%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique de Mayotte 2023 épreuve 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique de Mayotte 2023 épreuve 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2023_maths_mayotte/capes_externe_2023_mayotte_epreuve_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2023_maths_mayotte/capes_externe_2023_mayotte_epreuve_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}


\begin{sujet}
	
	Durée: 5 heures.
	
	\medskip
	L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
	
	L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
	
	\medskip
	Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
	
\end{sujet}

\subsection{Problème 1: vrai ou faux.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Précisez si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une
réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		L’aire des mers et océans sur la Terre est d’environ $362$ millions de $\mathrm{km}^2$, pour une aire
		totale d’environ $510$ millions de $\mathrm{km}^2$. L’Océan Pacifique représente $46\ \%$ de la surface
totale des mers et océans.
		
		\smallskip
		Proposition: l’Océan Pacifique représente plus d’un tiers de la surface de la Terre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\frac{46}{100} \times \frac{362}{510}\approx 0,3265<0,333\dots$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le code d’accès à un immeuble est un nombre de cinq chiffres.
		
		Ce code comporte un \og 1 \fg{}, un \og 2 \fg{}, un \og 7 \fg{} et deux fois le chiffre \og 8 \fg{}.
		
		\smallskip
		Proposition: on peut composer $60$ codes différents avec ces chiffres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le nombre de positions possibles pour les deux chiffres $8$ est $\binom{5}{2}= \frac{5!}{(5-2)!2!}=10$.
			
			\item Une fois placer les chiffres $8$ il reste $3$ emplacements à remplir avec $3$ chiffres distincts donc il s'agit de permuter ces trois chiffres. Il y a $3!=6$ possibilités.
			
			\item D'après le principe multiplicatif le nombre total de possibilités est $10 \times 6$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A)=0,2$, $P_A(B)=0,3$ et $P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)=0,56$.
		
		\smallskip
		Proposition: les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons si les événements sont indépendants.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons $\mathbb{P}(A\cap B)$.
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A \cap B) &= \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}_A(B)\\
				&= 0,2 \times 0,3\\
				&= 0,06
			\end{align*}
			
			\item Calculons $\mathbb{P}(B)$.
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(A \cup B)+ \mathbb{P}(A\cap B) -\mathbb{P}(A)\\
				&= \left( 1 - \mathbb{P} \left( \overline{A\cup B} \right) \right) + 0,06-0,2\\
				&= \left( 1 - \mathbb{P} \left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) \right)-0,14\\
				&=1-0,56-0,14\\
				&= 0,3
			\end{align*}
			
			\item Déterminons l'indépendance de $A$ et $B$.
			
			D'une part $\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)=0,2 \times 0,3=0,06$ et d'autre part $\mathbb{P}(A \cap B)=0,06$ donc $\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A \cap B)$.
			
			Ainsi $A$ et $B$ sont indépendants.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		On considère un jeu pour lequel la probabilité de gagner est égale à $0,03$.
		
		Une personne décide d’y jouer $n$ fois, chaque jeu étant indépendant des autres.
		
		\smallskip
		Proposition: la probabilité que cette personne gagne au moins une fois au cours de ces $n$ parties est supérieure à $0,5$ si et seulement si $n \geqslant 23$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de parties gagnées parmi les $23$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $n$ tel que que$\mathbb{P}(X\geqslant 1) \geqslant 0,5$.}
		
		$X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( n;0,03\right)$ donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X\geqslant 1) &= 1-\mathbb{P}(X=0)\\
			&= 1-\binom{n}{0}0,03^0 \times (1-0,03)^n\\
			&= 1-0,97^n
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X\geqslant 1)\geqslant 0,5 &\Leftrightarrow 1-0,97^n\geqslant 0,5\\
			&\Leftrightarrow 0,97^n\leqslant 0,5\\
			\intertext{Puisque $\ln$ est croissante:}
			\mathbb{P}(X\geqslant 1)\geqslant 0,5 &\Leftrightarrow \ln(0,97^n) \leqslant \ln(0,5)\\
			&\Leftrightarrow n\ln(0,97)\leqslant \ln(0,5)\\
			\intertext{Puisque $\ln(0,97)<0$:}
			\mathbb{P}(X\geqslant 1)\geqslant 0,5 &\Leftrightarrow n\geqslant \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,97)}
		\end{align*}
		
		Or, en tronquant à $10^{-3}$, $\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,97)} \approx 22,756$ donc pour que $\mathbb{P}(X\geqslant 1) \geqslant 0,5$ il faut que $n \geqslant 23$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un jeu consiste à lancer $20$ fois un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. À chaque lancé on gagne $6\ \text{\euro}$ si le nombre $1$ apparaît. La mise est de $15\ \text{\euro}$.
		
		\smallskip
		Proposition: on peut espérer un gain de $5\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois que le chiffre $1$ est obtenu parmi les $20$ lancers et $Y=6X-15$ la variable aléatoire comptant les gains algébriques alors réalisés.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{E}(Y)$.}
		
		Pa linéarité de l'espérance:
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(Y) &= 6\mathbb{E}(X)-15\\
			\intertext{Puisque $X \hookrightarrow\mathscr{B}\left( 20;\frac{1}{6} \right)$:}
			\mathbb{E}(Y) &= 6 \times 20 \times \frac{1}{6}-15\\
			&= 5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposition: $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left( 1+ \sqrt{3} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposition: l'équation $\cos 3x=\sin x$ admet six solutions dans l'intervalle $[0,2\pi]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\cos \left( \frac{\pi}{12} \right)$.}
		
		\begin{align*}
			\cos \left( \frac{\pi}{12} \right) &= \cos \left( \frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}\right)\\
			&= \cos \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right)\\
			&= \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\
			&= \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$ telle que $f'(x)=0$, pour tout réel $x$ non nul.
		
		\smallskip
		Proposition: il existe une constante réelle $k$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $f(x)=k$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Trouvons un contre exemple.}
		
		Soit $f: x \mapsto \left\{ \begin{array}{l} 1,\text{ si }x >0\\ -1,\text{ si } x<0\end{array} \right.$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$ par $f(x)= \dfrac{\sin (2x)}{x}$.
		
		\smallskip
		Proposition: la limite de $f$ en $0$ est $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions le comportement asymptotique de $f$ en $0$.}
		
		$\frac{\sin(2x)}{x} \underset{x \to 0}{\sim} \frac{2x}{x}$.
		
		D'où: $f(x) \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $P$ un polynôme de degré $3$, à coefficients réels, et défini sur $\mathbb{C}$.
		
		Soit $z$ une racine de $P$ et soit $\overline{z}$ son conjugué.
		
		\smallskip
		Proposition: $\overline{z}$ est également une racine du polynôme $P$.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		Soient $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ tels que $P(X)=aX^2+bX+c$ et $z\in\mathbb{C}$une racine de $P$.
		
		\begin{align*}
			P\left( \overline{z} \right) &= a\overline{z}^2 +b\overline{z}+c\\
			\intertext{Or la conjugaison est un automorphisme d'algèbre sur $\mathbb{C}$ donc:}
			P\left( \overline{z} \right) &= \overline{az^2+bz+c}\\
			&= \overline{P(z)}\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Ainsi si $P(z)=0$ alors $P\left( \overline{z} \right)=0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(J_k)$ la suite définie par  $\displaystyle J_k= \int_{\mathrm{e}^{k-1}}^{\mathrm{e}^{k}} \frac{\ln t }{t}\ \mathrm{d}t$, pour tout entier naturel $k \geqslant 1$.
		
		\smallskip
		Proposition: pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $1$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n J_k= \frac{n^2}{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la somme.}
		
		\begin{align*}
			\sum_{k=1}^n J_k &= \sum_{k=1}^n \int_{\mathrm{e}^{k-1}}^{\mathrm{e}^k} \frac{\ln(t)}{t} \ \mathrm{d}t\\
			\intertext{D'après la relation de Chasles:}
			\sum_{k=1}^n J_k &=  \int_{1}^{\mathrm{e}^n} \frac{\ln(t)}{t} \ \mathrm{d}t\\
			&= \frac{1}{2} \int_{1}^{\mathrm{e}^n} 2 \frac{\ln(t)}{t} \ \mathrm{d}t\\
			&= \frac{1}{2}\left[ \left( \ln(t) \right)^2 \right]_1^{\mathrm{e}^n} \\
			&= \frac{n^2}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left( O; \vec{u}, \vec{v} \right)$.
		
		$A$ est le point de coordonnées $(0;1)$.
		
		$(E)$ est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ vérifiant l'égalité: \[ \left| \left( 1-i\sqrt{3} \right) z- \sqrt{3}-i \right|=2. \]
		
		\smallskip
		Proposition: $(E)$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $(E)$.}
		
		Soit $z \in \mathbb{C}$.
		
		\begin{align*}
			\left| \left( 1-i\sqrt{3} \right) z- \sqrt{3}-i \right| &= \left| \left( 1-i\sqrt{3} \right) z-i\left(1- i\sqrt{3}\right) \right|\\
			&= \left| 1- i\sqrt{3} \right| \times \left|z-i \right|\\
			&= 2 \left|z-i \right|
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons: \[ \left| \left( 1-i\sqrt{3} \right) z- \sqrt{3}-i \right|=2 \Leftrightarrow |z-i|=1.\]
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $\displaystyle K_n= \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\left( \ln x \right)^n}{x^2} \ \mathrm{d}x$.
		 
		\smallskip
		Proposition: pour tout entier naturel $n$ non nul, $\displaystyle (n+1)K_n-K_{n+1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Établissons une relation de récurrence pour la suite $(K_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		Soit $k \in \mathbb{N}$.
		
		$x \mapsto \frac{1}{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{n+1}\left( \ln(x) \right)^{n+1}$ sont des fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[1, \mathrm{e}]$ donc, en intégrant par parties,
		
		\begin{align*}
			K_n &= \left[ \frac{1}{x} \times \frac{1}{n+1}\left( \ln(x)\right)^{n+1} \right]_1^{\mathrm{e}} -\int_1^{\mathrm{e}} \frac{-1}{x^2} \times \frac{1}{n+1} \left( \ln(x) \right)^{n+1}\ \mathrm{d}x\\
			&= \frac{1}{\mathrm{e}(n+1)}+\frac{1}{n+1}K_{n+1}
		\end{align*}
		
		Ainsi: $(n+1)K_n=\frac{1}{e}+K_{n+1}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère le programme suivant écrit en langage Python:
				
		\begin{center}
			\begin{minipage}{4cm}
				\lstset{emph={surprise}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]k,u,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def surprise(n):
    k=0
    u=1
    while k<n:
        k=k+1
        u=u*2
    return u
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\smallskip
		Proposition: surprise(4) renvoie la valeur $16$.
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Interprétons la fonction Python.}
		
		La fonction calcule le terme de rang $n\in\mathbb{N}$ d'un suite géométrique de raison $2$ et de terme initial $u_0=1$.
		
		Donc $\forall k\in\mathbb{N},\ u_k=2^k$.
		
		En particulier $u_4=2^4=16$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposition: pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^3-n$ est divisible par $6$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Divisibilité.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		$n^3-n^=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$.
		
		$n^3-n$ est le produit de trois entiers consécutifs donc, nécessairement il est pair et divisible par $3$.
		
		Et par conséquent $n^3-n$ est divisible par $6$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposition: $3^{2023}+6$ est divisible par $11$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que la nombre n'est pas divisible par $11$.}
		
		Puisque les groupe multiplicatif $\left(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\right)^*$ est d'ordre $10$: $3^{2023}\equiv 2^3 \mod [11] \equiv 8\mod [11]$.
		
		Donc $3^{2023}+6 \equiv 8+6 \mod [11] \equiv 3 \mod [11]$.
		
		$3^{2023}+6$ n'est pas congru à $0$ modulo $11$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposition: pour tout entier relatif $k$, $(7k+3)$ et $(2k+1)$ sont premiers entre eux.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposition: il existe des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation $51x+39y=1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$51x+39y=3(17x+13y)$ or $3$ ne divise pas $1$ donc il n'existe pas de couple d'entier solution de l'équation.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On pose $A=\dfrac{\ln 2}{\ln 3}$.
		
		\smallskip
		Proposition: $A$ est un nombre rationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Raisonnons par l'absurde.}
		
		Supposons que $A$ est rationnel.
		
		Autrement dit il existe $a\in\mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ tels que $A=\frac{a}{b}$ car $A>0$.
		
		Or 
		\begin{align*}
			A=\frac{a}{b} &\Leftrightarrow \frac{\ln(2)}{\ln(3)} = \frac{a}{b}\\
			&\Leftrightarrow b\ln(2) = a\ln(3)
			\intertext{Puisque $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}_+^*$:}
			A=\frac{a}{b} &\Leftrightarrow \exp\left( b\ln(2) \right) = \exp\left( a \ln(3) \right)\\
			&\Leftrightarrow 2^b=3^a
		\end{align*}
		
		Ce qui est impossible puisque les nombres n'ont aucun facteurs commun.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+2n+3$ pour tout entier naturel $n$.
		
		\smallskip
		Proposition: tous les termes de la suite $(u_n)$ sont des carrés parfaits.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n=(n+1)^1$ \fg{} pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence que $\mathscr{P}(n)$ est vrai pour tout $n \in \mathbb{N}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $u_0=1=(0+1)^2$ donc $\mathscr{P}(0)$ st vraie.
			
			\item Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons $\mathscr{P}(k)$ vraie.
			
			Or 
			
			\begin{align*}
				u_{n+1} &= u_n+2n+3\\
				\intertext{donc, d'après l'hypothèse de récurrence:}
				u_{n+1} &= (n+1)^2+2n+3\\
				&= n^2+4n+4\\
				&= (n+2)^2 
			\end{align*}
			
			Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
		\end{enumerate}
		
		On a démontré par récurrence sur $n \in\mathbb{N}$ que: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=(n+1)^2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 2: suites.}

\begin{sujet}
	
	On considère:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$;
		
		\item la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=u_n\mathrm{e}^{-u_n}$;
		
		\item la suite $(S_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n u_k$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude de la fonction $f$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Sans difficulté, avec les règles opératoires sur les limites:
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x) \underset{x \to-\infty}{\longrightarrow} -\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Par croissance comparée:
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x) \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudier les variations de la fonction $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions les variations de $f$.}
		
		$f$ est un produit d'applications dérivables sur $\mathbb{R}$ donc est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \mathrm{e}^{-x}-x \mathrm{e}^{-x}\\
			&= (1-x) \mathrm{e}^{-x}
		\end{align*}
		
		D'où:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $\mathrm{e}^{-1}$ /, - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
			f(x)=x &\Leftrightarrow x\mathrm{e}^{-x}=x\\
			&\Leftrightarrow x(\mathrm{e}^{-x}-1)=0\\
			&\leftrightarrow x=0 \text{ ou } \mathrm{e}^{-x}=1\\
			&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } -x=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=x$ est $\{ 0 \}$.
				
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude de la suite $(u_n)$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons par récurrence que $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $u_0=1>0$.
			
			\item Soit $k\in \mathbb{N}$. Supposons $u_n>0$.
			
			$f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}_+^*$, d'après la question précédente donc: $f(u_n)>0$, \emph{i.e.} $u_{n+1}>0$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ u_n>0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons par une récurrence forte que $u_n>u_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $u_1=\mathrm{e}^{-1}<1=u_0$.
			
			\item Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons que pour tout $i \in \llbracket 0,k \rrbracket\ u_i>u_{i+1}$. 
			
			Ainsi, et en tenant compte de la question précédente, $1>u_k>u_{k+1}>0$.
			
			Puisque $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$: $f(u_k)>f(u_{k+1})$. Autrement dit $u_{n+1}> u_{n+2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		On a démontré: $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n>u_{n+1}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est strictement décroissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminez sa limite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Concluons quant à la convergence de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après ce qui précède $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante et minorée donc convergente. Notons $\ell \in \mathbb{R}$ sa limite.
			
			\item Puisque $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ nécessairement $f(\ell)=\ell$.
			
			Donc, d'après la question A.3., $\ell=0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: étude de la suite $(S_n)$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le sens de variation de $(S_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Monotonie de $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$. $S_{n+1}-S_n=u_n>0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm{e}^{-S_n}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\mathrm{e}^{-S_n}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $u_1=\mathrm{e}^{-1}$ et $\mathrm{e}^{-\sum_{k=0}^0u_k}=\mathrm{e}^{-1}$ donc $u_1=\mathrm{e}^{-S_0}$.
			
			\item Soit $i \in \mathbb{N}$.
			
			Supposons $u_{i+1}=\mathrm{e}^{-S_i}$.
			
			\begin{align*}
				u_{i+2} &= u_{i+1}\mathrm{e}^{-u_{i+1}}\\
				\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
				u_{i+2} &= \mathrm{e}^{-S_i} \mathrm{e}^{-u_{i+1}}\\
				&= \mathrm{e}^{-u_{i+1}-S_i}\\
				&= \mathrm{e}^{-S_{i+1}}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		On a démontré par récurrence que
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}= \mathrm{e}^{-S_n}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions la convergence de $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		$u_n>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ donc la suite $\left( \ln(u_n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie.
		
		Puisque $u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0^+$ et $\ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty$ donc en composant: $\ln(u_n) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} -\infty$.
		
		Or, pour $n \in \mathbb{N}$, $\ln(u_n)=\ln \left( \mathrm{e}^{-S_n} \right)=-S_n$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{Problème 3: équation différentielle.}

\begin{sujet}
	
	Soit $m$ un nombre réel.
	
	On considère l'équation différentielle $(E_m):\ y''-m^2y=0$.
	
	Soit $h$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant la propriété $(P_m)$: \[ \text{pour tout réel }x,\ h''(x)+2mh'(x)=0. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer, en fonction de $m$, l'expression de la fonction $h'$, puis celle de $h$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $h$.}
		
		$h'$ est solution de l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants d'ordre $1$: $y'+2my=0$.
		
		Donc: $\exists \mu \in \mathbb{R}, \ h':x \mapsto \mu\mathrm{e}^{-2mx}$.
		
		Enfin:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exists (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2,\ h:x \mapsto \alpha \mathrm{e}^{-2mx}+\beta$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=h(x)\mathrm{e}^{mx}$.
		
		Démontrer que $f$ est une solution de $(E_m)$  si et seulement si $h$ vérifie la propriété $(P_m)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'équivalence.}
		
		\begin{align*}
			&f''-m^2f=0 \\
			&\Leftrightarrow h''(x)\mathrm{e}^{mx}+mh'(x)\mathrm{e}^{mx}+mh'(x)\mathrm{e}^{mx}+m^2h(x)\mathrm{e}^{mx} -m^2h(x)\mathrm{e}^{mx}=0\\
			&\Leftrightarrow h''(x)\mathrm{e}^{mx}+2mh'(x)\mathrm{e}^{mx}=0\\
			&\Leftrightarrow \left( h''(x)+mh'(x)\right)\mathrm{e}^{mx}=0\\
			&\Leftrightarrow h''(x)+mh'(x)=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est solution de $(E_m)$ si et seulement si $h$ est solution de $(P_m)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre l'équation différentielle $(E_m)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons $(E_m)$.}
		
		D'après la question précédente l'ensemble des solutions est formé des fonctions définies par
		\begin{align*}
			f(x) &= h(x) \mathrm{e}^{mx}\\
			&=\left( \alpha \mathrm{e}^{-2mx}+\beta \right) \mathrm{e}^{mx}\\
			&= \alpha\mathrm{e}^{-mx} + \beta \mathrm{e}^{mx}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(E_m)$ est l'ensemble des fonctions de la forme $x \mapsto \alpha \mathrm{e}^{-mx} +\beta \mathrm{e}^{mx}$ où $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le mouvement rectiligne du centre de gravité d'un solide est repéré sur un axe gradué d'origine $O$. On note $x$ la fonction donnant son abscisse en fonction du temps $t$.
		
		À l'instant $t=0$, le solide est au point d'abscisse $4$ et sa vitesse est nulle.
		
		$x$ est solution sur $[0;+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_{0,5}):\ y''-0,25y=0$.
		
		Déterminer l'expression de la fonction $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'expressions de $x$.}
		
		D'après la question précédente, il existe $(\alpha, \beta)\in\mathbb{R}^2$ tel que $x(t)=\alpha\mathrm{e}^{-0,5t}+\beta \mathrm{e}^{0,5t}$.
		
		De plus, d'après l'énoncé, $x(0)=4$ et $x'(0)=0$ donc: \[ \left\{ \begin{array}{rl}
			\alpha+\beta &=4 \\-0,5\alpha+0,5\beta &=0
		\end{array} \right. \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$x(t)=2\mathrm{e}^{-0,5t}+2\mathrm{e}^{0,5t}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 4: distance entre deux droites de l'espace.}

\begin{sujet}
	
	L'espace est muni d'un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)$.
	
	$P$ est le plan d'équation: $2x+5y-z+20=0$.
	
	$P'$ est le plan d'équation: $-2x+y+z-8=0$.
		
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: intersection de deux plans.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que les plans $P$ et $P'$ sont sécants.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il suffit de vérifier que les coordonnées de $A$ données dans la question suivante vérifient les deux équations de plans.}
		
		{\color{orange}On peut également vérifier que les vecteurs normaux $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}' \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $P \cap P'$.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} 2x &+& 5y &-& z &+& 20 &=& 0 \\ -2x &+& y &+& z &-& 8 &=& 0 \end{array} \right. . \]
		
		\[ \begin{array}{l} \\ L_2 \leftarrow L_1+L_2 \end{array} \ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} 2x &+& 5y &-& z &+& 20 &=& 0 \\  && 6y &&  &+& 12 &=& 0 \end{array} \right.   \]
		
		Nous en déduisons que l'intersection des plans n'est pas vide: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$P$ et $P'$ sont bien sécants.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		De plus $y=-2$ et, par substitution, $z=2x+10$.
		
		Nous en déduisons une représentation paramétrique de $D= P \cap P'$:
		\[ D:\ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=-2 \\ z=2t+10 \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R}. \]
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On notera $D$ la droite d'intersection des plans $P$ et $P'$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le point $A(-4;-2;2)$ appartient à la droite $D$ puis déterminer un vecteur directeur de cette droite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Vérifions que $A \in D$.}
		
		$2x_A+5y_A-z_A+20=2 \times (-4)+5 \times (-2)-2+20=0$ donc $A \in P$.
		
		$-2x_A+y_A+z_A-8=-2 \times (-4)-2+2-8=0$ donc $A \in P'$.
		
		Ainsi $A\in P\cap P'$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$A \in D$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons un vecteur directeur de $D$.}
		
		{\color{orange}Nous pourrions choisir $\vec{n} \wedge \vec{n}'$.}
		
		Déterminons un point $B \in D$ tel que $x_B=0$. On doit avoir: \[ \left\{ \begin{array}{rl} 5y_B-z_B+20 &=0 \\ y_B+z_B-8 &= 0 \end{array} \right. \]
		
		D'où: $y_B=-2$ et $z_B=10$.
		
		$B(0;-2;10) \in D$.
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $D$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que la droite $D$ a pour représentation paramétrique \[ \left\{ \begin{array}{l} x=-4+t \\ y=-2 \\ z=2+2t \end{array} \right., \text{ où } t\in \mathbb{R}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions qu'il s'agit d'une représentation paramétrique de $D$.}
		
		On reconnaît effectivement la représentation paramétrique d'une droite.
		
		De plus si $t=0$ on obtient les coordonnées de $A$ et si $t=4$ on obtient celles de $B$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			il s'agit d'une représentation paramétrique de la droite $D$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: position relative de deux droites.}

\begin{sujet}
	
	$\Delta$ est la droite de représentation paramétrique \[ \left\{ \begin{array}{l} x=5 \\ y=2+t\\ z=t \end{array} \right., \text{ ou } t\in\mathbb{R}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que les droites $D$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons $D \not\parallel \Delta$.}
		
		Des représentations paramétriques nous déduisons deux vecteurs respectivement de $D$ et $\Delta$: \[ \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\quad \text{et} \quad \vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
		
		Or $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}= 1 \times 1 + 0 \times 0=1\ne 0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
		
		\begin{conclusion}
			
			$D \not\parallel \Delta$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que les droites $D$ et $\Delta$ ne sont pas sécantes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons que les droites ne sont pas sécantes.}
		
		Raisonnons par l'absurde en supposant les droites sécantes.
		
		Si elles sont sécantes alors elles ont un point d'intersection qui vérifie les deux représentation paramétriques. Autrement dit il existe $t$ et $t'$ tels que \[ \left\{ \begin{array}{c} -4 t=5 \\ -2=2+t' \\ 2+2t=t' \end{array} \right. \]
		
		Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} t=-\frac{5}{4} \\ t'=0 \\ 2+2t=t'
		\end{array} \right. \]
		
		La dernière équation contredit les deux premières. Nous avons démontré par l'absurde qu'il n'y a pas de point commun.
		
		\begin{conclusion}
			
			$D$ et $\Delta$ ne sont pas sécantes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut-on en déduire quant aux droites $D$ et $\Delta$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$D$ et $\Delta$ ne sont ni sécantes ni parallèles donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$D$ et $\Delta$ sont non coplanaires.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: distance entre deux droites.}

\begin{sujet}
	
	Soit $I(x_1,y_1,z_1)$ un point de la droite $D$ et $J(x_2,y_2,z_2)$ un point de la droite $\Delta$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quelles valeurs des triplets $(x_1,y_1,z_1)$ et $(x_2,y_2,z_2)$ la droite $(IJ)$ est-elle à la fois perpendiculaire à $D$ et à $\Delta$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les triplets.}
		
		Puisque $I \in D$: $\exists t_I \in \mathbb{R},\ I(-4+t_I;-2;2+2t_I)$.
		
		Puisque $J \in \Delta$: $\exists t_J \in \mathbb{R},\ J(5;2+t_J;t_J)$.
		
		Comme $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont des vecteurs directeurs de $D$ et $\Delta$ il faut que: \[ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{IJ} \cdot \vec{u}=0 \\ \overrightarrow{IJ} \cdot \vec{v}=0 \end{array} \right.\]
		
		\emph{i.e.} \[ \left\{ \begin{array}{c}(9-t_I) \times 1+ (4+t_J) \times 0+(t_J-2-2t_I) \times 2=0\\
		(9-t_I) \times 0+ (4+t_J) \times 1+(t_J-2-2t_I) \times 1=0
		\end{array} \right.\]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{c}9-t_I+2t_J-4-4t_I=0\\
		4+t_J+t_J-2-2t_I=0
		\end{array} \right.\]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}-5t_I &+& 2t_J &=& -5\\
		-2t_I &+& 2t_J &=& -2
		\end{array} \right.\]
		
		D'où $t_I=1$ puis $t_J=0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(x_1,y_1,z_1)=(-3;-2;4)$ et $(x_2,y_2,z_2)=(5;2;0)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire la valeur exacte de la distance entre les droites $D$ et $\Delta$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{En supposant le repère orthonormé, calculons $IJ$.}
		
		\begin{align*}
			IJ &= \sqrt{(x_I-x_J)^2+(y_I-y_J)^2+(z_I-z_J)^2}\\
			&= \sqrt{(-3-5)^2+(-2-2)^2+(4-0)^2}\\
			&= \sqrt{96}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$IJ=4\sqrt{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}