%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5 \documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5 %######## % Packages # %######## \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} %######Affichage des maths \DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb,amsthm} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsopn} \usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique %######Graphique \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{pgf} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-tab} \usetikzlibrary{shapes,arrows} \usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5 \geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5 %######Tableau \usepackage{array}%pour centrer dans un tableau \usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , \columncolor{} \usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular %######Hyperliens dans les pdf \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides. %######Vrac \usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro \usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres \usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket \usepackage{xlop}%poser les calculs \usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. %\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt \usepackage{fancyhdr} %######Algo \usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}. \lstset{language=Python} \usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode %##################### % Commande et environnement # %##################### \theoremstyle{plain} \renewcommand{\thesection}{{}} \renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}} \renewcommand{\thesubsubsection}{} \newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip} \newenvironment{sujet}{}{\medskip} %environnement bareme \newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}} \newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\} %environnement exercice \newcounter{Exercice} \setcounter{Exercice}{1} \newcounter{Exercicecorrection} \newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip} %environnement exercicecorrection \newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection} }{~\newline} %environnement exercice supplémentaire \newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip} %environnement exercice interrogation \newcounter{Exerciceinterro} \setcounter{Exerciceinterro}{1} \newenvironment{exerciceinterro}{ \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip} %environnement exercice interrogation déjà donné \newcounter{Exerciceinterrofait} \setcounter{Exerciceinterrofait}{1} \newenvironment{exerciceinterrofait}{ \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip} %environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange \newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip} %environnement definition \newcounter{Definition} \setcounter{Definition}{1} \newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème} \newcounter{Theoreme} \setcounter{Theoreme}{1} \newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement proposition \newcounter{Proposition} \setcounter{Proposition}{1} \newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement lemme \newcounter{Lemme} \setcounter{Lemme}{1} \newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement corollaire \newcounter{Corollaire} \setcounter{Corollaire}{1} \newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement démonstration \newcounter{Demonstration} \setcounter{Demonstration}{1} \newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} }{} %environnement conclusion encadré et coloré \newenvironment{conclusion} {\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} } {\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} } %Commande pour l'objectif et l'écrire en vert \newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1} \medskip} %######################## %Test conditionnel pour l'affichage # %######################## \newif\ifs %\strue%affiche la boite à trous \sfalse%affiche la réponse %Pour faire une case à trou complétable sur le pdf \newcounter{Trous} \setcounter{Trous}{1} \newcommand{\trous}[2][3cm]{ \ifs \begin{Form} \TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1, width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {} \end{Form} \xspace \else #2 \fi \addtocounter{Trous}{1} } %en tête puis pied de page \pagestyle{empty} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut \lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires \chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/concours_general.html}{Concours général de mathématique s 2017} }% l left, c center, r right \rhead[]{} \lfoot[]{} \cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -} \rfoot[]{} %Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration %############################ %les environnements qu'on affiche ou pas # %############################ \newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}} \exclure{exerciceinterro} \exclure{bareme} \exclure{notes} \exclure{exerciceinterrofait} \exclure{exercicecorrection} %\exclure{correction} \exclure{resume} \exclure{preuve} %\exclure{sujet} \begin{document} \section{Concours général de mathématique s 2017.} \begin{sujet} \begin{center} COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Classes de terminale S DURÉE : 5 HEURES La calculatrice est autorisée conformément à la réglementation. La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \begin{notes} Le sujet comporte trois problèmes indépendants et 5 pages numérotées 1 à 5. \end{notes} Le candidat peut traiter les questions dans l’ordre de son choix, à condition de l’indiquer clairement dans la copie. \end{center} \end{sujet} \subsection{\color{purple}Problème: parties de $\mathbb{C}$ de type $S$.} \begin{correction} {\color{orange}Ce problème peut être lié à une question algébrique (résolution d'équation, théorie de Gallois) à l'étude de fonctions holomorphes ou de suites complexes et donc de fractales. Bref, en fait je n'en sais rien.} \end{correction} \begin{sujet} Une partie $\mathscr{A}$ non vide de $\mathbb{C}$ (ensemble des nombres complexes) est dite de type $S$, si pour tout $z_1\in \mathscr{A}$ et $z_2 \in \mathscr{A}$ le produit $z_1z_2$ et la somme $z_1^2+z_2^2$ sont encore dans $\mathscr{A}$. \medskip Dans tout le problème $\mathscr{A}$ désigne une partie de $\mathbb{C}$ de type $S$. \medskip On note $b(\mathscr{A})$ le nombre de nombres complexes $z$ de $\mathscr{A}$ dont le module $|z|$ est inférieur ou égale à $1$. On note $b(\mathscr{A})=\infty$ si ce nombre est infini. \end{sujet} \subsubsection{Partie A: Quelques exemples simples.} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Les ensembles suivants sont des parties de $\mathscr{C}$ de type $S$ (on ne demande pas de le vérifier), préciser pour chacun d'eux la valeur de $b(\mathscr{A})$: \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} $\mathscr{A}= \{ 0 \}$. \end{sujet} \begin{correction} {\color{orange}Pour ces questions il suffit de compter combien de nombre de l'ensemble proposé sont dans le disque unité du plan complexe. En notant $D$ ce disque unité nous remarquons: $b(\mathscr{A}) = \mathrm{Card}(\mathscr{A}\cap D$ (en ne distinguant pas les différentes puissances de l'infini). La fonction $b$ permet d'évaluer la densité du maillage qu'induit $\mathscr{A}$ dans $\mathbb{C}$.} \medskip $b(\{ 0 \})=1$ \end{correction} \item \begin{sujet} $\mathscr{A}=\mathbb{C}$. \end{sujet} \begin{correction} $b(\mathbb{C})=\infty$. \end{correction} \item \begin{sujet} $\mathscr{A}=\mathbb{N}$. \end{sujet} \begin{correction} $b(\mathbb{N})=2$. \end{correction} \item \begin{sujet} $\mathscr{A}=\mathbb{N}^*$. \end{sujet} \begin{correction} $b(\mathbb{N}^*)=1$. \end{correction} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b(\mathscr{A})=0$. \end{sujet} \begin{correction} $]1;+\infty[$ est de type $S$ et $b(]1;+\infty[)=0$. \end{correction} \item \begin{sujet} Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b(\mathscr{A})=3$. \end{sujet} \begin{correction} $\mathbb{Z}$ est de type $S$ et $b\left( \mathscr{A} \right)=3$. \end{correction} \end{enumerate} \item \begin{sujet} On note $\overline{\mathscr{A}}= \{ \overline{z}, z\in\mathscr{A} \}$, c'est-à-dire la partie de $\mathbb{C}$ constituée de tous les nombres complexes conjugués des éléments de $\mathscr{A}$. Montrer que $\overline{\mathscr{A}}$ est de type $S$ et préciser $\displaystyle b\left(\overline{\mathscr{A}} \right)$. \end{sujet} \begin{correction} Soit $\mathscr{A}$ une partie de type $S$. \medskip \objectif{Démontrons que $\overline{\mathscr{A}}$ est de type $S$.} \begin{enumerate}[(i)] \item $\mathscr{A} \subseteq \mathbb{C} \Rightarrow \overline{\mathscr{A}} \subseteq \mathbb{C}$. \item $\mathscr{A}$ est non vide donc il existe $z\in\mathscr{A}$ et donc $\overline{z} \in \overline{\mathscr{A}}$. Donc $\overline{\mathscr{A}}$ est non vide. \item Soit $z_1,z_2 \in \overline{\mathscr{A}}$. Donc $\overline{z_1} , \overline{z_2} \in \mathscr{A}$. Donc $\overline{z_1z_2} \in \mathscr{A}$. Donc $z_1z_2 \in \overline{\mathscr{A}}$. \item Soit $z_1,z_2 \in \overline{\mathscr{A}}$. Donc $\overline{z_1} , \overline{z_2} \in \mathscr{A}$. Donc $\overline{z_1}^2+\overline{z_2}^2 \in \mathscr{A}$. Autrement dit $\overline{z_1^2+z_2^2} \in \mathscr{A}$. Donc $z_1^2+z_2^2 \in \overline{\mathscr{A}}$. \end{enumerate} Nous avons démontré que \begin{conclusion} Si $\mathscr{A}$ est de type $S$ alors $\overline{\mathscr{A}}$ est de type $S$. \end{conclusion} \medskip \objectif{Précisons $\displaystyle b\left( \overline{\mathscr{A}} \right)$.} \[ \left\{ \begin{array}{l} z\in \mathscr{A} \\ |z|\le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overline{z} \in \overline{\mathscr{A}} \\ |\overline{z} | \le 1 \end{array} \right. \] \begin{conclusion} $\displaystyle b \left( \overline{\mathscr{A}} \right) = b(\mathscr{A} )$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \subsubsection{Partie B: deux exemples de parties de $\mathbb{C}$ de type $S$.} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} On définit le complexe $j$ par $j=\mathrm{e}^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3} $ et on note $\mathbb{Z}[j]=\{ a+bj,\ (a,b)\in \mathbb{Z}^2 \}$, c'est-à-dire la partie de $\mathbb{C}$ constituée de tous les nombres complexes de la forme $a+bj$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}$. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Calculer $1+j+j^2$. \end{sujet} \begin{correction} Il s'agit de la somme des trois premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $j$. Donc \[ 1+j+j^2 = \frac{1-j^3}{1-j}. \] Or $j^3= \left( \mathrm{e}^{2i\frac{\pi}{3}} \right) ^3= \mathrm{e}^{2i\pi}=1$ donc \begin{conclusion} $1+j+j^2=0$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Justifier que $\mathbb{Z}[j]$ est de type $S$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Démontrons que $\mathbb{Z}[j]$ est de type $S$.} \begin{enumerate}[(i)] \item Pour $a$ et $b$ entiers $a+bj$ est un complexe. Donc $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathbb{C}$. \item $j\in\mathbb{Z}[j]$ donc $\mathbb{Z}[j]$ est non vide. \item \begin{align*} z_1z_2 &= (a_1+jb_1)(a_2+jb_2)\\ &= a_1a_2+j^2b_1b_2+j(b_1a_2+a_1b_2)\\ \intertext{Donc, d'après la question précédente:} z_1z_2 &= a_1a_2+(-1-j)b_1b_2+j(b_1a_2+a_1b_2)\\ &= \left[ a_1a_2-b_1b_2 \right] +j \left[ -b_1b_2+b_1a_2+a_1b_2 \right] \end{align*} Ainsi $z_1z_2 \in \mathbb{Z}[j]$. \item Soit $z\in \mathbb{Z}[j]$. \begin{align*} z^2 &= (a+jb)^2\\ &= a^2+2jab+j^2b^2\\ &= a^2+2jab+(-1-j)b^2\\ &= a^2-b^2+j\left( 2ab-b^2 \right) \end{align*} Ainsi $z^2$ est bien élément de $\mathbb{Z}[j]$. En procédant de même nous établirions sans difficultés que pour $z_1,z_2 \in \mathbb{Z}[j]$, $z_1^2+z_2^2\in \mathbb{Z}[j]$. \end{enumerate} Nous avons démontré que \begin{conclusion} $\mathbb{Z}[j]$ est de type $S$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Montrer que $\displaystyle b\left( \mathbb{Z}[j] \right)=7$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Recherchons les éléments de $\mathbb{Z}[j]$ de module inférieur ou égale à $1$ par analyse puis synthèse.} \begin{enumerate} \item Analyse. Soit $z=a+jb$ un élément de $\mathbb{Z}[j]$ tel que $|z|\le 1$. \medskip \begin{align*} |z| \le 1 &\Leftrightarrow \left| a+\left( -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3} \right) b \right|\le 1 \\ &\Leftrightarrow \left| \left(a -\frac{1}{2}b\right)+i\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}b \right) \right|\le 1 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{ \left(a -\frac{1}{2}b\right)^+\left( \frac{1}{2}b\sqrt{3} \right)]^2} \le 1 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{ \left(a -\frac{1}{2}b\right)^2+\left( \frac{1}{2}b\sqrt{3} \right)^2} \le 1 \\ &\Leftrightarrow \left(a -\frac{1}{2}b\right)^2+\left( \frac{1}{2}b\sqrt{3} \right)^2 \le 1 \\ \end{align*} Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} -1\le a -\frac{1}{2}b\le 1 \\ -1 \le \frac{1}{2}b\sqrt{3} \le 1 \end{array} \right. \] Du second encadrement on déduit: $b\in \{ -1;0;1 \}$. Puis on déduit les valeurs possibles pour $a$ avec le premier encadrement. \medskip \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $b$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\ \hline $a$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ & $-1$ & $0$ & $1$ \\ && $-1$ & \\ \hline \end{tabular} Par conséquent les nombres recherchés sont parmi: $-j$, $-1-j$, $-1$, $0$, $-1$, $j$ et $1+j$. \item Synthèse. On vérifie aisément que les nombres précédents sont dans $\mathbb{Z}[j]$ et de module inférieur ou égale à $1$. \end{enumerate} \begin{conclusion} Nous avons démontré que les seuls nombres de $\mathbb{Z}[j]$ de module inférieur à $1$ sont $-j$, $-1-j$, $-1$, $0$, $-1$, $j$ et $1+j$. Donc $\displaystyle b\left( \mathbb{Z}[j] \right)=7$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} On note $\mathbb{Z}[j]^*=\mathbb{Z}[j]\setminus \{ 0 \}$ (les éléments non nuls de $\mathbb{Z}[j]$). Justifier que $\mathbb{Z}[j]^*$ est de type $S$ et déterminer $b\left( \mathbb{Z}[j]^* \right)$. \end{sujet} \begin{correction} La démonstration faite à la question B.1.(b) reste valable. De même le résultat de la question précédente reste valable en excluant le zéro. Vérifions que si $z_1$ et $z_2$ sont non nuls, alors $z_1z_2 \ne 0$ et $z_1^2+z_2^2\ne 0$. \begin{enumerate}[*] \item Le produit de deux nombres complexes est nul si et seulement si l'un d'entre eux est nul. Donc $z_1z_2\ne 0$. \item $ z_1^2+z_2^2=0 \Leftrightarrow (z_1-iz_2)(z_1+iz_2)=0$. En considérant les parties réelles et imaginaires: $ \left\{ \begin{array}{l} a_1-\frac{1}{2} b_1 = \epsilon \frac{1}{2}\sqrt{3} b_2 \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} b_1 = \epsilon\left( a_2- \frac{1}{2}b_2 \right) \end{array} \right.$ avec $\epsilon \in \{ -1; 1 \}$. En raisonnant sur l'irrationalité de $\sqrt{3}$ nous obtenons que nécessairement $b_1=b_2=0$ et donc $a_1=a_2=0$. \end{enumerate} \begin{conclusion} $\displaystyle b\left( \mathbb{Z}[j]^* \right)=6$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \item \begin{sujet} On définie la partie $\mathscr{R}$ de $\mathbb{C}$ par \[ \mathscr{R}=\left\{ z\in \mathbb{C},\ z^2\in \mathbb{Z}[j] \right\}. \] Ainsi un nombre complexe $z$ est dans $\mathbb{R}$ si et seulement si son carré est dans $\mathbb{Z}[j]$. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Montrer que $\mathscr{R}$ est du type $S$. \end{sujet} \begin{correction} Remarquons $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathscr{R} \subseteq \mathbb{C}$, donc $\mathscr{R}$ est une partie non vide de $\mathbb{C}$. \begin{align*} z_1, z_2 \in\mathscr{R} &\Rightarrow z_1^2, z_2^2 \in \mathbb{Z}[j]\\ &\Rightarrow z_1^2z_2 ^2 \in \mathbb{Z}[j]\\ &\Rightarrow (z_1z_2)^2 \in \mathbb{Z}[j]\\ &\Rightarrow z_1z_2 \in \mathscr{R} \end{align*} \begin{align*} z_1,z_2 \in \mathscr{R} &\Rightarrow z_1^2,z_2^2 \in \mathbb{Z}[j]\\ &\Rightarrow z_1^2+z_2^2\in \mathbb{Z}[j]\\ \intertext{et comme $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathscr{R}$:} &\Rightarrow z_1^2+z_2^2 \in \mathscr{R} \end{align*} \end{correction} \item \begin{sujet} Déterminer $b\left( \mathscr{R} \right)$. \end{sujet} \begin{correction} $\mathbb{Z}[j] \subseteq \mathscr{R} \Rightarrow b\left( \mathbb{Z}[j] \right) \le b\left( \mathscr{R} \right)$. Notons $N=\{ -j, -1-j, -1, 0, -1, j,1+j \} $ \medskip \objectif{Déterminons les éléments de $\mathscr{R}$ dont le module est inférieur à $1$.} \begin{enumerate}[*] \item Analyse. Soit $z \in \mathscr{R}$ de module inférieur à $1$. \begin{align*} |z|\le 1 &\Rightarrow |z^2|\le 1\\ &\Rightarrow z^2 \in \mathbb{Z}[j] \cap N \end{align*} Donc il existe $r\in N$ tel que $z^2=r$. \item Synthèse. Soit $z$ la racine carrée d'un élément de $N$. Alors clairement $z\in \mathscr{R}$ et $|z|\le 1$. \end{enumerate} Chaque élément de $N$, hormis $0$ admet deux racines carrées distinctes et ces racines sont distinctes deux à deux. Par conséquent il y a $13$ éléments de $\mathscr{R}$ dont le module est inférieur à $1$. \begin{tabular}{|m{1.6cm}|m{4cm}|m{4cm}|} \hline Éléments de $N$ & Écriture exponentielle & Racines carrées \\ \hline $0$ & & $0$ \\ \hline $1$ & & $1$ \\ && $-1$ \\ \hline $-1$ & & $i$ \\ && $-i$ \\ \hline $j$ & $\exp\left(i\frac{2\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(i\frac{\pi}{3} \right)$ \\ && $\exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right)$ \\ \hline $-j$ & $\exp\left(-i\frac{\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(-i\frac{\pi}{6} \right)$ \\ && $\exp\left(i\frac{5\pi}{6} \right)$ \\ \hline $1+j$ & $\exp\left(i\frac{\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(i\frac{\pi}{6} \right)$ \\ && $\exp\left(-i\frac{5\pi}{6} \right)$ \\ \hline $-1-j$ & $\exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right)$ & $\exp\left(-i\frac{\pi}{3} \right)$ \\ && $\exp\left(i\frac{2\pi}{3} \right)$ \\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{conclusion} $\displaystyle b\left( \mathscr{R} \right)=13$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsubsection{Partie C: à la recherche des valeurs possibles de $\displaystyle b\left( \mathscr{A} \right)$.} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} On suppose qu'il existe $a\in\mathscr{A}$ tel que $0<|a|<1$. Montrer que $b\left( \mathscr{A} \right)=\infty$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Exhibons une infinité de termes de $\mathscr{A}$ de module strictement inférieur à $1$.} Considérons la suite $(a^n)_{n\in\mathbb{N}^*}$. Puisque $|a|<1$, quelque soit $n\in\mathbb{N}^*$, $|a^n|< 1$. {\color{orange}Nous aurions pu plus simplement constater que la suite $(|a^n|)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement décroissante.} D'autre part si pour $n< m$, $a^n=a^m$ alors $a^{m-N}=1$ ce qui contredit $0<|a|<1$. Donc nécessairement les termes de la suite sont distincts deux à deux. Nous avons trouvé une infinité de terme de $\mathscr{A}$ dont le module est strictement inférieur à $1$ et donc $b\left( \mathscr{A} \right)=\infty$. \begin{conclusion} Ainsi si un élément de $\mathscr{A}$ a un module compris strictement entre $0$ et $1$, alors $b\left( \mathscr{A} \right)=\infty$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} On considère, dans cette question, un nombre complexe $a$ de module $1$. On note $\mathrm{Arg}(a)$ l'unique argument de $a$ inclus dans l'intervalle $]-\pi , \pi]$. On suppose de plus que $\mathrm{Arg}(a)$ n'est ni un multiple de $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, ni un multiple de $\displaystyle \frac{\pi}{4}$. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Montrer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] \frac{\pi}{6} , \frac{2\pi}{3} \right[$, alors l'un des deux nombres complexes $a^2+a^4$ ou $a^4+a^8$ possède un module non nul et strictement inférieur à $1$. \end{sujet} \begin{correction} {\color{orange} Après avoir établi que $|a^2+a^4|=|1+\mathrm{e}^{2i\theta}$, il est possible d'aborder la démonstration avec un point de vue géométrique. Nous recherchons les points d'affixe $1+\mathrm{e}^{2i\theta}$ ou $1+\mathrm{e}^{4i\theta}$ qui sont strictement à l'intérieur du disque unité et différents de l'origine. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=2.5] \def\xY{-2}; \def\yY{-2}; \def\xZ{2}; \def\yZ{2}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); \draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z); \draw[ ->,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick,black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$}; \draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)}); \draw[green, thick,dashed][samples=100,domain={180/6}:{360/3}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)}); \draw(-1.7,1.8)node{\color{green}$\theta$}; \draw[red, thick,dashed][samples=100,domain={180/3}:{2*360/3}] plot({1.3*cos(\x)},{1.3*sin(\x)}); \draw(-1.7,1.5)node{\color{red}$2\theta$}; \draw[blue, thick,dashed][samples=100,domain={2*180/3}:{360+180/3}] plot({1.5*cos(\x)},{1.5*sin(\x)}); \draw(-1.7,1.2)node{\color{blue}$4\theta$}; \foreach \x/\y in {0/1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6 } \draw[thick,black,dotted] ({cos(\x*360/6)},{sin(\x*360/6)})--({cos(\y*360/6)},{sin(\y*360/6)})node[midway,black]{$\circ$}; \draw[black,dashed] (0,0)--({1.8*cos(180/3)},{1.8*sin(180/3)}); \draw[black,dashed] (0,0)--({1.8*cos(360/3)},{1.8*sin(360/3)}); \draw[black,dashed] (0,0)--({1.8*cos(2*360/3)},{1.8*sin(2*360/3)}); \def\thetaa{180/6+2*180/14}; \draw ({1.0*cos(\thetaa)},{1.0*sin(\thetaa)}) node{$\bullet$}; \draw ({1.0*cos(\thetaa)},{1.0*sin(\thetaa)}) node[below left]{$\mathrm{e}^{i\theta_0}$}; \draw[red] ({1+1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)}) node{\color{red}$\bullet$}; \draw[red] ({1+1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)}) node[above right,fill=white]{\color{red}$1+\mathrm{e}^{2i\theta_0}$}; \draw[orange][samples=100,domain=0:\thetaa] plot({0.3*cos(\x)},{0.3*sin(\x)}); \draw[orange]({0.4*cos(\thetaa/2)},{0.4*sin(\thetaa/2)}) node{\small $\theta$}; \draw[very thick,red] ({1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)})--({1+1.0*cos(2*\thetaa)},{1.0*sin(2*\thetaa)})node[midway,black]{$\circ$}; %\draw[red][samples=100,domain={180/3}:{2*360/3}] plot({1+1.0*cos(\x)},{1.0*sin(\x)}); \draw[blue] ({1+1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)}) node{\color{blue}$\bullet$}; \draw[blue] ({1+1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)}) node[below left,fill=white]{\color{blue}$1+\mathrm{e}^{4i\theta_0}$}; \draw[very thick,blue] ({1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)})--({1+1.0*cos(4*\thetaa)},{1.0*sin(4*\thetaa)})node[midway,black]{$\circ$}; %\draw[blue][samples=100,domain={2*180/3}:{360+180/3}] plot({1+1.0*cos(\x)},{1.0*sin(\x)}); \end{tikzpicture} \end{center} En raisonnant sur le dessin nous conjecturons les valeurs limites de $\theta$ auxquelles il faudra s'intéresser. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\theta$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{2\pi}{3}$ \\ \hline $2\theta$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{4\pi}{3}$ \\ \hline $4\theta$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{4\pi}{3}$ & $2\pi + \frac{\pi}{3}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} } \medskip Notons $\theta=\mathrm{Arg}(a)$. \begin{align*} |a^2+a^4| &= |a^2| \times |1+a^2|\\ &= |1+a^2|\\ &= \left| 1+ \left( \mathrm{e}^{i\theta} \right)^2 \right|\\ &= \left|1+ \mathrm{e}^{2i\theta} \right|\\ &= \left| 1+\cos (2\theta )+ i\sin (2 \theta) \right|\\ &= \sqrt{\left( 1+ \cos (2 \theta ) \right)^2+ \sin^{2}(2\theta) }\\ &= \sqrt{ 1+ 2\cos (2 \theta )+ \cos^2 (2 \theta ) + \sin^{2}(2\theta) }\\ &= \sqrt{ 2+ 2\cos (2 \theta )+ 1 }\\ &= \sqrt{ 2(1+\cos (2 \theta) )}\\ &= \sqrt{4 \cos^2(\theta)}\\ &= 2|\cos(\theta)| \end{align*} De même: $|a^4+a^8|=2|\cos(2 \theta)|$. \medskip Avec la calculatrice nous pouvons conjecturer encore une fois le résultat. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] \def\xY{-3.5}; \def\yY{-0.5}; \def\xZ{3.5}; \def\yZ{2.5}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); \draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z); \draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z); \draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z); \draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$}; \foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \draw[samples=100,domain={-180}:{180}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(\x)*cos(\x))}); \draw[blue, thick][samples=100,domain={180/6}:{2*180/3}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(\x)*cos(\x))}); \draw[samples=100,domain={-180}:{180}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(2*\x)*cos(2*\x))}); \draw[red, thick][samples=100,domain={180/6}:{2*180/3}] plot({\x*pi/180},{2*sqrt(cos(2*\x)*cos(2*\x))}); \draw (-1.4,2.4) node[fill=white]{\color{blue} $\theta \mapsto 2|\cos(\theta)|$}; \draw (1.2,2.4) node[fill=white]{\color{red} $\theta \mapsto 2|\cos(2\theta)|$}; \end{tikzpicture} \end{center} \objectif{Démontrons l'assertion de l'énoncé en raisonnant par disjonction des cas.} Soit $\theta \in \left] \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right[$. \begin{enumerate}[*] \item $\theta \ne \frac{\pi}{3}$ puisque ce n'est pas un multiple de $\frac{\pi}{6}$. \item Si $\theta \in \left] \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3} \right[$, alors $| \cos (\theta) | \in \left] \frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2} \right[$, et donc $| 2 \cos (\theta) | \in \left] 1 ; \sqrt{3} \right[$. \item Si $\theta \in \left] \frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3} \right[$, alors $| \cos (2\theta) | \in \left] \frac{1}{2} ; 1 \right[$, et donc $| 2 \cos (2\theta) | \in \left] 1 ; 2 \right[$. \end{enumerate} \end{correction} \item \begin{sujet} De même démontrer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] 0; \frac{\pi}{6} \right[$, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0< \left| a^{2n}+a^{4n} \right| < 1$. \end{sujet} \begin{correction} Soit $\mathrm{Arg}(a)=\theta\in \left]0; \frac{pi}{6}\right[$. Nous remarquons que $|a^{2n}+a^{4n}|=\left| (a^n)^2+(a^n)^4\right|$. Démontrons qu'il est possible de trouver $n\in\mathbb{N}^*$ pour lequel $a^n$ peut être traité comme à la question précédente. \medskip \objectif{Démontrons qu'il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $a^n\in \left] \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} \right[$.} $\theta >0$ et $\mathbb{R}$ est archimédien donc il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que \[ (n_0-1) \theta \le \frac{\pi}{6} < n_0\theta.\] De $\left\{ \begin{array}{l} \theta <\frac{\pi}{6} \\ (n_0-1)\theta < \frac{\pi}{6} \end{array} \right.$, nous déduisons $n_0\theta < \frac{2\pi}{6}$. Finalement $\frac{\pi}{6} < n_0 \theta < \frac{2\pi}{3}$. \begin{conclusion} Nous avons démontré qu'il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $\mathrm{Arg}(a) \in \left] \frac{\pi}{6} , \frac{2\pi}{3} \right[$. \end{conclusion} \medskip Donc, d'après la question précédente nous pouvons maintenant affirmer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] 0; \frac{\pi}{6} \right[$, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0< \left| a^{2n}+a^{4n} \right| < 1$. \end{correction} \item \begin{sujet} Montrer que si $\displaystyle \mathrm{Arg}(a)\in \left] - \frac{2\pi}{3} ; 0 \right[$, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0< \left| a^{2n}+a^{4n} \right| < 1$. \end{sujet} \begin{correction} Nous avons établi aux deux précédentes questions que si $\theta \in \left] 0, \frac{2\pi}{3} \right[$, et si $\theta$ n'est pas multiples de $\frac{\pi}{4}$ et de $\frac{\pi}{6}$, alors il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $0< |a^{2n}+a^{4n} |<1$. En considérant les conjugués nous en déduisons le résultat pour $\theta \in \left] -\frac{2\pi}{3} , 0 \right[$. \end{correction} \item \begin{sujet} Conclure qu'il existe toujours $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0<\left| a^{2n}+b^{4n} \right| <1$. \end{sujet} \begin{correction} Les questions précédentes nous ont permis d'établir le résultat lorsque $\theta \in \left] -\frac{2\pi}{3} , \frac{2\pi}{3} \right[$. Soit $\theta \in \left] \frac{2\pi}{3} ; \pi \right[$. Donc: $\frac{4\pi}{3}\le 2 \theta \le 2\pi$. Ce qui revient a dire que $\theta \equiv \theta' \pmod{2\pi}$ avec $\theta'\in \left]-\frac{2\pi}{3} ; 0 \right[$ et nous sommes donc ramenés au cas des questions précédentes. De même si $\theta \in \left] -\frac{2 \pi}{3} ; -\pi \right[$. Finalement dans tous les cas: \begin{conclusion} il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $0 < | a^{2n}+a^{4n} | <1$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \item \begin{sujet} On suppose, dans cette question, que $b\left( \mathscr{A} \right)$ est fini et supérieur ou égale à $2$. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Montrer qu'il existe $a\in\mathscr{A}$ tel que $|a|=1$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Démontrons que nécessairement il existe au moins un $a\in\mathscr{A}$ tel que $|a|=1$.} Notons $D$ le disque unité du plan complexe. Ainsi $b\left( \mathscr{A} \right)$ est, dans le cas fini, le cardinal de $\mathscr{A} \cap D$. \medskip D'après la question C.1 si $b\left( \mathscr{A} \right)$ est fini alors, nécessairement, pour tout $a\in \mathscr{A}\cap D$, $|a|=1$ ou $|0|$. Comme $b\left( \mathscr{A} \right) \ge 2$ même si l'un des élément de $ \mathscr{A} \cap D$ est effectivement nul l'autre (ou les autres sont alors de module égale à $1$. \begin{conclusion} Si $2\le b\left( \mathscr{A} \right) <\infty$, alors il existe $a\in \mathscr{A}$ tel que $|a|=1$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Quelles sont alors les valeurs possibles pour $\mathrm{Arg}(a)$? \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Déterminons les valeurs possibles de $a$.} D'après les questions C.1, C.2 et la précédente pour que $b\left( \mathscr{A} \right)$ reste fini, et si $a$ est non nul, alors il faut nécessairement que $\mathrm{Arg}(a)$ soit un multiple de $\frac{\pi}{6}$ ou de $\frac{\pi}{4}$. Ainsi: \begin{conclusion} Nécessairement: $\displaystyle \mathrm{Arg}(a) \in \left\{ -\frac{5\pi}{6}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, - \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}, 0,\right.$ $\displaystyle \left. \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} , \frac{3\pi}{4} \frac{5\pi}{4}, \pi \right\}$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} En déduire que $b \left( \mathscr{A} \right) \le 17$. \end{sujet} \begin{correction} Nous déduisons des questions précédentes qu'il y a au maximum $16$ valeurs distinctes de $\mathscr{A}$ non nulles de module inférieur à $1$ lorsque $b \left( \mathscr{A} \right)$ est fini. Et donc en comptant zéro: \begin{conclusion} Si $b \left( \mathscr{A} \right)$ est fini, alors $b \left( \mathscr{A} \right)\le 17$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \item \begin{sujet} Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b\left( \mathscr{A} \right)=5$. \end{sujet} \begin{correction} {\color{orange}Choisissons un élément de l'ensemble trouvé à la question C.3.(b) pour engendrer le reste de l'ensemble.} \medskip Si $\mathscr{A} = \displaystyle \mathbb{Z}\left[ \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}} \right]=\mathbb{Z}[i]$, alors $\mathscr{A}$ est de type $S$ et nous avons bien $b\left( \mathscr{A} \right)=5$. En effet: $\mathbb{Z}[i]\cap D= \{ 0, i, 1, -1, -i, 1 \}$. \begin{conclusion} $b\left( \mathbb{Z}[i] \right) =5$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Donner une partie $\mathscr{A}$ de type $S$ telle que $b\left( \mathscr{A} \right)=9$. \end{sujet} \begin{correction} En procédant comme à la question B.2 nous pouvons construire l'ensemble $\mathscr{R}_1$ formé des racines carrées d'éléments de $\mathbb{Z}[i]$. et alors $b\left( \mathscr{R}_1 \right)=9$. Nous pourrions aussi partir de l'ensemble des racines huitièmes de l'unité: $\left\{ \mathrm{e}^{i k \frac{\pi}{4}} \ | \ k\in \llbracket 0, 7 \rrbracket \right\}$ et considérer l'ensemble engendré par multiplication et somme des carrés ainsi que multiplication par un entier. \end{correction} \item \begin{sujet} Quelles sont les valeurs possibles de $b\left( \mathscr{A} \right)$? \end{sujet} \begin{correction} Notons $\mathbb{U}_k$ l'ensemble des racines d'ordre $k\in \mathbb{N}^*$ de l'unité. \begin{itemize} \item $\mathbb{U}_1 = \{ 1 \}$, \item $\mathbb{U}_2 = \{ -1; 1 \}$, \item $\mathbb{U}_3 = \left\{ \exp \left( i\frac{2k\pi}{3} \right) \ | \ -1\le k \le 1 \right\}$, \item $\mathbb{U}_4 = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{2} \right) \ | \ -1\le k \le 2 \right\}$, \item $\mathbb{U}_6 = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{3} \right) \ | \ -2\le k \le 3 \right\}$, \item $\mathbb{U}_8 = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{4}\right) \ | \ -3\le k \le 4 \right\}$, \item $\mathbb{U}_{12} = \left\{ \exp \left( i\frac{k\pi}{6}\right) \ | \ -5\le k \le 6 \right\}$, \end{itemize} D'après la question C.3 nous savons que, pour que $b(\mathscr{A})$ soit fini, les seuls éléments qui peuvent être dans le disque unité sont dans \[ \mathscr{D} = \{ 0\} \cup \mathbb{U}_1 \cup \mathbb{U}_2 \cup \mathbb{U}_3 \cup \mathbb{U}_4 \cup \mathbb{U}_6 \cup \mathbb{U}_8 \cup \mathbb{U}_{12}. \] \begin{notes} D'après la question C.3 nous savons que, pour que $b(\mathscr{A})$ soit fini, les seuls éléments qui peuvent être dans le disque unité sont parmi \begin{align*} \mathscr{D}&= \left\{ 0,\ 1,\ -1,\ i,\ -i,\ \exp\left(i\frac{\pi}{6} \right),\ \exp\left(i\frac{\pi}{4} \right),\ \exp\left(i\frac{\pi}{3} \right),\ \right.\\ &\quad \left. \exp\left(i\frac{2\pi}{3} \right),\ \exp\left(i\frac{3\pi}{4} \right),\ \exp\left(i\frac{5\pi}{6} \right),\ \exp\left(-i\frac{5\pi}{6} \right),\ \right. \\ &\quad \left. \exp\left(-i\frac{3\pi}{4} \right),\ \exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right), \exp\left(-i\frac{2\pi}{3} \right), \exp\left(-i\frac{\pi}{3} \right), \right. \\ &\quad \left. \exp\left(-i\frac{\pi}{4} \right), \exp\left(-i\frac{\pi}{6} \right) \right\}. \end{align*} \end{notes} \medskip \begin{tabular}{|m{0.6cm}|m{2cm}|m{8cm}|} \hline $b(\mathscr{A})$ & Exemple de $\mathscr{A}$ & Éléments de $\mathscr{D}$ \\ \hline $0$ & $]1,+\infty[$ & $\emptyset$ \\ \hline $1$ & $\{ 0 \}$ ou $\mathbb{N}^*$ & $0$ ou $1$ \\ \hline $2$ & $\mathbb{N}$ & $0$ et $1$ \\ \hline $3$ & $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}[1]$ & $0$, $-1$ et $1$ \\ \hline $4$ & & \\ \hline $5$ & $\mathbb{Z}[i]$ & $0$, $\exp \left( i \frac{\pi}{2} \right)$ avec $-1\le k \le 2$. \\ \hline $6$ & $\mathbb{Z}[j]^*$ & $\exp \left( i \frac{2k\pi}{3} \right)$ avec $-2\le k \le 3$. \\ \hline $7$ & $\mathbb{Z}[j]$ & $0$, $\exp \left( i \frac{2k\pi}{3} \right)$ avec $-2\le k \le 3$. \\ \hline $8$ & & \\ \hline $9$ & $\mathscr{R}_1$ & $0$, $\exp \left( i \frac{k\pi}{4} \right)$ avec $-3\le k \le 4$. \\ \hline $10$ & & \\ \hline $11$ & & \\ \hline $12$ & & \\ \hline $13$ & $\mathscr{R}$ & $0$, $\exp \left( i \frac{k\pi}{6} \right)$ avec $-5\le k \le 6$. \\ \hline $14$ & & \\ \hline $15$ & & \\ \hline $16$ & & \\ \hline $17$ & & \\ \hline \end{tabular} \begin{notes} \medskip {\color{orange}A vue de nez je dirais qu'il y a moyen d'associer cette question à l'action de groupes sur des ensembles et de rattacher le problème à la recherche de décomposition de sous-groupes finis du groupe multiplicatif des racines de l'unité. Ou encore aux orbites des racines de l'unité et donc in fine à un problème d'arithmétique.} \medskip Si $z\in \mathscr{D}$, alors les puissances successives de $z$ appartiennent aussi à $\mathscr{D}$. \end{notes} \end{correction} \end{enumerate} \subsection{\color{purple}Problème: c'est probablement bon.} \subsubsection{Partie A: Franck passe un premier examen.} \begin{sujet} Franck doit réussir un examen qui consiste en un Q.C.M. (questionnaire à choix multiples) de dix questions numérotées de $1$ à $10$. Il doit répondre à ces questions dans l'ordre et s'il ne répond pas à une question, \emph{on ne prendra pas en compte les réponses qu'il pourrait apporter aux questions suivantes}. \medskip Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse fait perdre un point et ne pas répondre à une question ne rapporte aucun point. \medskip Franck réussira son premier examen si sa note finale est d'au moins \emph{sept} points. \medskip Franck connaît les bonnes réponses des \emph{six} premières questions. Par contre, pour chacune des quatre questions suivantes, il a une probabilité $p$ de trouver la bonne réponse, avec $0,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$}; \foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )}); \draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$}; \fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2}) -- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2}) -- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2}) -- (2,0) --(-0.5,0) -- cycle; \draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)}; \end{tikzpicture} \end{center} Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a} \section{Dessin.} \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,-1); \coordinate (F) at (6,0); \coordinate (C) at (7,1); \coordinate (D) at (2,2); \coordinate (O) at (3.5,0.5); \coordinate (S) at (3.5,6); \coordinate (J) at (3.5,3.5); \coordinate (K) at (3,4.666); \draw (A) node {$\bullet$}; \draw (B)node {$\bullet$}; \draw (F)node {$\bullet$}; \draw (C)node {$\bullet$}; \draw (D)node {$\bullet$}; \draw (O)node {$\bullet$}; \draw (S)node {$\bullet$}; \draw (J)node {$\bullet$}; \draw (K)node {$\bullet$}; \draw (A)node[below]{$A$}; \draw (B)node[below right]{$B$}; \draw (F)node[right]{$F$}; \draw (C)node[right]{$C$}; \draw (D)node[above right]{$D$}; \draw (O)node[above right]{$O$}; \draw (S)node[above]{$S$}; \draw (J)node[above right]{$J$}; \draw (K)node[below right]{$K$}; \draw[blue, thick](A)--(B)--(C); \draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C); \draw[blue, thick](A)--(S); \draw[blue, thick](B)--(S); \draw[blue, thick](C)--(S); \draw[blue, thick,dashed](D)--(S); \draw[blue, thick,dashed](O)--(S); \draw[blue, thick](F)--(S); \draw[blue, thick,dashed](A)--(C); \draw[blue, thick,dashed](D)--(B); \draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C); \fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle; \end{tikzpicture} \section{Arbre.} \begin{center} \begin{tikzpicture} \coordinate (A1) at (3.2,2); \coordinate (A2) at (3.2,1.2); \coordinate (A3) at (3.2,-0.4); \coordinate (A4) at (3.2,-1.2); \coordinate (A5) at (3.2,-2); \coordinate (A6) at (3.2,-2.8); \coordinate (B1) at (1.6,1.7); \coordinate (B2) at (1.6,-1.7); \coordinate (C1) at (0,0); \draw node (A11) at (A1) {$1$}; \draw node (A12) at (A2) {$2$}; \draw node (A13) at (A3) {$1$}; \draw node (A14) at (A4) {$2$}; \draw node (A15) at (A5) {$3$}; \draw node (A16) at (A6) {$4$}; \draw node (B11) at (B1) {$N$}; \draw node (B12) at (B2) {$B$}; \draw node (C11) at (C1) {$\square$}; \draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$}; \draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$}; \draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$}; \draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$}; \draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$}; \draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$}; \draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$}; \draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \section{Tab} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6} {$-\infty$ ,$1$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,d,+,}% \tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / } \end{tikzpicture} \section{Tab2.} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4} {$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}% \tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ } \tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$} \tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$} \draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63); \end{tikzpicture} \section{Python} \begin{lstlisting} \textbf{Inititalisation} for i=1 to 14: print("oups") while 1<2: a=input() test \end{lstlisting} \section{Pseudocode} \begin{tabular}{|c|} \hline \begin{minipage}{8cm} \LinesNumbered \SetKw{entrer}{entrer} \SetKw{prend}{prend la valeur} \SetKw{afficher}{afficher} \begin{algorithm}[H] \SetAlgoLined \DontPrintSemicolon \entrer pi 0\; \Tq{1}{ 2\; \eSi{3}{ 4\; 5\; }{ 6\; } } \Pour{7}{ \Si{8}{ 9\; } } \end{algorithm} \end{minipage} \\ \hline \end{tabular} \section{Note dans la marge} \marginpar{\color{red}$\heartsuit$}