%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                  
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique 2024 épreuve 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique 2025 épreuve 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2025_maths/capes_externe_2025_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2025_maths/capes_externe_2025_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\begin{sujet}
	
	Cette épreuve est constituée de trois problèmes indépendants.
	
	\medskip
	\textbf{Notations.}
	
	$\mathbb{N}$ désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.
	
	$\mathbb{N}^*$ désigne l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
	
	$\mathbb{R}$ désigne l’ensemble des nombres réels.
	
	$\mathbb{R}^*$ désigne l’ensemble des nombres réels non nuls.
	
\end{sujet}

\subsection*{Problème 1: vrai-faux.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacun des items suivants, préciser si l’assertion finale est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Calculs dans $\mathbb{R}$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un article taxé à $10\ \%$ a été payé $110$ euros TTC (toutes taxes comprises).
		
		Le montant de la taxe est de $11$ euros.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Valeur hors taxe: $\frac{110}{1+\frac{10}{100}}=100$.
		
		Montant de la taxe: $110-100=10$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels.
		
		Le nombre $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$ est positif.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$ est clairement positif.
		
		Si $\alpha$ et $\beta$ sont de signes contraires alors de $(\alpha+\beta)^2\geqslant0$ on déduit $\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2\geqslant -\alpha\beta\geqslant 0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion 2 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient a et b deux nombres réels.
		
		La négation de $(a > 1 \text{ et } b > 1 \Rightarrow a + b > 2)$ est $(a \leqslant 1 \text{ ou } b \leqslant 1 \Rightarrow a + b \leqslant 2)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La négation de l'implication $\left(a > 1 \text{ et } b > 1 \right) \Rightarrow \left( a + b > 2 \right)$ est: 
		
		$\left(a > 1 \text{ et } b > 1 \right)\text{ et } \mathrm{non}\left( a + b > 2 \right)$ ou encore $\left(a > 1 \text{ et } b > 1 \right)\text{ et } \left( a + b \leqslant 2 \right)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère l’équation d’inconnue réelle $x$: $\cos(2025x) = 1$.
		
		Cette équation admet $2025$ solutions dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			\cos(2025x)=1 &\Leftrightarrow 2025x\equiv 0 \mod{2\pi}\\
			&\Leftrightarrow x\equiv 0 \mod{\frac{2\pi}{2025}}
		\end{align*}
		
		Il ya donc bien $2025$ racines à cette équation dans un intervalle semi-ouvert d'amplitude $2\pi$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Arithmétique.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f; \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ l'application définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $f(n)=8n^2-10n+3$.
		
		L'application $f$ est injective.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(n)=8\left( n-\frac{5}{8}\right)^2-\frac{1}{8}$ donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}\cap [2,+\infty[$.
		
		De plus $f(0)=3$, $f(1)=1$ et $f(2)=15$ donc $f$ est injective.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion 5 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est divisible par $7$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			2^{3n}-1 &\equiv 8^n-1 \mod{7}\\
			&\equiv 1^{n}-1 \mod{7}\\
			&\equiv 0 \mod{7}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 6 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $a$, $b$ et $n$ trois entiers naturels avec $n$ non nul tels que $a$ est congru à $b$ modulo $n$.
		
		Pour tout entier $x$, on a $x^a\equiv x^b\ [n]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$8\equiv 1 \mod{7}$.
		
		D'une part $2^8\equiv 32 \mod{7} \equiv 4 \mod{7}$ et d'autre part $1^8 \equiv 1 \mod{7}$ donc $2^8 \not\equiv 2^1 \mod{7}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 7 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $n$ un entier strictement positif.
		
		La somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls est égale à $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Démonstration par récurrence.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 8 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Analyse réelle.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=-3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-4u_n$.
		
		La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Suite géométrique: $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=-3 \times (-4)^n$.
		
		$\lim_{n\to +\infty} u_{2n}=-\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} u_{2n+1}=+\infty$ donc $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'a pas de limite.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 9 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n=(-1)^n+\dfrac{1}{n}$.
		
		La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ n’admet pas de limite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\lim_{n\to +\infty} u_{2n}=1$ et $\lim_{n\to +\infty} u_{2n+1}=-1$ donc $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'a pas de limite.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 10 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels admettant une limite finie strictement positive.
		
		La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d’un certain rang.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell\in\mathbb{R}_+^*$: $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ n\geqslant N \Rightarrow |u_n-\ell |<\epsilon$.
		
		En particulier: $\exists N_{1/2\ell}\in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ n\geqslant N_{1/2\ell} \Rightarrow |u_n-\ell |<\frac{1}{2}\ell$.
		
		Par conséquent: $\forall n\geqslant N_{1/2\ell},\ u_n>\frac{1}{2}\ell >0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 11 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.
		
		Soit $u_0$ un réel et soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de premier terme $u_0$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
		
		La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $f(x)=-x^3$ et $u_0=2$.
		
		$f$ est strictement décroissante mais $u_1=-2^3$ et $u_2=2^6$. Puisque $u_1<u_2$ la suite n'est pas strictement décroissante.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 12 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'équation $\mathrm{e}^x=x+1$ admet $0$ comme unique solution sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$x \mapsto \mathrm{e}^x-x-1$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$ et strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$. Comme $\mathrm{e}^0=0+1$ il n'y a qu'une seule solution.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 13 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $a$ un réel de $I$ et $f$ une fonction, définie sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.
		
		Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La fonction valeur absolue est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ (nombres dérivés à droite et à gauche égaux à $1$ et $-1$).
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 14 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.
		
		La fonction $f$ est bornée sur $[0;+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(x)=\left[ -\mathrm{e}^{-t} \right]_0^x=1-\mathrm{e}^{-x}$. $f$ est positive sur $\mathbb{R}_+$ et strictement décroissante donc $f(0)\geqslant f \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 15 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$.
		
		La suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est croissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour $x\in [0;1]$, $x\geqslant 1$ donc $x^{n+1}\mathrm{e}^{-x} \geqslant x^n \mathrm{e}^{-x}$ les nombres étant tous positifs. Par positivité de l'intégrale: $I_{n+1}\geqslant I_n$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 16 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $I_n=\int_1^{\mathrm{e}} t \left( \ln(t)\right)^n\ \mathrm{d}t$.
		
		Pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_{n+1}=\frac{1}{2}\left( \mathrm{e}^2+(n+1)I_n \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}^*$. $I_{n+1}=\left[ \frac{1}{2}t^2\left( \ln(t)\right)^{n+1} \right]_1^{\mathrm{e}} -\int_0^{\mathrm{e}} \frac{1}{2}t^2 (n+1)\frac{1}{t}\left( \ln(t)\right)^n\ \mathrm{d}t= \frac{1}{2} \mathrm{e}^2-\frac{1}{2}(n+1)\int_1^{\mathrm{e}} t \left( \ln(t) \right)^{n}\ \mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left( \mathrm{e}^2-(n+1)I_n\right)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 17 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Géométrie.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{17}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La figure codée ci-dessous, réalisée à main levée, représente une configuration géométrique du plan affine euclidien.
		
		\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{capes_externe_2025_epreuve_1_01_main_levee.png}
		\end{center}
		
		Les points $C$, $D$ et $E$ de cette configuration sont alignés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La mesure de l'angle $\widehat{CDE}=(90-25)+50+(90-15)=190$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 18 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère un triangle $ABC$ du plan affine euclidien tel que $AB= 4$, $BC= 8$ et $CA= 4\sqrt{3}$.
		
		L’angle géométrique $\widehat{ABC}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ radians.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=BA\cdot BC \cdot \cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)$ et $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}= \frac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{BA} \right\|^2 + \left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC} \right\|^2 \right)=\frac{1}{2} \left( AB^2+BC^2-AC^2 \right)=16$.
		
		D'où: $\cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)= \frac{16}{BA\cdot BC}=\frac{1}{2}$ donc $\cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)\equiv \frac{\pi}{3} \mod{2\pi}$ ou $\cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)\equiv -\frac{\pi}{3} \mod{2\pi}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 19 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$ du plan, on considère les points $A(1 ; 2)$, $B(3 ; 1)$ et $M(5x;x^2 -1)$ où  $x$ est un nombre réel.
		
		Les points $A$, $B$ et $M$ sont alignés si et seulement si $x= 1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			M\in (AB) &\Leftrightarrow \det( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\\
			&\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 5x-1 & 2 \\ x^2-3 & -1 \end{vmatrix}=0\\
			&\Leftrightarrow -2x^2-5x+7=0\\
			&\Leftrightarrow x \in \left\{ 1,-\frac{7}{2} \right\}
		\end{align*}
			
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 20 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère un plan $(P)$ de l’espace et trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés n’appartenant pas à $(P)$, tels que la droite $(AB)$ coupe $(P)$ en $C'$, la droite $(BC)$ coupe $(P)$ en $A'$ et la droite $(AC)$ coupe $(P)$ en $B'$.
		
		Les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
			$(AB)\subset (ABC)$ donc $C'\in (ABC)$. De même $A',B' \in(ABC)$. Ainsi $A',B',C'\in (ABC)\cap (P)$.
			
			La configuration permet de dire que $(ABC)$ et $(P)$ ne sont pas parallèles donc leur intersection est une droite.
			
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 21 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ d’un espace affine euclidien de dimension $3$, avec $AB = 5$, $AD = 4$ et $AE = 3$ et $I$ le milieu de $[AB]$, conformément à la figure ci-dessous.
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{capes_externe_2025_epreuve_1_02_pave.png}
		\end{center}
		
		La mesure de l'angle $\widehat{FHI}$ arrondie au degré près est $45\degres$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On se place dans le repère $\left( A; \frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}, \frac{1}{AD}\overrightarrow{AD}, \frac{1}{AE}\overrightarrow{AE}\right)$. On a: $I\left( \frac{5}{2},0,0\right)$, $F(5,0,3)$ et $H(0,4,3)$. $\overrightarrow{HI}\begin{pmatrix} 5/2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{HF}\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{HI}\cdot \overrightarrow{HF}=\frac{57}{2}$.
		
		Or $\overrightarrow{HI}\cdot \overrightarrow{HF}= HI \times HF \cos(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HF})$ et $HI=\sqrt{31,25}$, $HF=\sqrt{41}$ donc $\cos(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HF})=\frac{57}{2\sqrt{31,25}\sqrt{41}}$ d'où $\widehat{FHI}$ mesure approximativement $37,23\degres$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 22 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le nombre complexe $\mathrm{e}^{2i\frac{\pi}{3}}+\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{2}}$ admet $\dfrac{\pi}{12}$ pour argument.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^{2i\frac{\pi}{3}}+\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{2}} &= \mathrm{e}^{i\left( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \right)}\left[ \mathrm{e}^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}+\mathrm{e}^{-i\left( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\right]\\
			&= \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{12}} \left[ \mathrm{e}^{i\frac{7\pi}{12}}+ \mathrm{e}^{-i\frac{7\pi}{12}} \right]\\
			&= 2\cos\left( \frac{7\pi}{12}\right)\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{12}}\\
			&= -2\cos\left( \frac{5\pi}{12} \right) \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{12}}\\
			&= 2\cos\left( \frac{5\pi}{12} \right) \mathrm{e}^{i\left(\frac{\pi}{12}-\pi\right)}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 23 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	 
\end{enumerate}

\subsubsection{Algèbre linéaire.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{23}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $E$ un $\mathbb{R}$ espace vectoriel muni d’un produit scalaire et de la norme associée notée $\|.\|$.
		
		Deux vecteurs $u$ et $v$ de $E$ sont orthogonaux si et seulement si $\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Dire que	 $u$ et $v$ sont orthogonaux équivaut successivement à
		\begin{align*}
			u\cdot v &= 0\\
			\frac{1}{2}\left( \| u+v \|^2-\| u \|^2-\| v \|^2 \right) &= 0\\
			\|u+v\|^2 &= \|u\|^2+\|v\|^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 24 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la matrice $A$ de $M_2(\mathbb{C})$, définie par $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
		
		Le produit des valeurs propres de $A$ est égal à $2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le polynôme caractéristique de $A$ est $X^2-\det(A)X+\mathrm{tr}(A)=X^2-2X+2$ donc le produit de ses valeurs propres est $2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 25 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une matrice carrée $A$ de taille $n$ diagonalisable ($n\in\mathbb{N}^*$).
		
		La matrice $A^2$ est diagonalisable.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$A$ est diagonalisable: $\exists P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}),\ \exists D\in\mathrm{D}_n(\mathbb{K}),\ A=PDP^{-1}$.
		
		D'où: $A^2=PDP^{-1}PAP^{-1}=PD^2P^{-1}$. Or un produit de matrices diagonales est diagonale.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 26 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	 
\end{enumerate}

\subsubsection{Dénombrement	et probabilités.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{26}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$20$ personnes, dont $13$ femmes, sont convoquées à un entretien. Les candidats sont reçus individuellement. La liste fixant l’ordre de passage a été établie par un tirage au sort équiprobable parmi l’ensemble des listes possibles.
		
		La probabilité que le deuxième candidat interrogé soit une femme sachant que le premier candidat interrogé est une femme est égale à $\dfrac{12}{19}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On change de modélisation: $20$ tirages successifs sans remise avec équiprobabilité pour chaque tirage. La probabilité que le deuxième tirage soit une femme sachant que le premier est une femme est la probabilité de choisir l'une des 12 femmes restant parmi les 19 personnes: $\frac{12}{19}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 27 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance trois dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on fait la somme des résultats obtenus.
		
		Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.
				
			{\hspace{-1cm}\begin{minipage}{13cm}
				
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
from math import*
n=int(input("Entrez un entier compris entre 3 et 18:"))
s=0
for i in range(1,7):
    for j in range(1,7):
        for k in range(1,7):
            if i+j+k==n:
                print(i,j,k)
s=s+1
print("Le nombre de facons d'obtenir",n,"avec trois des est:",s)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}}
		
		La ligne $10$ de ce programme donne le nombre de façons d’obtenir pour somme l’entier $n$, saisi par l’utilisateur.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'instruction \verb|s=s+1| est hors boucles donc à la fin du programme $s$ vaut $1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 28 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection*{Problème 2: meilleure approximation affine.}

\begin{sujet}
	
	Ce problème a pour objet de s’intéresser à la notion de meilleure approximation affine d’une fonction en un point.
	
	\medskip
	\textbf{Définitions.}
	
	\medskip				
	Soit $f$ une fonction d’une variable réelle, définie sur un intervalle ouvert non vide $I$.
	
	Pour tout réel $a\in I$, on appelle approximation affine de $f$ en $a$ toute fonction affine $g$ définie sur $I$ telle que \[g(a)=f(a) .\]
	
	Soient $g_1$ et $g_2$ deux approximations affines de $f$ en $a$. Dire que $g_1$ est une meilleure
	approximation affine de $f$ en $a$ que $g_2$ signifie qu’il existe un intervalle ouvert $D$ contenant $a$ tel que \[ \forall x \in I\cap D,\ |f(x)-g_1(x)|\leqslant |f(x)-g_2(x)|.\]
	
	Si de plus $f$ est dérivable sur $I$ de dérivée $f'$, pour tout $a\in I$, on appelle fonction affine tangente de $f$ au point $a$ la fonction $t$ définie sur $I$ par \[ \forall x \in I,\ t(x)=f(a)+f'(a)(x-a).\]
	
\end{sujet}

\subsubsection{Étude d'un exemple.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^2-x. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudier la dérivabilité de la fonction f sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f$ est une fonction polynomiale (combinaison linéaire de puissances) donc dérivable sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer l’allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ donc $\mathscr{C}_f$ est une parabole orientée vers le haut de sommet de  coordonnées $\left( \frac{1}{2},-\frac{1}{4} \right)$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la fonction $t$ affine tangente à $f$ en $0$. Tracer la tangente en $0$ sur la figure précédente.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$t(x)=0-1(x-0)=-x$. $\mathscr{C}_t$ est la droite passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $(1,-1)$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[h(x)=-\frac{1}{2}x.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $h$ est une approximation affine de $f$ en $0$. Tracer la courbe représentative de $h$ sur la même figure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$h$ est affine et $h(0)=f(0)$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que \[ \forall x \in \mathbb{R},\ |f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-h(x)|\Leftrightarrow |x|\leqslant \left| x-\frac{1}{2} \right| \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$. $|f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-h(x)|\Leftrightarrow |x^2-x+x|\leqslant | x^2-x+\frac{1}{2}x| \Leftrightarrow |x|\cdot |x| \leqslant |x| \cdot |x-\frac{1}{2}|$.
			
			En distinguant suivant que $x=0$ ou pas on obtient l'équivalence souhaitée.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $t$ est une meilleure approximation affine de $t$ en $0$ que $h$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $D=\left]\frac{-1}{4},\frac{1}{4} \right[$. $\forall x \in D,\ |x|\leqslant \left| x-\frac{1}{2} \right|$. On conclut d'après la question précédente et la définition de meilleur approximation affine.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout réel $k \ne -1$, on note $g_k$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par \[ g_k(x)=kx.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $g_k$ est une approximation affine de $f$ en $0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$g_k$ est affine et $g_k(0)=f(0)$.
			
		\end{correction}
		
		\item 

		\begin{sujet}
			
			Démontrer que \[ \forall x \in \mathbb{R},\ |f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-g_k(x)| \Leftrightarrow |x| \leqslant |x-(1+k)|.\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				& |f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-g_k(x)|\\
				&\Leftrightarrow |x^2|\leqslant |x^2-(1+k)x|\\
				&\Leftrightarrow |x| \leqslant |x-(1+k)|
			\end{align*}
			en distinguant $x=0$ et $x\ne 0$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que \[ \forall x \in \left] -\left| \frac{1+k}{2} \right| , \left| \frac{1+k}{2} \right| \right[,\ |f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-g_k(x)| \]
			
		\end{sujet}
			
		\begin{correction}
			
			$\forall x \in \left] -\left| \frac{1+k}{2} \right| , \left| \frac{1+k}{2} \right| \right[,\ |x| \leqslant |x-(1+k)|$ donc, d'après la question précédente: $\forall x \in \left] -\left| \frac{1+k}{2} \right| , \left| \frac{1+k}{2} \right| \right[,\ |f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-g_k(x)|$.
	
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut-on en conclure pour la fonction $t$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$t$ est une meilleur approximation affine que toutes les $g_k$.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Cas général.}

\begin{sujet}
	
	On suppose ici que $I=\mathbb{R}$ et que la fonction $f$ est dérivable sur $I$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $g$ est une approximation affine de $f$ en $a$ si et seulement si \[ \exists k\in\mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ g(x)=f(a)+k(x-a). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$g$ est une approximation affine de $f$ en $a$ si et seulement si $g$ est affine et $g(a)=f(a)$. Autrement dit si et seulement si il existe des réels $m$ et $p$ tels que: $\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R},\ g(x)=mx+p \\ g(a)=f(a) \end{array} \right.$
		
		Or $ma+p=f(a)\Leftrightarrow p=f(a)-ma$ donc $g$ est une approximation affine de $f$ en $a$ si et seulement si il existe un réel $m$ tel que: $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x)=f(a)+m(x-a)$.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Soit $g$ une approximation affine de $f$ en $a$ telle que $k \ne f'(a)$. On pose pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{a\}$,
	\begin{align*}
		T(x) &= \frac{f(x)-t(x)}{x-a}\\
		G(x) &= \frac{f(x)-g(x)}{x-a}
	\end{align*}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{7}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les limites des fonctions $T$ et $G$ en $a$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$T(x)= \frac{f(x)-\left[ f(a)+f'(a)(x-a) \right]}{x-a}= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$.
		
		$G(x)=\frac{f(x)-\left[ f(a)+k(x-a) \right]}{x-a}= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-k \underset{x \to a }{\longrightarrow} f'(a)-k$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut-on en conclure pour la fonction $t$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la question précédente quel que soit $k \in \mathbb{R}$ il existe un voisinage ouvert de $a$ tel que: $|T(x)|\leqslant |G(x)|$.
		
		Et donc: $|f(x)-t(x)|\leqslant |f(x)-g(x)|$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La meilleur approximation affine de $f$ en $a$ est $t$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Relation d'ordre.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Rappeler la définition d’une relation d’ordre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $E$ un ensemble et $\mathcal{R}$ une relation binaire dans $E$. On dit que $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si et seulement si elle vérifie les trois conditions suivantes:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\forall x \in E,\ x \mathcal{R}x$.
			\item $\forall (x,y)\in E^2,\ \left\{ \begin{array}{l} x \mathcal{R}y \\ y \mathcal{R}x \end{array} \right. \Rightarrow x=y$.
			\item $\forall (x,y,z)\in E^3,\ \left\{ \begin{array}{l} x\mathcal{R}y \\ y\mathcal{R}z \end{array} \right. \Rightarrow x \mathcal{R}z$.
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$.
		
		La relation \og être une meilleure approximation affine de $f$ en $a$ que \fg{} constitue-t-elle une relation d’ordre dans l’ensemble des approximations affines de $f$ en $a$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La réflexivité ne pose pas de problème.
		
		La transitivité doit se faire sur $I\cap D\cap D'$.
		
		L'antisymétrie n'est pas vérifiée. Nous pouvons exhiber un contre-exemple: $f(x)=0$, $a=0$, $g_1(x)=x$ et $g_2(x)=-x$. 
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 3: dérangements.}

\begin{sujet}
	
	Ce problème a pour objet de déterminer le nombre de dérangements d’un ensemble fini.
	
	\medskip
	\textbf{Notations, définitions et rappels.}
	
	Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $E_n$ le sous ensemble de $\mathbb{N}$ défini par $E_n = \{1,2,\dots,n\}$.
	
	On appelle permutation de $E_n$ toute bijection de $E_n$ dans lui-même. Soit $\sigma$ une permutation de $E_n$ et $i$ un élément de $E_n$. Dire que $i$ est un point fixe de $\sigma$ signifie que $\sigma(i)=i$.
	
	On appelle \emph{dérangement} de $E_n$ une permutation de $E_n$ n’ayant aucun point fixe.
	
	\medskip
	On note $S_n$ l’ensemble des permutations de $E_n$.
	
	On rappelle que le cardinal de $S_n$ est $n!$.
	
	On note $D_n$ l’ensemble des dérangements de $E_n$.
	
	Le cardinal de $D_n$ est noté $d_n$.
	
	\medskip
	\textbf{Généralités.}
	
	Dans cette partie, $E$ désigne un ensemble fini non vide.
	
	$A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont des parties de $E$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier l'égalité \[ \mathrm{card}(A_1\cup A_2)= \mathrm{card}(A_1)+ \mathrm{card}(A_2)-\mathrm{card}(A_1 \cap A_2)\] où $\mathrm{card}$ désigne le cardinal des ensembles considérés.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’inspirant de la relation précédente et en illustrant la réponse par un schéma, donner sans démonstration une expression de $\mathrm{card}(A_1 \cup A_2 \cup A_3 )$, en fonction des cardinaux des intersections de ces parties.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la suite, on admettra la formule du crible ci-dessous qui constitue une généralisation des deux précédentes.
	
	Étant données $n$ parties $A_1, A_2,\dots, A_n$ d'un ensemble $E$ fini non vide, on a \[ \mathrm{card}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)= \sum_{k=1}^n \left( (-1)^{k-1}\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\dots <i_k\leqslant n}\mathrm{card}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k})\right) .\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Retrouver à l'aide de la formule du crible la réponse obtenue à la question 2.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Calcul du nombre de dérangements.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner les valeurs de $d_1$ et $d_2$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour tout entier $i$ élément de $E_n$, on note $A_i$ l'ensemble des permutations admettant au moins $i$ pour point fixe. \[ A_i=\left\{ \sigma \in S_n\ | \ \sigma(i)=i \right\}.\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que \[ S_n\setminus D_n=\bigcup_{i=1}^n A_i. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étant donné un entier $k$ de $E_n$ et $k$ entiers deux à deux distincts $i_1,i_2,\dots,i_k$ justifier l'égalité \[ \mathrm{card}(A_{i_1}\cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k})=(n-k)!.\]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduire des deux questions précédentes et de la formule du crible que \[ d_n=n!-\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom{n}{k} (n-k)!.\]
		
	\end{sujet}
	
	\item 

	\begin{sujet}
		
		Démontrer que \[ d_n=n!\sum_{0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.\]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Applications.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $p_n$ la probabilité qu’une permutation choisie au hasard de façon équiprobable dans $S_n$ soit un dérangement.
		
		La suite $(p_n)$ admet-elle une limite? Si oui laquelle?
	
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On répartit au hasard $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ dans $n$ urnes numérotées de $1$ à $n$, en plaçant une boule par urne.
		
		On note $X_n$ la variable aléatoire qui à une telle répartition associe le nombre de coïncidences entre le numéro de l’urne et celui de la boule qu’elle reçoit.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer $P((X_n=0)$ et en  déduire une expression de $P(X_n\geqslant 1)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que pour tout entier $q$ de $E_n$, on a \[ P(x=q)=\frac{1}{q!}\sum_{k=0}^{n-q} \frac{(-1)^k}{k!}.\]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que l'espérance de $X_n$ est indépendante de $n$.
			
			\emph{On pourra écrire $X_n$ sous forme d'une somme de variables aléatoires.}
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}