $0$ admet deux racines carrées distinctes et ces racines sont distinctes deux à deux. Par conséquent il y a $13$ éléments de $\mathscr{R}$ dont le module est inférieur à $1$.
			
			\begin{tabular}{|m{1.6cm}|m{4cm}|m{4cm}|}
				\hline
				Éléments de $N$ & Écriture exponentielle & Racines carrées
				\\
				\hline
				$0$ & & $0$
				\\
				\hline
				$1$ &  & $1$
				\\
				&& $-1$
				\\
				\hline
				$-1$ & & $i$
				\\
				&& $-i$
				\\
				\hline
				$j$ & $\exp\left(i\frac{2\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(i\frac{\pi}{3} \right)$
				\\
				&& $\exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right)$
				\\
				\hline
				$-j$ & $\exp\left(-i\frac{\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(-i\frac{\pi}{6} \right)$
				\\
				&& $\exp\left(i\frac{5\pi}{6} \right)$
				\\
				\hline
				$1+j$ & $\exp\left(i\frac{\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(i\frac{\pi}{6} \right)$
				\\
				&& $\exp\left(-i\frac{5\pi}{6} \right)$
				\\
				\hline
				$-1-j$ & $\exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(-i\frac{\pi}{3} \right)$
				\\
				&& $\exp\left(i\frac{2\pi}{3} \right)$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\medskip
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle b\left( \mathscr{R} \right)=13$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: à la recherche des valeurs possibles de $\displaystyle b\left( \mathscr{A} \right)$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose qu'il existe $a\in\mathscr{A}$ tel que $0<|a|<1$. Montrer que $b\left( \mathscr{A} \right)=\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\objectif{Exhibons une infinité de termes de $\mathscr{A}$ de module strictement inférieur à $1$.} 
	
		Considérons la suite $(a^n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		
		Puisque $|a|<1$, quelque soit $n\in\mathbb{N}^*$, $|a^n|< 1$.
		
		{\color{orange}Nous aurions pu plus simplement constater que la suite $(|a^n|)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement décroissante.}
		
		D'autre part si pour $n< m$, $a^n=a^m$ alors $a^{m-N}=1$ ce qui contredit $0<|a|<1$. Donc nécessairement les termes de la suite sont distincts deux à deux.
		
		Nous avons trouvé une infinité de terme de $\mathscr{A}$ dont le module est strictement inférieur à $1$ et donc $b\left( \mathscr{A} \right)=\infty$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Ainsi si un élément de $\mathscr{A}$ a un module compris strictement entre $0$ et $1$, alors $b\left( \mathscr{A} \right)=\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère, dans cette question, un nombre complexe $a$ de module $1$. On note $\mathrm{Arg}(a)$ l'unique argument de $a$ inclus dans l'intervalle $]-\pi , \pi]$. On suppose de plus que $\mathrm{Arg}(a)$ n'est ni un multiple de $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, ni un multiple de $\displaystyle \frac{\pi}{4}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] \frac{\pi}{6} , \frac{2\pi}{3} \right[$, alors l'un des deux nombres complexes $a^2+a^4$ ou $a^4+a^8$ possède un module non nul et strictement inférieur à $1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange} Après avoir établi que $|a^2+a^4|=|1+\mathrm{e}^{2i\theta}$, il est possible d'aborder la démonstration avec un point de vue géométrique. Nous recherchons les points d'affixe $1+\mathrm{e}^{2i\theta}$ ou $1+\mathrm{e}^{4i\theta}$ qui sont strictement à l'intérieur du disque unité et différents de l'origine.
			
			\begin{center}	
				
				\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
					\def\xY{-2};
					\def\yY{-2};
					\def\xZ{2};
					\def\yZ{2};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick,black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
					\draw[green, thick,dashed][samples=100,domain={180/6}:{360/3}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
					\draw(-1.7,1.8)node{\color{green}$\theta$};
					\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain={180/3}:{2*360/3}] plot({1.3*cos(\x)},{1.3*sin(\x)});
					\draw(-1.7,1.5)node{\color{red}$2\theta$};
					\draw[blue, thick,dashed][samples=100,domain={2*180/3}:{360+180/3}] plot({1.5*cos(\x)},{1.5*sin(\x)});
					\draw(-1.7,1.2)node{\color{blue}$4\theta$};
					\foreach \x/\y in {0/1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6 } \draw[thick,black,dotted] ({cos(\x*360/6)},{sin(\x*360/6)})--({cos(\y*360/6)},{sin(\y*360/6)})node[midway,black]{$\circ$};
					\draw[black,dashed] (0,0)--({1.8*cos(180/3)},{1.8*sin(180/3)});
					\draw[black,dashed] (0,0)--({1.8*cos(360/3)},{1.8*sin(360/3)});
					\draw[black,dashed] (0,0)--({1.8*cos(2*360/3)},{1.8*sin(2*360/3)});
					\def\thetaa{180/6+2*180/14};
					\draw ({1.0*cos(\thetaa)},{1.0*sin(\thetaa)}) node{$\bullet$};
					\draw ({1.0*cos(\thetaa)},{1.0*sin(\thetaa)}) node[below left]{$\mathrm{e}^{i\theta_0}$};
					\draw[red] ({1+1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)}) node{\color{red}$\bullet$};
					\draw[red] ({1+1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)}) node[above right,fill=white]{\color{red}$1+\mathrm{e}^{2i\theta_0}$};
					\draw[orange][samples=100,domain=0:\thetaa] plot({0.3*cos(\x)},{0.3*sin(\x)});
					\draw[orange]({0.4*cos(\thetaa/2)},{0.4*sin(\thetaa/2)}) node{\small $\theta$};
					\draw[very thick,red] ({1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)})--({1+1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)})node[midway,black]{$\circ$};
					%\draw[red][samples=100,domain={180/3}:{2*360/3}] plot({1+1.0*cos(\x)},{1.0*sin(\x)});
					\draw[blue] ({1+1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)}) node{\color{blue}$\bullet$};
					\draw[blue] ({1+1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)}) node[below left,fill=white]{\color{blue}$1+\mathrm{e}^{4i\theta_0}$};
					\draw[very thick,blue] ({1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)})--({1+1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)})node[midway,black]{$\circ$};
					%\draw[blue][samples=100,domain={2*180/3}:{360+180/3}] plot({1+1.0*cos(\x)},{1.0*sin(\x)});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			En raisonnant sur le dessin nous conjecturons les valeurs limites de $\theta$ auxquelles il faudra s'intéresser.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					$\theta$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{2\pi}{3}$
					\\
					\hline
					$2\theta$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{4\pi}{3}$
					\\
 					\hline
					$4\theta$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{4\pi}{3}$ & $2\pi + \frac{\pi}{3}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			}
			
			\medskip
			Notons $\theta=\mathrm{Arg}(a)$.
			
			\begin{align*}
				|a^2+a^4| &= |a^2| \times |1+a^2|\\
				&= |1+a^2|\\
				&= \left| 1+ \left( \mathrm{e}^{i\theta} \right)^2 \right|\\
				&= \left|1+ \mathrm{e}^{2i\theta} \right|\\
				&= \left| 1+\cos (2\theta )+ i\sin (2 \theta) \right|\\
				&= \sqrt{\left( 1+ \cos (2 \theta ) \right)^2+ \sin^{2}(2\theta) }\\
				&= \sqrt{ 1+ 2\cos (2 \theta )+ \cos^2 (2 \theta ) + \sin^{2}(2\theta) }\\
				&= \sqrt{ 2+ 2\cos (2 \theta )+ 1 }\\
				&= \sqrt{ 2(1+\cos (2 \theta) )}\\
				&= \sqrt{4 \cos^2(\theta)}\\
				&= 2|\cos(\theta)|
			\end{align*}
			
			De même: $|a^4+a^8|=2|\cos(2 \theta)|$.
			
			\medskip
			Avec la calculatrice nous pouvons conjecturer encore une fois le résultat.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
					\def\xY{-3.5};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{3.5};
					\def\yZ{2.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[samples=100,domain={-180}:{180}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(\x)*cos(\x))});
					\draw[blue, thick][samples=100,domain={180/6}:{2*180/3}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(\x)*cos(\x))});
					\draw[samples=100,domain={-180}:{180}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(2*\x)*cos(2*\x))});
					\draw[red, thick][samples=100,domain={180/6}:{2*180/3}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(2*\x)*cos(2*\x))});
					\draw (-1.4,2.4) node[fill=white]{\color{blue} $\theta \mapsto 2|\cos(\theta)|$};
					\draw (1.2,2.4) node[fill=white]{\color{red} $\theta \mapsto 2|\cos(2\theta)|$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\objectif{Démontrons l'assertion de l'énoncé en raisonnant par disjonction des cas.}
			
			Soit $\theta \in \left] \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right[$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\theta \ne \frac{\pi}{3}$ puisque ce n'est pas un multiple de $\frac{\pi}{6}$.
				\item Si $\theta \in \left] \frac{\pi}{6} ;  \frac{\pi}{3} \right[$, alors $| \cos (\theta) | \in \left] \frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2} \right[$, et donc $| 2 \cos (\theta) | \in \left] 1 ; \sqrt{3} \right[$.
				\item Si $\theta \in \left] \frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3} \right[$, alors $| \cos (2\theta) | \in \left] \frac{1}{2} ; 1 \right[$, et donc $| 2 \cos (2\theta) | \in \left] 1 ; 2 \right[$.
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			De même démontrer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] 0; \frac{\pi}{6} \right[$, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0< \left| a^{2n}+a^{4n} \right| < 1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $\mathrm{Arg}(a)=\theta\in \left]0; \frac{pi}{6}\right[$.
			
			Nous remarquons que $|a^{2n}+a^{4n}|=\left| (a^n)^2+(a^n)^4\right|$. Démontrons qu'il est possible de trouver $n\in\mathbb{N}^*$ pour lequel $a^n$ peut être traité comme à la question précédente.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons qu'il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $a^n\in \left] \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} \right[$.}
			
			$\theta >0$ et $\mathbb{R}$ est archimédien donc il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que \[ (n_0-1) \theta \le \frac{\pi}{6} < n_0\theta.\]
			
			De $\left\{ \begin{array}{l} \theta <\frac{\pi}{6} \\ (n_0-1)\theta < \frac{\pi}{6} \end{array} \right.$, nous déduisons $n_0\theta < \frac{2\pi}{6}$.
			
			Finalement $\frac{\pi}{6} < n_0 \theta < \frac{2\pi}{3}$.			
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré qu'il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $\mathrm{Arg}(a) \in \left] \frac{\pi}{6} , \frac{2\pi}{3}	\right[$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Donc, d'après la question précédente nous pouvons maintenant affirmer que  si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] 0; \frac{\pi}{6} \right[$, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0< \left| a^{2n}+a^{4n} \right| < 1$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left]  - \frac{2\pi}{3} ; 0 \right[$, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0< \left| a^{2n}+a^{4n} \right| < 1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons établi aux deux précédentes questions que si $\theta \in \left] 0, \frac{2\pi}{3} \right[$, et si  $\theta$ n'est pas multiples de $\frac{\pi}{4}$ et de $\frac{\pi}{6}$, alors il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $0< |a^{2n}+a^{4n} |<1$.
			
			 En considérant les conjugués nous en déduisons le résultat pour $\theta \in \left] -\frac{2\pi}{3} , 0 \right[$.
			 			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure qu'il existe toujours $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0<\left| a^{2n}+b^{4n} \right| <1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les questions précédentes nous ont permis d'établir le résultat lorsque $\theta \in \left] -\frac{2\pi}{3} , \frac{2\pi}{3} \right[$.
			
			Soit $\theta \in \left] \frac{2\pi}{3} ; \pi \right[$. Donc: $\frac{4\pi}{3}\le 2 \theta \le  2\pi$. Ce qui revient a dire que $\theta \equiv \theta' \pmod{2\pi}$ avec $\theta'\in \left]-\frac{2\pi}{3} ; 0 \right[$ et nous sommes donc ramenés au cas des questions précédentes.
			
			De même si $\theta \in \left] -\frac{2 \pi}{3} ; -\pi \right[$.
			
			Finalement dans tous les cas:
			
			\begin{conclusion}
				
				il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0 < | a^{2n}+a^{4n} | <1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
					
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}	
	
		On suppose, dans cette question, que $b\left( \mathscr{A} \right)$ est fini et supérieur ou égale à $2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu'il existe $a\in\mathscr{A}$ tel que $|a|=1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que nécessairement il existe au moins un $a\in\mathscr{A}$ tel que $|a|=1$.}
			
			Notons $D$ le disque unité du plan complexe. Ainsi $b\left( \mathscr{A} \right)$ est, dans le cas fini, le cardinal de $\mathscr{A} \cap D$.
			
			\medskip
			D'après la question C.1 si $b\left( \mathscr{A} \right)$ est fini alors, nécessairement, pour tout $a\in \mathscr{A}\cap D$, $|a|=1$ ou $|0|$.
			
			Comme $b\left( \mathscr{A} \right) \ge 2$ même si l'un des élément de $ \mathscr{A} \cap D$ est effectivement nul l'autre (ou les autres sont alors de module égale à $1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $2\le b\left( \mathscr{A} \right) <\infty$, alors il existe $a\in \mathscr{A}$ tel que $|a|=1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}	
			
			Quelles sont alors les valeurs possibles pour $\mathrm{Arg}(a)$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons les valeurs possibles de $a$.}
			
			D'après les questions C.1, C.2 et la précédente pour que $b\left( \mathscr{A} \right)$ reste fini, et si $a$ est non nul, alors il faut nécessairement que $\mathrm{Arg}(a)$ soit un multiple de $\frac{\pi}{6}$ ou de $\frac{\pi}{4}$.
			
			Ainsi:
			
			\begin{conclusion}
				
				Nécessairement: $\displaystyle \mathrm{Arg}(a) \in \left\{ -\frac{5\pi}{6}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, - \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}, 0,\right.$ 
				$\displaystyle \left. \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} , \frac{3\pi}{4} \frac{5\pi}{4}, \pi \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $b \left( \mathscr{A} \right) \le 17$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous déduisons des questions précédentes qu'il y a au maximum $16$ valeurs distinctes de $\mathscr{A}$ non nulles de module inférieur à $1$ lorsque $b \left( \mathscr{A} \right)$ est fini. Et donc en comptant zéro:
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $b \left( \mathscr{A} \right)$ est fini, alors $b \left( \mathscr{A} \right)\le 17$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		  
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b\left( \mathscr{A} \right)=5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Choisissons un élément de l'ensemble trouvé à la question C.3.(b) pour engendrer le reste de l'ensemble.}
		
		\medskip
		Si $\mathscr{A} = \displaystyle \mathbb{Z}\left[ \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}} \right]=\mathbb{Z}[i]$, alors $\mathscr{A}$ est de type $S$ et nous avons bien $b\left( \mathscr{A} \right)=5$. En effet: $\mathbb{Z}[i]\cap D= \{ 0, i, 1, -1, -i, 1 \}$. 
		
		\begin{conclusion}
			
			$b\left( \mathbb{Z}[i] \right) =5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b\left( \mathscr{A} \right)=9$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En procédant comme à la question B.2 nous pouvons construire l'ensemble $\mathscr{R}_1$ formé des racines carrées d'éléments de $\mathbb{Z}[i]$. et alors $b\left( \mathscr{R}_1 \right)=9$.
		
		Nous pourrions aussi partir de l'ensemble des racines huitièmes de l'unité: $\left\{ \mathrm{e}^{i k \frac{\pi}{4}} \ | \ k\in \llbracket 0, 7 \rrbracket \right\}$ et considérer l'ensemble engendré par multiplication et somme des carrés ainsi que multiplication par un entier.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles sont les valeurs possibles de $b\left( \mathscr{A} \right)$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		Notons $\mathbb{U}_k$ l'ensemble des racines d'ordre $k\in \mathbb{N}^*$ de l'unité.
		
		\begin{itemize}
			\item $\mathbb{U}_1 = \{ 1 \}$,
			\item $\mathbb{U}_2 = \{ -1; 1 \}$,
			\item $\mathbb{U}_3 = \left\{ \exp \left( i\frac{2k\pi}{3} \right) \ | \ -1\le k \le 1  \right\}$,
			\item $\mathbb{U}_4 = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{2} \right) \ | \ -1\le k \le 2  \right\}$,
			\item $\mathbb{U}_6 = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{3} \right) \ | \ -2\le k \le 3  \right\}$,
			\item $\mathbb{U}_8 = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{4}\right) \ | \ -3\le k \le 4  \right\}$,
			\item $\mathbb{U}_{12} = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{6}\right) \ | \ -5\le k \le 6  \right\}$,
		\end{itemize}
		
		D'après la question C.3 nous savons que, pour que $b(\mathscr{A})$ soit fini,  les seuls éléments qui peuvent être dans le disque unité sont dans 
		
		\[ \mathscr{D} = \{ 0\} \cup \mathbb{U}_1 \cup \mathbb{U}_2 \cup \mathbb{U}_3 \cup \mathbb{U}_4 \cup \mathbb{U}_6 \cup \mathbb{U}_8 \cup \mathbb{U}_{12}. \]
				
		\begin{notes}
		
		D'après la question C.3 nous savons que, pour que $b(\mathscr{A})$ soit fini,  les seuls éléments qui peuvent être dans le disque unité sont parmi 
		
		\begin{align*}
			\mathscr{D}&= \left\{ 0,\ 1,\ -1,\ i,\ -i,\ \exp\left(i\frac{\pi}{6} \right),\ \exp\left(i\frac{\pi}{4} \right),\ \exp\left(i\frac{\pi}{3} \right),\ \right.\\
			&\quad 	\left. \exp\left(i\frac{2\pi}{3} \right),\ \exp\left(i\frac{3\pi}{4} \right),\ \exp\left(i\frac{5\pi}{6} \right),\ \exp\left(-i\frac{5\pi}{6} \right),\ \right. \\
			&\quad \left.  \exp\left(-i\frac{3\pi}{4} \right),\ \exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right), \exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right), \exp\left(-i\frac{\pi}{3} \right), \right. \\
			&\quad \left. \exp\left(-i\frac{\pi}{4} \right), \exp\left(-i\frac{\pi}{6} \right) \right\}.
		\end{align*}	
		
		\end{notes}	
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|m{0.6cm}|m{2cm}|m{8cm}|}
			\hline
			$b(\mathscr{A})$ & Exemple de $\mathscr{A}$ & Éléments de $\mathscr{D}$
			\\
			\hline
			$0$ & $]1,+\infty[$ & $\emptyset$
			\\
			\hline
			$1$ & $\{ 0 \}$ ou $\mathbb{N}^*$ & $0$ ou $1$ 
			\\
			\hline
			$2$ & $\mathbb{N}$ & $0$ et $1$ 
			\\
			\hline
			$3$ & $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}[1]$ & $0$, $-1$ et $1$ 
			\\
			\hline
			$4$ &  & 
			\\
			\hline
			$5$ & $\mathbb{Z}[i]$ & $0$, $\exp \left( i \frac{\pi}{2} \right)$ avec $-1\le k \le 2$.
			\\
			\hline
			$6$ & $\mathbb{Z}[j]^*$ & $\exp \left( i \frac{2k\pi}{3} \right)$ avec $-2\le k \le 3$.
			\\
			\hline
			$7$ & $\mathbb{Z}[j]$ & $0$, $\exp \left( i \frac{2k\pi}{3} \right)$ avec $-2\le k \le 3$.
			\\
			\hline
			$8$ &  & 
			\\
			\hline
			$9$ & $\mathscr{R}_1$ & $0$, $\exp \left( i \frac{k\pi}{4} \right)$ avec $-3\le k \le 4$.
			\\
			\hline
			$10$ &  & 
			\\
			\hline
			$11$ &  & 
			\\
			\hline
			$12$ &  & 
			\\
			\hline
			$13$ & $\mathscr{R}$ & $0$, $\exp \left( i \frac{k\pi}{6} \right)$ avec $-5\le k \le 6$.
			\\
			\hline
			$14$ &  & 
			\\
			\hline
			$15$ &  & 
			\\
			\hline
			$16$ &  & 
			\\
			\hline
			$17$ &  & 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{notes}
		
		\medskip
		{\color{orange}A vue de nez je dirais qu'il y a moyen d'associer cette question à l'action de groupes sur des ensembles et de rattacher le problème à la recherche de décomposition de sous-groupes finis du groupe multiplicatif des racines de l'unité. Ou encore aux orbites des racines de l'unité et donc in fine à un problème d'arithmétique.}
		
		\medskip
		Si $z\in \mathscr{D}$, alors les puissances successives de $z$ appartiennent aussi à $\mathscr{D}$. 
		
		\end{notes}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Problème: c'est probablement bon.}

\subsubsection{Partie A: Franck passe un premier examen.}

\begin{sujet}
	
	Franck doit réussir un examen qui consiste en un Q.C.M. (questionnaire à choix multiples) de dix questions numérotées de $1$ à $10$. Il doit répondre à ces questions dans l'ordre et s'il ne répond pas à une question, \emph{on ne prendra pas en compte les réponses qu'il pourrait apporter aux questions suivantes}.
	
	\medskip
	Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse fait perdre un point et ne pas répondre à une question ne rapporte aucun point.
	
	\medskip
	Franck réussira son premier examen si sa note finale est d'au moins \emph{sept} points.
	
	\medskip
	Franck connaît les bonnes réponses des \emph{six} premières questions. Par contre, pour chacune des quatre questions suivantes, il a une probabilité $p$ de trouver la bonne réponse, avec $0<p<1$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Prouver que si Franck ne répond pas à la question numérotée $9$, il a intérêt à ne pas répondre à la question numérotée $8$ pour réussir son examen.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $X_r$, avec $r\in\mathbb{N}^*$, la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses données après la sixième question et jusqu'à la question numéro $r$.
		
		Notons $S_r$, pour $r\in \mathbb{N}^*$ la variable aléatoire comptant le nombre de points obtenus en tout par Franck après avoir répondu à la question numéro $r$.
		
		Remarquons que: $S_r=X_r -[(r-6)-X_r]+6=2X_r+12-r$.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S_7\ge 7)$.}
		
		\begin{align*}
			S_7\ge 7 &\Leftrightarrow 2X_7 \ge 2\\
			&\Leftrightarrow X_7 \ge 1
		\end{align*}
		
		Or $X_7$ suit une loi binomiale de paramètres $1$ et $p$, donc $\mathbb{P}(X_7 \ge 7)=p$ et enfin $\mathbb{P}(S_7\ge 7)=p$.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S_8\ge 7)$.}
		
		\begin{align*}
			S_8\ge 7 &\Leftrightarrow 2X_8 \ge 3\\
			&\Leftrightarrow X_8 \ge 1,5
		\end{align*}
		
		Or $X_8$ suit une loi binomiale de paramètres $2$ et $p$, donc $\mathbb{P}(X_8 \ge 7)=p^2$ et enfin $\mathbb{P}(S_8\ge 7)=p^2$.
		

		\bigskip
		Une autre rédaction.
		
		Notons $S_r$, pour $r\in \mathbb{N}^*$ la variable aléatoire comptant le nombre de points obtenus en tout par Franck après avoir répondu à la question numéro $r$.
		
		Notons encore $X_r$, pour $r\in\mathbb{N}^*$ la variable aléatoire comptant le nombre de points obtenus par Franck à la question numéro $r$ et, d'après l'énoncé
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x_i$ & $1$ & $-1$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X_r=x_i)$ & $p$ & $1-p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S_7\ge 7)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(S_7 \ge 7) &= \mathbb{P}(X_7=1)\\
			&= p
		\end{align*}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S_8 \ge 7)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(S_8 \ge 7) &= \mathbb{P}\left[ (X_7=1)\cap (X_8=1) \right] \\
			\intertext{L'énoncé suppose que répondre justement aux questions sont des événements indépendants les uns des autres, et donc:}
			\mathbb{P} (S_8 \ge 7) &= \mathbb{P}(X_7=1) \times \mathbb{P}(X_8=1)\\
			&= p^2
		\end{align*}
		
		\medskip
		Or $0<p<1$, donc $p^2<p$.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			Franck a donc une plus forte probabilité de réussir son examen en s'arrêtant après la question $7$ plutôt qu'après la $8$.
			
		\end{conclusion}
		
		\bigskip
		Nous pouvions également raisonner en usant d'un arbre probabiliste pondéré. Notons $S$ l'événement \og Franck répond correctement à une question\fg{}.
		
		S'il répond jusqu'à la question $7$, alors
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
				\coordinate (B1) at (-2,1);
				\coordinate (B2) at (-2,-1);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (B1) at (B1) {$S$};
				\draw node (B2) at (B2) {$\overline{S}$};
				\draw (C1)--(B1)node[midway, above]{\footnotesize\color{blue}$p$};
				\draw (C1)--(B2)node[midway, below]{\footnotesize\color{blue}$1-p$};
				\coordinate (D0) at (0,2);
				\coordinate (D1) at (0,1);
				\coordinate (D2) at (0,-1);
				\draw node (D0) at (D0) {Note};
				\draw node (D1) at (D1) {$7$};
				\draw node (D2) at (D2) {$5$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		S'il répond jusqu'à la question $8$, alors
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (0,3);
				\coordinate (A2) at (0,1);
				\coordinate (A3) at (0,-1);
				\coordinate (A4) at (0,-3);
				\coordinate (B1) at (-2,2);
				\coordinate (B2) at (-2,-2);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$S$};
				\draw node (A2) at (A2) {$\overline{S}$};
				\draw node (A3) at (A3) {$S$};
				\draw node (A4) at (A4) {$\overline{S}$};
				\draw node (B1) at (B1) {$S$};
				\draw node (B2) at (B2) {$\overline{S}$};
				\draw (B1)--(A1)node[midway, above]{\footnotesize\color{blue}$p$};
				\draw (B1)--(A2)node[midway, below]{\footnotesize\color{blue}$1-p$};
				\draw (B2)--(A3)node[midway, above]{\footnotesize\color{blue}$p$};
				\draw (B2)--(A4)node[midway, below]{\footnotesize\color{blue}$1-p$};
				\draw (C1)--(B1)node[midway, above]{\footnotesize\color{blue}$p$};
				\draw (C1)--(B2)node[midway, below]{\footnotesize\color{blue}$1-p$};
				\coordinate (D0) at (2,4);
				\coordinate (D1) at (2,3);
				\coordinate (D2) at (2,1);
				\coordinate (D3) at (2,-1);
				\coordinate (D4) at (2,-3);
				\draw node (D0) at (D0) {Note};
				\draw node (D1) at (D1) {$7$};
				\draw node (D2) at (D2) {$6$};
				\draw node (D3) at (D3) {$6$};
				\draw node (D4) at (D4) {$4$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}		
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Franck a-t-il intérêt à répondre à la question numérotée $10$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S_{10} \ge 7)$.}
		
		
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer selon la valeur de $p$ quelle est la meilleure stratégie pour Franck.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: Franck passe un second examen.}

\begin{sujet}
	
	Franck passe maintenant un second examen consistant encore en un Q.C.M., formé cette fois de $50$ questions. Les modalités de cet examen sont les mêmes que celles du précédent. Ainsi Franck doit répondre à ces questions dans l'ordre et s'il ne répond pas à une question, \emph{on ne prendra pas en compte les réponses qu'il pourrait apporter aux questions suivantes}. Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse fait perdre un point et ne pas répondre à une question ne rapporte aucun point.
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\section{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\section{Python}

\begin{lstlisting}
\textbf{Inititalisation}
for i=1 to 14:
	print("oups")
	while 1<2:
		a=input()
	test
\end{lstlisting}


\section{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\section{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
