%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique de Mayotte 2023 épreuve 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique de Mayotte 2023 épreuve 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2023_maths_mayotte/capes_externe_2023_mayotte_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2023_maths_mayotte/capes_externe_2023_mayotte_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}


\begin{sujet}
	
	Durée: 5 heures.
	
	\medskip
	L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
	
	L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
	
	\medskip
	Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
	
\end{sujet}

\subsection{Problème 1: suite d'intégrales.}

\begin{sujet}
	
	On considère la suite $(I_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \[  I_n=\int_2^3 (x-2)^n\mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $I_0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $I_0$.}
		
		$x\mapsto (x-2)^0\mathrm{e}^x$ est un produit de fonctions continues donc est continue sur $[2;3]$ et donc intégrable.
		
		\begin{align*}
			I_0 &= \int_2^3 (x-2)^0\mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x\\
			&= \int_2^3 \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x\\
			&= \left[ \mathrm{e}^x \right]_2^3\\
			&= \mathrm{e}^3-\mathrm{e}^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$I_0=\mathrm{e}^2 (\mathrm{e}-1)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le sens de variation de la suite $(I_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions la monotonie de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		$x\mapsto (x-2)^n\mathrm{e}^x$ est un produit de fonctions continues donc est continue sur $[2;3]$ et donc intégrable.
		
		Par linéarité de l'intégrale:
		
		\begin{align*}
			I_{n+1}-I_n &= \int_2^3 (x-2)^{n+1}\mathrm{e}^x - (x-2)^n\mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_2^3 (x-2)^{n}\left(x-2-1 \right) \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_2^3 (x-2)^{n}\left(x-3 \right) \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x
		\end{align*}
		
		Or $(x-2)^n\mathrm{e}^x\geqslant 0$ et $x-3\leqslant 0$ pour tout $x \in [2;3]$ donc $(x-2)^n(x-3)\mathrm{e}^x\leqslant 0$ pour tout $x \in [2;3]$.
		
		Par positivité de l'intégrale nous en déduisons: $I_{n+1}-I_n\leqslant 0$.
		
		Ceci étant vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$
		
		\begin{conclusion}
			
			$(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Nous aurions pu démontrer un peu mieux, à savoir la stricte décroissance de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La suite $(I_n)$ est-elle minorée?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions que $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		$x \mapsto (x-2)^n\mathrm{e}^x$ est positive sur $[2;3)$ donc, par positivité de l'intégrale $I_n\geqslant 0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir la convergence de la suite $(I_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Convergence de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		D'après les question précédentes, $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante et minorée donc, d'après le théorème de limite monotone,
		
		\begin{conclusion}
			
			$(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.
		
		En déduire les valeurs exactes de $I_1$ puis de $I_2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Établissons une relation de récurrence d'ordre $1$ pour $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
				I_{n+1} &= \int_2^3 (x-2)^{n+1} \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x\\
				\intertext{$x \mapsto (x-2)^{n+1}$ et $\exp$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[2;3]$ donc en intégrant par parties:}
				I_{n+1} &= \left[ (x-2)^{n+1}\mathrm{e}^x \right]_2^3 - \int_2^3 (n+1)(x-2)^n \mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x\\
				\intertext{Par linéarité de l'intégrale:}
				I_{n+1} &= \mathrm{e}^3-(n+1)\int_2^3 (x-2)^n \mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ I_{n+1}=\mathrm{e}^3-(n+1)I_n$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{calculons $I_1$ et $I_2$.}
			
			\begin{align*}
				I_1 &= \mathrm{e}^3-(0+1)I_0\\
				&= \mathrm{e}^3-(\mathrm{e}^3-\mathrm{e}^2)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$I_1=\mathrm{e}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			\begin{align*}
				I_2 &= \mathrm{e}^3-(1+1) I_1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$I_2=\mathrm{e}^3-2\mathrm{e}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $p$ un entier naturel non nul.
		
		Écrire un algorithme, en langage Python, permettant de calculer $I_p$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={I}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]p,i,k}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
from math import exp
    def I(p):
        i=exp(3)-exp(2)
        for k in range(1,p+1):
            i=exp(3)-k*i
        return i
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 2: complexes et médiatrices.}

\begin{sujet}
	
	Le plan est muni d'un repère $\left(O; \vec{u}, \vec{v} \right)$ orthonormé direct. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1$ et $z_B=2$. $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$. $T$ est la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $B$.
	
	\medskip
	Pour tout nombre réel $\theta$ de l'intervalle $]-\pi ,\pi]$, on pose $z_{\theta}=\left( \cos \theta +1 \right)+i \sin \theta$. On note $M_{\theta}$ le point du plan d'affixe $z_{\theta}$.
	
\end{sujet}


\begin{correction}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			%\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			%\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)+1},{sin(\x)}) node  [below right] {$\mathcal{C}$};
			\draw[orange, thick][samples=100,domain={\ycoinbasgauche}:{\ycoinhautdroit}] plot({2},{\x}) node  [below right] {$T$};
			%Points
			\def\thet{45};
			\foreach \a/\b/\P in { 1/0/A, 2/0/B,{1+cos(\thet)}/{sin(\thet)}/M, {1-cos(\thet)}/{-sin(\thet)}/N} {\coordinate (\P) at ({\a},{\b});
				\draw (\P) node {$\times$};
				\draw (\P) node [below left] {$\P$};}
			\draw[Blue, thick][samples=100,domain={-2}:{5}] plot({\x*(1+cos(\thet))/((1+cos(\thet))*(1+cos(\thet))+(sin(\thet))*(sin(\thet)))},{{\x*(sin(\thet))/((1+cos(\thet))*(1+cos(\thet))+(sin(\thet))*(sin(\thet)))}});
			\draw [red] (M) -- (O) -- (N) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une équation de la droite $T$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une équation de $T$.}
		
		Puisque $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ de centre $A$ en $B$, $\overrightarrow{AB}$ est normal à $T$.
		
		Or $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A
		\end{pmatrix}$, \emph{i.e.} $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ donc il existe $c \in \mathbb{R}$ de sorte qu'une équation cartésienne de $T$ est \[ 1 \times x +0 \times y+c=0. \]
		
		Comme de plus $B \in T$ les coordonnées de $B$ vérifient les équations cartésiennes de $T$: $1 \times x_B+0 \times y_B+c=0$.
		
		Ainsi $c=-2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$T:\ x-2=0$.
			 
		\end{conclusion}
		
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que l'ensemble des points $M_{\theta}$ lorsque $\theta$ varie sur $]-\pi;\pi]$ est le cercle $\mathcal{C}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons que $E=\mathcal{C}$ où $E=\{ M_{\theta}\ | \ \theta \in ]-\pi; \pi]\}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $\theta \in ]-\pi;\pi]$.
			
			\begin{align*}
				M_{\theta}A &= |z_{\theta}-z_A|\\
				&= \left| \left( \cos (\theta) +1 \right)+i \sin (\theta) -1 \right|\\
				&= |\cos(\theta) +i\sin(\theta)|\\
				&= 1
			\end{align*}
			
			donc $M_{\theta}$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $1$.
			
			Autrement dit $E \subset \mathcal{C}$.
			
			\item Soit $M \in \mathcal{C}$. 
			
			\begin{align*}
				AM=1 &\Leftrightarrow |z_M-z_A|=1\\
				&\Leftrightarrow \exists \theta \in ]-\pi;\pi],\ z_M-z_A=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\\
				&\Leftrightarrow \exists \theta \in ]-\pi;\pi],\ z_M-1=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\\
				&\Leftrightarrow \exists \theta \in ]-\pi;\pi],\ z_M=\cos(\theta)+1+i\sin(\theta)\\
				&\Leftrightarrow z_M\in E
			\end{align*}
			
			Ainsi: $\mathcal{C} \subset E$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$E=\mathcal{C}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut-on dire du point $M_{\theta}$ lorsque $\theta =0$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\cos(0)+1+i\sin(0)=2$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$M_{0}=B$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les droites $\left( OM_{\theta} \right)$ et $T$ sont-elles sécantes quel que soit le nombre réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]-\pi; \pi]$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Cherchons les valeurs de $\theta$ pour lesquelles les droites sont parallèles.}
		
		Soit $\theta \in ]-\pi;\pi[$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $B$ et le point de coordonnées $(2,1)$ appartiennent à $T$ donc $\vec{d} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $T$.
			
			\item $\overrightarrow{OM_{\theta}} \begin{pmatrix} \cos(\theta)+1\\ \sin(\theta) \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(OM_{\theta})$ (vecteur non nul car $\theta \ne \pi$).
			
			\item $(OM_{\theta})$ et $T$ sont parallèles si et seulement si 
			
			\begin{align*}
				\det \left( \vec{d}, \overrightarrow{OM_{\theta}} \right) &= 0\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				\begin{vmatrix} 0 & \cos(\theta)+1 \\ 1 & \sin(\theta) \end{vmatrix} &= 0\\
				\cos(\theta)+1 &= 0\\
				\cos ( \theta) &= -1\\
				\theta &\equiv \pi \mod(2\pi)
			\end{align*}
			
			Or $\theta \in ]-\pi,\pi[$ donc $\det \left( \vec{d}, \overrightarrow{OM_{\theta}} \right) \ne 0$ et les droites ne sont pas parallèles.
			
		\end{enumerate}
		
		Remarquons de plus que $M_{\pi}=O$ et dans ce cas $(OM_{\pi})$ n'est pas une droite mais un point.
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout $\theta \in ]-\pi;\pi[$, $T$ et $(OM_{\theta})$ sont sécantes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $\theta$ un réel non nul appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi[$.
		
		Déterminez l'affixe du point  $N$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$ tel que le triangle  $OM_{\theta}N$ soit rectangle en $O$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $z_N$.}
		
		Par construction $\mathcal{C}$ est circonscrit au triangle $OM_{\theta}N$ donc dire que \og $OM_{\theta}N$ est rectangle en $O$ \fg{} équivaut successivement à:
		
		\og $M_{\theta}N$ est un diamètre de $\mathcal{C}$\fg{},
		
		\og $A$ est le milieu de $[M_{\theta}N]$ \fg{},
		
		\og $\overrightarrow{M_{\theta}A} = \overrightarrow{AN}$ \fg{},
		
		\og $z_A-z_{\theta} =z_N-z_A$ \fg{}.
		
		Or 
		
		\begin{align*}
			z_A-z_{\theta} =z_N-z_A &\Leftrightarrow 1-\left[ 1+\cos(\theta)+i\sin(\theta) \right]= z_N-1\\
			&\Leftrightarrow z_N= 1-\cos(\theta)-i\sin(\theta)
		\end{align*}
		
		Ainsi 
		
		\begin{conclusion}
			
			$OM_{\theta}N$ est rectangle en $O$ si et seulement si $z_N= 1-\cos(\theta) -i\sin(\theta)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$. On note $M$ le point $M_{\frac{2\pi}{3}}$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
		
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			%\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			%\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)+1},{sin(\x)}) node  [below right] {$\mathcal{C}$};
			\draw[orange, thick][samples=100,domain={\ycoinbasgauche}:{\ycoinhautdroit}] plot({2},{\x}) node  [above left] {$T$};
			%Points
			\def\thet{120};
			\foreach \a/\b/\P in { 1/0/A, 2/0/B,{1+cos(\thet)}/{sin(\thet)}/M, {1-cos(\thet)}/{-sin(\thet)}/N,2/{2*sqrt(3)}/K,2/{-2/3*sqrt(3)}/L,2/{2/3*sqrt(3)}/I, 3/{2/3*sqrt(3)}/J} {\coordinate (\P) at ({\a},{\b});
				\draw (\P) node {$\times$};
				\draw (\P) node [below left] {$\P$};}
			\draw[Blue, thick][samples=100,domain={-2}:{4.2}] plot({\x*(1+cos(\thet))/((1+cos(\thet))*(1+cos(\thet))+(sin(\thet))*(sin(\thet)))},{{\x*(sin(\thet))/((1+cos(\thet))*(1+cos(\thet))+(sin(\thet))*(sin(\thet)))}});
			\draw [red] (M) -- (O) -- (N) -- cycle;
			\draw[Green, thick][samples=100,domain={\xcoinbasgauche}:{\xcoinhautdroit}] plot({\x},{1/sqrt(3)*(\x-1)}) node  [above right] {$D$};
			\draw[magenta, thick][samples=100,domain={\xcoinbasgauche}:{\xcoinhautdroit}] plot({\x},{2/3*sqrt(3)}) node  [above right] {$D'$};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=85:290] plot({(sqrt(19/3))*cos(\x)+3},{(sqrt(19/3))*sin(\x)+2/3*sqrt(3)});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}

\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que l'affixe du point $N$ défini dans la question A.5 est $z_N=\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $z_N$.}
		
		\begin{align*}
			z_N &= 1-\cos(\theta) -i\sin(\theta)\\
			&= 1 -\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)-i \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right)\\
			&= 1-\left(- \frac{1}{2} \right)-i \frac{\sqrt{3}}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$z_N=\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $D$ du segment $[MN]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une équation cartésienne de $D$.}
		
		Puisque $D$ est la médiatrice de $[MN]$, $\overrightarrow{MN}$ est normal à $D$.
		
		Or $M \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ et $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} x_N-x_M\\ y_N-y_M \end{pmatrix}$, \emph{i.e.} $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3}
		\end{pmatrix}$ donc il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que \[ D:\ x-\sqrt{3}y+c=0. \]
		
		Comme de plus $A \in D$ ($A$ étant équidistant de $M$ et $N$ en tant que milieu du segment $[MN]$) on doit avoir \[ x_A-\sqrt{3}y_A+c=0,\] d'où $c=-1$.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$D:\ x-\sqrt{3}y-1=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$K$ est le point d'intersection des droites $(OM)$ et $T$.
		
		$L$ est le point d'intersection des droites $(ON)$ et $T$ (on admet son existence).
		
		Déterminez l'affixe du point $I$ milieu du segment $[KL]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Déterminons les coordonnées de $K$.
			
			$K \in (OM)$ si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que			
			\begin{align*}
				z_K &= 	z_O+\lambda(z_M-z_O)
				\intertext{Cette dernière assertion équivaut à:}
				x_K+iy_K &= \lambda \left(1+\cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) + i \lambda \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right)\\
				&= \frac{\lambda}{2}+i \lambda \frac{\sqrt{3}}{2}\\
			\end{align*}
		
			Puisque $K \in T$ nécessairement: $x_K=2$ et donc $\lambda = 4$. Enfin $y_K=2\sqrt{3}$.
			
			\item Déterminons les coordonnées de $L$.
			
			$L \in (ON)$ si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que			
			\begin{align*}
				z_L &= 	z_O+\lambda(z_N-z_O)
				\intertext{Cette dernière assertion équivaut à:}
				x_L+iy_L &= \frac{3\lambda}{2}- i \lambda \frac{\sqrt{3}}{2}
			\end{align*}
			
			Puisque $L \in T$ nécessairement: $x_L=2$ et donc $\lambda = \frac{4}{3}$. Enfin $y_L=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$.
			
			\item $z_I=\frac{1}{2} (z_K+z_L)$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$z_I=2+i\frac{2}{3} \sqrt{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{notabene}
		
		Démonstration avec des outils plus élémentaires.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $K$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Puisque $K \in T$, $x_K=2$.
			
			\item $OBK$ est rectangle en $B$ donc
			
			\begin{align*}
				\frac{BK}{OB} &= \tan\left(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OK} \right)\\
				\intertext{D'où}
				BK &=OB\tan \left( \frac{\pi}{3} \right)\\
				&= 2 \times \sqrt{3}
			\end{align*}
			
			Ainsi $y_K=2\sqrt{3}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$K\left( 2,2\sqrt{3} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		\end{notabene}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire une équation cartésienne de la médiatrice $D'$ du segment $[KL]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une équation de $D'$.}
		
		Le repère est orthogonal, $D'$ est perpendiculaire à $T$ et $T:\ x=2$, $D'$ a une équation de forme $y=a$ avec $a\in \mathbb{R}$.
		
		Comme $I \in D'$
		
		\begin{conclusion}
			
			$D':\ y=\frac{2}{3} \sqrt{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer qu'il existe un point $J$ équidistant des points $N$, $M$, $K$ et $L$.
		
		On déterminera ses coordonnées.
		 
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions l'existence d'un point équidistant à $N$, $M$, $K$, et $L$.}
		
		Procédons par analyse-synthèse.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Si un tel point $J$ existe alors, puisqu'il est équidistant à $N$ et à $M$ nécessairement $J \in D$ et puisqu'il est équidistant à $K$ et à $L$ nécessairement $J \in D'$.
			
			Par conséquent $y_J=\frac{2}{3} \sqrt{3}$ puis $x_J-\sqrt{3} \frac{2}{3} \sqrt{3}-1=0$ et donc $x_J=3$.
			
			Ainsi $J\left( 3; \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)$.
			
			\item Il reste à vérifier que $J$ est bien équidistant de, par exemple, $N$ et $K$.
			
			\begin{align*}
				|z_J-z_K| &= \sqrt{\left( 3-2 \right)^2+ \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} -2\sqrt{3} \right)^2}\\
				&= \sqrt{1+\frac{16}{3}}\\
				&= \sqrt{\frac{19}{3}}
				\intertext{et}
				|z_J-z_N| &= \sqrt{\left( 3-\frac{3}{2} \right)^2+ \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right)^2}\\
				&= \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{49}{12}}\\
				&= \sqrt{\frac{19}{3}}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$J \left(3;\frac{3}{2} \sqrt{3} \right)$ est équidistant des points $N$, $M$, $K$ et $L$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 3: géométrie dans l'espace.}

\begin{sujet}
	
	L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$.
	
	\medskip
	On considère les points $A(-1;2;4)$, $B(1;1;3)$, $C(-1;3;3)$ et $D(3;3;5)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $A$.}
		
		Le repère étant orthogonal, $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0$.
		
		Or $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \\-1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ -1 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 0 +(-1) \times 1 + (-1) \times (-1)= 0$.
		
		Finalement
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABC$ est rectangle en $A$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que la droite $(BD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons ue $(BD)$ est orthogonale aà $(ABC)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$ est une base de $(ABC)$ puisque $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)\ne 0$.
			
			\item $\overrightarrow{BD} \ne \vec{0}$ donc c'est un vecteur directeur de $(BD)$.
			
			\item Ainsi $(BD)$ est orthogonale à $(ABC)$ si et seulement si  $\overrightarrow{BD}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$.
			
			\item On vérifie aisément $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB} =0$ et $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}=0$.
		\end{enumerate}
		
		Finalement 
		
		\begin{conclusion}
			
			$(BD)$ est orthogonale à $(ABC)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}(ABCD)$ de $ABCD$.}
		
		Puisque $(BD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$, c'est la hauteur issue de $D$ du tétraèdre.
		
		Par conséquent, en notant $\mathscr{A}(ABC)$ l'aire du triangle $ABC$:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}(ABCD) &= \frac{1}{3} BD \times \mathscr{A}(ABC)\\
			\intertext{Puisque $ABC$ est rectangle en $A$:}
			\mathscr{V}(ABCD) &= \frac{1}{3} BD \times \frac{1}{2} AB \times AC\\
			&= \frac{1}{3}\times 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}(ABCD)=2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer une équation du plan $(ACD)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une équation cartésienne de $(ACD)$.}
		
		$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 4 \\1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		Donc $\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}
			1 \times 1-(-1) \times 1 \\ -\left( 0 \times 1 -(-1) \times 4 \right) \\0 \times 1 - 1 \times4
		\end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}
		2 \\ -4 \\-4
		\end{pmatrix}$.
		
		Puisque, par construction, $\vec{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AD}$ est orthogonal à $(ACD)$, il existe $d \in \mathbb{R}$ tel qu'une équation cartésienne de $(ACD)$ est \[ x-2y-2z+d=0. \]
		
		Comme de plus $A \in (ACD)$: $-1-2 \times 2 -2 \times 4+d=0$ et donc nécessairement $d=13$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Une équation cartésienne de $(ACD)$ est $x-2y-2z+13=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ACD)$.
		
		$\Delta$ est la droite passant par $B$ de vecteur directeur $\vec{n}$.
		
		Déterminer les coordonnées du point $H$ intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ACD)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les coordonnées de $H$.}
		
		$\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ construit au cours réponse précédente est un vecteur directeur de $\Delta$ d'où une représentation paramétrique: \[ \Delta:\ \left\{ \begin{array}{l} x= 1+t \\ y=1-2t \\ z=3-2t \end{array} \right.,\ t \in\mathbb{R}. \]
		
		$H \in \Delta$ donc il existe $t_H\in\mathbb{R}$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{l} x_H= 1+t_H \\ y_H=1-2t_H \\ z_H=3-2t_H \end{array} \right.,\ (1). \]
		
		Comme $H \in (ACD)$: $x_H-2y_H-2z_H+13=0$ et en substituant d'après $(1)$: \[ 1+t_H-2 (1-2t_H)-2(3-2t_H)+13=0. \]
		
		Enfin $t_H=-\frac{2}{3}$ et en évaluant dans $(1)$:
		
		\begin{conclusion}
			
			$H\left( \frac{1}{3} ,\frac{7}{3} , \frac{13}{3} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l'aire du triangle $ACD$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ACD)$ de $ACD$.}
		
		Puisque $[BH]$ est la hauteur de $ABCD$ issue de $B$:		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ACD) &= \frac{\mathscr{V}(ABCD)}{BH}\\
			\intertext{Le repère étant orthonormé, $BH= \sqrt{ \left( \frac{1}{3} -1 \right)^2 + \left( \frac{7}{3}-1\right)^2 + \left( \frac{13}{3}-3 \right)^2}=2$ et donc:}
			\mathscr{A}(ACD) &= \frac{2}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ACD)=1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème 4: équation fonctionnelle.}

\begin{sujet}
	
	On s'intéresse dans ce problème aux fonctions $f$ définies et continues sur $\mathbb{R}$ qui vérifient la propriété $(E)$: 
	
	\begin{center}
		Pour touts réels $x$ et $y$, $f(x+y) \times f(x-y)=\left( f(x) \right)^2 \times \left( f(y) \right)^2 \quad (E)$.
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A. Existence d'une fonction satisfaisant la propriété $(E)$.}

\begin{sujet}
	
	Soit $m$ un nombre réel. On note $f_m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x)=\mathrm{e}^{mx^2}$.
	
	Justifier que la fonction $f_m$ vérifie la propriété $(E)$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Justifions que $f_m$ vérifie $(E)$.}
	
	$f_m$ est définie est continue sur $\mathbb{R}$ et pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$:
	
	\begin{align*}
		f_m(x+y) \times f_m(x-y) &= \mathrm{e}^{m(x+y)^2}\times \mathrm{e}^{m(x-y)^2}\\
		&= \mathrm{e}^{mx^2+2mxy+y^2}\times \mathrm{e}^{mx^2-2mxy+y^2}\\
		&= \mathrm{e}^{mx^2} \times \mathrm{e}^{2mxy}\times \mathrm{e}^{y^2}\times \mathrm{e}^{mx^2} \times \mathrm{e}^{-2mxy}\times \mathrm{e}^{y^2}\\
		&= \mathrm{e}^{2mx^2} \times \mathrm{e}^{2my^2} \times \mathrm{e}^0\\
		&= \left( \mathrm{e}^{mx^2} \right)^2 \times \left( \mathrm{e}^{my^2} \right)^2\\
		&= \left(f_m(x)\right)^2 \times \left( f_m(y) \right)^2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		$f_m$ vérifie $(E)$.
		
	\end{conclusion}
\end{correction}

\subsubsection{Partie B. Propriétés des fonctions satisfaisant la propriété $(E)$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2=x^4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation proposée.}
		
		\begin{align*}
			x^4=x^2 &\Leftrightarrow x^4-x^2=0\\
			&\Leftrightarrow x^2(x^2-1)=0\\
			&\Leftrightarrow x^2(x-1)(x+1)=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\{ 0;1;-1\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que, si la fonction $f$ satisfait la propriété $(E)$, alors $f(0)\in \{ -1;0;1 \}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que, si $f$ est une fonction s'annulant en $0$ et satisfaisant la propriété $(E)$, alors $f$ est la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons que si $f$ vérifie $(E)$ alors $f(0) \in \{ -1;0;1 \}$.}
		
		Si $f$ vérifie $(E)$ alors, en particulier, pour $x=y=0$ nous avons: $f(0)\times f(0)= f(0)^2 \times f(0)^2$.
		
		Autrement dit $f(0)^2=f(0)^4$ et d'après la question précédente:
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(0) \in \{-1;0;1 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		
		Soit $f$ une fonction satisfaisant la propriété $(E)$.
		
		Démontrer que, s'il existe un nombre réel non nul $a$ tel que $f(a)=0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $f\left( \dfrac{a}{2^n} \right)=0$.
		
		\medskip
		\textbf{On admet que l'on peut en déduire que $f$ est la fonction nulle.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a)=0$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons: $\forall n \in \mathbb{N},\ f\left( \frac{a}{2^n} \right)=0$.}
	
		Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $f\left( \frac{a}{2^n} \right)=0$ et démontrons par récurrence que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f\left( \frac{a}{2^0}\right)=f(a)=0$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons qu'alors $\mathscr{P}(n+1)$ l'est aussi.
			
			Puisque $f$ vérifie $(E)$:
			
			\begin{align*}
				f\left( \frac{\frac{a}{2^n}}{2} +\frac{\frac{a}{2^n}}{2} \right) \times f\left( \frac{\frac{a}{2^n}}{2}- \frac{\frac{a}{2^n}}{2} \right) &= f\left( \frac{\frac{a}{2^n}}{2} \right)^2 \times f\left( \frac{\frac{a}{2^n}}{2} \right)^2\\
				f\left( \frac{a}{2^n}\right) \times f(0) &= f\left( \frac{a}{2^{n+1}} \right)^4\\
				\intertext{Et d'après l'hypothèse de récurrence:}
				0 &= f\left( \frac{a}{2^{n+1}} \right)^4\\
				0 &= f\left( \frac{a}{2^{n+1}} \right)\\
			\end{align*}
			
			Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Nous avons démontré par récurrence que
			
			\begin{conclusion}
				
				si $f(a)=0$ alors: $\forall n \in \mathbb{N},\ f\left( \frac{a}{2^n} \right)=0$.
			\end{conclusion}
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose maintenant que $f$ vérifie la propriété $(E)$ et que $f$ n'est pas la fonction nulle.
		
		Déduire de la question précédente que la fonction $f$ est soit strictement positive sur $\mathbb{R}$, soit strictement négative sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Raisonnons par l'absurde.}
		
		Supposons que $f$ n'est ni strictement négative ni strictement positive.
		
		\medskip
		S'il existe $a\in\mathbb{R}$ tel que $f(a)=0$ alors, d'après la question précédente $f$ est la fonction nulle ce qui est impossible.
		
		\medskip
		Sinon il existe $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\alpha)f(\beta)<0$. Puisque $f$ est supposée continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires: $\exists a \in ]\alpha ,\beta[,\ f(a)=0$. 
		
		Dans ce cas, d'après la question précédente $f=0$ ce qui est impossible.
		
		\medskip
		Dans les deux nous obtenons une contradiction.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est soit strictement positive, soit strictement négative.
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C. Identification des fonctions strictement positives sur $\mathbb{R}$ satisfaisant la propriété $(E)$.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction strictement positive sur $\mathbb{R}$ vérifiant la propriété $(E)$.
	
	\medskip
	Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\ln \left[ f(x) \right]$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer, à l'aide de la question 2. de la partie B, que $g(0)=0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $g(0)$.}
		
		D'après la question B.2), $f(0) \in \{ -1;1;0 \}$ or $f$ est strictement positive donc $f(0)=1$. Enfin $\ln \circ f(0)=0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$g(0)=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que, pour tous réels $x$ et $y$: $g(x+y)+g(x-y)=2 \left( g(x)+g(y) \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $x$ et $y$ des réels.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $g(x+y)+g(x-y)=2\left( g(x)+g(y) \right)$.}
		
		Puisque $f$ est strictement positive et vérifie $(E)$: 
		\begin{align*}
			\ln \left( f(x+y) \times f(x-y) \right) &= \ln \left( \left( f(x) \right)^2 \times \left( f(y) \right)^2 \right)\\\intertext{Nous en déduisons:}
			\ln\circ f(x+y) + \ln\circ f(x-y) &= 2\ln\circ f(x) +2 \ln \circ f(y)
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			$\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ g(x+y)+g(x-y)=2\left( g(x)+g(y) \right)$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence et de la question précédente, que, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $g(n)=g(1) \times n^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons par une récurrence double que l'assertion $\mathscr{Q}(n)$: \og $g(n)=n^g(1)$ \fg{} est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item $g(0)=0$ d'après C.1. donc $g(0)=g(1) \times 0^2$ est vraie.
			
			Clairement $g(1)=g(1) \times 1^2$.
			
			Ainsi $\mathscr{Q}(0)$ et $\mathscr{Q}(1)$ sont vraies.
			
			\item 
			Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $n \geqslant 2$. Supposons que $\mathscr{Q}(n-1)$ et $\mathscr{Q}(n)$ sont vraies. Démontrons que $\mathscr{Q}(n+1)$ est vraie.
			
			D'après C.2.
			\begin{align*}
				g(n+1)+g(n-1) &= 2 \left( g(n)+g(1) \right)\\
				\intertext{D'où}
				g(n+1) &= 2g(n)+2g(1)-g(n-1)\\
				\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
				g(n+1) &= 2n^2g(1)+2g(1)-(n-1)^2g(1)\\
				&= \left( 2n^2+2-(n-1)^2 \right) g(1)\\
				&= \left( n^2+2n+1\right) g(1)\\
				&= (n+1)^2g(1)
			\end{align*}
			
			Ainsi $\mathscr{Q}(n+1)$ est vraie.
			
			\item Nous avons démontré par une récurrence double que
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ g(n)=n^2g(1)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{On admet que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$, $g(nx)=n^2g(x)$.}
		
		Démontrer que, pour tout entier naturel $p$ non nul: $g\left( \dfrac{1}{p} \right)=\dfrac{g(1)}{p^2}$.
		
		En déduire que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $p$ non nul: $g\left( \dfrac{n}{p} \right)= \dfrac{n^2}{p^2} g(1)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $p \in \mathbb{N}^*$.
			
			\medskip
			\objectif{Montrons que $g \left( \frac{1}{p} \right) = \frac{g(1)}{p^2}$.}
			
			D'après l'énoncé (pour $x=\frac{1}{p}$ et $p=n$) on a: $g\left( p\frac{1}{p} \right)= p^2 g\left( \frac{1}{p} \right)$.
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$g\left( \frac{1}{p} \right)= \frac{g(1)}{p^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Soit $(n,p)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$.
			
			\begin{align*}
				g\left( \frac{n}{p} \right) &= n^2 g \left( \frac{1}{p} \right)\\
				&= n^2 \frac{1}{p^2} g(1)
			\end{align*}
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall (n,p)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*,\ g\left( \frac{n}{p} \right)=\frac{n^2}{p^2} g\left( 1 \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{On admet que, pour tout nombre réel $x$, $g(x)=g(1) \times x^2$.}
		
		En déduire l'expression des fonctions $f$ définies, continues et strictement positives sur $\mathbb{R}$ qui vérifient la propriété $(E)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'expression de $f$.}
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			f(x) &= \exp\circ g(x)\\
			&= \exp\left( g(1) x^2 \right)\\
			&= 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les fonctions $f$ définies, continues et strictement positives sur $\mathbb{R}$ qui vérifient la propriété $(E)$ sont celles de la forme $x \mapsto \mathrm{e}^{\alpha x^2}$ où $\alpha \in\mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}