%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\Roman{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique 2023 épreuve 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Capes de mathématique 2023 épreuve 1.}


\begin{center}

\begin{sujet}

	Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2023_maths/capes_externe_2023_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2023_maths/capes_externe_2023_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.

\end{correction}

\end{center}


\begin{sujet}

Durée: 5 heures.

\medskip
L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.

L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.

\medskip
Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\subsubsection*{Notations.}
	
	$\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels.
	
	$\mathbb{N}^*$ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
	
	$\mathbb{Q}$ désigne l'ensemble des nombres rationnels.
	
	$\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.
	
	$\mathbb{R}_+^*$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
	
\end{sujet}

\subsection{Problème \no 1: vrai-faux.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} non argumentée ne sera pas prise en compte.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Analyse.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Ici $[a; b]$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ avec $a < b$.}
			
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
		n'est pas paire si, et seulement si, pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, $f(x) \ne f (-x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Pas de démonstration possible: il s'agit de la définition de l'imparité.}
		
		La condition: \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x)\ne f(-x). \] est suffisante pour affirmer que $f$ n'est pas paire mais elle n'est pas nécessaire.
		
		En effet, si $f$ n'est pas paire alors \[ \exists x \in \mathbb{R},\ f(x) \ne f(-x). \]
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a;b]$ et à valeurs dans $[a;b]$.
		
		L'équation $f(x)=x$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[a;b]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Si $f(a)=a$ ou $f(b)=b$ alors l'équation $f(x)=x$ admet une solution.
		
		\medskip
		Supposons $f(a)\ne a$ et $f(b) \ne b$.
		
		Puisque $f(a) \in [a;b]$ et $f(a) \ne a$ alors $f(a)-a>0$. De même $f(b)-b<0$.
		
		$x \mapsto f(x)-x$ est continue sur $[a;b]$ et $f(a)-a>0$ et $f(b)-b<0$ il existe $x_0 \in ]a;b[$ tel que $f(x_0)-x_0=0$.
		
		\medskip
		Dans tous les cas l'équation $f(x)=x$ admet une solution.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient deux fonctions $f$ et $g$ définies et continues sur $[a;b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
		
		Si $\displaystyle \int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x> \int_a^bg(x)\ \mathrm{d}x$, alors pour tout $x \in [a;b]$, on a $f(x)>g(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Si $f: \left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & 3x-1 \end{array} \right.$ et $g: \left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & 0 \end{array} \right.$
		
		Comme $\int_0^1f(x)\ \mathrm{d}x= \frac{7}{2}$ et $\int_0^1g(x)\ \mathrm{d}x = 0$ on a bien $\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x> \int_a^bg(x)\ \mathrm{d}x$.
		
		Et pourtant $f(0)\leqslant g(0)$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle est nulle, alors la fonction est nulle sur cet intervalle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$\frac{1}{1-(-1)} \int_{-1}^1 x\ \mathrm{d}x=0$ et pourtant $x\mapsto x$ n'est pas identiquement nulle.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les solutions de l'équation différentielle $y''-3y'+2y=2$ sont les fonctions \[ x \mapsto k\exp(2x)+1\] où $k$ désigne un nombre réel quelconque.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		La fonction $g:x \mapsto \mathrm{e}^x+1$ est solution de l'équation différentielle.
		
		Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe $k\in \mathbb{R}$ tel que $g(x)= k\exp(2x)+1$.
		
		Nous aurions alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$,
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^x+1 &= k \mathrm{e}^{2x}+1\\
			1 &= k \mathrm{e}^x
		\end{align*}
		ce qui est impossible.
		
		Nous avons démontré par l'absurde que $g$, qui est bien solution de l'équation différentielle, n'est pas une fonction de la forme $x \mapsto k\exp(2x)+1$.
		
		Il manque des solutions de l'équation différentielle dans l'énoncé.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La négation de l'assertion \og toute suite réelle majorée converge\fg{} est \og il existe des suites réelles minorées qui ne convergent pas\fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		La négation, par exemple, de \og suite majorée\fg{} n'est pas \og suite minorée \fg{}.
		
		En effet dire que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée c'est dire \[ \exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leqslant M \] or sa négation est \[ \forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ u_n>M, \] alors que dire que la suite est minorée par $M$ s'exprime par \[ \exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n>M. \]
		
		\medskip
		La négation de la première phrase est \og il existe une suite réelle majorée et divergente\fg{}.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=1 -\frac{1}{7}+ \frac{1}{7^2} - \dots +\frac{1}{(-7)^n}$.
		
		La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers un nombre réel strictement plus grand que $1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		On reconnaît dans $u_n$ la somme des $n+1$ premiers termes dune suite géométrique de terme initial $1$ et de raison $-\frac{1}{7}$ donc \[ u_n=\frac{1-\left( - \frac{1}{7} \right)^{n+1}}{1 - \left( -\frac{1}{7} \right)}. \]
		
		Puisque $-\frac{1}{7} \in ]-1;1[$: \[ \lim_{n\to +\infty} \left( -\frac{1}{7} \right)^n=0, \] et donc \[ \lim_{n \to +\infty} u_n =\frac{1}{1+\frac{1}{7}}= \frac{7}{8}<1. \]
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un cycliste parcourt $40\ \mathrm{km}$ la semaine 0. Il décide que, chaque semaine, il parcourra $5\ \mathrm{km}$ de plus que la distance parcourue lors de la semaine précédente.
		
		La fonction \emph{seuil} présentée ci-dessous, écrite en langage Python, permet de déterminer le numéro de la semaine où la distance totale qu'il aura parcourue sera supérieure à un nombre $n$ donné.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{rl}
				1 & def seuil(n):
				\\
				2 & \quad k=0
				\\
				3 & \quad u=40
				\\
				4 & \quad S=40
				\\
				5 & \quad while S<n:
				\\
				6 & \qquad k=k+1
				\\
				7 & \qquad S=S+u+5
				\\
				8 & \quad return k
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}La variable u est censée représentée la distance parcourue lors de la semaine. u devrait augmenter lors de l'exécution de la boucle et ce n'est pas le cas. Il manque une incrémentation de u.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item À la fin de la semaine $2$ la distance parcourue en $\mathrm{km}$ est de $40+ (40+5)+ (40+5+5)=135$.
			
			\item Par conséquent l'instruction seuil(134) devrait renvoyer $2$.
			
			Or
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					& n & k & u & S & S<n
					\\
					\hline
					1 & 134 &&&&
					\\
					\hline
					2 & 134 & 0 &&&
					\\
					\hline
					3 & 134 & 0 & 40 &&
					\\
					\hline
					4 & 134 & 0 & 40 & 40 & 
					\\
					\hline
					5 & 134 & 0 & 40 & 40 & 1
					\\
					\hline
					6 & 134 & 1 & 40 & 40 & 1
					\\
					\hline
					7 & 134 & 1 & 40 & 85 & 1
					\\
					\hline
					5 & 134 & 1 & 40 & 85 & 1
					\\
					\hline
					6 & 134 & 2 & 40 & 85 & 1
					\\
					\hline
					7 & 134 & 2 & 40 & 130 & 1
					\\
					\hline
					5 & 134 & 2 & 40 & 130 & 1
					\\
					\hline
					6 & 134 & 3 & 40 & 130 & 1
					\\
					\hline
					7 & 134 & 3 & 40 & 170 & 1
					\\
					\hline
					5 & 134 & 3 & 40 & 170 & 0
					\\
					\hline
					8 & &&&&
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			donc le programme ne renvoie pas $2$ comme attendu.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Géométrie.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étant donnés trois points $A$, $B$ et $C$ du plan, la contraposée de l'assertion \[ ABC \text{ est un triangle rectangle en } A \Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2 \] est \[ AB^2+AC^2=BC^2 \Rightarrow ABC \text{ est un triangle rectangle en } A. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		L'assertion proposée n'est pas la contraposée mais la réciproque de la première assertion.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans un plan vectoriel $P$ muni d'un produit scalaire noté $(\ \centerdot\ |\ \centerdot\ )$ et d'une norme associée notée $\| \ \centerdot \ \|$. Soient $x$ et $y$ dans $P$ tels que $\|x\|=\|y\|$.
		
		Les vecteurs $x+y$ et $x-y$ sont orthogonaux.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Par bilinéarité du produit scalaire:
		
		\begin{align*}
			(x+y|x-y) &= (x|x)-(x|y) + (y|x) - (y|y)\\
			\intertext{Puisque $\|. \|$ est associée à $(.|.)$}
			(x+y|x-y) &= \|x\|^2-(x|y) +(y|x)-\|y\|^2\\
			\intertext{Par symétrie du produit scalaire:}
			(x+y|x-y) &= \|x\|^2-(x|y) +(x|y)-\|y\|^2\\
			\intertext{Comme $\|x\|=\|y\|$:}
			(x+y|x-y) &= 0
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans un plan vectoriel $P$ muni d'un produit scalaire noté $( \ . \ | \ . \ )$.
		
		Pour tous vecteurs $x$, $y$ et $z$ de $P$, on a \[ (x|z)=(y|z) \Rightarrow x=y. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Donnons un contre-exemple.
		
		Soit $z \in P\setminus \{ 0 \}$.
		
		Il existe $x \in P \setminus \{ 0 \}$ qui appartienne à l'orthogonal de $z$.
		
		Notons enfin $y=-x$.
		
		Par construction $(x|z)=0$ et $(y|z)=0$ donc $(x|z)=(y|z)$ et pourtant $x \ne y$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le plan affine euclidien muni d'un repère cartésien orthonormé, on considère les points $A(-4,1)$, $B(3,0)$ et $C(5,4)$.
		
		La médiatrice de $[AC]$ a pour équation 
		$x+y=3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Notons $d: x+y=3$.
		
		$B \in d$ car $3+0=3$.
		
		$B$ appartient à la médiatrice de $[AC]$ si et seulement si $AB=BC$.
		
		Or, le repère étant orthonormé, $AB=\| \overrightarrow{AB} \|= \sqrt{\left[ 3-(-4) \right]^2+ (0-1)^2}=5\sqrt{2}$ et, de même, $BC=2\sqrt{5}$ donc $B$ n'appartient pas à la médiatrice de $[AC]$.
		
		Enfin nous en déduisons que $d$ n'est pas la médiatrice de $[AC]$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le plan affine euclidien muni d'un repère cartésien orthonormé, l'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $|z-2|=|z+1|$ est réduit au point d'affixe $\frac{1}{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Traduisons en géométrie affine le problème: on recherche les points $M$ d'affixe $z$ qui sont équidistants des points $A$, d'affixe $2$, et $B$, d'affixe $-1$. 
		
		L'ensemble des points recherchés forment la médiatrice de $[AB]$. 
		
		Il n'y a pas unicité de la solution au problème.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le plan affine euclidien orienté muni d'un repère cartésien orthonormé direct d'origine $O$,	on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $\sqrt{3}-i$ et $\sqrt{3}+i$.
		
		L'angle orienté $\left( \overrightarrow{OA} , \overrightarrow{OB} \right)$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ modulo $2\pi$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il suffit d'un schéma pour s'en convaincre et vraisemblablement justifier la réponse (théorème de Thalès et valeurs remarquables de sinus et cosinus).
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2]
			\def\xY{-2.1};
			\def\yY{-2.1};
			\def\xZ{2.1};
			\def\yZ{2.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({2*cos(\x)},{2*sin(\x)});
			\coordinate (A) at ({sqrt(3)},{-1});
			\coordinate (B) at ({sqrt(3)},{1});
			\draw (0,0) -- (A);
			\draw (0,0) -- (B);
			\draw (A) node [below right] {$A$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\draw [red] ({sqrt(3)},0) node [below left] {$\sqrt{3}$};
			\draw [dashed, red, very thick] (A) -- (B);
			\draw [dashed, red, very thick] (A) -- (0,-1);
			\draw [dashed, red, very thick] (B) -- (0,1);
			\draw [OliveGreen] ({sqrt(3)/2},0) node [below left] {$\frac{\sqrt{3}}{2}$};
			\coordinate (C) at ({sqrt(3)/2},{-1/2});
			\coordinate (D) at ({sqrt(3)/2},{1/2});
			\draw [OliveGreen, dashed, very thick] (C) -- (D);
			\draw [OliveGreen, dashed, very thick] (C) -- (0,{-1/2});
			\draw [OliveGreen, dashed, very thick] (D) -- (0,{1/2});
			\draw[OliveGreen] (0,{1/2}) node [left] {$\frac{1}{2}$};
			\draw[OliveGreen] (0,{-1/2}) node [left] {$-\frac{1}{2}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		}
		
		\medskip
		\begin{align*}
			\left( \overrightarrow{OA} , \overrightarrow{OB} \right) &\equiv  \arg\left( \frac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right) \mod(2\pi)\\
			\intertext{Or}
			\frac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&= \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} \\
			&= \frac{\left(\sqrt{3}+i \right) \left( \sqrt{3}+i \right)}{\left( \sqrt{3}-i\right) \left(\sqrt{3}+i \right)}\\
			&= \frac{\sqrt{3}^2+2\sqrt{3}i -1}{\sqrt{3}^2+1} \mod(2\pi)\\
			&= \frac{2+ 2\sqrt{3}i}{4} \\
			&= \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i  \\
			\intertext{donc}
			\left( \overrightarrow{OA} , \overrightarrow{OB} \right) &\equiv  \arg\left( \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \mod(2\pi)\\
			&\equiv  \arg\left( \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \right) \mod(2\pi)\\
			&\equiv  \frac{\pi}{3} \mod(2\pi)\\
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans l'espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, le plan $P$ d'équation $x-2y+3=-5$ et la droite $D$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l}
		x =-2+t\\
		y=-t\\
		z=-1-t \end{array} \right. \ (t \in \mathbb{R})$ sont perpendiculaires.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P$ et $\vec{d} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $D$.
		
		$P$ et $D$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{d}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires (nous sommes dans un espace de dimension $3$).
		
		$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}=4 \ne 0$ donc $\vec{d}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent $P$ et $D$ ne sont pas perpendiculaires.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}
	
\subsubsection{Matrices.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{15}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est inversible et diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, espace des matrices à coefficients réels à $2$ lignes et $2$ colonnes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Le polynôme caractéristique de $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est $\chi_A(X)=\det\left( A-XI_2 \right)= \begin{vmatrix} -X & 1 \\ 1 & -X \end{vmatrix}=X^2-1=(X-1)(X+1)$.
		
		Le polynôme caractéristique étant un polynôme annulateur de $A$, nous pouvons affirmer que nous avons trouver un polynôme annulateur scindé simple de $A$ donc $A$ est diagonalisable.
		
		Les valeurs propres de $A$ étant non nulles ($1$ et $-1$) $A$ est inversible.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si $A$ et $B$ sont des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes telles que $AB=0$, alors $A$ ou $B$ n'est pas inversible.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Raisonnons par l'absurde en supposant que: $AB=0$ et $A$ et $B$ sont inversibles.
		
		Nous en déduisons 
		
		\begin{align*}
			A^{-1}AB &= A^{-1}0\\
			B &= 0
		\end{align*}
		
		ce qui contredit le fait que $B$ est inversible.
		
		On a démontré par l'absurde que si $AB=0$ alors $A$ ou $B$ n'est pas inversible.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Pourcentages.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{17}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En 2019, le prix du tabac a augmenté de
		$12\ \%$, en 2020 de $16\ \%$, en 2021 de $7\ \%$.
		
		L'augmentation du prix du tabac de 2019 à 2021 a été de $35\ \%$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Les augmentations de $12\ \%$, $16\ \%$ et $7\ \%$ correspondent à des coefficients multiplicateurs respectivement de $1,12$, $1,16$ et $1,07$.
		
		Le coefficient multiplicateur global pour ces trois évolutions est donc de $1,12 \times1,16 \times 1,07= 1,390144$.
		
		Autrement il s'agit d'une augmentation globalement d'approximativement $39\ \%$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements. La semaine $1$, Armelle a réussi $50\ \%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $90\ \%$ des exercices qu'il a traités. La semaine $2$, Armelle a réussi $20\ \%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $40\ \%$ des exercices qu'il a traités.
		
		Sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Donnons un contre-exemple.
		
		Semaine $1$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				& Armelle & Boris 
				\\
				\hline
				Nombre d'exercices & $1000$ & $10$
				\\
				\hline
				Nombre de réussite & $500$ & $9$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
 		\end{center}
 		
 		Semaine $2$.
 		
 		\begin{center}
 			\begin{tabular}{|c|c|c|}
 				\hline
 				& Armelle & Boris 
 				\\
 				\hline
 				Nombre d'exercices & $10$ & $1000$
 				\\
 				\hline
 				Nombre de réussite & $2$ & $400$
 				\\
 				\hline
 			\end{tabular}
 		\end{center}
 		
 		La proportion de réussite d'Armelle est $\frac{500+2}{1000+10}$ et celle de Boris $\frac{9+400}{10+1000}$.
 		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Arithmétique.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{19}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $n$ un entier naturel.
		
		$n^3-n$ est pair.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$n^3-n=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)$. 
		
		Le produit de trois entiers consécutif contient forcément un nombre pair donc ce produit est pair.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient un entier relatif $x$ et un entier naturel non nul $n$.
		
		Si $x^2 \equiv 9\ [n]$ alors $x \equiv 3 \ [n]$ ou $x \equiv -3 \ [n]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Donnons un contre-exemple.
		
		$6^2\equiv 9\ [27]$.
		
		$6\not\equiv 3\ [27]$ et $6\not\equiv -3\ [27]$. %et $-3\equiv 24\ [27]$ donc $-6 \not\equiv -3 \ [27]$
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Dénombrement.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{21}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le nombre de parties d'un ensemble à $10$ éléments est égale à $100$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		Le nombre de parties d'un ensemble fini $E$ de cardinal $|E|=10$ est $2^{|E|}=2^{10}=1024$.
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étant donné un entier naturel $n$ supérieur ou égale à $3$, on trace dans un plan $n$ droites de sorte qu'il n'existe pas parmi elles deux droites parallèles ni trois droites concourantes.
		
		Le nombre de triangles  ainsi obtenus est égale à $\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Probabilités.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{23}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit un numéro ente $1$ et $6$. On lance un dé équilibré à $6$ faces jusqu'à l'obtention du numéro choisi.
		
		La probabilité de devoir effectuer au moins $3$ lancers pour obtenir le numéro choisi est $\dfrac{5^2}{6^2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Supposons, par exemple, que le numéro choisi est le $6$.
		
		Il faut donc calculer la probabilité de l'événement $A$: \og le $6$ n'est pas obtenu lors des deux premiers lancers\fg{}.
		
		Modélisons l'expérience avec $\Omega= \llbracket 1,6 \rrbracket^2$, pour la tribu (nous sommes dans le cas fini) $\mathscr{P}(\Omega)$ convient et la loi est la loi uniforme sur $\Omega$ (puisque les lancers sont indépendants et que chacun est régi par l'équiprobabilité).
		
		$A$ est formé des éléments de $\llbracket 1,5 \rrbracket^2$ donc $|A|=\left| \llbracket 1,5 \rrbracket \right|^2=5^2$.
		
		De même $|\Omega|=6^2$.
		
		Puisque la loi est celle de l'équiprobabilité:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P} (A) &= \frac{|A|}{|\Omega|}\\
			&=\frac{5^2}{6^2}
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle dans un espace probabilisé $\left( \Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P} \right)$.
		
		$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}	
		
		\medskip
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{A}) \mathbb{P}(\overline{B}) &= \mathbb{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) \\
			\intertext{équivaut successivement à}
			\left( 1 -\mathbb{P}(A) \right) \left( 1- \mathbb{P}(B) \right) &= 1 -\ \mathbb{P}(A \cup B)\\
			1-\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) -\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(B) &= 1-\left( \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) -\mathbb{P}(A \cap B) \right)\\
			1-\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) -\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(B) &= 1- \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B) +\mathbb{P}(A \cap B) \\
			\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(A \cap B)
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème \no 2: équations fonctionnelles.}

\subsubsection{Quelques résultats classiques.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cette partie, qui traite de points élémentaires, un soin particulier devra être apporté à la rigueur et à la précision des arguments donnés.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Dérivabilité.}
		
		Soient un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, non vide et non réduit à un point, une fonction $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ et un élément $a$ de $I$.		
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une définition de l'assertion \og $f$ est dérivable en $a$\fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si \[ \exists \ell \in \mathbb{R}, \ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \underset{x \to a}{\longrightarrow}\ell. \]
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et on note $f'(a)$ le nombre dérivé de $f$ en $a$.
			
			Démontrez que $f$ admet un développement limité d'ordre $1$ en $a$, qui est \[ f(x)=f(a) + (x-a)f'(a)+g(x) \] où $g$ est une fonction négligeable devant $x \mapsto x-a$ en $a$. \emph{On pourra considérer la fonction $\varepsilon : I \rightarrow \mathbb{R}$ définie par  $\varepsilon(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$ si $x\ne a$ et $\varepsilon(a)=0$.}
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $f$, dérivable en $a$, admet un développement limité d'ordre $1$ en $a$.}
			
			Si $x=a$ l'égalité est triviale sinon avec la notation de l'énoncé, pour tout $x$ dans un voisinage de $a$ et $x \ne a$
			
			\begin{align*}
			\frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a) &= \varepsilon(x)\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			f(x)-f(a) -f'(a)(x-a) &= (x-a)\varepsilon(x)\\
			f(x) &= f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)
			\end{align*}
			
			Et comme $f$ est dérivable en $a$ $\varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ admet un développement limité d'ordre $1$ en $a$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
				
			\end{sujet}
		
			\begin{correction}
								
				Supposons $f$ dérivable en $a$ et
				
				\medskip
				\objectif{démontrons que $f$ est continue en $a$.}
				
				D'après la question précédente, pour $x$ dans un voisinage de $a$: \[ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)\] où $ \varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}0$.
				
				En passant à la limite dans la précédente égalité: \[ f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f(a).\]
				
				Autrement dit
				
				\begin{conclusion}
					
					$f$ est continue en $a$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donner, sans démonstration, un contre-exemple pour l'assertion réciproque.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{conclusion}
					
					La fonction valeur absolue est continue sans être dérivable en $0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $g: I \rightarrow \mathbb{R}$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ alors $fg$ l'est aussi. Expliciter $(fg)'(a)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Supposons $f$ et $g$ dérivables en $a$ et 
			
			\medskip
			\objectif{démontrons que $fg$ est dérivable en $a$.}
			
			D'après 1.(b) \[ f(x)=f(a) + (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \] et \[ g(x)=g(a) + (x-a)g'(a)+(x-a)\varepsilon_2(x) \] donc
			
			\begin{align*}
				(fg)(x) &= f(x) g(x)\\
				&= \left( f(a) + (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \right)\\
				&\qquad \times \left( g(a) + (x-a)g'(a)+(x-a)\varepsilon_2(x) \right)\\
				&= f(a)g(a) +(x-a)\left[ f'(a)g(x)+f(x)g'(a) \right] +(x-a) \varepsilon(x)
			\end{align*}
			
			en notant 
			
			\begin{align*}
			 	\varepsilon(x) &= (x-a)f'(a)g'(a)+ \varepsilon_2(x) \left( f(a) + (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \right) \\ 
			 	&\qquad + \varepsilon_1 \left( g(a) + (x-a)g'(a)+(x-a)\varepsilon_2(x) \right)
			 \end{align*}
			
			Remarquons que $\varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$.
			
			Donc, pour $x \ne a$:
			
			\begin{align*}
				\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a} &= f'(a)g(x)+ f(x)g'(a) + \varepsilon(x)\\
				\intertext{et en passant à la limite}
				\frac{(fg)(x)-fg(a)}{x-a} &\underset{x \to a}{\longrightarrow} f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
			\end{align*}
			
			Autrement dit
			
			\begin{conclusion}
				
				$fg$ est dérivable en $a$ et $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $J$ un intervalle de $\mathbb{R}$ tel que $f(I) \subset J$ et une fonction $g:J\rightarrow \mathbb{R}$. Démontrer que si $f$ est dérivable en $a$ et si $g$ est dérivable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$. Expliciter $(g\circ f)'(a)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Supposons $f$ dérivable en $a$ et $g$ dérivable en $f(a)$ et 
			
			\medskip
			\objectif{démontrons que $g\circ f$ est dérivable en $a$.}
			
			D'après 1.(b) \[ f(x)=f(a) + (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \] et \[ g(y)=g\left( f(a)\right) + (y-f(a))g'\left( f(a)\right)+(y-f(a))\varepsilon_2(y) \] donc
			
			\begin{align*}
				g\circ f (x) &= g \left( f(x) \right)\\
				\intertext{Comme $f(a) + (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}f(a)$:}
				g\circ f (x) &= g\left( f(a) + (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \right)\\
				&= g\left( f(a) \right) + \left(  {\color{orange}f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x)} -f(a)\right) g'\left( f(a) \right) \\
				&\qquad + \left(  {\color{orange}f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x)} -f(a)\right)\\
				&\qquad \varepsilon_2\left( {\color{orange} f(a) +(x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x)} \right)\\
				&= g\left( f(a) \right)+ (x-a)f'(a)g'\left( f(a) \right)+(x-a) \varepsilon(x)
			\end{align*}
			
			en notant 
			
			\begin{align*}
				\varepsilon(x) &= g'\left( f(a) \right) \varepsilon_1(x)\\
				&\qquad +\left(f'(a)+\varepsilon_1(x)\right) \varepsilon_2 \left( f(a)+ (x-a)f'(a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \right)
			\end{align*}
			
			Comme: \[ \frac{g\circ f(x) - g\circ f(a)}{x-a} -f'(a) g'\left( f(a) \right) = \varepsilon(x) \underset{x \to a }{\longrightarrow} 0.\]
			
			on a
			
			\begin{conclusion}
				
				$g \circ f$ est dérivable en $a$ et $\left( g\circ f \right)'(a)= f'(a) \times g'\circ f(a)$.
				
			\end{conclusion}			
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{La fonction logarithme népérien.}
		
		On appelle fonction logarithme népérien l'unique primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ s'annulant en $1$, on la note $\ln$.
		
		\medskip
		Ainsi $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$, on a $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $\ln(1)=0$.
		
		\medskip
		\emph{L'objectif de cette question 2. est de démontrer des propriétés élémentaires du logarithme népérien, dont la plupart figurent au programme de Terminale. À ce stade, ces propriétés sont supposées ne pas encore avoir été établies. De même, la fonction exponentielle de base $\mathrm{e}$ n'est pas supposée avoir été introduite et ne pourra être utilisée.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que pour tout $(x,y)\in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$, on a $\ln(xy)=\ln(x)+ \ln(y)$.
			
			\emph{On pourra considérer, pour $y\in\mathbb{R}_+^*$ fixé, la fonction $ \varphi$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par} \[ \varphi(x)=\ln(xy)-\ln(x)-\ln(y). \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $y \in \mathbb{R}_+^*$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $\varphi$ est constante.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $x \mapsto \ln(x)$ est dérivable d'après l'énoncé, par construction,
				
				\item par composition avec la fonction affine $x \mapsto yx$, elle-même dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$, d'après ce qui précède, $x \mapsto \ln(xy)$ est dérivable sur$\mathbb{R}_+^*$,
				\item la fonction constante $x \mapsto -\ln(y)$ est dérivable,
				\item les combinaisons linéaires de fonctions dérivables sont dérivables (par passage à la limite dans les taux de variation),
			\end{enumerate} 
			
			donc $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$et pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$:
			
			\begin{align*}
				\varphi'(x) &= \frac{y}{xy}-\frac{1}{x}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			Puisque $\varphi'=0$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$, $\varphi$ est constante sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
			De plus $\varphi(1)=0$ donc $\varphi=0$.
			
			Nous avons démontré que
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $(x,y) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que, pour tout $x\in \mathbb{R}_+^*$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $\ln(x^n)=n \ln(x)$ et $\displaystyle \ln \left( \frac{1}{x} \right)=-\ln(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\ln(x^1)= 1 \ln(x)$. D'après la question précédente, $\ln(x^2)= \ln(x)+\ln(x)=2\ln(x)$ puis par une récurrence immédiate
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall n\in\mathbb{N}^*,\ \ln(x^n)=n\ln(x)$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item D'après la propriété démontrée en 2(a), pour $x \in \mathbb{R}_+^*$:
				
				\begin{align*}
					\ln\left( x \times \frac{1}{x} \right) &= \ln(x) + \ln\left( \frac{1}{x} \right)\\
					\intertext{ce qui équivaut à:}
					\ln(1) &= \ln(x) + \ln\left( \frac{1}{x} \right)\\
					-\ln\left( \frac{1}{x} \right) &= \ln(x)
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ \ln\left( \frac{1}{x} \right) =-\ln(x)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le but de cette question est de déterminer toutes les fonctions $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ telles que, pour tout $(x,y) \in \left( \mathbb{R}_+^*\right)^2$, on a $g(xy)=g(x)+g(y)$.
			
			Soit $g$ une telle fonction.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Déterminer $g(1)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Déterminons $g(1)$.}
				
				On a $g(1 \times 1)= g(1) + g(1)$ autrement dit $g(1)=2 g(1)$, $\mathbb{R}$ étant de caractéristique différente de $2$,
				
				\begin{conclusion}
					
					$g(1)=0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que, pour tout $(x,y) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$, on a $\displaystyle g'(xy)=\frac{g'(x)}{y}$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Soit $y \in \mathbb{R}_+^*$.
				
				\medskip
				\objectif{Montrons: $\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ g'(xy)=\frac{g'(x)}{y}$.}
				
				$g$ est dérivable donc, par composition, $x \mapsto g(xy)$ l'est également et, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
				
				\begin{align*}
					\frac{\mathrm{d}\ g(uy)}{\mathrm{d}\ u}_{|u=x} &= y g'(xy)
				\end{align*}
				
				d'où, en dérivant, par rapport à $x$, dans l'égalité $g(xy)=g(x)+g(y)$: \[ \forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ yg'(xy)=g'(x).\]
				
				Ainsi nous avons démontré que
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall (x,y) \in \left( \mathbb{R}_+^*\right)^2,\ g'(xy)= \frac{g'(x)}{y}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En déduire qu'il existe une constante $c\in\mathbb{R}$ telle que, pour tout $y\in \mathbb{R}_+^*$, on a $g'(y)=\dfrac{c}{y}$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				D'après ce qui précède: $\forall y \in \mathbb{R}_+^*,\ g'(y)=\frac{g'(1)}{y}$.
				
				Donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$\exists c \in \mathbb{R},\ g'(y)= \frac{c}{y}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Déterminer l'ensemble des fonctions $g$ dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ qui sont solutions de l'équation fonctionnelle $g(xy)=g(x)+g(y)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Déterminons l'ensemble des solutions.}
				
				Nous avons établi que si $g$ est dérivable et vérifie l'équation fonctionnelle alors, il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $g':x \mapsto \frac{c}{x}$.
				
				Puisque $g'$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$, et puisque $g(1)=0$ nous en déduisons que $g: x \mapsto \int_1^x \frac{c}{t}\ \mathrm{d}t$. Autrement dit, par linéarité de l'intégrale, $g=c \ln$.
				
				\medskip
				Réciproquement nous avons démontré en 2(a) que la fonction $\ln$ vérifie bien l'équation fonctionnelle (le cas $c=0$ ne pose pas de problème) donc
				
				\begin{conclusion}
					
					l'ensemble des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ solutions de l'équation $g(x+y)=g(x)+g(y)$ est $\left\{ c\ln\ | \ c \in\mathbb{R} \right\}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\ln'(x)=\frac{1}{x}$, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, donc $\ln'>0$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $A \in \mathbb{R}$. Après avoir vérifié qu'il existe $n$ dans $\mathbb{N}^*$ tel que $\displaystyle n \geqslant \frac{A}{\ln 2}$, démontrer que, pour tout nombre réel $x$ tel que $x \geqslant 2^n$, $\ln(x)\geqslant A$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\mathbb{R}$ est archimédien et $\ln(2)>\ln(1)=0$, car $\ln$ est strictement croissante, donc \[ \exists n\in \mathbb{N}^*,\ n \ln(2) \geqslant A \]
			
			Enfin puisque $\ln(2)>0$
			
			\begin{conclusion}
				
				$\exists n\in \mathbb{N}^*,\ n \geqslant \frac{A}{\ln(2)}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x\geqslant 2^n >0$.
			
			Par croissance du logarithme
			
			\begin{align*}
				\ln(x) &\geqslant \ln\left( 2^n \right)\\
				\intertext{D'après 2.(b):}
				\ln(x) &\geqslant n\ln\left( 2 \right)\\
				\intertext{Or  $n \geqslant \frac{A}{\ln(2)}$ donc}
				\ln(x) &\geqslant \frac{A}{\ln(2)} \ln(2)\\
				\ln(x) & \geqslant A
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in\mathbb{R},\ x \geqslant 2^n \Rightarrow \ln(x) \geqslant A$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliciter les limites de $\ln$ en $+\infty$ et $0^+$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Déterminons l'éventuelle limite de $\ln$ en $+\infty$.}
				
				Nous avons établi à la question précédente \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists \eta \in \mathbb{R},\ x\geqslant \eta \Rightarrow \ln(x)\geqslant A,\] où $\eta=2^n$.
				
				Autrement dit 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Déterminons l'éventuelle limite de $\ln$ en $0^+$.}
				
				D'après la question 2.(b), pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$: \[ \ln(x)= -\ln\left( \frac{1}{x} \right).\]
				
				Or \[ \frac{1}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}+\infty\] donc, par composition, d'après le point précédent \[ \ln\left( \frac{1}{x} \right) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}+\infty.\]
				
				Finalement
				
				\begin{conclusion}
					
					$\ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}-\infty$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\ln$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$.
				
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\ln$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$.}
			
			D'après 1.(c) $\ln$ est continue, d'après 2.(d) $\ln$ est strictement croissante donc, d'après le théorème de la bijection $\ln$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ vers $\left] \lim_{x \to 0^+} \ln(x), \lim_{x \to +\infty} \ln(x) \right[$.
			
			Enfin d'après la question 2.(f)
			
			\begin{conclusion}
				
				$\ln$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que pour tout $(a,b)\in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$, on a \[ \ln\left( \frac{a+b}{4} \right)= \frac{\ln a+\ln b}{2} \Leftrightarrow a^2+b^2=14ab. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(a,b)\in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons: $\ln\left( \frac{a+b}{4} \right)= \frac{\ln a+\ln b}{2} \Leftrightarrow a^2+b^2=14ab$.}
			
			\begin{align*}
				\ln\left( \frac{a+b}{4} \right) &= \frac{\ln a+\ln b}{2}\\
				\intertext{équivaut successivement à}
				2\ln\left( \frac{a+b}{4} \right)- \ln(a)-\ln(b) &=0\\
				\ln\left[ \left(  \frac{a+b}{4} \right)^2 \right] -\ln(a)-\ln(b) &= 0 \quad \text{d'après 2.(b)}\\
				\ln\left( \frac{(a+b)^2}{16ab} \right) &= 0 \quad \text{d'après 2.(a) et (b)}
				\intertext{Puisque $\ln$ est bijective (d'après 2.(g)) et puisque $\ln(1)=0$ par construction la précédente égalité équivaut encore succesivement à}
				\frac{(a+b)^2}{16ab} &= 1\\
				(a+b)^2 &= 16ab\\
				a^2+2ab+b^2 &= 16ab
			\end{align*}
			
			Nous avons démontré
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall (a,b) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2,\ \ln\left( \frac{a+b}{4} \right)= \frac{\ln a+\ln b}{2} \Leftrightarrow a^2+b^2=14ab$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Première équation fonctionnelle de Cauchy.}

\begin{sujet}
	
	On dit qu'une fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie sur $\mathbb{R}$ est additive sur $\mathbb{R}$ si, pour tous nombres réels $x$ et $y$, \[ f(x+y)=f(x)+f(y). \]
	
	On se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble des fonctions $f$ additives et continues sur $\mathbb{R}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Résultats préliminaires.}
		
		Soit $f$ une fonction définie et additive sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer $f(0)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f(0)$.}
			
			Par additivité:
			
			\begin{align*}
				f(0+0) &= f(0) +f(0)\\
				\intertext{Autrement dit}
				f(0) &= 2f(0)\\
				0 &= f(0)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(0)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Montrons que $f$ est impaire.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le domaine de définition de $f$, $\mathbb{R}$, est symétrique par rapport à $0$.
				
				\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				\begin{align*}
					f(x+(-x))=f(x)+f(-x) &\Leftrightarrow f(0)=f(x)+f(-x)\\
					\intertext{D'après la question précédente:}
					f(x+(-x))=f(x)+f(-x) &\Leftrightarrow 0=f(x)+f(-x)\\
					&\Leftrightarrow -f(x)= f(-x)
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est impaire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ et tout nombre réel $x$, $f(nx)=nf(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $\mathcal{P}(n)$: \og $\forall x \in \mathbb{R},\ f(nx)=nf(x)$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n$ que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				$f(0x)=f(0)=0$ et $0f(x)=0$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
				
				Supposons $\mathcal{P}(n)$ et démontrons $\mathcal{P}(n+1)$.
				
				Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				\begin{align*}
					f[(n+1)x] &= f(nx+x)\\
					\intertext{Par additivité}
					f[(n+1)x] &= f(nx)+f(x)\\
					\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence}
					f[(n+1)x] &= nf(x)+f(x)\\
					&= (n+1)f(x)
				\end{align*}
				
				Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
				
			\end{enumerate}
			
			Nous avons démontré par récurrence que:
			
			\begin{conclusion}
				
				 $\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in\mathbb{N},\ f(nx)=nf(x)$.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que pour tout nombre rationnel $r$ et tout nombre réel $x$ $f(rx)=rf(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $r$ un nombre rationnel.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $rf(x)=f(rx)$.}
			
			Puisque $r \in \mathbb{Q}$ il existe $(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ tel que $r=\frac{a}{b}$.
			
			$\frac{x}{b} \in \mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{N}^*$ donc, d'après la question précédente
			
			\begin{align*}
				bf\left( \frac{x}{b} \right) &= f\left( b\frac{x}{b} \right)\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à}
				bf\left( \frac{1}{b}x \right) &= f(x)\\
				\left( \frac{1}{b}x \right) &= \frac{1}{b} f(x)\\
				\intertext{Enfin, toujours d'après la question précédente, et puisque $a \in \mathbb{Z}$}
				f\left(a \frac{1}{b} x \right) &= a\frac{1}{b} f(x)\\
				\intertext{Finalement}
				f\left(\frac{a}{b}x \right) &= \frac{a}{b}f(x)
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall (r,x)\in\mathbb{Q} \times \mathbb{R},\ rf(x)=f(rx)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour tout nombre rationnel $r$, $f(r)=ar$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons: $\exists a \in \mathbb{R},\ \forall r \in \mathbb{Q},\ f(r)=rf(a)$.}
			
			Soit $r \in \mathbb{Q}$.
			
			D'après la question précédente: $f(r)= f(r \times 1)= r f(1)$.
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall r \in \mathbb{Q},\ f(r)=rf(1)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Première méthode.}
		
		Soit $f$ une fonction additive et continue sur $\mathbb{R}$.
		
		Déduire de la question 3. qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour tout nombre réel $x$ on a $f(x)=ax$. Conclure.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons: $\exists a\in \mathbb{R},\ \forall x \in\mathbb{R},\ f(x)=xa$.}
		
		Notons $a=f(1)$.
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ donc il existe une suite $(r_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ telle que $r_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} x$.
		
		D'après la question précédente \[ \forall n\in\mathbb{N},\ f(r_n)=r_nf(1).\]
		
		Or par linéarité du passage à la limite des suites convergentes d'une part \[ r_nf(1) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} xf(1),\] et d'autre part, par continuité de $f$, \[ \lim_{n\to+ \infty} f(r_n)= f(x), \] donc \[ f(x)=xf(1).\]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=xf(1)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		
		Donc les fonctions additives et continues sur $\mathbb{R}$ sont nécessairement des fonctions linéaires.
		
		La réciproque est immédiate.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les fonctions additives et continues sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions linéaires.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Seconde méthode.}
		
		Soit $f$ une fonction additive et continue sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Après avoir justifié l'existence de ces intégrales, démontrer que, pour tout nombre réel $x$: \[ f(x)=\int_0^{1} f(x+t)\ \mathrm{d}t - \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Les fonctions $t \mapsto f(t)$ et $t \mapsto f(t+x)$ sont continues sur le segment $[0;1]$ donc intégrables sur $[0;1]$.
				
				\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				\begin{align*}
					f(x) &= f(x) \int_0^1 \ \mathrm{d}t\\
					\intertext{Par linéarité}
					f(x) &= \int_0^1 f(x)\ \mathrm{d}t\\
					&= \int_0^1 f(x+t-t)\ \mathrm{d}t\\
					\intertext{Par additivité et imparité de $f$:}
					f(x) &= \int_0^1 f(x+t)-f(t)\ \mathrm{d}t\\
					\intertext{Par linéarité:}
					f(x) &= \int_0^1 f(x+t)\ \mathrm{d}t - \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)= \int_0^1 f(x+t)\ \mathrm{d}t - \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout nombre réel $x$: \[ f(x)=\int_x^{x+1} f(t)\ \mathrm{d}t - \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'égalité.}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			$\varphi:t \mapsto x+t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0;1]$ et $\varphi([0;1])=[x,x+1]$ donc
			
			\begin{align*}
				\int_0^1 f(x+t)\ \mathrm{d}t &= \int_{x}^{x+1} f(u) \ \mathrm{d}u
			\end{align*}
			
			Ainsi:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)= \int_x^{x+1}f(t) \ \mathrm{d}t -\int_0^1 f(t) \ \mathrm{d}t$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer $f'$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f'$.}
			
			$f$ étant continue, d'après le théorème fondamental de l'analyse et la question précédente, en notant $F$ une primitive de $f$, pour tout $x\in\mathbb{R}$, 
			
			\begin{align*}
				f(x) &= \left[ F(t) \right]_x^{x+1} - \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t\\
				&= F(x+1)-F(x) - \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t\\
				\intertext{Or par construction $x \mapsto F(x)$ et donc $x \mapsto F(x+1)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et}
				f'(x) &= f(x+1)-f(x)\\
				\intertext{Enfin par aditivité de $f$}
				f'(x) &= f(x)+f(1)-f(x)
			\end{align*}
			
			Ainsi 
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f':x \mapsto f(1)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $f'(x)=f(1)$, il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $x$ réel, $f(x)= f(1)x+\lambda$.
			
			En particulier: $f(1)=f(1) \times 1 +\lambda$ et donc $\lambda=0$.
			
			Donc les fonctions additives et continues sur $\mathbb{R}$ sont nécessairement des fonctions linéaires.
			
			La réciproque est immédiate.
			
			\begin{conclusion}
				
				Les fonctions additives et continues sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions linéaires.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
\end{enumerate}

\subsubsection{Restriction des hypothèses.}

\begin{sujet}
	
	On pourra, pour les questions suivantes, utiliser les résultats démontrés dans la question 3.
	
	L'objectif de cette partie est d'examiner l'effet sur la conclusion de la partie II de trois restrictions de l'hypothèse de continuité des fonctions additives sur $\mathbb{R}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{5}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Continuité en un point.}
		
		Soient un nombre réel $x_0$ et une fonction $f$ additive sur $\mathbb{R}$ continue en $x_0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f$ est continue en $0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $\varepsilon \in\mathbb{R}_+^*$.
			
			Puisque $f$ est continue en $x_0$, il existe $\eta \in \mathbb{R}_+^*$ tel que: $\forall h \in \mathbb{R},\ |h|<\eta \Rightarrow |f(x_0+h)-f(x_0) |<\varepsilon$.
			
			Soit $h\in \mathbb{R}$ tel que $|h|<\eta$.
			
			\begin{align*}
				|f(x_0+h)-f(x_0)| &< \varepsilon\\
				\intertext{équivaut successivement à:}
				|f(x_0)+f(h)-f(x_0)| &< \varepsilon\\
				|f(h)| &< \varepsilon\\
				|f(h)-f(0)| &< \varepsilon
			\end{align*}
			
			Ainsi: \[ \forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists \eta \in\mathbb{R}_+^*,\ |h|<\eta \Rightarrow |f(h+0)-f(0)|< \varepsilon.\]
			
			Autrement dit 
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est continue en $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $f$ est continue en $x$.}
			
			Soit $h \in\mathbb{R}_+^*$.
			
			$f(x+h)=f(x)+f(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow} f(x)+f(0)=f(x)$ puisque $f$ est continue en $0$ et que $f(0)=0$.
			
			Ainsi $f$ est continue en $x$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $f$ est additive $\mathbb{R}$ et continue en un point alors $f$ est continue partout et, d'après la partie II, $f$ est linéaire.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Monotonie.}
		
		Soit une fonction affine additive et monotone sur $\mathbb{R}$.
		
		Soit $x_0$ un nombre réel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier qu'il existe deux suites $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telles que:
						
			\begin{enumerate}
				\item pour tout entier naturel $n$, $(a_n,b_n) \in \mathbb{Q}^2$.
				
				\item $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
				
				\item $\lim_{n \to +\infty} a_n=\lim_{n \to +\infty} b_n=x_0$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions l'existence des suites en en exhibant.}
			
			Choisissons pour $a_n$ et $b_n$ les valeurs approchées de $x_0$, respectivement, par défaut et par excès de $x_0$ à $10^{-n}$ près.
			
			Autrement dit: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \left\{ \begin{array}{l} a_n=\frac{1}{10^n} \left\lfloor x_0 10^n \right\rfloor \\ \\ b_n=\frac{1}{10^n} \left\lceil x_0 10^n \right\rceil \end{array} \right. \]
			
			Il est aisé de vérifier que les trois critères sont vérifiés.
			
			\begin{conclusion}
				
				Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ existent bien.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f(x_0)=x_0f(1)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Supposons $f$ décroissante.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $f(x_0)=x_0f(1)$.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			Par construction des suites: $a_n \leqslant x_0 \leqslant b_n$.
			
			Puisque $f$ est décroissante \[ f(a_n)\geqslant f(x_0) \geqslant f(b_n). \]
			
			$a_n$ et $b_n$ étant rationnels, d'après 3.(d) \[ a_nf(1) \geqslant f(x_0) \geqslant b_nf(1). \]
			
			Ainsi \[ \forall n \in \mathbb{N},\ a_nf(1) \geqslant f(x_0) \geqslant b_nf(1). \]
			
			Comme $\lim_{n\in\mathbb{N}} a_n = \lim_{n\in\mathbb{N}} b_n=x_0$, d'après le théorème des gendarmes 
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x_0)=x_0f(1)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Le raisonnement serait le même si $f$ est croissante.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons établi que \[ \forall x_0 \in \mathbb{R},\ f(x_0)=x_0f(1), \] donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est une fonction linéaire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Encadrement.}
		
		Soient deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha< \beta$, et une fonction $f$ additive sur $\mathbb{R}$ et bornée sur $[\alpha,\beta]$.
		
		Soit $x$ un nombre réel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, il existe un nombre rationnel $r_n$ tel que $nx-r_n \in [\alpha,\beta]$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La réponse apparaît en raisonnant par analyse-synthèse.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons qu'il existe $r_n \in \mathbb{Q},\ nx-r_n \in [\alpha,\beta ]$.}
			
			$\alpha<\beta$ donc \[ nx-\beta < nx-\alpha\]
			
			Puisque $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ il existe $r_n \in\mathbb{Q}$ tel que \[r_n \in [ nx-\beta ; nx-\alpha] \]
			
			Autrement dit \[ \left\{ \begin{array}{l} nx-\beta \leqslant r_n \\ r_n \leqslant nx-\alpha\end{array} \right.\]
			
			Ce qui équivaut à \[ \left\{ \begin{array}{l} nx-r_n \leqslant \beta \\ \alpha \leqslant nx-r_n \end{array} \right. \]
			
			Nous avons démontré que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists r_n \in \mathbb{Q},\ \alpha \leqslant nx-r_n \leqslant \beta$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On pose $f(1)=a$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$: \[ \left| f(nx-r_n) \right| \geqslant n \left| f(x)-ax \right| -|a| |nx-r_n|. \]
			 
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons l'inégalité proposée.}
			
			\begin{align*}
				\intertext{Par additivité}
				f(nx-r_n) &= f(nx)-f(r_n)\\
				\intertext{D'après la question 3.(d) }
				f(nx-r_n) &= nf(x)-r_nf(1)\\
				&= nf(x)-nax+nax-r_nf(1)\\
				&= n\left( f(x)-ax \right) +a \left( nx-r_n \right)\\
				\intertext{D'après l'inégalité triangulaire inversée:}
				|f(nx-r_n)| &\geqslant \left| n\left( f(x)-ax \right) \right| - \left|  a \left( nx-r_n \right) \right|\\
				&\geqslant n \left| f(x)-ax \right| -|a||nx-r_n|
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ |f(nx-r_n)| \geqslant n \left| f(x)-ax \right| -|a||nx-r_n|$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $f(x)=ax$.}
			
			D'après la question précédente, pour tout $n\in\mathbb{N}$ \[ n \left| f(x)-ax \right| \leqslant |f(nx-r_n)| +|a||nx-r_n|. \]
			
			$nx-r_n \in [\alpha,\beta]$ et $f$ est bornée sur $[\alpha,\beta]$ donc il existe $M \in \mathbb{R}_+$ tel que \[ |f(nx-r_n)| +|a||nx-r_n| \leqslant M. \]
			
			Ainsi \[ \forall n \in \mathbb{N},\  n \left| f(x)-ax \right| \leqslant M. \]
			
			$\mathbb{R}$ étant archimédien, nécessairement $f(x)-ax=0$.
			
			Autrement dit on a démontré dans cette question 8 que \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=ax. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				si $f$ est additive et bornée sur un segment non trivial alors $f$ est linéaire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{D'autres équations fonctionnelles.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Deuxième équation fonctionnelle de Cauchy.}
		
		On se propose de déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continues sur $\mathbb{R}$ telles que \[ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ f(x+y)=f(x) \times f(y). \]
		
		Soit $f$ une telle fonction.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f(0)=1$ ou que $f$ est la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f(0)$.}
			
			En utilisant l'équation fonctionnelle
			
			\begin{align*}
				f(0) &= f(0)^2\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à}
				f(0)\left( 1-f(0) \right) &= 0\\
				f(0)=0 \quad &\text{ou} \quad f(0)=1
			\end{align*}
			
			De plus si $f(0)=0$ alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$
			
			\begin{align*}
				f(x) &= f(x+0)\\
				&= f(x) \times f(0)\\
				&= f(x) \times 0\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(0)=1$ ou $f=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose maintenant que $f$ n'est pas la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f(x)>0$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Démontrons: $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)>0$.}
				
				Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				\begin{align*}
					f(x) &= f\left( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right)\\
					&= f\left( \frac{x}{2} \right) \times f\left( \frac{x}{2} \right)\\
					&= \left[f\left( \frac{x}{2} \right)\right]^2
				\end{align*}
				
				Donc: $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)\geqslant 0$.
				
				De plus si $f$ s'annule en un point $a$ alors $f$ est identiquement nulle (si $a\ne 0$ alors $f(x)=f(a)f\left( \frac{x}{a} \right)=0$). Puisque nous supposons $f$ non identiquement nulle
				
				\begin{conclusion}
					
					$f>0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Pour tout nombre réel $x$, on pose $g(x)=\ln \left( f(x) \right)$. Démontrer que, pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, on a $g(x+y)=g(x)+g(y)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Démontrons que, pour tous $x$ et $y$ réels, $g(x+y)=g(x)+g(y)$.}
				
				Soit $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.
				
				\begin{align*}
					g(x+y) &= \ln \left( f(x+y) \right)\\
					&= \ln\left( f(x) \times f(y) \right)\\
					&= \ln\left( f(x) \right) + \ln\left( f(y) \right)\\
					&= g(x)+ g(y)
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ g(x+y)=g(x)+g(y)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En déduire qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour tout nombre réel $x$, $f(x)=\exp(ax)$ (où $\exp$ désigne la fonction exponentielle réciproque de la fonction logarithme népérien étudiée dans la partie I) et conclure.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Déterminons $f$.}
				
				\begin{enumerate}
					\item D'après la question précédente $g$ est additive.
					
					\item $f$ est $\ln$ étant continues $g$ l'est aussi.
				\end{enumerate}
				
				Des points précédents nous déduisons grâce au 5.(d) que $g$ est la fonction affine $g:x \mapsto g(1)x$.
				
				Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				De \[ \ln\circ f (x)= g(1)x,\] nous déduisons \[ \exp\circ \ln \circ f(x)=\exp(g(1)x).\]
				
				Autrement dit: 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=\exp\left( \ln\circ f(1)x \right)$.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				
				Il est clair que réciproquement une telle fonction vérifie l'équation fonctionnelle de Cauchy.
				
				\begin{conclusion}
					
					L'ensemble des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ solutions de la deuxième équation fonctionnelle de Cauchy est $\{ x\mapsto \exp(ax)\ | \ a \in\mathbb{R} \}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Équation fonctionnelle de Jensen.}
		
		On se propose de déterminer l'ensemble des fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continues sur $\mathbb{R}$ telles que \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ f \left( \frac{x+y}{2} \right) =\frac{f(x)+f(y)}{2}. \]
		
		Soit $f$ une telle fonction.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer la propriété vérifiée par les fonctions qui satisfont l'équation fonctionnelle de Jensen, à l'aide d'une phrase faisant intervenir la notion de \emph{moyenne}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'image de la moyenne de deux nombres est la moyenne des images de ces nombres.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que \[ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'identité proposée.}
			
			Soit $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.
			
			\begin{align*}
				f(x) &= f\left(\frac{x+0}{2}\right)\\
				f(x) &= \frac{f(x)+f(0)}{2} \quad (E_1)\\
				\intertext{De même:}
				f(y) &= \frac{f(y)+f(0)}{2}\quad (E_2)\\
				\intertext{En sommant membre à membre $(E_1)$ et $(E_2)$:}
				f(x)+f(y) &= \frac{f(x)+f(y)}{2}+f(0)\\
				f(x)+f(y) &= f\left( \frac{x+y}{2} \right)+f(0)				
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ f(x)+f(y)-f(0)=f(x+y)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On pose $f(0) = b$. Pour tout nombre réel $x$, on pose $g(x)=f(x)-b$.
			
			Déterminer l'équation fonctionnelle vérifiée par $g$ et résoudre l'équation fonctionnelle de Jensen.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'équation fonctionnelle vérifiée par $g$.}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				& f(x)+f(y)-f(0)=f(x+y)\\
				&\Leftrightarrow f(x)-b+f(y)-b=f(x+y)-b\\
				&\Leftrightarrow g(x)+g(y)=g(x+y)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ g(x+y)=g(x)+g(y)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Puisque $g$, comme $f$, est continue et est additive, $g$ est linéaire: \[ \exists a \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ g(x)=ax.\]
			
			Donc \[ \exists a\in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x)= ax+f(0). \]
			
			Réciproquement toute fonction linéaire est solution de l'équation fonctionnelle de Jensen donc
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation fonctionnelle de Jensen est l'ensemble des fonctions affines définies sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se propose de déterminer l'ensemble des fonctions $f: \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ continues sur $\mathbb{R}_+^*$ telles que \[ \forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ f(x) =f \left( \frac{x^2+16}{2x} \right). \]
		
		Soit $f$ une telle fonction.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère les fonctions \[ \begin{array}{rccl} g: &\mathbb{R}_+^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \dfrac{x^2+16}{2x} \end{array}. \] et \[ \begin{array}{rccl} h: &\mathbb{R}_+^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & g(x)-x \end{array}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Dresser le tableau de variations de $g$, déterminer $g(4)$ et préciser les limites de $g$ en $0^+$ et en $+\infty$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Étudions $g$.}
				
				\begin{enumerate}[*]
					\item $g(4)=4$.
					
					\item $g(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2}x \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
					
					\item $g(x) \underset{\begin{subarray}{c}x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\sim} \frac{4}{x} \underset{\begin{subarray}{c}x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty$.
					
					\item $g$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}_+^*$ donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
					
					Pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$:
					
					\begin{align*}
						g'(x) &= \frac{2x \times 2x-(x^2+16) \times 2}{(2x)^2}\\
						&= \frac{x^2-16}{2x^2}\\
						&= \frac{(x-4)(x+4)}{2x^2}
					\end{align*}
					
				\end{enumerate}
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
					{$0$ ,$4$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{d,-,t,+,}%
					\tkzTabVar { -D+ / / $+\infty$, -/ $4$ , + / $+\infty$ / }
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Étudier le signe de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Étudions le signe de $h$.}
				
				Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
				
				\begin{align*}
					h(x) &= \frac{(4-x)(4+x)}{2x}
				\end{align*}
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
					{$0$ ,$4$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{d,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Soient $x \in [4;+\infty[$ et la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=x$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+16}{2u_n}$.
				
				À l'aide de la question (a), démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et déterminer sa limite.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				D'après la question 11.(a).ii, puisque $u_0=x\geqslant 4$, $h(u_0)\leqslant 0$.
				
				Autrement dit $u_0\geqslant u_1$.
				
				\medskip
				Puisque $g$ est croissante sur $[4,+\infty[$ il est alors aisé de démontré par récurrence que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
				
				\medskip
				Puisque par construction, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geqslant 4$, la suite est minorée par $4$.
				
				\medskip
				Ainsi $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante et minorée donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				De plus, $g$ étant continue, la limite $\ell$ de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie $g(\ell)=\ell$.
				
				D'après la question 11.(a).ii $g$ n'admet qu'un point fixe à savoir $4$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 4$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En déduire que, pour tout $x \in [4;+\infty[$, on a $f(x)=f(4)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Soit $x \in [4,+\infty[$.
				
				$f(x)=f(u_0)=f(g(u_0))=f(u_1)$
				
				Par une récurrence évidente: $\forall n \in \mathbb{N},\ f(x)=f(u_n)$.
				
				Puis, $f$ étant continue, en passant à la limite $f(x)=f(4)$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall x \in [4,+\infty[,\ f(x)=f(4)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Procéder de manière analogue à la question (b) pour démonter que, pour tout $x$ appartenant à $]0;4[$, on a $f(x)=f(4)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $x \in ]0;4[$ alors $u_1=g(x) \in ]4,+\infty[$ et donc on peut construire une suite semblable à la précédente de sorte que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $4$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in ]0;4[,\ f(x)=f(4)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Des questions précédents nous déduisons que l'ensemble des fonctions recherchées est l'ensemble des fonctions constantes sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}