%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\Roman{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique 2022 épreuve 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique 2022 épreuve 1.}


\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2022_maths/capes_externe_2022_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2022_maths/capes_externe_2022_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}


\begin{sujet}
	
	Durée: 5 heures.
	
	\medskip
	L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
	
	L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
	
	\medskip
	Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
	
\end{sujet}

\subsection{Problème \no 1: vrai-faux.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Ensembles de nombres.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tout entier relatif non nul possède un inverse dans $\mathbb{Z}$ pour la multiplication.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il s'agit de démontrer qu'une propriété universelle est fausse: il suffit d'exhiber un contre-exemple.}
		
		\medskip
		L'inverse de $2$, $\frac{1}{2}$, n'est pas un entier (fraction irréductible).
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il faut ici démontrer que la propriété universelle est vraie. Donc dans tous les cas.}
		
		\medskip
		Soient $x$ et $y$ deux nombres décimaux. 
		
		Il existe donc $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ et $(n,m)\in\mathbb{N}^2$ tels que $x=\frac{a}{10^n}$ et $y=\frac{b}{10^m}$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			x+y &= \frac{a}{10^n} + \frac{b}{10^m}\\
			&= \frac{a \times 10^{m} + b \times 10^{n}}{10^n \times 10^m}\\
			&= \frac{a \times 10^{m} + b \times 10^{n}}{10^{n+m}}
		\end{align*}
		
		Comme $a \times 10^{m} + b \times 10^{n} \in \mathbb{Z}$ et $n+m \in \mathbb{N}$, $x+y$ est bien décimal.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal en raisonnant par l'absurde.}
		
		
		Supposons que $\frac{1}{3}$ est décimal.
		
		Autrement dit: $\exists (a,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N},\ \frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$.
		
		Nous en déduisons {\color{orange}(produit en croix)}:
		
		\begin{align*}
			10^n &= 3a
		\end{align*}
		
		Or les diviseurs premiers de $10$ sont $2$ et $5$ donc $10^n$ n'est pas divisible par $3$ ce qui est contradictoire avec la précédente égalité.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$\sqrt{5}$ est un nombre irrationnel.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel.}
		
		Supposons que $\sqrt{5} \in \mathbb{Q}$.
		
		Autrement dit il existe $a$ et $b$ des entiers naturels premiers entre eux tels que: $\sqrt{5}=\frac{a}{b}$.
		
		Nous en déduisons: $5b^2=a^2$. Donc $5 |a^2$ et enfin $5|a$.
		
		Ainsi: $\exists a' \in\mathbb{N},\ a=5a'$.
		
		Donc: 
		
		\begin{align*}
			5b^2 &= 5^2a'^2\\
			b^2 &= 5a'^2
		\end{align*}
		
		Puis $5|b^2$ et donc $5|b$.
		
		\medskip
		Chemin faisant nous avons établi que $a$ et $b$ sont divisibles par $5$. 
		
		Ceci contredit le fait que $a$ et $b$ aient été choisis premiers entre eux.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, $\sqrt{n}$ est un nombre irrationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip 
		En effet: $\sqrt{0}=0 \not\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En effet: $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont irrationnels et pourtant $\sqrt{2} + \left( -\sqrt{2} \right)=0 \in \mathbb{Q}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La somme d'un rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Soient $x \in\mathbb{Q}$ et $y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $x+y$ est irrationnel en raisonnant par l'absurde.}
		
		Supposons que $x+y \in \mathbb{Q}$.
		
		$x \in \mathbb{Q}$ donc: $\exists (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*,\ x=\frac{a}{b}$.
		
		$x+y \in \mathbb{Q}$ donc: $\exists (c,d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*,\ x+y=\frac{c}{d}$.
		
		Ainsi
		
		\begin{align*}
			\frac{a}{b} + y &= \frac{c}{d}\\
			y &= \frac{c}{d} - \frac{a}{b}\\
			y &= \frac{cb-ad}{bd}
		\end{align*}
		
		Puisque $cb-ad \in\mathbb{Z}$ et $bd \in \mathbb{N}^*$, $\frac{cb-ad}{bd} \in\mathbb{Q}$. Autrement dit $y \in \mathbb{Q}$.
		
		Ceci contredit le fait que $y$ est irrationnel.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré en raisonnant par l'absurde que $x+y$ est irrationnel.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Géométrie dans le plan.}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{7}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un plan muni d'un repère cartésien, $2x=3$ est l'équation d'une droite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Le niveau des questions étant élémentaire j'ai du mal à voir une justification élémentaire convenant.}
		
		\medskip
		Il s'agit d'une droite perpendiculaire à l'axe des abscisses et passant par les points d'abscisses $\frac{3}{2}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1,1)$, $B(-1,2)$, $C(1,-1)$, $D(4,5)$.
		
		Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$(AB) \parallel (CD)$ si et seulement si le produit scalaire (euclidien usuel dans un repère orthonormé du plan) de leurs vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ est nul.
		
		Or d'une part $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1-1 \\ 2-1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et d'autre part $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ donc
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} &= -2 \times 3 + 1 \times \\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Donc $(AB) \parallel (CD)$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un plan euclidien, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=3$ et $AC=4$. Soit le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AB}$. Alors $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}= 20$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} &= \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \right) \overrightarrow{AC}\\
			&= \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\\
			\intertext{Si les produit scalaire et normes sont ceux usuels dans le plan:}
			\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} &= \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AC} \|^2+ 0\\
			&= \frac{1}{2} \times 4^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}=8$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Géométrie dans l'espace.}

\begin{sujet}
	
	On se place dans l'espace, muni d'un repère cartésien.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{10}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si deux droites $D$ et $D'$ sont parallèles à un même plan $P$, alors $D$ est parallèle à $D'$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Exhibons un contre-exemple.}
		
		Soient $(\vec{i}, \vec{j} )$ une base du plan vectoriel directeur de $P$ et $A \in P$.
		
		Notons $D$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{i}$, $D'$ celle passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{j}$.
		
		Par construction $D\subset P$ et $D' \subset P$ donc en particulier $D$ et $D'$ sont parallèles à $P$.
			
		Par contre $(\vec{i},\vec{j})$ est libre puisque c'est une base. Autrement dit $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ne sont pas colinéaires. Et par conséquent $D$ et $D'$ sont sécantes et non pas parallèles.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$2x+3y=3$ est l'équation d'une droite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$A(0,1,1)$, $B(0,1,2)$ et $C\left( \frac{3}{2},0,2 \right)$ appartiennent à l'ensemble des points dont les coordonnées sont solutions de l'équation proposée.
		
		Or $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ne sont clairement pas colinéaires {\color{orange} par exemple $\begin{vmatrix} 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=0$} donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.		
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La droite $\Delta$ définie par le système d'équations $\left\{ \begin{array}{l}
		x+2y+z=2\\
		x+y-z=0 
		\end{array} \right.$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			passe par le point $A$ de coordonnées $(1,0,1)$,
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Assertion vraie.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			D'une part: $1+2 \times 0 +1=2$ et d'autre part: $1+0-1=0$ donc $A \in \Delta$.
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			a comme vecteur directeur le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'assertion est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\vec{u}$ n'est pas un vecteur directeur de $\Delta$.}
			
			Supposons que $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
			
			Remarquons que $\Delta$ est l'intersection des plans $P_1:\ x+2y+z=2$ et $P_2:\ x+y-z=0$.
			
			Notons $\vec{v} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}$.
			
			$\vec{u} \cdot \vec{v}=2$ est l'équation du plan $P_1$. Donc $\vec{u} $ est orthogonal à $P_1$. Donc $\Delta$ est orthogonale à $P_1$ ce qui contredit le fait que $\Delta \subset P_1$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			est contenue dans le plan $P$ d'équation $3x+4y-z=2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'assertion est vraie.
				
			\end{conclusion}
		
		\medskip
			Soit $M(x,y,z) \in \Delta$.
			
			On a donc:
			
			\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
			x+2y+z=2 & & L_1\\
			x+y-z=0 & & L_2
			\end{array} \right. \]
			
			En faisant $L_1+2L_2$ on obtient \[ 3x +4y-z=2. \]
			
			Autrement dit si $M\in \Delta$ alors $M \in P$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\Delta \subset P$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Matrices.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{13}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les matrices $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ont le même rang.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Dans  $\mathbb{R}^2$ le vecteur $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ est non nul et clairement lié à lui même donc la famille $\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ a un rang de $1$.
		
		De même $\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix} \right\}$ a un rang de $1$.		
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les matrices $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ sont semblables.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Deux matrices semblables ont nécessairement la même trace ce qui n'est pas le cas ici.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La matrice  $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Notons $M$ la matrice proposée.
		
		$\chi_M(\lambda)=\det(M-\lambda I_2)=\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2$ donc $1$ est la seule valeur propre et sa multiplicité est $2$.
		
		$M-I_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est clairement de rang $1$. Par conséquent, d'après le théorème du rang, l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ canoniquement associé à $M-I_2$ a un noyau de dimension $1$. Autrement dit, le sous-espace propre associé à la valeur propre de $1$ de $M$ est de dimension $1$.
		
		Puisque cette dimension n'égale pas la multiplicité de la valeur propre, $M$ n'est pas diagonalisable.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La matrice  $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Notons $M$ la matrice proposée.
		
		$\chi_M(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)$. Ce polynôme caractéristique étant scindé simple dans $\mathbb{R}$, $M$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}$.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Suites.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\left(u_n \right)_{n}$ une suite de nombres réels.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{17}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si elle est décroissante et minorée par $0$ alors elle converge vers $0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		La suite $\left( 1+ \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante minorée par $0$ est pourtant elle converge vers $1$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si $(u_{2n})_{n}$ et $(u_{2n+1})_{n}$ convergent alors $(u_n)_{n}$ converge.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Il faudrait que les deux suites extraites aient la même limite.
		
		\medskip
		Soit, pour tout $n \in \mathbb{N}^*,\ u_n =\left\{ \begin{array}{l} 0\ \text{si}\ n \equiv 0 \pmod 2\\ 1\ \text{sinon} \end{array} \right.$
		
		$(u_{2n})_{n}$ et $(u_{2n+1})_{n}$ convergent alors que $(u_n)_{n}$ diverge.
		
	\end{correction} 
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Probabilités.}

\begin{sujet}
	
	Un élève répond au hasard aux cinq questions d'un questionnaire de type \og VRAI -FAUX \fg{}.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{19}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La probabilité qu'il ait cinq réponses correctes est égale à $\dfrac{1}{32}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En notant $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonne réponses, il est raisonnable de modéliser par une loi binomiale la situation décrite: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left(5, \frac{1}{2} \right)$.
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X=5) &= \binom{5}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^5 \left( \frac{1}{2} \right)^0\\
			&= \frac{1}{2^5}\\
			&= \frac{1}{32}
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La probabilité qu'il ait exactement trois réponses correctes est égale à $\dfrac{10}{32}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		De même:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X=3) &= \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^2\\
			&= \frac{5!}{3!2!}\cdot \frac{1}{2^3} \cdot  \frac{1}{2^2}\\
			&= \frac{5 \times 4}{2} \cdot \frac{1}{2^5}\\
			&= \frac{10}{32}
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse aucun. La note moyenne à laquelle il peut prétendre est $2,5$ sur $5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Avec les notations des questions précédentes, puisque  $X\hookrightarrow \mathscr{B}\left( 5 , \frac{1}{2} \right)$:
		$\mathbb{E}(X)=5 \times \frac{1}{2} = 2,5$.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Arithmétique.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{22}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si trois nombres entiers relatifs $a$, $b$, $c$ sont tels que $a$ et $b$ divisent $c$, alors $ab$ divise $c$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Avec $a=4$, $b=6$ et $c=12$, on a $a|c$, $b|c$ et pourtant $ab \not| c$ car $0\leqslant c <ab$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si trois nombres entiers relatifs $a$, $b$, $c$ sont tels que $a$ divise $b$ et $c$, alors $bc$ est un multiple de $a$.
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$a$ divise $b$ donc: $\exists d\in\mathbb{Z},\ b=ad$.
		
		Donc: $bc=adc$, et par conséquent $bc$ est un multiple de $a$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$19x \equiv 3\ [53]$ admet des solutions dans $\mathbb{Z}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'assertion est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$19\wedge 53=1$ donc, d'après le théorème de Bézout, il existe $(p,n)\in\mathbb{Z}^2$ tel que $19p+53n=1$.
		
		Donc: $19 \times (3p)+ 53 \times (3n) =3$.
		
		Ainsi $3p$ est solution de $19x\equiv 3\ [53]$.
		
		Il est immédiat alors que $19 \times (3x-53)+ 53 \times (3x+19)=3$ donc $3x-53$ est aussi une solution de $19x\equiv 3\ [53]$ distincte de $3x$.
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\subsection{Problème \no 2: convexité.}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Notations.}
	
	$\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels.
	
	$\mathbb{N}^*$ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
	
	$\mathbb{Q}$ désigne l'ensemble des nombres rationnels.
	
	$\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.
	
	$\mathbb{R}_+$ désigne l'ensemble des nombres réels positifs.
	
	$\mathbb{R}_+^*$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
	
	\medskip
	Dans ce sujet $I$ et $J$ désignent des intervalles de $\mathbb{R}$, non vides et non réduits à un point.
	
	\medskip
	Soit $f$ une fonction, à valeurs dans $\mathbb{R}$, définie sur $I$.
	
	On rappelle que $f$ est dite \underline{convexe} sur $I$ si \[ \forall (x,y)\in I^2,\ \forall \lambda \in [0;1],\ f(\lambda x+(1-\lambda)y ) \leqslant \lambda f(x) +(1-\lambda) f(y).\] 
	
	\begin{center}\emph{Inégalité de convexité} $(\star)$.\end{center}
	
	\medskip
	On dit que $f$ est \underline{concave} sur $I$ si $-f$ est convexe sur $I$.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Préliminaires.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction, à valeurs dans $\mathbb{R}$, définie sur $I$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est croissante sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x)\leqslant f(y)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est n'est pas croissante sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En notant $\wedge$ le connecteur logique \og et \fg{}:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exists (x,y)\in I^2,\ \left[ x<y \right] \wedge \left[ f(x)> f(y) \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est une fonction affine sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En utilisant la caractérisation avec le taux d'accroissement) (taux de variation):
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exists m \in \mathbb{R},\ \forall (x,y)\in I^2,\ x \ne y \Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=m$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Traduire à l'aide de quantificateurs que $f$ est continue en un point $a$ de $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+,\ \exists \eta \in \mathbb{R}_+,\ \forall (x,y) \in I^2,\ |x-y|<\eta  \Rightarrow  |f(x)-f(y) <\varepsilon$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Quelques propriétés et exemples.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrire une inégalité, analogue à $(\star)$, caractérisant une fonction concave sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f$ est concave sur $I$ si et seulement si: \[ \forall (x,y)\in I^2,\ \forall \lambda \in [0;1],\ -f(\lambda x+(1-\lambda)y ) \leqslant -\lambda f(x) -(1-\lambda) f(y).\]
		
		Ce qui équivaut à
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall (x,y)\in I^2,\ \forall \lambda \in [0;1],\ f(\lambda x+(1-\lambda)y) \geqslant \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Caractérisation graphique de la convexité.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $(x,y) \in I^2$ tel que $x<y$. Démontrer que $z \in [x;y]$ si et seulement si il existe $\lambda \in [0;1]$ tel que $z=\lambda x + (1-\lambda)y$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Démontrons l'existence et l'unicité de l'écriture proposée pour $z$.}
			
			Considérons $\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R}\\ \nu & \mapsto & (x-y)\nu +y \end{array} \right.$ qui est une fonction affine strictement décroissante donc bijective de $[0;1]$ sur $\varphi\left( [0;1] \right)$.
			
			Comme $\varphi$ est strictement décroissante et continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $\varphi\left( [0;1] \right)= [\varphi(1);\varphi(0)]$.
			
			Ainsi $\tilde{\varphi} :\left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & [x;y]\\ \nu & \mapsto & (x-y)\nu +y \end{array} \right.$ est une bijection.
			
			Nous en déduisons que
			
			\begin{conclusion}
				
				$z \in [x,y]$ si et seulement si il existe un unique $\lambda \in[0;1]$ tel que $z=\lambda x + (1-\lambda)y$.
				
			\end{conclusion}
			
			\bigskip
			\objectif{Démontrons l'équivalence par double implication.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Supposons que $z \in [x;y]$.
				
				\begin{align*}
					z &= \frac{y-x}{y-x}(z-x)+x\\
					&= \frac{z-x}{y-x}y-\frac{z-x}{y-x}x+x\\
					\intertext{En posant $\mu=\frac{z-x}{y-x}$:}
					z &= \mu y+(1-\mu)x
				\end{align*}
				Or
				
				\begin{align*}
					x &\leqslant z \leqslant y\\
					0 &\leqslant z-x \leqslant y-x\\
					0 &\leqslant \frac{z-x}{y-x} \leqslant 1
				\end{align*}
				
				donc, notant $\lambda=1-\mu$ nous avons bien: $z=\lambda x + (1-\lambda)y$ avec $\lambda \in [0;1]$.
				
				\item Supposons maintenant qu'il existe $\lambda \in[0;1]$ tel que $z=\lambda x+(1-\lambda )y$.
				
				$\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R}\\ \nu & \mapsto & (x-y)\nu +y \end{array} \right.$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est négatif donc elle est décroissante sur $[0;1]$.
				
				Par conséquent: $\forall \nu \in [0;1],\ \varphi(0) \geqslant \varphi(\nu) \geqslant \varphi(1)$.
				
				Autrement dit: $\forall \nu \in [0;1],\ y \geqslant (x-y)\nu +y \geqslant x$.
				
				En particulier: $y \geqslant (x-y)\lambda +y \geqslant x$.
				
				Où encore: 
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré par double implication que $z \in[x;y]$ si et seulement si $\exists \lambda \in [0;1],\ z=\lambda x +(1-\lambda )y$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sans démonstration, illustrer l'inégalité de convexité $(\star)$ par une figure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{3.5};
				\def\yZ{9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:3] plot(\x,{\x*\x});
				\draw [orange] (-1,1) -- (3,9);
				\draw [green, dashed] (-1,0) -- (-1,1);
				\draw (-1,0) node [below] {$x$};
				\draw [green, dashed] (3,0) -- (3,9);
				\draw (3,0) node [below] {$y$};
				\draw [green, dashed] (2,-1) -- (2,7);
				\draw (2,-1) node [below] {$z=\lambda x+(1-\lambda)y$};
				\draw [red, dashed] (2,4) -- (-3.5,4);
				\draw (-4,4) node [left] {$f \left( \lambda x+(1-\lambda)y \right)$};
				\draw [red, dashed] (2,7) -- (-3.5,7);
				\draw (-4,7) node [left] {$ \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y )$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Opérations et convexité.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $f$ et $g$ des fonctions convexes sur $I$. Démontrer que $f+g$ est convexe sur $I$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(x,y,\lambda) \in I^2\times [0,1]$.
			
			Par convexité de $f$ et de $g$: \[ \left\{ \begin{array}{l} f(\lambda x +(1-\lambda)y) \leqslant \lambda f(x) +(1-\lambda) f(y) \\ g(\lambda x +(1-\lambda)y) \leqslant \lambda g(x) +(1-\lambda) g(y) \end{array} \right.\]
			
			En sommant terme à terme les deux inégalités:
			
			\begin{align*}
				f(\lambda x +(1-\lambda)y)+g(\lambda x +(1-\lambda)y) &\leqslant \lambda f(x) +(1-\lambda) f(y) +\\
				&\quad \lambda g(x) +(1-\lambda) g(y)\\
				[f+g] (\lambda x+(1-\lambda)y) &\leqslant \lambda \left[ f(x) + g(x) \right] +\\
				&\quad (1-\lambda) \left[ f(y)+g(y) \right]\\
				[f+g](\lambda x + (1-\lambda)y) &\leqslant \lambda [f+g](x)+ (1- \lambda)[f+g](y)
			\end{align*}
			
			L'inégalité de convexité est vérifiée pour tout $(x,y,\lambda)\in I^2 \times [0,1]$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$f+g$ est convexe sur $I$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $f$ une fonction convexe sur $I$	à valeurs dans $J$ et $g$ une fonction convexe et croissante sur $J$. Démontrer que $g \circ f$ est convexe sur $I$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(x,y,\lambda) \in I^2\times [0,1]$.
			
			$f$ étant convexe:
			
			\begin{align*}
				f(\lambda x+(1-\lambda)y) &\leqslant \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)\\
				\intertext{$g$ étant croissante:}
				g\left[ f(\lambda x+(1-\lambda)y) \right] &\leqslant g\left[ \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y) \right]\\
				\intertext{$g$ étant convexe:}
				g \circ f(\lambda x+(1-\lambda )y) &\leqslant \lambda g\left[f(x) \right] + (1-\lambda ) g \left[ f(y) \right]\\
				g \circ f(\lambda x+(1-\lambda )y) &\leqslant \lambda g\circ f(x) + (1-\lambda ) g \circ f(y)\\
			\end{align*}
			
			Autrement dit:
			
			\begin{conclusion}
				
				$g\circ f$ est convexe sur $I$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sans démonstration, énoncer une propriété du même type qui permettrait de conclure que $g \circ f$ est concave.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $f$ est concave sur $I$ à valeurs dans $J$ et $g$ est concave et croissante sur $J$, alors $g\circ f$ est concave sur $I$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Quelques exemples.}
		
		\emph{L'étude des exemples qui suivent prendra appui sur la définition de la convexité et sur les résultats précédemment démontrés.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la fonction valeur absolue est convexe sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(x,y,\lambda) \in \mathbb{R}^2 \times [0,1]$.
			
			D'après l'inégalité triangulaire:
			
			\begin{align*}
				|\lambda x+ (1- \lambda )y | &\leqslant |\lambda x | + |(1-\lambda)y |\\
				&\leqslant |\lambda| \cdot |x| + |1-\lambda| \cdot |y|\\
				&\leqslant \lambda |x|+(1-\lambda)|y|
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La fonction valeur absolue est convexe sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la fonction $x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(x,y,\lambda) \in \mathbb{R}^2 \times [0,1]$.
			
			\begin{align*}
				\left( \lambda x +(1-\lambda)y \right)^2 &\leqslant \lambda x^2 +(1-\lambda)y^2
			\end{align*}
			
			équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				0 &\leqslant \lambda x^2 +(1-\lambda)y^2 -\left( \lambda x +(1-\lambda)y \right)^2\\
				0 &\leqslant \lambda x^2 -\lambda^2 x^2 + (1-\lambda)y^2-(1-\lambda)^2 y^2 -2\lambda(1-\lambda)xy\\
				0 &\leqslant \lambda(1-\lambda)x^2 + \lambda (1-\lambda)y^2 -2\lambda (1-\lambda)xy \\
				0 &\leqslant x^2+y^2-2xy, \ \text{car}\ \lambda (1-\lambda)\geqslant 0\\
				0 &\leqslant (x-y)^2
			\end{align*}
			
			Nous avons raisonné par équivalence et la dernière inégalité est clairement toujours vraie donc l'inégalité de convexité est vérifiée.
			
			\begin{conclusion}
				
				La fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On cherche à démonter que la fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
			Soit $(x,y)\in\left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$ tel que $x<y$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par \[ \forall t\in[0;1],\ g(t)= \ln\left( tx+(1-t)y \right)- t\ln(x)-(1-t)\ln(y). \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Étudier la monotonie de la fonction $g'$, dérivée de $g$, sur $[0;1]$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$g$ est dérivable sur $[0;1]$ car si $(x,y,t) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2 \times [0;1]$ alors $tx+ (1-t)y \in [x,y] \subset \mathbb{R}_+^*$.
				
				Pour tout $t \in [0;1]$
				
				\begin{align*}
					g'(t) &= \frac{x-y}{tx+(1-t)y}-\ln(x) +\ln(y)
				\end{align*}
				
				$t \mapsto tx+(1-t)y$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $x-y$. Or par hypothèse $x-y<0$ donc $t \mapsto tx+(1-t)y$ est strictement décroissante.
				
				D'où, la fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, $t \mapsto \frac{1}{tx+(1-t)y}$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
				
				Enfin, puisque $x-y<0$, $t \mapsto \frac{x-y}{tx+(1-t)y} - \ln(x)+\ln(y)$ est strictement décroissante sur $[0;1]$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$g'$ est strictement décroissante sur $[0;1]$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que: \[ \frac{1}{y} \leqslant \frac{\ln(x) - \ln(y)}{x-y} \leqslant \frac{1}{x}. \]
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Notons $z=\frac{x}{y} $. Remarquons que $z \in ]0;1]$.
				
				\[ \frac{1}{y} \leqslant \frac{\ln(x) - \ln(y)}{x-y} \leqslant \frac{1}{x} \] équivaut successivement à: \[ \frac{x-y}{y} \geqslant \ln(x) - \ln(y) \geqslant \frac{x-y}{x},\quad \text{car } x-y<0 \] \[ \frac{x}{y} -1 \geqslant \ln \left( \frac{x}{y} \right) \geqslant 1 -\frac{y}{x}. \]
				
				L'encadrement à démontrer est équivalent à: \[ z-1 \geqslant \ln(z) \geqslant 1-\frac{1}{z}.\]
				
				\medskip
				\objectif{Démontrons $z-1 \geqslant \ln(z) \geqslant 1-\frac{1}{z}$.}
				
				\begin{enumerate}[*]
					
					\item $h: \left\{ \begin{array}{ccl} ]0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ z & \mapsto & \ln(z)-z+1 \end{array} \right.$ est dérivable et $h'(z)=\frac{(1-z)(1+z)}{z}$. Ainsi $h'\geqslant 0$ sur $]0;1]$ et $h$ est croissante sur ce même intervalle. Comme de plus $h(1)=0$ nous en déduisons: $h\leqslant 0$ sur $]0;1]$.
					
					Nous en déduisons: $z-1 \geqslant \ln(z)$.
					
					\item De même $\ell:z \mapsto \ln(z)- 1+ \frac{1}{z}$ et dérivable sur $]0;1]$ et $\ell'(z)=\frac{z-1}{z^2}$. Donc $\ell$ est décroissante sur $]0;1]$. Comme de plus $\ell(1)=0$, nous avons: $\ell \geqslant 0$ sur $]0;1]$.
					Nous avons démontré que $\ln(z) \geqslant 1-\frac{1}{z}$.
					
				\end{enumerate}
				
				\begin{conclusion}
					
					Ainsi pour tout $z \in ]0;1]$, $z-1 \geqslant \ln(z) \geqslant 1-\frac{1}{z}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En déduire le signe de $g'(0)$ et de $g'(1)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{enumerate}[*]
					
					\item \objectif{Étudions le signe de $g'(0)$.}
					
					\begin{align*}
						g'(0) &= \frac{x-y}{y}-\ln(x)+\ln(y)\\
						&= (x-y) \left( \frac{1}{y} -\frac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y} \right)
					\end{align*}
					
					Or, d'après la question précédente, \[ \frac{1}{y} - \frac{\ln(x) - \ln(y) }{x-y} \leqslant 0\] et par construction $x-y<0$ donc
					
					\begin{conclusion}
						$g'(0)\leqslant 0.$
						
					\end{conclusion}
					
					\item En procédant de même:
					
					\begin{conclusion}
						
						$g'(1)\geqslant 0$.
						
					\end{conclusion}
					
				\end{enumerate}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Déduire des questions précédentes que $g'$ s'annule une unique fois sur $[0;1]$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$g'$ est continue, car dérivable, sur $[0;1]$, $g'(0)\leqslant 0\leqslant g'(1)$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires \[ \exists \alpha \in [0;1],\ g'(t)=0. \]
				
				Comme de plus $g'$ est strictement décroissante, elle est injective et $\alpha$ est donc unique.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\exists! \alpha \in[0;1],\ g'(\alpha)=0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Déterminer le signe de $g$ sur $[0;1]$ et conclure.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				De la stricte décroissance de $g'$ et de la question précédente nous déduisons le tableau de variation:
								
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
					{$0$ ,$\alpha$, $1$}
					\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\tkzTabVar {-/ $0$, + / $g(\alpha)$ / , - / $0$ / }
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous en déduisons:
				
				\begin{conclusion}
					
					$g \geqslant 0$ sur $[0;1]$.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				Soit $t \in[0;1]$.
				
				\begin{align*}
					g(t) \geqslant 0 &\Leftrightarrow \ln\left( tx+(1-t)y \right)- t\ln(x)-(1-t)\ln(y) \geqslant 0\\
					&\Leftrightarrow \ln\left( tx+(1-t)y \right)\geqslant  t\ln(x)+(1-t)\ln(y) 
				\end{align*}
				
				Ainsi $-\ln$ vérifie $(\star)$.
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\ln$ est concave.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Généralisation de l'inégalité de convexité.}
		
		Soit $f$ une fonction convexe sur $I$.
		
		Démontrer que pour tous $n \in\mathbb{N}^*$, $(x_1,x_2, \dots,x_n) \in I^n$ et $(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_n) \in \left( \mathbb{R}_+ \right)^n$ tels que $\displaystyle \sum_{k=1}^n \lambda_k =1$, on a \[ \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \in I \] et \[ f\left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour $n \in \mathbb{N}^*$, notons $\mathscr{P}(n)$ l'assertion suivante: $\forall (x_1,x_2, \dots,x_n) \in I^n$, $\forall (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \in \left( \mathbb{R}_+ \right)^n,$ \[ \sum_{k=1}^n \lambda_k=1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \in I \\ f\left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k) \end{array} \right. \]
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Justifions que $\mathscr{P}(1)$ est vraie. 
			
			Soit $(\lambda_1,x_1) \in \mathbb{R}_+ \times I$.
			
			De $\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$ on déduit $\lambda_1=1$.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
								
				\item D'une part, on a donc $\lambda_1x_1 =x_1 \in I$.
				
				\item Et d'autre part, on a $f(\lambda_1 x_1 )=f(x_1)= \lambda_1 f(x_1)$ et donc $f(\lambda_1 x_1) \leqslant \lambda_1 f(x_1)$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est alors nécessairement vraie.
			
			Soient $(x_1,x_2, \dots,x_{n+1},) \in I^{n+1}$ et $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n+1}) \in \left( \mathbb{R}_+ \right)^{n+1}$.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Remarquons tout d'abord que si $\lambda \in \mathbb{R}_+$ et $(x,y)\in I^2$ avec $x \leqslant y$ alors, \[ x \leqslant \lambda x +(1-\lambda) y \leqslant y. \] Autrement dit, puisque $I$ est un intervalle, \[ \lambda x + (1-\lambda) y \in I. \]
				
				\medskip
				Notons $\mu=\sum_{k=1}^n \lambda_k$. Comme $\sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{\mu} =1$ et que $(x_1,\dots x_n) \in I^n$, nous en déduisons, d'après l'hypothèse de récurrence: $x=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{\mu} x_k \in I$.
				
				\medskip
				$\mu \in \mathbb{R}_+$ et $(x,x_{n+1})\in I^2$, donc, d'après notre remarque liminaire: $\mu x +(1-\mu) x_{n+1} \in I$.
				
				Autrement dit: $\sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \in I$.
				
				\item En gardant les notations précédentes, et puisque $f$ est convexe:
				
				\begin{align*}
					f \left( \mu x+(1-\mu) x_{n+1} \right) &\leqslant \mu f(x) + (1-\mu)f(x_{n+1})\\
					\intertext{Autrement dit:}
					f \left( \mu x+(1-\mu) x_{n+1} \right) &\leqslant \mu f \left( \sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{\mu} x_k \right)+ \lambda_{n+1} f(x_{n+1})\\
					\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
					f \left( \mu x+(1-\mu) x_{n+1} \right) &\leqslant \mu f \left( \sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{\mu}  x_k \right)+ \lambda_{n+1} f(x_{n+1})\\
					\intertext{Enfin:}
					f \left( \mu x+(1-\mu) x_{n+1} \right) &\leqslant f \sum_{k=1}^n \lambda_k \left( x_k \right)+ \lambda_{n+1} f(x_{n+1})\\
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Nous avons établi que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Deux applications.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À l'aide de la concavité de $\ln$, démontrer que pour tout $(a,b,c) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^3$, on a \[ \sqrt[3]{abc} \leqslant \frac{a+b+c}{3}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				\ln \left( \sqrt[3]{abc} \right) &= \ln \left( (abc)^{\frac{1}{3}} \right)\\
				&= \frac{\ln(a) + \ln(b) + \ln(c)}{3}\\
				\intertext{La fonction logarithme étant concave:}
				\ln \left( \sqrt[3]{abc} \right) &\leqslant \ln\left( \frac{a+b+c}{3} \right)\\
				\intertext{La fonction exponetielle étant croissante:}
				\exp \circ \ln \left( \sqrt[3]{abc} \right) &\leqslant \exp \circ \ln\left( \frac{a+b+c}{3} \right)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\sqrt[3]{abc}  \leqslant  \frac{a+b+c}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\ln \circ \ln$ est concave sur $]1,+\infty[$.
			
			En déduire que pour tout$(x,y) \in \left( ]1,+\infty[ \right)^2$, on a \[ \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) \geqslant \sqrt{ \ln(x) \ln(y)}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\ln$ est concave sur $]1,+\infty[$, à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ et croissante donc, d'après la question 7.c
			
			\begin{conclusion}
				
				$\ln \circ \ln$ est concave.
				
			\end{conclusion}
			
			\bigskip
			Nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\ln \circ \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) &\geqslant \frac{\ln \circ \ln (x) + \ln\circ \ln(y) }{2}\\
				\ln \circ \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) &\geqslant \frac{1}{2} \ln\left[ \ln(x)\ln(y) \right]\\
				\ln \circ \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) &\geqslant \ln\left[ \left( \ln(x)\ln(y) \right)^{\frac{1}{2}} \right]\\
				\ln \circ \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) &\geqslant \ln\left[ \sqrt{ \ln(x)\ln(y)} \right]\\
				\intertext{Puis exponentielle étant croissante:}
				\exp \circ \ln \circ \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) &\geqslant \exp \circ \ln\left[ \sqrt{ \ln(x)\ln(y)} \right]
			\end{align*}
				
			\begin{conclusion}
				
				$\ln \left( \frac{x+y}{2} \right) \geqslant \sqrt{ \ln(x)\ln(y)}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Inégalité des trois pentes et conséquences.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction, à valeurs dans $\mathbb{R}$, définie sur $I$.
	
	Pour tout $a \in I$, on considère la fonction \[ \Delta_a: \left\{ \begin{array}{ccc} I\setminus \{a \} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \dfrac{f(t)-f(a)}{t-a} \end{array} \right. . \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{10}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose dans cette question que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{I}$.
			
			Soient $a\in I$ et $(t,u) \in \left( I\setminus \{ a \} \right)^2$ tel que $t<u$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				On suppose que $t<u<a$. D'après la question 6.a, on sait qu'il existe $\lambda \in ]0;1[$ tel que $u=\lambda t+(1-\lambda) a$.
				
				Démontrer que $f(u)-f(a) \leqslant \lambda \left( f(t)-f(a) \right)$ puis que $\Delta_a(t) \leqslant \Delta_a(u)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{align*}
					f(u)-f(a) &= f\left( \lambda t+ (1-\lambda)a \right) -f(a)\\
					\intertext{Puisque $f$ est convexe:}
					f(u)-f(a) &\leqslant \lambda f(t)+(1-\lambda) f(a)-f(a)\\
					&\leqslant \lambda \left( f(t) - f(a) \right)
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$f(u)-f(a) \leqslant \lambda \left( f(t)-f(a) \right)$.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				De : $u<a$ nous déduisons: $u-a<0$.
				
				Et donc:
				
				\begin{align*}
					\frac{f(u)-f(a)}{u-a} &\geqslant \lambda \frac{ f(t)-f(a)}{u-a}\\
					&\geqslant \lambda \frac{f(t)-f(a)}{\lambda t+(1-\lambda)a}\\
					&=\geqslant \lambda \frac{f(t)-f(a)}{\lambda(t-a)}\\
					&\geqslant \frac{f(t)-f(a)}{t-a}
				\end{align*}
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta_a(u) \geqslant \Delta_a(t)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				On admet que cette dernière inégalité reste vraie pour $a<t<u$ et pour $t<a<u$. Que peut-on en déduire pour $\Delta_a$?
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Ainsi: $\forall (t,u) \in \left( I \setminus \{a \} \right)^2,\ (t<u ) \Rightarrow \Delta_a(t) < \Delta_a(u)$.
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta_a$ est croissante sur $I\setminus \{ a \}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose dans cette question que, pour tout $a\in I$, $\Delta_a$ est croissante sur $I\setminus \{ a \}$.
			
			Soient $(x,y)\in I^2$ tel que $x<y$ et $\lambda \in [0;1[$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que $\Delta_{x} \left(\lambda x+(1-\lambda)y \right) \leqslant \Delta_x(y)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Puisque $x<y$ et $\lambda \in [0;1[$, $x< \lambda x + (1- \lambda)y \leqslant y$.
				
				$\Delta_x$ étant croissante sur $I \setminus \{ x \}$ nous en déduisons:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta_x \left( \lambda x + (1 - \lambda )y \right) \leqslant \Delta_x (y)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En déduire que $f$ est convexe sur $I$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				D'après la question précédente et dans les mêmes conditions (notamment $x<y$):
				
				\begin{align*}
					\frac{f\left( \lambda x + (1- \lambda) y \right) -f(x)}{\lambda x + (1- \lambda) y -x} &\leqslant \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\\
					\frac{f\left( \lambda x + (1- \lambda) y \right) -f(x)}{(1-\lambda)(y-x)} &\leqslant \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\\
					f\left( \lambda x + (1- \lambda) y \right) -f(x)  &\leqslant (f(y)-f(x))(1-\lambda)\\
					f\left( \lambda x + (1- \lambda) y \right) &\leqslant f(x) -(1-\lambda) f(x) +f(y)(1-\lambda)\\
					f\left( \lambda x + (1- \lambda) y \right) &\leqslant f(x) +(1-\lambda)f(y)
				\end{align*}
				
				Du fait du rôle symétrique joué par $x$ et $y$ le résultat reste valable pour tout $(x,y)\in I^2$.
				
				Par conséquent:
				
				\begin{conclusion}
					
					$f$ est convexe sur $I$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
						
			Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\Delta_a$ pour que $f$ soit convexe sur $I$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après les question 11.a et 11.b
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si pour tout $a \in I$, $\Delta_a$ est croissante sur $I\setminus \{ a \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\textbf{On suppose dans la suite de cette partie III que la fonction $f$ est convexe sur $I$.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{11}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(a,b,c) \in I^3$ tel que $a<b<c$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant la question 11, démontrer l'\underline{inégalité des trois pentes}: \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(c)-f(a)}{c-a} \leqslant \frac{f(c)-f(b)}{c-b} . \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question 11 $\Delta_a$ est croissante sur $I \setminus \{ a \}$, or $b<c$ donc \[ \Delta_a(b) \leqslant \Delta_a(c). \]
			Autrement dit: \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(c)-f(a)}{c-a}. \]
			
			De même: \[ \Delta_c(a) \leqslant \Delta_c(b). \] Autrement dit: \[ \frac{f(a)-f(c)}{a-c} \leqslant \frac{f(b)-f(c)}{b-c}. \]
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(c)-f(a)}{c-a} \leqslant \frac{f(c)-f(b)}{c-b}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		
		\begin{sujet}
			
			Illustrer cette inégalité par une figure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{3.5};
				\def\yZ{9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:3] plot(\x,{\x*\x});
				\draw (-1.5,0) node{$\times$};
				\draw (-1.5,0) node[below] {$a$};
				\draw (0.5,0) node{$\times$};
				\draw (0.5,0) node[below] {$b$};
				\draw (2.5,0) node{$\times$};
				\draw (2.5,0) node[below] {$c$};
				\draw [red] (-1.5,{-1.5*(-1.5)}) -- (0.5,{0.5 * 0.5});
				\draw [green] (0.5,{0.5*0.5}) -- (2.5,{2.5*2.5});
				\draw [orange] (-1.5,{-1.5*(-1.5)}) -- (2.5,{2.5*2.5});
				\draw [red] (-2,1) node{$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$};
				\draw [orange] (1,5.75) node{$\frac{f(c)-f(a)}{c-a}$};
				\draw [green] (2.5,2) node{$\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\textbf{Théorème de la limite monotone.}
			
			Soit $\varphi$ une fonction croissante sur l'intervalle $]a,b[$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $a<b$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que si $\varphi$ est majorée alors elle admet une limite finie à gauche en $b$, égale à la borne supérieure de l'ensemble $\{ \varphi(x)\ ;\ x \in ]a,b[ \}$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$\{ \varphi(x)\ | \ x\in ]a,b[ \}$ est une partie non vide ($a<b$) et majorée de $\mathbb{R}$ ( $\varphi$ est majorée) donc cette partie admet une borne supérieure que nous noterons $L$.
				
				\medskip
				\objectif{Démontrons que $\varphi(x) \underset{\begin{subarray}{c} x\to b\\ x<b \end{subarray}}{\longrightarrow}L$.}
				
				Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$.
				
				Puisque $L$ est une borne supérieure: \[ \exists x_0 \in ]a;b[,\ L-\varepsilon < \varphi(x_0)\leqslant L. \]
				
				Puisque $\varphi$ est croissante nous en déduisons: \[ \forall x \in ]x_0,b[,\ |L-\varphi(x)|< \varepsilon.\]
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi(x)$ converge vers $L$ lorsque $x$ tend vers $b$ par valeur inférieures.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Sans démonstration, que peut-on dire si $\varphi$ est minorée?
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{conclusion}
					
					Si $\varphi$ est minorée alors elle admet une limite finie à droite en $a$, égale à $\inf \{ \varphi(x) \ | \ x \in ]a,b[ \}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $(a,b,c) \in I^3$ tel que $a<b<c$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En appliquant le théorème de la limite monotone à $\Delta_b$, démontrer que $f$ est dérivable à gauche et à droite en $b$ et que \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant {f'}_g(b) \leqslant {f'}_d(b) \leqslant \frac{f(c)-f(b)}{c-b}. \]
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
					
				\begin{enumerate}[*]
					
					\item Soit $x \in ]a,b[$.
					
					Puisque $\Delta_b$ est croissante sur $I \setminus \{ b \}$ et $x<b<c$: \[ \Delta_b(x)\leqslant \Delta_b(c). \]
					
					Ainsi $\Delta_b$ est croissante et majorée sur $]a,b[$ donc, d'après le théorème de la limite monotone, \[ \Delta_b(x) \underset{\begin{subarray}{l} x \to b\\ x<b \end{subarray}}{\longrightarrow} {f'}_g(b). \]
					
					\item Puisque $\Delta_b$ est croissante: $\Delta_b(a) \leqslant \Delta_b(x)$ pour tout $x \in ]a,b[$. Donc: $\Delta_b(a) \leqslant {f'}_g(b)$.
					
					\item Par symétrie on a aussi: ${f'}_d(b) \leqslant \Delta_b(c)$.
					
					\item De plus, pour tout $x,y \in ]a,c[^2$ tel que $x<b<y$, puisque $\Delta_b$ est croissante: \[ \Delta_b(x) \leqslant \Delta_b(y). \]
					
					En passant à la limite: \[ \lim_{\begin{subarray}{l} x \to b\\ x<b \end{subarray}} \Delta_b (x) \leqslant \lim_{\begin{subarray}{l} y \to b\\ b<y \end{subarray}} \Delta_b (y). \]
					
					Donc: \[ {f'}_g(b) \leqslant {f'}_d(b). \]
					
				\end{enumerate}
				
				Finalement nous avons bien
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta_b(a) \leqslant {f'}_g(b) \leqslant {f'}_d(b) \leqslant \Delta_b(c)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Montrer que $f$ est continue en $b$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Comme nous l'avons remarqué à la question précédente: \[ \forall x \in ]a,b[,\ \Delta_b(x) \leqslant {f'}_g(b). \]
				
				Puisque $b-x>0$: \[ f(b)-f(x) \leqslant {f'}_g(b)(b-x).\]
				
				De même nous obtiendrions: \[ \forall x \in ]b,c[,\ f(x)-f(b) \leqslant {f'}_d(b) (x-b).\]
				
				Nous en déduisons: \[ \forall x \in ]a,c[,\ \left| f(x)-f(b) \right| \leqslant \max\left({f'}_g(b),{f'}_d(b) \right) |x-b|.\]
				
				Ainsi $f$ est lipschitzienne sur $]a,c[$ donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					$f$ est continue en $b$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner un exemple d'une fonction convexe et non continue sur un intervalle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $g$ l'application définie sur $[0;1]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, définie par \[ g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
			x & \text{si } x \in]0;1]\\ 1 & \text{si } x=0
			\end{array} \right. \]
			
			$g$ est clairement convexe (et concave) sur $]0;1]$. De plus, pour tout $\lambda \in [0;1]$ et $y \in ]0;1]$, 
			
			\begin{align*}
				g\left( \lambda \times 0+ (1-\lambda)y \right) &= g\left( (1-\lambda)y \right)\\
				\intertext{$g_{]0;1]}=Id_{]0;1]}$ donc}
				g\left( \lambda \times 0+ (1-\lambda)y \right) &= (1-\lambda)y \\
				&= (1-\lambda g(y)\\
				&\leqslant \lambda + (1-\lambda)g(y)\\
				&\leqslant \lambda g(0) + (1-\lambda) f(y)
			\end{align*}
			
			Ainsi 
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ est convexe sur $[0;1]$ et pourtant discontinue en $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}	
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Caractérisation des fonctions convexes dérivables.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. On note $f'$ sa fonction dérivée sur $I$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{13}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on suppose $f$ convexe sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que pour tout $(a,b)\in I^2$ tel que $a<b$, on a \[ f'(a) \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant f'(b), \] et en déduire que $f'$ est croissante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Soit $(a,b)\in I^2$, avec $a<b$.
				
				Nous avons établi à la question 13 (a) i que, pour $f$ convexe, \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant {f'}_g(b).\]
				
				Mais puisque $f$ est dérivable sur $I$, ${f'}_g(b)= f'(b)$ et donc \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant f'(b).\]
				
				Par symétrie: \[ f'(a) \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} .\]
				
				\begin{conclusion}
					
					\[ f'(a) \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant f'(b).\]
					
				\end{conclusion}
				
				\item Ainsi: \[ \forall (a,b)\in I^2, a<b \Leftrightarrow f'(a) \leqslant f'(b). \]
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$f'$ est croissante sur $I$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que la courbe représentative de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(a,x) \in I^2$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item D'après la question précédente, si $a< x$ alors: \[ f'(a) \leqslant \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
				
				Puisque qu'alors $x-a>0$: \[ f'(a)(x-a)+f(a) \leqslant f(x). \] 
				
				\item De même, si $x<a$ alors \[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant f'(a) .\]
				
				Comme $x-a<0$: \[ f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a). \]
				
			\end{enumerate}
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la courbe représentative de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on suppose $f'$ croissante sur $I$.
		
		Soit $(x,y) \in I^2$ tel que $x<y$. On considère la fonction $\phi$ définie sur $[0,1]$ par \[ \forall t \in [0,1],\ \phi(t)=tf(x)+(1-t) f(y)-f\left( tx+(1-t)y \right). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\phi$ est dérivable sur $I$ et déterminer sa dérivée $\phi'$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a une coquille dans l'énoncé. $\phi$ n'est pas définie sur $I$ mais sur $[0;1]$ et c'est sur cet intervalle qu'elle est dérivable.
			
			\medskip
			$\phi$ est bien définie sur $[0;1]$.
			
			De plus c'est la somme d'une fonction affine et de la composée de $f$ et d'une fonction affine. $f$ étant dérivable $I$ nous en déduisons que 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\phi$ est dérivable sur $[0;1]$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De plus 
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall t \in [0;1],\ \phi'(t) = f(x)-f(y)-(x-y)f\left( tx+(1-t)y \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant le théorème des accroissements finis pour $f$ entre $x$ et $y$, démonter qu'il existe $\gamma \in ]0;1[$ tel que pour tout $t \in [0;1]$, \[ \phi'(t)= (x-y) \left( f'(\gamma x+(1-\gamma)y) - f'(tx+ (1-t)y) \right). \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'application $f$ est continue sur $[x,y]$ ($x<y$) et dérivable sur $]x,y[$, donc, d'après le théorème des accroissements finis: \[ \exists z \in ]x,y[,\ \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f'(z).\]
			
			Or: $z \in ]x,y[ \Leftrightarrow \exists \gamma \in ]0;1[,\ z=\gamma x +(1-\gamma) y$,
			
			donc: \[ \exists \gamma \in ]0;1[,\ f(x)-f(y)= (x-y) f'\left(\gamma x + (1-\gamma)y \right). \]
			
			Soit $t \in [0;1]$.
			
			En substituant $f(ix)-f(y)$ par l'expression précédente dans l'expression de $\phi'$ obtenue à la question précédente: \[ \phi'(t) = (x-y) f'\left(\gamma x + (1-\gamma)y \right) -(x-y)f\left( tx+(1-t)y \right). \]
			
			En factorisant par $x-y$ nous obtenons bien que
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $t \in [0;1]$, \[ \phi'(t)= (x-y) \left( f'(\gamma x+(1-\gamma)y) - f'(tx+ (1-t)y) \right). \]
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire les variations de $\phi$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $f'$ est supposée croissante sur $I$:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=4.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$t$ /0.8, $f'(\gamma x+(1-\gamma)y) - f'(tx+ (1-t)y)$ /1.6}
				{$0$ ,$\gamma$, $1$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			D'où, sachant que $x-y<0$:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\phi'$ /0.8, $\phi$ /1.6}
				{$0$ ,$\gamma$, $1$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\phi(\textit{}\gamma)$ , - / $0$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Ceci étant valable pour tous $(x,y) \in I^2$ et $t\in [0;1]$, nous en déduisons que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\phi$ est convexe sur $I$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que la fonction $f$ est convexe sur $I$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De la question précédente nous déduisons que, pour tout $t \in [0;1]$:
			
			\begin{align*}
				0 &\leqslant \phi(t)\\
				\intertext{Nous en dédiuisons successivement:}
				0 &\leqslant tf(x)+(1-t) f(y)-f\left( tx+(1-t)y \right)\\
				f\left( tx+(1-t)y \right) &\leqslant tf(x)+(1-t) f(y)
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer qu'une fonction $f$ deux fois dérivable sur $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''$ est positive sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Supposons $f$ deux fois dérivable sur $I$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item D'après la question 14, si $f$ est convexe alors $f'$ est croissante ce qui équivaut à dire que $f''$ est positive.
			
			\item Réciproquement si $f''$ est positive alors $f'$ est croissante et, d'après la question 15, $f$ est alors convexe.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''\geqslant 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Différentes inégalités.}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{16}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f: \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction concave.
		
		On définit la fonction $\psi: \left\{ \begin{array}{ccc} \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ (x,y) & \mapsto & y f \left( \frac{x}{y} \right) \end{array} \right.$
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que pour tout $(x_1,x_2,_1,y_2) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^4$, on a \[ \psi (x_1,y_1) + \psi(x_2,y_2) \leqslant \psi( x_1+x_2, y_1+y_2).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soient $(x_1,x_2,_1,y_2) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^4$.
			
			Notons $t=\frac{y_1}{y_1+y_2}$.
			
			Nous remarquons que: \[ \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = t \frac{x_1}{y_1} + \left( 1 - t \right) \frac{x_2}{y_2}. \]
			
			Puisque $f$ est concave: \[ f \left[ t \frac{x_1}{y_1+y_2} + \left( 1 - t \right) \frac{x_2}{y_1+y_2} \right] \geqslant t f\left(  \frac{x_1}{y_1}\right) + \left( 1 - t \right) f\left( \frac{x_2}{y_2} \right).\]
			
			Autrement dit: \[ f\left( \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} \right) \geqslant \frac{1}{y_1+y_2} y_1 f \left( \frac{x_1}{y_1} \right) + \frac{1}{y_1+y_2} y_2 f\left( \frac{x_2}{y_2} \right). \]
			
			Puisque $y_1+y_2>0$ on a bien
			
			\begin{conclusion}
				
				$\psi\left( x_1+x_2,i_1+y_2 \right) \geqslant \psi(x_1,y_1)+ \psi (x_2,y_2)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $(x_1, \dots, x_n,y_1,\dots, y_n) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^{2n}$, on a \[ \sum_{k=1}^n \psi(x_k,y_k) \leqslant \psi \left( \sum_{k=1}^n x_k, \sum_{k=1}^n y_k \right) \quad (\star \star ).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons la propriété par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item L'égalité est triviale pour $n=1$.
				
				\item Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Supposons l'inégalité vraie au rang $n$ et démontrons qu'elle l'est encore au rang $n+1$.
				
				Soit $(x_1, \dots, x_{n+1},y_1,\dots, y_{n+1}) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^{2n+2}$
				
				Par hypothèse de récurrence:
				
				\begin{align*}
					\sum_{k=1}^{n+1} \psi(x_k,y_k) &\leqslant \psi \left( \sum_{k=1}^n x_k, \sum_{k=1}^n y_k \right) +\psi(x_{n+1},y_{n+1})\\
					\intertext{D'après la question précédente:}
					\sum_{k=1}^{n+1} \psi(x_k,y_k) &\leqslant \psi \left(x_{n+1}+ \sum_{k=1}^n x_k, y_{n+1}+\sum_{k=1}^n y_k \right)
				\end{align*}
				
				Ainsi la proposition est vraie au rang $n+1$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré par récurrence que: $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \forall (x_1, \dots, x_n,y_1,\dots, y_n) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^{2n},$ $ \sum_{k=1}^n \psi(x_k,y_k) \leqslant \psi \left( \sum_{k=1}^n x_k, \sum_{k=1}^n y_k \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Application.}
		
		Soient $p,q \in ]1;+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
		
		Dans cette question, $f:t \mapsto t^{\frac{1}{p}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $f$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$: \[ f''(x)= \frac{1}{p}\left( \frac{1}{p}-1 \right) x^{\frac{1}{p}-2}. \]
			
			Ainsi $f''\leqslant 0$. Autrement dit 
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(a_1,\dots, a_n,b_1, \dots, b_n) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^{2n}$.
			
			En utilisant $(\star \star)$, démontrer l'\underline{inégalité de Hölder}: \[ \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left( \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{k=1}^n b_k^q \right)^{\frac{1}{q}}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En utilisant la fonction $\psi$ associée à $f$ de la question précédente nous avons: \[ \sum_{k=1}^n \psi(a_k^p,b_k^q) \leqslant \psi \left( \sum_{k=1}^n a_k^p, \sum_{k=1}^n b_k^q \right). \]
			
			Autrement dit on a successivement:
			
			\begin{align*}
				\sum_{k=1}^n b_k^q \left( \frac{a_k^p}{b_k^q} \right)^{\frac{1}{p}} &\leqslant \left( \sum_{k=1}^n b_k^q \right) \left( \frac{\sum_{k=1}^n a_k^p}{\sum_{k=1}^n b_k^q} \right)^{\frac{1}{p}}\\
				\sum_{k=1}^n b_k^{q-\frac{q}{p}}a_k &\leqslant \left( \sum_{k=1}^n b_k^q \right)^{1-\frac{1}{p}} \left( \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}}
			\end{align*}
			
			Et puisque $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ nous avons finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$\sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left( \sum_{k=1}^n b_k^q \right)^{\frac{1}{q}} \left( \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{\frac{1}{p}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}