%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique 2024 épreuve 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique 2024 épreuve 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2024_maths/capes_externe_2024_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2024_maths/capes_externe_2024_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\begin{sujet}
	
	Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
	
	\medskip
	\textbf{Notations.}
	
	$\mathbb{N}$ désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.
	
	$\mathbb{N}^*$ désigne l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
	
	$\mathbb{R}$ désigne l’ensemble des nombres réels.
	
	$\mathbb{R}_+$ désigne l’ensemble des nombres réels positifs.
	
	$\mathbb{R}_+^*$ désigne l’ensemble des nombres réels strictement positifs.
	
\end{sujet}

\subsection{Problème 1: vrai-faux.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
	
	Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Proportionnalité.}


\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour que le tableau ci-dessous soit un tableau de proportionnalité il faut et il suffit que $m = 5$.
		
		\begin{center}
			$\begin{array}{|c|c|}
				\hline
				1-m & -3
				\\
				\hline
				8 & 1+m
				\\
				\hline
			\end{array}$
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons pour qu'elle condition nécessaire et suffisante le tableau est de proportionnalité.}
		
		Il est de proportionnalité si et seulement si
		
		\begin{align*}
			\begin{vmatrix}
				1-m & -3 \\
				8 & 1+m
			\end{vmatrix} = 0 &\Leftrightarrow
			(1-m)(1+m)-8 \times (-3) = 0\\
			&\Leftrightarrow 25-m^2 = 0\\
			&\Leftrightarrow (5-m)(5+m) = 0\\
			&\Leftrightarrow m \in \{-5;5\}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après une augmentation de $55\ \%$, le coût d’un produit a baissé de $28\ \%$.
		
		Le pourcentage d’augmentation total est de $27\ \%$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En considérant les coefficients multiplicateurs: \[ \left( 1+ \frac{55}{100} \right) \left( 1+\frac{-28}{100} \right) = 1,116= 1+\frac{11,6}{100}.\]
		
		L'évolution globale est une augmentation de $11,6\ \%$
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si l’on augmente son rayon de $22\ \%$, l’aire d’un disque augmente de $44\ \%$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			\pi\left[ \left(1+\frac{22}{100} \right)R \right]^2 &= 1,4884 \times \pi R^2
		\end{align*}
		
		L'aire du disque est donc augmentée de $48,84\ \%$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Analyse.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la fonction $F$ définie sur $[0,+\infty[$ par \[ F(t)= \int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t.\]
		
		On a \[ \frac{1}{\mathrm{e}} \leqslant F(1) \leqslant 1 -\frac{1}{\mathrm{e}}.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Ce premier point ne sert à rien mais je ne le savais pas encore en rédigeant.}
			
			$t \mapsto \mathrm{e}^{-t^2}$ est décroissante sur $[0;1]$ donc: $\forall t \in [0;1],\ \mathrm{e}^{-1} \leqslant \mathrm{e}^{-t^2}$.
			
			En intégrant sur $[0;1]$ les fonctions étant continues: $\mathrm{e}^{-1}\leqslant F(1)$.
			
			\item $\forall t \in [0;1],\ -t^2 \geqslant -t$.
			
			Donc: $\forall x \in [0;1],\ \mathrm{e}^{-t^2}\geqslant \mathrm{e}^{-t}$.
			
			Comme les fonctions $t\mapsto \mathrm{e}^{-t^2}$ et $t \mapsto \mathrm{e}^{-t}$ sont continues, positives mais pas égales, en intégrant sur $[0;1]$: $F(1)>\int_0^1\mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.
			
			Autrement dit: $F(1) > -\mathrm{e}^{-1}+1$.
			
		\end{enumerate}
		
		D'après ce deuxième point
		
		\begin{conclusion}
			
			la proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note pour tout réel $t\geqslant 1$, \[ A(t)=\int_1^t x^2\ln(x)\ \mathrm{d}x.\]
		
		On a \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{A(t)}{t^2}=+\infty.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la limite proposée.}
		
		$x \mapsto \frac{1}{3}x^3$ et $x \mapsto \ln(x)$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0;1]$ donc, en procédant à une intégration par parties:
		\begin{align*}
			A(t) &= \left[ \frac{1}{3}x^3 \ln(x) \right]_1^t - \int_1^t \frac{1}{3}x^3 \times \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x\\
			&= \frac{1}{3}t^3\ln(t) -\frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_1^t\\
			&= \frac{1}{3}t^3\ln(t)-\frac{1}{9}t^3+\frac{1}{9}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons: $\frac{A(t)}{t^2} \underset{t \to +\infty}{\sim} \frac{1}{3}t\ln(t) \underset{t \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Toute suite $(u_n)$ qui vérifie l’assertion suivante tend vers $+\infty$.
		
		\[ \exists n_0\in\mathbb{N};\ \forall A \in\mathbb{R},n\in\mathbb{N},\ \left( n\geqslant n_0 \Rightarrow u_n \geqslant A \right).\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Supposons qu'il existe une suite vérifiant: \[ \exists n_0\in\mathbb{N};\ \forall A \in\mathbb{R},n\in\mathbb{N},\ \left( n\geqslant n_0 \Rightarrow u_n \geqslant A \right).\]
		
		Nous avons donc pour un $n_0\in\mathbb{N}$ fixé: $\forall A \in \mathbb{R},\ u_{n_0}\geqslant A$. Formulons la chose en français: $u_0$ est un nombre plus grand que tous les nombres réels. Ceci est impossible.
		
		Il n'existe aucune suite vérifiant l'assertion proposée, l'assertion est toujours fausse. 
		
		Donc l'implication \og si: $\exists n_0\in\mathbb{N};\ \forall A \in\mathbb{R},n\in\mathbb{N},\ \left( n\geqslant n_0 \Rightarrow u_n \geqslant A \right)$, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$ \fg{} est vraie. {\color{orange}L'hypothèse de l'implication étant fausse, quelle que soit la conclusion l'implication toute entière sera vraie. On peut alors tout affirmer, y compris que le niveau du capes de math reste inchangé.}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Arithmétique.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a
$\dfrac{3}{11}= 0,272727272727$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En procédant à la division posée en potence: 
		
		\opdiv[displayintermediary=all, voperation=top,maxdivstep=3]{3}{11}
		
		donc $\frac{3}{11}=0,272727\dots$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Contre-exemple:$ \sqrt{2} \times \sqrt{2}=2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $n\in \mathbb{N}$. La contraposée de l’assertion \og $n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}$ \fg{} est \og $n \text{ pair} \Rightarrow n^2 \text{ pair}$ \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{sujet}
		
		{\color{orange}Je vois mal quelle justification donner hormis un rappel de vocabulaire.}
		
		L’assertion \og $n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}$ \fg{} est la réciproque de \og $n \text{ pair} \Rightarrow n^2 \text{ pair}$ \fg{}.
		
		La contraposée de l’assertion \og $n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}$ \fg{} est \og $n \text{ pas pair} \Rightarrow n^2 \text{ pas pair}$ \fg{}.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si la somme des chiffres en base $10$ d’un entier naturel est divisible par $3$ alors cet entier est divisible
par $9$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Contre-exemple: $3$ est divisible par $3$ mais pas par $9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels et $n$ un entier naturel non nul.
		
		Si $2a\equiv 2b\ (\mathrm{mod}\ n)$ alors $a\equiv b\ (\mathrm{mod}\ n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Contre-exemple: $2 \times 6 \equiv 2 \times 12 \ (\mathrm{mod}\ 4)$ et pourtant $6 \not\equiv 12 \ (\mathrm{mod}\ 4)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit n un entier naturel non nul, la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale au carré de
$2n + 1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Contre-exemple: $1+3+5=9$ et $(2 \times 3+1)^2=49$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers tels que $a^2 = b^2 + c^2$.
		
		L’un au moins des nombres $a$, $b$ et $c$ est multiple de $5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un entier est divisible par $5$ s'il est congru à $0$ ou $5$ modulo $10$.
		
		En considérant les carrés d'entiers de $\llbracket 0,10 \rrbracket$ nous remarquons qu'il sont congrus à $0$ ou $1$ ou $4$ ou $5$ ou $6$ ou $9$ modulo $10$.
		
		Représentons les sommes $b^2+c^2$ modulo $10$ par une table:
		
		\begin{center}			
			\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
				\hline
				\backslashbox{$b^2$}{$c^2$} & $0$ & $1$ & $4$ & $5$ & $6$ & $9$
				\\
				\hline
				$0$ & $0$ & $1$ & $4$ & $5$ & $6$ & $9$
				\\
				\hline
				$1$ & $1$ & $\color{red}2$ & $5$ & $6$ & $\color{red}7$ & $0$
				\\
				\hline 
				$4$& $4$ & $5$ & $\color{red}8$ & $9$ & $0$ & $\color{red}3$
				\\
				\hline
				$5$ & $5$ & $6$ & $9$ & $0$ & $1$ & $4$
				\\
				\hline
				$6$ & $6$& $\color{red}7$ & $0$ & $1$ & $\color{red}2$ & $5$
				\\
				\hline
				$9$ & $9$ & $0$ & $\color{red}3$ & $4$ & $5$ & $\color{red}8$
				\\
				\hline 
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Comme nous voulons un triplet pythagoricien il faut retirer ceux, en rouge dans le tableau, qui ne peuvent pas correspondre à des carrés parfaits.
		
		Enlevons tous les cas, en bleu ci-dessous, pour lesquels $c$ ou $b$ est divisible par $5$.
		
		\begin{center}			
			\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
				\hline
				\backslashbox{$b^2$}{$c^2$} & $0$ & $1$ & $4$ & $5$ & $6$ & $9$
				\\
				\hline
				$0$ & $\color{blue}0$ & $\color{blue}1$ & $\color{blue}4$ & $\color{blue}5$ & $\color{blue}6$ & $\color{blue}9$
				\\
				\hline
				$1$ & $\color{blue}1$ & $\color{red}2$ & $5$ & $\color{blue}6$ & $\color{red}7$ & $0$
				\\
				\hline 
				$4$& $\color{blue}4$ & $5$ & $\color{red}8$ & $\color{blue}9$ & $0$ & $\color{red}3$
				\\
				\hline
				$5$ & $\color{blue}5$ & $\color{blue}6$ & $\color{blue}9$ & $\color{blue}0$ & $\color{blue}1$ & $\color{blue}4$
				\\
				\hline
				$6$ & $\color{blue}6$& $\color{red}7$ & $0$ & $\color{blue}1$ & $\color{red}2$ & $5$
				\\
				\hline
				$9$ & $\color{blue}9$ & $0$ & $\color{red}3$ & $\color{blue}4$ & $5$ & $\color{red}8$
				\\
				\hline 
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Nous constatons que dans les cas restants $a$ est nécessairement divisible par $5$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Le raisonnement précédent est très élémentaire et peut être expliqué à un collégien en parlant de nombre dont le chiffre des unités est $0$ ou $5$ plutôt que de congruence.}
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\subsubsection{Géométrie.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{13}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un triangle dont les mesures des angles sont dans un ratio $1 : 2 : 3$ est un triangle rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si $x$ est une mesure en degré du plus petit angle alors: $x+2x+3x=180 \Leftrightarrow x=30$. Ainsi $3x=90$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un plan affine euclidien, on considère un triangle $ABC$ sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux $ABD$ et $ACE$.
		
		On a $BE = DC$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un schéma met en évidence que $ABE$ et $ADC$ sont superposables. En effet par construction: $AD=AB$, $AE=AC$ et (en confondant les angles et leurs mesures) $\widehat{EAB}= \widehat{EAC} +\widehat{CAB}=60+\widehat{CAB}= \widehat{CAB}+60=\widehat{CAB}+\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}On peut aussi remarquer que les triangles sont isométriques via la rotation de centre $A$ et d'angle $60\degres$. La précédente démonstration me semble encore plus élémentaire.}
		
	\end{correction}	
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un espace affine euclidien, muni d’un repère cartésien orthonormé, les droites $D$ et $D'$ de représentations paramétriques 
		
		$\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 1+t \\ y &=& 3-t \\ z &=& 5-2t \end{array} \right.\ t \in\mathbb{R} \text{ et } \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 1+t \\ y &=& 3-t \\ z &=& -5t-1 \end{array} \right.\ t \in\mathbb{R}$ sont coplanaires.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Dans l'espace affine euclidien de dimension $3$, deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes ou parallèles.
			
			Or $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}$, vecteurs directeurs respectivement de $D$ et $D'$, ne sont pas colinéaires donc $D$ et $D'$ ne sont pas parallèles.
			
			\item Si $M \in D\cap D'$ alors il existe $(t_M,s_M) \in \mathbb{R}^2$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{c}1+t_M=1+s_M\\ 3-t_M=3-s_M \\5-2t_M =-5s_M-1 \end{array} \right. \] ce qui équivaut à \[ \left\{ \begin{array}{c} t_M =s_M \\ t_M=s_M \\ t_M=\frac{5}{2}s_M+3 \end{array} \right.\]
			
			Puisque $t_M=-2=s_M$ est solution de ce système les droites sont sécantes.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}La première partie concernant le non parallélisme est, \emph{a posteriori}, inutile.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\longueur{3};
				\def\hauteur{3};
				\def\profondeur{2};
				\def\angledefuite{30};
				\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Création des points du bas.
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
				\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
				\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
				%Création des points du haut
				\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
				\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
				\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
				\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
				%Nom des points du bas dans le sens direct
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\draw (C) node [below right] {$C$};
				\draw (D) node [above left] {$D$};
				\draw (E) node [above left] {$E$};
				\draw (F) node [above] {$F$};
				\draw (G) node [above right] {$G$};
				\draw (H) node [above left] {$H$};
				%Les arêtes du bas
				\draw [] (A) -- (B);
				\draw [] (B) -- (C);
				\draw [dashed] (C) -- (D);
				\draw [dashed] (D) -- (A);
				%Les arêtes verticales
				\draw [] (A) -- (E);
				\draw [] (B) -- (F);
				\draw [] (C) -- (G);
				\draw [dashed] (D) -- (H);
				%Les arête du haut
				\draw [] (E) -- (F);
				\draw [] (F) -- (G);
				\draw [] (G) -- (H);
				\draw [] (H) -- (E);
				\fill [magenta,opacity=0.2] (A) -- (B) -- (G) -- (H) -- cycle;
				\draw (B) -- (G);
				\draw [dashed] (A) -- (H);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		On se place dans le repère $(D, \overrightarrow{DA} ; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow{DH} )$.
		
		Le point $K(9;-10;-8)$ est un point du plan $(ABG)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Par lecture graphique $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BG} \right)$ est une base de la direction de $(ABG)$ et $B \in (ABG)$.
		
		$K \in (ABG)$ si et seulement si: $\exists (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2,\ \overrightarrow{BK} = \alpha \overrightarrow{BA} + \beta \overrightarrow{BG}$.
		
		Or, dans le repère de l'énoncé, $B(1,1,0)$, $A(1,0,0)$ et $G(0,1,1)$ donc $\overrightarrow{BK} \begin{pmatrix} 8 \\ -11 \\ -8 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BG} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		Par conséquent: $\exists (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2,\ \overrightarrow{BK} = \alpha \overrightarrow{BA} + \beta \overrightarrow{BG}$, équivaut successivement à \[ \left\{ \begin{array}{ccccc} 8 &=& \alpha \times 0 &+& \beta \times (-1)\\ -11 &=& \alpha \times (-1) &+& \beta \times0\\ -8 &=& \alpha \times 0 &+& \beta \times 1 \end{array} \right.\]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} \alpha=11 \\ \beta =-8 \end{array}\right.\]
		
		Ainsi $\overrightarrow{BK} = 11 \overrightarrow{BA} -8 \overrightarrow{BG}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Dénombrement. Probabilités.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{17}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $E$ un ensemble fini non vide dont un des éléments est noté $a$.
		
		Il y a autant de parties de $E$ contenant $a$ que de parties ne le contenant pas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si une partie $Q$ de $E$ contient $a$ alors il existe une partie $P=Q\setminus \{ a \}$ est l'unique partie de $E$ ne contenant pas $a$ telle que $Q= \{ a\} \cup P$.
		
		Autrement dit il y a une bijection entre l'ensemble des parties de $E$ contenant $a$ et celles ne contenant pas $a$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l’arrivée sur le quadrillage ci-dessous est égal à $120$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!80!white] (0,0) grid (7,3);
				\draw (0,0) node {$\bullet$};
				\draw (7,3) node {$\bullet$};
				\draw (0,0) node[below left] {Départ};
				\draw (7,3) node [above right] {Arrivée};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (4,1) -- (4,2) -- (5,2) -- (5,3) -- (7,3);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un chemin court est formé $10$ déplacements: $7$ déplacements vers la droite et $3$ vers le haut.
		
		Cela revient à choisir une sous-ensemble de trois éléments de $\llbracket 1;10 \rrbracket$: $\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!(10-3)!}= \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2}=120$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une agence reçoit en moyenne $8$ appels téléphoniques par heure. On modélise le nombre d’appels reçus par heure par une loi de Poisson.
		
		La probabilité qu’il y ait plus de $3$ appels téléphoniques au cours d’une heure est supérieure à $0,95$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $X$ la variable aléatoire réelle comptant le nombre d'appels téléphonique reçus pendant une heure. D'après l'énoncé $X \hookrightarrow\mathcal{P}(8)$.
		
		Dans ce cas, par convergence de la série exponentielle
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X >3) &= \sum_{k=4}^{+\infty} \mathrm{e}^{-8} \frac{8^k}{k!}\\
			&= 1- \mathrm{e}^{-8} \sum_{k=0}^3 \frac{8^k}{k!}\\
			&\approx 0,9576
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $A$ et $B$ deux évènements d’un espace probabilisé. Les assertions suivantes sont équivalentes:
		
		\begin{itemize}
			\item les évènements $A$ et $B$ sont indépendants;
			
			\item les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
			
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Dire que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants équivaut successivement à:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}\left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= \mathbb{P}\left( \overline{A}\right) \mathbb{P}\left( \overline{B} \right)\\
			\mathbb{P}\left( \overline{A \cup B }\right) &= \left( 1-\mathbb{P}(A) \right) \left( 1- \mathbb{P}(B) \right)\\
			1-\mathbb{P}(A \cup B) &= 1-\mathbb{P}(A) -\mathbb{P}(B) +\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\\
			1-\left( \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B) \right) &= 1-\mathbb{P}(A) -\mathbb{P}(B) +\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\\
			\mathbb{P}(A \cap B) & =\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On dépose au hasard n boules numérotées de $1$ à $n$ dans n urnes numérotées de $1$ à $n$, en plaçant une boule par urne.
		
		L’espérance du nombre de coïncidences (boule de même numéro que l’urne où elle se trouve) est égale à $1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{notabene}
			
			Soit $X_3$ la variable aléatoire comptant le nombre de coïncidences lors du dépôt de $3$ boules dans $3$ urnes.
			
			En considérant qu'il y a une loi uniforme nous avons la loi de probabilité de $X_3$:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline 
					$x_i$ & $0$ & $1$ & $3$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $\frac{2}{6}$ & $\frac{3}{6}$ & $\frac{1}{6}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			et donc: $\mathbb{E}(X) =\frac{2}{6} \times 0 + \frac{3}{6} \times 1 + \frac{1}{6}\times 3 =1$.
			
		\end{notabene}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Algorithmique.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{22}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.
		
		En saisissant la commande $encadrement(0, 2, 0.001)$, on obtient un encadrement de longueur inférieure à $10^{-3}$ de la solution de l’équation $\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}+x^2-3=0$ dans l’intervalle $[0; 2]$.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.4]{capes_externe_2024_epreuve_1_01_python.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'instruction $m=(a+b)/2$ n'étant pas dans la boucle \emph{while} la valeur de $m$ n'est pas modifiée et $b-a$ ne diminue pas. Il y aura une boucle infinie.
		
		\begin{notabene}
		\begin{enumerate}[*]
			\item L'application $f:x \mapsto \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} +x^2-3$ est continue, strictement croissante sur $[0,2]$ et comme $f(0)f(2)<0$, d'après le théorème de la bijection, il existe un unique $x_0 \in [0,2]$ tel que $f(x_0)=0$.
			
			\item Soient $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et  $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$  les suites réelles définies par $a=0$ et $b_0=2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$: \[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{l}a_n \text{ si } f(a_n)f\left( \frac{a_n+b_n}{2}  \right)<0 \\ \frac{a_n+b_n}{2} \text{ sinon.} \end{array} \right. \] et \[ b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{l}\frac{a_n+b_n}{2} \text{ si } f(a_n)f\left( b_n  \right)<0 \\  \text{ sinon.} \end{array} \right. \]
			
			On vérifie aisément en distinguant les cas: $|b_{n+1}-a_{n+1}|\leqslant \frac{1}{2} |a_n-b_n|$ et $a_n\leqslant x_0 \leqslant b_n$. Par conséquent $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont adjacentes et convergent vers $x_0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\end{notabene}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 2: quelques modèles de dynamique d'une population.}


\begin{sujet}
	
	Dans ce problème, on s’intéresse à différents modèles d’évolution d’une population.
	
	Les trois parties sont indépendantes.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Le modèle logistique discret.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on modélise la taille de la population par une suite $(u_n)$ où $n$ est un entier naturel qui
désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine.
	
	On suppose que la taille de la population est bornée, c’est-à-dire qu’il existe un réel strictement positif
$M$ tel que \[ \forall n \in \mathbb{N},\ 0\leqslant u_n \leqslant M. \]
	
	Dans toute cette partie, on suppose $0 < u_0 < M$, et on pose $v_n = \dfrac{u_n}{M}$ pour tout entier $n \in \mathbb{N}$. On a alors $v_0 \in ]0,1[$.
	
	On suppose qu’il existe un réel $a$ tel que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie la relation de récurrence suivante: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ v_{n+1}=av_n (1-v_n) \qquad (1).\]
	
	Le but de cette partie est d’étudier le comportement de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dans le cas où $0<a \leqslant1 $ et de
faire une étude numérique pour le cas $a=\dfrac{5}{2}$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\bigskip
	\textbf{\color{WildStrawberry}Le cas $0<a\leqslant 1$.}
	
	On rappelle que $v_0 \in]0, 1[$.
	
	On considère les fonctions $f_a$ et $g_a$ définies sur $[0, 1]$ par \[ \forall x \in |0,1],\ f_a(x)=ax(1-x) \text{ et } g_a(x)=f_a(x)-x.\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dresser le tableau des variations de la fonction $f_a$ sur l’intervalle $[0, 1]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f_a$ est polynomiale donc dérivable sur $[0,1]$ et : $\forall x \in [0,1],\ f_a'(x)=a(1-2x)$.
		
		Comme: $a(1-2x)>0 \Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$, puisque $a>0$, et $a(1-2x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f_a'$ /0.8, $f_a$ /1.6}
				{$0$ ,$\frac{1}{2}$, $1$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\frac{a}{4}$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduire de la question précédente que pour tout $n \in \mathbb{N},\ v_n \in [0, 1]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$v_0 \in ]0,1[$, or, d'après la question précédente $f_a (]0,1[)\subset \left[0,\frac{a}{4} \right]$ avec $a\leqslant 1$ donc $v_1=f_a(v_0)\in [0,1]$.
		
		En itérant (récurrence évidente):
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ v_n \in [0,1]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	 
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que si la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell \in [0, 1]$, alors $\ell$ est un point fixe de $f_a$, c’est-à-dire que $f_a(\ell) = \ell$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f_a$ est polynomiale donc continue sur $[0,1]$ et $v_n\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$ donc, par composition: $f_a(v_n) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f(\ell)$.
		
		De plus $v_{n+1}\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$ et $f_a(v_n)=v_{n+1}$ donc, par unicité de la limite, $f_a(\ell)=\ell$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $v_n\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$ alors $f_a(\ell)=\ell$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $f_a$ admet $0$ pour unique point fixe dans l’intervalle $[0, 1]$.
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Raisonnons par disjonction des cas.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f_a(0)=0$.
			
			\item Soit $x \in ]0;1]$. 
			\begin{align*}
				f_a(x)=x &\Leftrightarrow ax(1-x)=x\\
				&\Leftrightarrow a(1-x)=1
			\end{align*}
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Si $a=1$ alors 
				\begin{align*}
					f_a(x)=x &\Leftrightarrow x=0
				\end{align*}
				
				ce qui contredit $x \in ]0;1]$.
				
				\item Si $a\in]0;1[$ alors 
				\begin{align*}
					f_a(x)=x &\Leftrightarrow x=\frac{a-1}{a}
				\end{align*}
				
				Or $\frac{a-1}{a}<0$ contredit le fait que $x \in ]0;1]$ et donc $f_a(x)\ne x$.
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		Ainsi 
		
		\begin{conclusion}
			
			le seul point fixe de $f_a$ sur $[0;1]$ est $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démonter que $g_a (x) \leqslant 0$ pour tout $x \in ]0, 1[$. On pourra utiliser que $1-\frac{1}{a} \leqslant 0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $x \in ]0;1[$.
		
		\begin{align*}
			1-\frac{1}{a} &\leqslant \leqslant 0 \leqslant x\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement}
			\frac{a-1}{a} &\leqslant x\\
			a-1 &\leqslant ax \text{ car } a>0\\
			a-ax-1 &\leqslant 0\\
			a(1-x)-1 &\leqslant 0\\
			\intertext{et puisque $x>0$}
			ax(1-x)-x &\leqslant 0
		\end{align*}
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in ]0;1[,\ g_a(x)\leqslant 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		$g_a(v_n)\leqslant 0 \Leftrightarrow f_a(v_n)\leqslant v_n \Leftrightarrow v_{n+1} \leqslant v_n$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier la convergence de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vers un réel que l’on déterminera.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la question 2 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée par $1$ et d'après la question précédente elle est décroissante donc $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente. 
		
		D'après la question 3 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un point fixe. Or, d'après la question 4, $0$ est l'unique point fixe dans $[0;1]$ de $f_a$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que prédit le modèle sur l’évolution de la taille de la population dans ce cas?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La taille de la population se rapproche de $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\bigskip
	\textbf{\color{WildStrawberry}Le cas $a=\dfrac{5}{2}$.}
	
	\medskip
	On pose $v_0=\frac{1}{2}$. On introduit les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies pour $x \in [0, 1]$, par \[ f(x)=\frac{5}{2} x(1-x),\ g(x)=f(x)-x \text{ et } h(x)=f \circ f(x)-x. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que f admet sur $[0, 1]$ exactement deux points fixes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $x \in [0;1]$.
		\begin{align*}
			f(x)=x &\Leftrightarrow \frac{5}{2}x(1-x)=x\\
			&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } \frac{5}{2}(1-x)=1\\
			&\Leftrightarrow x=à \text{ ou } x=\frac{3}{5}
		\end{align*}
		
		Or $\left(0, \frac{3}{5} \right) \in \left( [0;1] \right)^2$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ admet exactement deux points fixes dans $[0;1]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$. On donnera les valeurs décimales à $10^{-3}$ près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{conclusion}
			
			$v_1=0,625$, $v_2\approx 0,586$, $v_3\approx 0,607$ et $v_4\approx 0,597$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrire un algorithme qui permet de calculer les $10$ premiers termes de la suite $(v_n)$. En déduire $v_{10}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			\begin{minipage}{7cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]L,k,n,a,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def fonction(a,v,n):
  L=[v]
  for k in range(1,n+1):
    L=L+[a*L[k-1]*(1-L[k-1])]
  return L
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Puis on lance l'instruction $fonction(5/2,1/2,10)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_{10}\approx 0,59994785899$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un repère orthonormé on a représenté, sur le graphique ci-dessous, pour des abscisses comprises entre $0,5$ et $0, 7$:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item la courbe représentative de la fonction $f$,
			
			\item la droite d’équation $y = x$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{capes_externe_2024_epreuve_1_02_recurrence.png}
		\end{center}
		
		Reproduire le graphique en mettant en évidence les nombres $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=30,yscale=30]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{0.225};
				\def\yZ{0.225};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.05,0.10,0.15,0.2} \draw[thick](\x,0.005cm)--(\x,-0.005cm) node[below ]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5+\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,0.05,0.10,0.15,0.2} \draw[thick](0.005cm,\y)--(-0.005cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5+\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.5:0.7] plot({\x-0.5},{5/2*\x*(1-\x)-0.5});
				\draw[brown, thick][samples=100,domain=0.5:0.7] plot({\x-0.5},{\x-0.5});
				\draw [brown,thick] (0,0) -- (0,0.125) -- (0.125,0.125) -- (0.125,0.086) -- (0.086,0.086) -- (0.086,0.107) -- (0.107,0.107) -- (0.107,0.097) -- (0.097,0.097) -- (0.097,0.102) -- (0.102,0.102);
				\draw [dashed] (0.125,0.086) -- (0,-0.015);
				\draw [dashed] (0.125,0.086) -- (0.125,-0.015);
				\draw [dashed] (0.086,0.107) -- (0.086,-0.015);
				\draw [dashed] (0.107,0.097) -- (0.107,-0.015);
				\draw [dashed] (0.097,0.102) -- (0.097,-0.015);
				\draw (0,-0.02) node [below] {$v_0$};
				\draw (0.125,-0.02) node [below] {$v_1$};
				\draw (0.086,-0.02) node [below] {$v_2$};
				\draw (0.107,-0.02) node [below] {$v_3$};
				\draw (0.097,-0.02) node [below] {$v_4$};
				%\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que l’on a \[ \forall x \in [0,1],\ h(x)=-\frac{x(5x-3)(25x^2-35x+14)}{8}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $x \in[0;1]$.
		
		D'une part
		\begin{align*}
			h(x) &= f\circ f(x)-x\\
			&= \frac{5}{2}f(x)\left( 1-f(x) \right)-x\\
			&= \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} x(1-x) \left( 1-\frac{5}{2}x(1-x) \right)-x\\
			&= \frac{25}{4}(x-x^2)\left( 1-\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x^2 \right) -x\\
			&= \frac{25}{4}\left( x-\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3 -x^2+\frac{5}{2} x^3 - \frac{5}{2}x^4\right)-x\\
			&= -\frac{125}{8}x^4+\frac{125}{4}x^3-\frac{175}{8}x^2+\frac{21}{4}x
		\end{align*}
		
		d'autre part
		\begin{align*}
			& -\frac{x(5x-3)(25x^2-35x+14)}{8} \\
			&= -\frac{1}{8} \left( 5x^2-3x\right) (25x^2-35x+14)\\
			&= -\frac{1}{8} \left( 125x^4-175x^3+ 70x^2 -75x^3+105x^2-42x \right)\\
			&= -\frac{1}{8} \left( 125x^4-225x^3+175x^2-42x \right)\\
			&= -\frac{125}{8}x^4+\frac{125}{4}x^3-\frac{175}{8}x^2+\frac{21}{4}x
		\end{align*}
		
		donc, par unicité de la forme développée, réduite et ordonnée d'un polynôme:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in [0,1],\ h(x)=-\frac{x(5x-3)(25x^2-35x+14)}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que les fonctions $f$ et $f\circ f$ ont les mêmes points fixes sur $[0, 1]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Par construction les points fixes de $f\circ f$ sont les zéros de $h$.
		
		Le discriminant de $25X^2-35X+14$ est $(-35)^2-4 \times 25 \times 14=-175<0$ donc ce polynôme n'admet pas de racines dans $\mathbb{R}$.
		
		Ainsi les zéros de $h$ sont $0$ et $\frac{3}{5}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les points fixes de $f\circ f$ dans $[0;1]$ sont $0$ et $\frac{3}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudier le signe de la fonction h sur l’intervalle $\left[ 0, \dfrac{3}{5} \right]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la réponse apportée à la question précédente: $\forall x \in \mathbb{R},\ 25x^2-35x+14>0$.
		
		De plus: \[ \forall x \in \left]0,\frac{3}{5} \right[,\ \left\{ \begin{array}{l} -\frac{x}{8}<0 \\ 5x-3<0 \end{array} \right. \] donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$h(0)=h\left( \frac{3}{5} \right)=0$ et: $\forall x \in \left[ 0, \frac{3}{5} \right],\ h(x)>0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que l’intervalle $ \left[ \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5} \right]$ est stable par la fonction $f \circ f$. Déduire de la question précédente que la suite $(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\left[ \frac{2}{5} , \frac{3}{5} \right]$ est stable par $f\circ f$, $v_0\in\left[ \frac{2}{5}, \frac{3}{5} \right]$ et \[ \forall n \in \mathbb{N},\ v_{2n+2} =f \circ f( v_{2n}), \] donc, en raisonnant par récurrence, nous démontrerions: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ v_{2n} \in \left[ \frac{2}{5}, \frac{3}{5} \right].\]
		
		Enfin, $h$ étant strictement positive sur $\left[ \frac{2}{5},\frac{3}{5} \right]$, \[ \forall n \in \mathbb{N},\ h(v_{2n})\geqslant 0\] ce qui équivaut, par construction de $h$ et $(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ à \[ \forall n \in \mathbb{N},\ v_{2n+2}-v_{2n}\geqslant 0.\]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que la suite $(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\dfrac{3}{5}$.
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		Les questions précédentes ont établi que $(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et majorée donc convergente. De plus sa limite ne peut être q'un point fixe de $f \circ f$ dans $\left[ \frac{2}{5},\frac{3}{5} \right]$. Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_{2n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{3}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que la suite $(v_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ converge également vers $\dfrac{3}{5}$, puis que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\dfrac{3}{5}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f$ est continue sur $\left[ \frac{2}{5},\frac{3}{5} \right]$ et $(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\frac{3}{5}$ donc, par composition, \[ f(v_{2n} ) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f\left( \frac{3}{5} \right). \]
		
		Or $f(v_{2n})=v_{2n+1}$  et $f\left( \frac{3}{5} \right)= \frac{3}{5}$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_{2n+1} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{3}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Puisque les suites extraites $(v_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ convergent vers la même limite
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\frac{3}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Conclure sur le comportement asymptotique de la taille de la population prédit par le modèle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la question précédente $u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{3}{5}M$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la taille de la population se rapproche de $60\ \%$ du majorant $M$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Le modèle logistique continue.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on modélise l’évolution de la population par une fonction. La taille de la population à l’instant $t\in \mathbb{R}_+$ est représentée par le réel $y(t)$ où $y$ désigne une fonction de $\mathbb{R}_+$ vers $\mathbb{R}_+$.
	
	On suppose que la taille de la population est bornée par un réel strictement positif $M$, c’est-à-dire que \[ \forall t \in \mathbb{R}_+,\ 0<y(t)<M. \]
	
	On suppose qu’il existe un réel strictement positif $a$ tel que $y$ soit une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ solution de l’équation \[ \forall t \in\mathbb{R}_+,\ y'(t)=ay(t)\left( M-y(t) \right)\qquad (2). \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{19}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer qu’il existe des réels $\alpha, \beta$ que l’on déterminera tels que pour tout réel $z$ vérifiant $0<z<M$, \[ \frac{1}{z(M-z)} =\alpha \frac{1}{z}+\beta \frac{1}{M-z}. \]
			
			En déduire que y vérifie l'équation: \[ \forall t \in\mathbb{R}_+,\ \alpha \frac{y'(t)}{y(t)}+\beta \frac{y'(t)}{M-y(t)}-a=0.\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Raisonnons par analyse-synthèse.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Supposons l'égalité proposée vraie pour tout $z \in ]0,M[$.
				
				Soit $z \in ]0,M[$.
				
				\begin{align*}
					\frac{1}{z(M-z)} &= \alpha \frac{1}{z} + \beta \frac{1}{M-z} \\
					\intertext{équivaut successivement à:}
					\frac{1}{z(M-z)} &= \frac{\alpha M-\alpha z +\beta z}{z(M-z)}\\
					1 &= (\beta-\alpha) z+\alpha M
				\end{align*}
				
				Par unicité de l'écriture développée, réduite et ordonnée d'un polynôme: \[ \left\{ \begin{array}{l} \beta-\alpha=0 \\ \alpha =\frac{1}{M} \end{array} \right. \]
				
				\item Réciproquement, si $\alpha=\beta =\frac{1}{M}$ l'égalité est clairement vérifiée.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall z \in ]0,M[,\ \frac{1}{z(M-z)} =\frac{1}{Mz}+\frac{1}{M^2-Mz}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			$y>0$ donc l'équation $(2)$ peut s'écrire $\frac{y'(t)}{y(t)\left( M -y(t) \right)}-a=0$.
			
			En utilisant le précédent résultat avec $z=y(t)$ on obtient
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall t \in\mathbb{R}_+,\ \frac{1}{M} \times \frac{y'(t)}{y(t)}+\frac{y'(t)}{M} \times \frac{1}{M-y(t)} -a=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez en fonction de $a$ et de $M$, une primitive de la fonction \[ \psi :t \mapsto \alpha \frac{y'(t)}{y(t)}+\beta \frac{y'(t)}{M-y(t)}-a \text{ sur } \mathbb{R}_+ .\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $0<y<M$ sur $\mathbb{R}_+$,
			
			\begin{conclusion}
				
				$\Psi:t \mapsto \alpha \ln\circ y(t)-\beta \ln\left[ M-y(t) \right] -at$ est une primitive de $\psi$ sur $\mathbb{R}_+$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduire de la question précédente qu’il existe un réel $c > 0$ tel que pour tout $t \in \mathbb{R}_+$, \[ y(t)=\frac{cM\mathrm{e}^{aMt}}{1+c \mathrm{e}^{aMt}}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\psi+0$ donc il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\Psi=\lambda$.
		
		Soit $t \in \mathbb{R}_+$.
		
		D'après la question précédente:
		\begin{align*}
			\lambda &= \frac{1}{M} \ln \left( \frac{y(t)}{M-y(t)} \right)-at\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à}
			\mathrm{e}^{M\lambda+Mat} &= \frac{y(t)}{M-y(t)}\\
			\mathrm{e}^{M\lambda} \mathrm{e}^{Mat} \left( M-y(t) \right) &= y(t)\\
			M\mathrm{e}^{M\lambda} \mathrm{e}^{Mat} &= \left( 1 +\mathrm{e}^{M\lambda} \mathrm{e}^{Mat} \right) y(t)
		\end{align*}
		
		en notant $c =\mathrm{e}^{M\lambda}$, qui est bien strictement positif,
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall t \in \mathbb{R}_+,\ y(t)= \frac{Mc\mathrm{e}^{aMt}}{1+c\mathrm{e}^{aMt}}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} y(t)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $t \in \mathbb{R}_+$.
		
		En factorisant puis en simplifiant
		\begin{align*}
			y(t) &= \frac{M}{\mathrm{e}^{-aMt}+1}
		\end{align*}
		
		Or, comme $aM>0$, \[ \mathrm{e}^{-aMt} \underset{t \to +\infty}{\longrightarrow}0\] et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$y(t) \underset{t \to +\infty}{\longrightarrow}M$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Qu’en déduire sur l’évolution de la population prédite par le modèle?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La taille de la population va atteindre le majorant $M$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Un modèle proies-prédateurs discret.}

\begin{sujet}
	
	On s’intéresse dans cette partie à l’évolution de deux populations dans le même milieu : une population
de proies, et une population de prédateurs.
	
	En préliminaire, on étudie les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par les relations de récurrence suivantes. \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \left\{\begin{array}{ccc} x_{n+1} &=& x_n-\alpha y_n \\ y_{n+1} &=& y_n+\alpha x_n \end{array} \right. \] où $\alpha$ est un réel strictement positif et indépendant de $n$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{23}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On introduit la matrice $A=\begin{pmatrix}
			1 & -\alpha \\ \alpha & 1
		\end{pmatrix}$
	
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour $n \in \mathbb{N}$, exprimer $\begin{pmatrix}
				x_{n+1} \\ y_{n+1} 
			\end{pmatrix}$ à l'aide de $\begin{pmatrix}
				x_n  \\ y_n 
			\end{pmatrix}$ et de $A$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}=A \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par une récurrence immédiate ({\color{orange}en multipliant à gauche par $A$.})
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $A$ admet deux valeurs propres complexes, notées $\lambda$ et $\mu$, que l’on précisera.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le polynôme caractéristique de $A$ est 
			
			\begin{align*}
				\chi_A(X) &= \det \left( A-XI_2 \right)\\
				&= \begin{vmatrix} 1-X & -\alpha \\ \alpha & 1-X \end{vmatrix}\\
				&= (1-X)^2+\alpha^2\\
				&= (1-X)^2-(i\alpha)^2\\
				&= \left( 1-X-i\alpha \right) \left(1-X+i\alpha\right)
			\end{align*}
			
			$\alpha$ étant non nul,
			
			\begin{conclusion}
				
				$\lambda=1+i\alpha$ et $\mu=1-i\alpha$ sont les valeurs propres complexes de $A$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier l'existence de $r \in \mathbb{R}_+^*$ et $\theta\in [0,2\pi[$ tels que $\lambda =r \mathrm{e}^{i\theta}$ et $\mu=r \mathrm{e}^{-i\theta}$, et donner l'expression de $r$ en fonction de $\alpha$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier l'existence d'une matrice inversible $P\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ telle que \[ A=P\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}P^{-1}.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\chi_A(X)$ est scindé simple dans $\mathbb{C}$ donc $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ et comme ses valeurs propres sont $\lambda$ et $\mu$
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exists P \in \mathcal{G}l_2(\mathbb{C}),\ A=P\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}P^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}$ et déterminez $P^{-1}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}En tâtonnant ou avec les formules de Cramer ou avec l'algorithme de Gauss-Jordan on peut déterminer la matrice inverse.}
		
		Notons $C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}$ et $B=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}$.
		
		On vérifie: $CB=I_2$ donc $C$ est inversible et $C^{-1}=B$.
		
		\medskip
		De plus, en effectuant les produits,
		\begin{align*}
			C\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}C^{-1} &= \begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ -i\lambda & i\mu \end{pmatrix} C^{-1}\\
			&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \lambda +\mu & i\lambda -i\mu \\ -i\lambda+i\mu & \lambda +\mu \end{pmatrix}\\
			&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\
			&= A
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}$ et $P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 
			1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N},\ A^n=P\begin{pmatrix} \lambda^n & 0 \\ 0 & \mu^n \end{pmatrix}P^{-1}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Là encore par une récurrence on démontre le résultat. L'initialisation repose sur des conventions de notation pour les puissances et l'hérédité sur: 
		\begin{align*}
			A^2&= A \times A \\
			&= P\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}P^{-1}P\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}P^{-1}\\
			&= P\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} P^{-1}\\
			&= P\begin{pmatrix} \lambda^2 & 0 \\ 0 & \mu^2 \end{pmatrix}P^{-1}
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$, \[ \left\{ \begin{array}{l} x_n=r^n\left( \cos(n\theta)x_0-\sin(n\theta)y_0 \right),\\ \\ y_n=r^n\left( \sin(n\theta)x_0+\cos(n\theta)y_0 \right). \end{array} \right. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			A^n &= P\begin{pmatrix} \lambda^n & 0 \\ 0 & \mu^n \end{pmatrix}P^{-1} \\
			&= \frac{1}{2} P\begin{pmatrix} \left( r\mathrm{e}^{i\theta} \right)^n & 0 \\ 0 & \left( r\mathrm{e}^{-i\theta} \right)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}\\
			&= \frac{1}{2} P\begin{pmatrix} r^n \mathrm{e}^{in\theta} & 0 \\ 0 & r^n \mathrm{e}^{-in\theta} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix} \\
			&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r^n \mathrm{e}^{in\theta} & ir^n \mathrm{e}^{in\theta} \\ r^n \mathrm{e}^{-in\theta} & -ir^n \mathrm{e}^{-in\theta} \end{pmatrix} \\
			&=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} r^n\left( \mathrm{e}^{in\theta}+\mathrm{e}^{-in\theta} \right) & r^n i\left( \mathrm{e}^{in\theta}-\mathrm{e}^{-in \theta} \right) \\ -r^ni\left( \mathrm{e}^{in\theta}-\mathrm{e}^{in\theta} \right) & r^n \left( \mathrm{e}^{in\theta}+ \mathrm{e}^{-in\theta} \right) \end{pmatrix} \\
			&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} r^n2 \cos(n\theta) & -r^n2\sin(n\theta) \\ r^n 2\sin(n\theta) & r^n 2 \cos(n\theta) \end{pmatrix}\\
			&= \begin{pmatrix} r^n \cos(n\theta) & -r^n\sin(n\theta) \\ r^n \sin(n\theta) & r^n \cos(n\theta) \end{pmatrix}
		\end{align*}
		
		donc
		\begin{align*}
			\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} &= A^n\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}\\
			&= \begin{pmatrix} r^n \cos(n\theta) & -r^n\sin(n\theta) \\ r^n \sin(n\theta) & r^n \cos(n\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}\\
			&= \begin{pmatrix} r^n \left( \cos(n\theta)x_0 - \sin(n\theta)y_0 \right) \\ r^n \left( \sin(\theta)x_0+r^n\cos(n\theta)y_0 \right) \end{pmatrix}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ \left\{ \begin{array}{l} x_n=r^n\left( \cos(n\theta)x_0-\sin(n\theta)y_0 \right), \\ y_n=r^n\left( \sin(n\theta)x_0+\cos(n\theta)y_0 \right). \end{array} \right.$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On propose dans la suite un modèle discret pour suivre l’évolution des populations de proies et de prédateurs.
		
		\medskip
		L’entier $n$ désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine. Les tailles des populations de proies et de prédateurs sont respectivement données par les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_n=\overline{u} +x_n ,\\v_n=\overline{v}+y_n, \end{array} \right.\] où les réels strictement positifs $\overline{u}$ et $\overline{v}$ sont fixés et correspondent à des tailles de référence pour les populations de proies et de prédateurs.
		
		\medskip
		On a tracé sur le graphique ci-dessous les points de coordonnées $(u_n , v_n)$ pour les premières valeurs de $n$ comprises entre $0$ et un entier $N$ strictement positif.
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{capes_externe_2024_epreuve_1_03_nuage.png}
		\end{center}
		
		Faire une description qualitative de l’évolution des populations de proies et de prédateurs prédite par le modèle.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $x_0$ et $y_0$ ne sont pas tous les deux nuls. Pour $n\in\mathbb{N}$, exprimer $x_n^2+y_n^2$, en fonction de $r$, $x_0$, $y_0$ et en déduire que les suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peuvent pas être toutes les deux bornées. Discuter de la pertinence du modèle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n \in\mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			x_n^2+_n^2 &= r^{2n} \left[ \cos^2(n\theta)x_0^2 +\sin^2(n\theta)y_0^2 +\sin^2(n\theta)x_0^2+\cos^2(n\theta)y_0^2 \right]
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ x_n^2+y_n^2=r^{2n}(x_0^2+y_0^2)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}