%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\Roman{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique 2020 épreuve 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique 2020 épreuve 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2020_maths/capes_externe_2020_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2020_maths/capes_externe_2020_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Notations.}
	
	$\mathbb{N}$ désigne l’ensemble des entiers naturels et $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels.
	
	Pour $i$ et $j$ deux entiers naturels tels que $i\leqslant j$, $\llbracket i, j\rrbracket$ désigne l’ensemble des entiers $k$ tels que $i\leqslant k \leqslant j$. 
	
	Pour $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leqslant k \leqslant n$, on note
$\binom{n}{k}$	le coefficient binomial $k$
parmi $n$.
	
	On désigne par $\mathbb{R}[X]$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel $n$, par $\mathbb{R}_n[X]$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré
inférieur ou égal à $n$.
	
	On identifie un polynôme et la fonction polynomiale associée.
	
	On se place dans un plan affine euclidien $\mathcal{P}$ muni d’un repère orthonormé direct $\left(O; \vec{i} , \vec{j} \right)$.
	
	On note $\overrightarrow{\mathcal{P}}$ le plan vectoriel dirigeant $\mathcal{P}$ et $\mathcal{B}$ la base $\left( \vec{i} , \vec{j} \right)$.
	
	Pour tout vecteur $\vec{u}$ de $\overrightarrow{\mathcal{P}}$, on note $\| \vec{u} \|$ sa norme euclidienne.
	
	\medskip
	\textbf{Définitions.}
	
	Un point pondéré est un couple $(M, \alpha)$, où $M$ est un point de $\mathcal{P}$ et $\alpha$ un nombre réel.
	Pour tout entier naturel $n$ non nul, un système de $n+1$ points pondérés est un $(n+1)$-uplet
 $\left((P_0 , \alpha_0 ), \dots , (P_n , \alpha_n )\right)$. Le poids total de ce système de points pondérés est \[ \alpha =\sum_{k=0}^n \alpha_k. \]
	
\end{sujet}

\subsection{Partie A: barycentres.}

\subsubsection{Existence et caractérisation.}

\begin{sujet}
	
	Soit $n$ un entier naturel non nul et  $\left((P_0 , \alpha_0 ), \dots , (P_n , \alpha_n )\right)$ un système de $n+1$ points
pondérés de poids total $\alpha$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $f$ l'application de $\mathcal{P}$ dans $\overrightarrow{\mathcal{P}}$ qui, à tout \textbf{point} $M$ de $\mathcal{P}$ associe le \textbf{vecteur} \[ f(M)=\sum_{i=0}^n  \alpha_i\overrightarrow{MP_i}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $M$ et $N$ deux points de $\mathcal{P}$. Démontrer l'égalité vectorielle \[ f(M)=f(N)+\alpha \overrightarrow{NM}.\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				f(N) &= \sum_{i=0}^n \alpha_i \overrightarrow{NP_i}\\
				\intertext{D'après la relation de Chasles:}
				f(N) &= \sum_{i=0}^n \alpha_i \left( \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MP_i} \right)\\
				&= \sum_{i=0}^n \alpha_i \overrightarrow{NM} + \sum_{i=0}^n \alpha_i \overrightarrow{MP_i} \\
				&= \left( \sum_{i=0}^n \alpha_i \right) \overrightarrow{NM} + f(M) \\
				&= \alpha \overrightarrow{NM} +f(M)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall (M,N) \in \mathcal{P}^2,\ f(N)=f(M)+\alpha \overrightarrow{NM}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, si $\alpha \ne 0$ alors $f$ est injective et surjective.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $\alpha \in \mathbb{R}^*$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Montrons que $f$ est injective.}
				
				Soit $(M,N)\in\mathcal{P}^2$ tel que $f(M)=f(N)$.
				
				D'après la question précédente on a donc: 
				\begin{align*}
					\alpha \overrightarrow{MN} &= \vec{0}\\
					\intertext{Et puisque $\alpha \ne 0$:}
					\overrightarrow{MN} &= \vec{0}
				\end{align*}
				
				Autrement dit $M=N$.
				
				Nous avons démontré que: $\forall (M,N)\in\mathcal{P}^2,\ f(M)=f(N) \Rightarrow M=N$.
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$f$ est injective.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Montrons que $f$ est surjective.}
				
				Soient $\vec{u} \in \overrightarrow{\mathcal{P}}$ et $O \in \mathcal{P}$.
				
				$\alpha \ne 0$ il est donc loisible de noter $M$ l'image de $O$ par la translation de vecteur $\frac{1}{\alpha}\left(  f(O)-\vec{u} \right)$.
				
				Par construction nous avons alors: 
				
				\begin{align*}
					f(M) &= f(O)+\alpha \overrightarrow{MO}\\
					&= f(O)+\alpha \frac{1}{\alpha}\left( \vec{u} -f(O) \right)\\
					&= \vec{u}
				\end{align*}
				
				Nous avons démontré que: $\forall \vec{u} \in \overrightarrow{\mathcal{P}},\ \exists M\in\mathcal{P},\ f(M)=\vec{u}$.
				
				Autrement dit:
				
				\begin{conclusion}
					
					$f$ est surjective.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $f$ est bijective si et seulement si $\alpha \ne 0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'équivalence proposée ar conditions nécessaire et suffisante.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Nous avons établit à la question précédente que si $\alpha\ne 0$ alors $f$ est surjective.
				
				\item Montrons la réciproque: si $f$ bijective
				alors $\alpha \ne 0$.
				
				Pour cela démontrons la contraposée: si $\alpha = 0$ alors $f$ n'est pas bijective.
				
				Supposons donc $\alpha=0$.
				
				Soient $M$ et $N$ deux éléments de $\mathcal{P}$.
				
				D'après I.1.a: $f(M)=f(N)+0\overrightarrow{MN}=f(N)$. 
				
				Ainsi $f$ est constante et n'est donc pas injective (car $\mathcal{P}$ n'est pas réduit à un élément).
				
				$f$ n'étant pas injective elle n'est a fortiori pas bijective.
				
				Nous avons démontré la contraposée
				
			\end{enumerate}
			
			Nous avons établi par condition nécessaire et suffisante que
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est bijective si et seulement si $\alpha \ne 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose $\alpha$ non nul. Montrer qu'il existe un unique point $G$ tel que \[ \sum_{i=0}^n \alpha_i \overrightarrow{GP_i}=\vec{0}. \]
		
		Ce point $G$ est appelé barycentre du système de points pondérés $\left( (P_i,\alpha_i) \right)_{0\leqslant i \leqslant n}$. On note  \[ G=\mathrm{bar}\left( (P_0,\alpha_0), \dots , (P_n,\alpha_n) \right). \]
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		$\alpha \ne 0$ donc, d'après la question I.1.c, $f$ réalise une bijection de $\mathcal{P}$ sur $\overrightarrow{\mathcal{P}}$. Or $\vec{0} \in \overrightarrow{\mathcal{P}}$, 
		
		\begin{conclusion}
			
			il existe donc un unique $G \in \mathcal{P}$ tel que $f(G)=\vec{0}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $\alpha\ne 0$ et on note $G$ le barycentre du système $\left( (P_i,\alpha_i) \right)_{0\leqslant i \leqslant n}$. 
		
		Montrer que, pour tout point $M$ de $\mathcal{P}$, \[ \sum_{i=0}\alpha_i\overrightarrow{MP_i}=\alpha \overrightarrow{MG}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $M \in \mathcal{P}$.
		
		D'après la question I.1.a:
		\begin{align*}
			f(M) &= f(G)+\alpha \overrightarrow{GM}
			\intertext{et donc, d'après la question précédente:}
			f(M) &= \alpha \overrightarrow{GM}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall M \in \mathcal{P},\ \sum_{i=0}\alpha_i\overrightarrow{MP_i}=\alpha \overrightarrow{MG}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Barycentre de deux points.}

\begin{sujet}
	
	Soient $P_0$, $P_1$ deux points distincts du plan $\mathcal{P}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le barycentre du système de points pondérés $\left( (P_0,1),(P_1,1) \right)$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le barycentre de $\left( (P_0,1),(P_1,1) \right)$ est le point $G$ tel que: \[ \overrightarrow{GP_0}+\overrightarrow{GP_1}=\vec{0}.\]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$G$ est le milieu de $[P_0P_1]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que pour tout nombre réel $t$, le barycentre du système de points pondérés $\left( (P_0,t),(P_1,1-t) \right)$ appartient à la droite $(P_0P_1)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $t \in \mathbb{R}$.
		
		Notons $G_t$ le barycentre de $\left( (P_0,t),(P_1,1-t) \right)$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $G_t \in [P_0P_1]$.}
		
		Par définition du barycentre:
		\begin{align*}
			t\overrightarrow{G_tP_0}+(1-t)\overrightarrow{G_tP_1} &= \vec{0}\\
			\intertext{D'après la relation de Chasles et la bilinéarité du produit scalaire:}
			t\overrightarrow{G_tP_0}+(1-t)\overrightarrow{G_tP_0}+(1-t)\overrightarrow{P_0P_1} &= \vec{0}\\
			\overrightarrow{G_tP_0}+(1-t)\overrightarrow{P_0P_1} &= \vec{0}\\
			(1-t)\overrightarrow{P_0P_1} &= \overrightarrow{P_0G_t}
		\end{align*}
		
		Ce qui correspond à la définition du fait que le point $G_t$ appartient à la droite $(P_0P_1)$. {\color{orange}On peut évoquer la colinéarité caractérisant l'alignement si une autre définition est choisie.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall t \in \mathbb{R},\ \mathrm{bar}\left( (P_0,t),(P_1,1-t) \right) \in (P_0P_1)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $M$ un point de la droite $(P_0P_1)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer qu'il existe un unique nombre réel $t$ tel que $M$ soit le barycentre du système de points pondérés $\left( (P_0,t),(P_1,1-t) \right)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'existence et l'unicité de $M$ en raisonnant par analyse-synthèse.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Si $M$ est le barycentre alors, en raisonnant comme en II.2, on doit avoir: $\overrightarrow{P_0M}=(1-t) \overrightarrow{P_0P_1}$. Autrement dit $M$ est l'(unique) image de $P_0$ par la translation de vecteur $(1-t)\overrightarrow{P_0P_1}$.
				
				\item Réciproquement, supposons que $M$ soit le point tel que $\overrightarrow{P_0M}=(1-t) \overrightarrow{P_0P_1}$.
				
				Vérifions que $M$ est alors le barycentre de $\left( (P_0,1),(P_1,1-t) \right)$.
				\begin{align*}
					t\overrightarrow{MP_0} + (1-t)\overrightarrow{MP_1} &= t(t-1)\overrightarrow{P_0P_1} + (1-t)\left( \overrightarrow{MP_0} + \overrightarrow{P_0P_1} \right)\\
					&=  t(t-1)\overrightarrow{P_0P_1} + (1-t)\left((t-1) \overrightarrow{P_0P_1} + \overrightarrow{P_0P_1}\right)\\
					&= \vec{0}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Nous avons démontré par analyse-synthèse
			
			\begin{conclusion}
				
				il existe un unique $t\in \mathbb{R}$ tel que $M$ soit le barycentre de $\left( (P_0,t),(P_1,1-t) \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $t$ pour que $M$ soit un point du segment $[P_0P_1]$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$M \in [P_0P_1]$ équivaut successivement à: 
			\begin{align*}
				&\exists t \in [0,1],\ \overrightarrow{P_0M}=t\overrightarrow{P_0P_1}\\
				&\exists t \in [0,1],\ \vec{0}=\overrightarrow{MP_0}+t\overrightarrow{P_0M}+t \overrightarrow{MP_1}\\
				&\exists t \in [0,1],\ \vec{0}= (1-t)\overrightarrow{MP_0}+t\overrightarrow{MP_1}
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$M\in[P_0P_1]$ si et seulement si il existe $t \in [0,1]$ tel que $M$ soit le barycentre du système pondéré $\left((P_0,1-t),(P_1,t) \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Propriétés du barycentre.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Homogénéité.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $\lambda$ un réel non nul. Montrer que le barycentre du système de points pondérés $\left( (P_0,\lambda \alpha_0),(P_1,\lambda \alpha_1), \dots, (P_n,\lambda \alpha_n) \right)$, de poids total supposé non nul, est égal au barycentre du système de points pondérés  
			
			$\left( (P_0,\alpha_0),(P_1,\alpha_1),\dots,(P_n,\alpha_n) \right)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $G$ le barycentre de $\left( (P_0,\lambda \alpha_0),(P_1,\lambda \alpha_1), \dots, (P_n,\lambda \alpha_n) \right)$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $G$ est barycentre de $\left( (P_0,\alpha_0),(P_1,\alpha_1),\dots,(P_n,\alpha_n) \right)$.}
			
			$\left( (P_0,\lambda \alpha_0),(P_1,\lambda \alpha_1), \dots, (P_n,\lambda \alpha_n) \right)$ est de poids total non nul donc: $\sum_{k=0}^n \lambda \alpha_k\ne 0$. Or $\lambda \ne 0$ donc $\sum_{k=0}^n\alpha_k\ne 0$.
			
			\medskip
			On a:
			\begin{align*}
				\sum_{k=0}^n \lambda \alpha_k\overrightarrow{GP_k} &= \vec{0}\\
				\lambda \sum_{k=0}^n \alpha_k\overrightarrow{GP_k} &= \vec{0}\\
				\intertext{$\lambda\ne 0$ donc}
				\sum_{k=0}^n \alpha_k\overrightarrow{GP_k} &= \vec{0}
			\end{align*}
			
			Puisque $\sum_{k=0}^n \alpha_k \ne 0$,
			
			\begin{conclusion}
				
				$G$ est le barycentre du système de points pondérés $\left( (P_0,\alpha_0),(P_1,\alpha_1),\dots,(P_n,\alpha_n) \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient trois points $P_0$, $P_1$, $P_2$ formant un triangle non aplati du plan $\mathcal{P}$.
			
			On suppose qu'il existe deux triplets $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)$ et $(\alpha_0',\alpha_1',\alpha_2')$ de nombres réels, chacun de somme non nulle, tels que les barycentres des systèmes $\left( (P_0,\alpha_0), (P_1,\alpha_1),  (P_2,\alpha_2) \right)$ et $\left( (P_0,\alpha_0'), (P_1,\alpha_1'), (P_2,\alpha_2') \right)$ soient égaux. On note alors $M$ ce point.
			
			Démontrer que $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)$ et $(\alpha_0',\alpha_1',\alpha_2')$ sont proportionnels.
			
			\emph{Indication}: on pourra justifier que $\left( \overrightarrow{P_0P_1},\overrightarrow{P_0P_2} \right)$ est une base de l'espace vectoriel $\overrightarrow{\mathcal{P}}$ et décomposer le vecteur $\overrightarrow{P_0M}$ dans cette base de deux façons différentes.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que les triplets sont proportionnels.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $P_0$, $P_1$, $P_2$ formant un triangle non aplati du plan $\mathcal{P}$, $\overrightarrow{P_0P_1}$ et $\overrightarrow{P_0P_2}$, qui ne sont pas nuls, ne sont pas colinéaires, et donc$\left( \overrightarrow{P_0P_1},\overrightarrow{P_0P_2} \right)$ est une base de $\overrightarrow{\mathcal{P}}$ qui est un espace vectoriel de dimension deux.
				
				\item Puisque $M$ est barycentre de $\left( (P_0,\alpha_0), (P_1,\alpha_1),  (P_2,\alpha_2) \right)$
				\begin{align*}
					f(M) &= \vec{0}\\
					f(P_0)+ \alpha \overrightarrow{P_0M} &= \vec{0} \\
					\overrightarrow{P_0M} &= -\frac{1}{\alpha}f(P_0)\\
					\overrightarrow{P_0M} &= -\frac{\alpha_1}{\alpha}\overrightarrow{P_0P_1}-\frac{\alpha_2}{\alpha} \overrightarrow{P_0P_2}
				\end{align*}
				
				Ainsi les coordonnées de $\overrightarrow{P_0M}$ dans la base $\left( \overrightarrow{P_0P1},\overrightarrow{P_0P_2} \right)$ sont $\left( -\frac{\alpha_1}{\alpha},-\frac{\alpha_2}{\alpha} \right)$.
				
				\item De même les coordonnées de $\overrightarrow{P_0M}$ dans la base $\left( \overrightarrow{P_0P1},\overrightarrow{P_0P_2} \right)$ sont $\left( -\frac{\alpha_1'}{\alpha'},-\frac{\alpha_2'}{\alpha'} \right)$.
				
				\item Nous en déduisons par unicité des coordonnées relativement à une base: $\alpha_1'=\frac{\alpha'}{\alpha}\alpha_1$ et $\alpha_2'=\frac{\alpha'}{\alpha}\alpha_2$.
				
				\item Enfin de $\alpha_1'\alpha=\alpha_1\alpha'$ nous déduisons
				\begin{align*}
					\alpha_1'\alpha_0+\alpha_1'\alpha_1+\alpha_1'\alpha_2 &= \alpha_1\alpha_0'+\alpha_1\alpha_1'+\alpha_1 \alpha_2'\\
					\alpha_1'\alpha_0 &= \alpha_1 \alpha_2'-\alpha_1' \alpha_2+ \alpha_1\alpha_0'\\
					\intertext{Or, par proportionnalité $\alpha_1 \alpha_2'-\alpha_1' \alpha_2=0$ donc}
					\alpha_1'\alpha_0 &= \alpha_1\alpha_0'\\
					\frac{\alpha'}{\alpha}\alpha_1 \alpha_0 &= \alpha_1\alpha_0'\\
					\frac{\alpha'}{\alpha}\alpha_0 &= \alpha_0'
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)$ et $(\alpha_0',\alpha_1',\alpha_2')$ sont proportionnels.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Associativité simple.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\emph{Un cas particulier.}
			
			Étant donnés trois points $A$, $B$, $C$ du plan $\mathcal{P}$ et trois réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que $\alpha+\beta+\gamma \ne 0$, on note $m_1=\alpha+\beta$ et $G_1$ le barycentre du système $\left( (A,\alpha),(B,\beta) \right)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer que le barycentre du système  $\left( (G_1,m_1),(C,\gamma) \right)$ est égale au barycentre du système $\left( (A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma) \right)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Notons $G$ le barycentre de $\left( (G_1,m_1),(C,\gamma) \right)$.
				
				\medskip
				\objectif{Démontrons que $G$ est barycentre de $\left( (A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma) \right)$.}
				
				\begin{align*}
					\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} &= \alpha \overrightarrow{GG_1}+\beta \overrightarrow{GG_1} +\alpha \overrightarrow{G_1A}+\beta \overrightarrow{G_1B}+ \gamma \overrightarrow{GC}\\
					&= m_1 \overrightarrow{GG_1} +\alpha \overrightarrow{G_1A}+\beta \overrightarrow{G_1B}+ \gamma \overrightarrow{GC}\\
					&= m_1 \overrightarrow{GG_1} +\gamma \overrightarrow{GC}\\
					&=\vec{0}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$G$ est barycentre de $\left( (A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma) \right)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En utilisant ce résultat, démontrer que les trois médianes d'un triangle non aplati sont concourantes en un point
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts et non alignés du plan.
				
				Notons $B'$ le milieu de $[AC]$ et $G$ le barycentre de $\left( (A,1),(B,1),(C,1) \right)$.
				
				\medskip
				\objectif{Montrons que $G \in (BB')$.}
				
				$B'$ est le milieu de de $[AC]$ donc le barycentre de $\left( (A,1),(C,1) \right)$ d'après la question II.1.
				
				D'après la question II.2.a.i, $G$ est donc le barycentre de $\left( (B,1),(B',2) \right)$.
				
				Donc, d'après la question II.3.a, 
				
				\begin{conclusion}
					
					$G \in (BB')$.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				Par symétrie on a également $G \in (AA')$ et  $G \in (CC')$, autrement dit
				
				\begin{conclusion}
					
					les médianes du triangles sont concourantes en le barycentre de $\left( (A,1),(B,1),(C,1) \right)$.
				
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\emph{Cas général.}
			
			Soit $n$ un entier naturel non nul, $I=\llbracket 1, n \rrbracket$ et $r$ un entier naturel non nul inférieur ou égale à $n$. On suppose que $I=J_0\cup J_1\cup \dots \cup J_r$, les $J_k$ ($k\in \llbracket 0,r \rrbracket$) étant non vides et deux à deux disjoints. On considère un système de points pondérés $\left( (P_i,\alpha_i);i\in I \right)$ avec $\displaystyle \sum_{i=0}^n \alpha_i \ne 0$. Pour tout $k \in \llbracket 0,r \rrbracket$, on suppose que $\displaystyle \beta_k=\sum_{i\in J_k} \alpha_i\ne 0$ et on note $Q_k$ le barycentre du système $\left( (P_i,\alpha_i);i\in J_k \right)$.
			
			Démontrer que $\displaystyle \sum_{k=0}^r \beta_k\ne 0$ et que \[ \mathrm{bar}\left( (P_i,\alpha_i); i\in\llbracket 0,n \rrbracket \right)=\mathrm{bar}\left( (Q_k,\beta_k);k\in\llbracket 0,r \rrbracket\right).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Justifions $\sum{k=0}^r \beta_k\ne0$.}
				
				\begin{align*}
					\sum_{k=0}^r \beta_k &= \sum_{k=0}^r \sum_{i\in J_k} \alpha_i\\
					\intertext{Puisque les $J_k$ sont disjoints deux à deux:}
					\sum_{k=0}^r \beta_k &= \sum_{i\in \bigcup_{k=0}^r J_k} \alpha_i\\
					&= \sum_{i=0}^n \alpha_i
				\end{align*}				
				et donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$\sum_{k=0}^r \beta_k \ne 0$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Démontrons par équivalences qu'un point $M$ est le barycentre de l'un des système sis et seulement si il est barycentre de l'autre.}
				
				$M$ est le barycentre $G$ de $\left( (P_i,\alpha_i);i\in I \right)$ si et seulement si
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{MG} &= \vec{0}\\
					\intertext{ce qui, comme $\sum_{i\in I} \alpha_i \ne 0$, équivaut à}
					\sum_{i=0}^n \alpha_i \overrightarrow{MP_i} &= \vec{0}\\
					\sum_{k=0}^r \sum_{i \in J_k} \alpha_i \overrightarrow{MP_i} &= \vec{0}\\
					\intertext{d'après A.I.3, chaque $Q_k$ étant un barycentre:}
					\sum_{k=0}^r \beta_k\overrightarrow{MQ_k} &= \vec{0}
				\end{align*}
				Ce qui équivaut à dire que $M$ est le barycentre de $\left( (Q_k,\beta_k);k\in\llbracket 0,r \rrbracket\right)$ car $\sum_{k=0}^r \beta \ne 0$.
				
				Ainsi
				
				\begin{conclusion}
					
					un point est le barycentre de $\left( (P_i,\alpha_i);i\in I \right)$ si et seulement s'il est le barycentre de $\left( (Q_k,\beta_k);k\in\llbracket 0,r \rrbracket\right)$.
					
				\end{conclusion}			
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Associativité double.}
		
		On considère deux entiers naturels $p$ et $n$, un $n+1$-uplet $\left( P_0,\dots,P_n\right)$ de points de $\mathcal{P}$ et deux familles finies de réels $\left( \alpha_i\right)_{\begin{subarray}{c} 0\leqslant i \leqslant p \\ 0\leqslant j \leqslant n \end{subarray}}$ et $\left( \beta_i\right)_{0 \leqslant i \leqslant p}$ vérifiant \[ \forall i\in \llbracket 0,p \rrbracket,\ \sum_{j=0}^n \alpha_{i,j}=1 \text{ et }\sum_{i=0}^p \beta_i=1. \]
		
		Pour tout $i\in \llbracket 0,p \rrbracket$, on note $B_i$ le barycentre du système de points pondérés $\left( (P_j,\alpha_{i,j});j\in \llbracket 0,n\rrbracket \right)$ et on note $G$ le barycentre du système de points pondérés $\left( (B_i,\beta_i);i\in\llbracket 0,p\rrbracket \right)$.
		
		Démontrer que $\displaystyle \sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right)=1$ et que $G$ est le barycentre du système de points pondérés $\displaystyle \left( \left( P_j,\sum_{i=0}^p \beta_i\alpha_{i,j} \right); j\in \llbracket 0,n\rrbracket \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}		
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Montrons: $\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right)=1$.}
			
			\begin{align*}
				\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right) &= \sum_{i=0}^p \left( \sum_{j=0}^n \beta_i \alpha_{i,j} \right)\\
				&= \sum_{i=0}^p \beta_i\left( \sum_{j=0}^n \alpha_{i,j} \right)\\
				&= \sum_{i=0}^p \beta_i\\
				&=1
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right)=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Montrons que $G$ est le barycentre.}
			
			Nous avons établi $\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right)\ne 0$.
			
			\begin{align*}
				\intertext{Les sommes étant finies:}
				\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right) \overrightarrow{GP_j} &= \sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j}\overrightarrow{GP_j} \right)\\
				\intertext{$b_i$ étant le barycentre de $\left( (P_j,\alpha_{i,j});j\in \llbracket 0,n\rrbracket \right)$,}
				\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right) \overrightarrow{GP_j} &= \sum_{i=0}^p  \beta_i \left( \sum_{j=0}^n \alpha_{i,j}\overrightarrow{GP_j} \right)\\
				&= \sum_{i=0}^p  \beta_i \left( \sum_{j=0}^n \alpha_{i,j}\right)\overrightarrow{GB_i} \\
				\intertext{Puisque $\sum_{j=0}^n \alpha_{i,j}=1$,}
				\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right) \overrightarrow{GP_j} &= \sum_{i=0}^p  \beta_i \overrightarrow{GB_i} \\
				\intertext{$G$ étant le barycentre du système de points pondérés $\left( (B_i,\beta_i);i\in\llbracket 0,p\rrbracket \right)$}
				\sum_{j=0}^n \left( \sum_{i=0}^p \beta_i \alpha_{i,j} \right) \overrightarrow{GP_j} &= \left( \sum_{i=0}^p  \beta_i \right) \overrightarrow{GG}\\
				&= \vec{0}
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$G$ est le barycentre du système $\left( \left( P_j,\sum_{i=0}^p \beta_i\alpha_{i,j} \right); j\in \llbracket 0,n\rrbracket \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Barycentres et applications affines.}

\begin{sujet}
	
	Soit $g$ une application affine de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$. On rappelle que sa partie linéaire $\varphi_g$ est l'unique endomorphisme de $\overrightarrow{\mathcal{P}}$ tel que, pour tous points $A$, $B$ de $\mathcal{P}$, \[ \overrightarrow{g(A)g(B)}=\varphi_g(\overrightarrow{AB}).\]
	
	Soit $\left( (P_0,\alpha_0),\dots,(P_n,\alpha_n)\right)$ un système de points pondérés de poids total non nul. Démontrer que l'image par $g$ du barycentre du système $\left( (P_0,\alpha_0),\dots,(P_n,\alpha_n)\right)$ est le barycentre du système de points pondérés $\left( (g(P_0),\alpha_0),\dots,(g(P_n),\alpha_n)\right)$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $G$ le barycentre de $\left( (P_0,\alpha_0),\dots,(P_n,\alpha_n)\right)$.	
	\begin{align*}
		\intertext{$g$ étant affine:}
		\sum_{k=0}^n \alpha_k \overrightarrow{g(G)g(P_k)}	&= \sum_{k=0}^n \alpha_k \varphi_g\left( \overrightarrow{GP_k}\right)\\
		\intertext{$\varphi_g$ étant linéaire:}
		\sum_{k=0}^n \alpha_k \overrightarrow{g(G)g(P_k)}	&= \varphi_g\left( \overrightarrow\sum_{k=0}^n \alpha_k {GP_k}\right)\\
		\intertext{$G$ étant le barycentre de $\left( (P_0,\alpha_0),\dots,(P_n,\alpha_n)\right)$:}
		\sum_{k=0}^n \alpha_k \overrightarrow{g(G)g(P_k)}	&= \varphi_g\left( \vec{0} \right)\\
		\intertext{Par linéarité de $\varphi_g$:}
		\sum_{k=0}^n \alpha_k \overrightarrow{g(G)g(P_k)}	&=  \vec{0}
	\end{align*}
	
	et donc
	
	\begin{conclusion}
		
		$g(G)$ est le barycentre de $\left( (g(P_0),\alpha_0),\dots,(g(P_n),\alpha_n)\right)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Partie B: polynômes de Bernstein.}

\begin{sujet}
	
	Pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k$ de l'intervalle $\llbracket 0,n\rrbracket$, on appelle $k$-ième polynôme de Bernstein de degré $n$ le polynôme \[ B_{n,k}(X)=\binom{n}{k} X^k(1-x)^{n-k}.\]
	
\end{sujet}

\setcounter{subsubsection}{4}

\subsubsection{Propriétés des polynômes de Bernstein.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Valeurs en $0$ et en $1$.}
		
		Démontrer que:
		\begin{align*}
			\forall n\in \mathbb{N}, &\quad B_{n,0}(0)=B_{n,n}(1)=1\\\forall n\in\mathbb{N}^*,\ \forall k\in\llbracket1,n\rrbracket, &\quad B_{n,k}(0)=0\\
			\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket,\ &\quad B_{n,k}(1)=0
		\end{align*}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Démontrons: $\forall n\in \mathbb{N},\ B_{n,0}(0)=B_{n,n}(1)=1$.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			$B_{n,0}(0) = \binom{n}{0} 0^0(1-0)^{n-0}=1$.
			
			$B_{n,n}(1) = \binom{n}{n} 1^n(1-1)^{n-n}=1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ B_{n,0}(0)=B_{n,n}(1)=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Démontrons: $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall k\in \llbracket 1,n \rrbracket,\ B_{n,k}(0)=0$.}
			
			Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$. 
			
			$0^k=0$ donc $B_{n,k}(0)\binom{n}{k}0^k (1-0)^{n-k}=0$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall k\in \llbracket 1,n \rrbracket,\ B_{n,k}(0)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Démontrons: $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall k\in \llbracket 0,n-1 \rrbracket,\ B_{n,k}(1)=0$.}
			
			Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$. 
			
			$(1-1)^{n-k}=0$ donc $B_{n,k}(0)\binom{n}{k}1^k (1-1)^{n-k}=0$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall k\in \llbracket 0,n-1 \rrbracket,\ B_{n,k}(1)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Positivité.}
		
		Démontrer que, pour tout nombre réel $t$ dans l'intervalle $[0,1]$, tout entier naturel $n$ et tout entier naturel $k$ de $\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ B_{n,k}(t)\geqslant 0. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons: $\forall n\in \mathbb{N},\ \forall k\in \llbracket 0,n \rrbracket,\ \forall t \in [0,1],\ B_{n,k}(t)\geqslant 0$.}
		
		Soient $n \in \mathbb{N}$, $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$ et $t \in[0,1]$. 
		
		$\binom{n}{k}\geqslant 0$, $t^k\geqslant 0$ car $t \geqslant 0$ et $(1-t)^{n-k} \geqslant 0$ car $t\leqslant 1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ \forall k\in \llbracket 0,n \rrbracket,\ t \in [0,1],\  B_{n,k}(t)\geqslant 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Symétrie.}
		
		Démontrer que, pour tout nombre réel $t$, tout entier naturel $n$ et tout entier naturel $k$ de $\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ B_{n,k}(t)=B_{n,n-k}(1-t).\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $n \in \mathbb{N}$, $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$ et $t \in \mathbb{R}$. 
		
		\medskip
		\objectif{Montrons: $B_{n,k}(t)=B_{n,n-1}(1-t)$.}
		
		\begin{align*}
			B_{n,n-k}(1-t) &= \binom{n}{n-k} (1-t)^{n-k}\left[ 1-(1-t) \right]^{n-(n-k)}\\
			\intertext{Or $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$ donc}
			B_{n,n-k}(1-t) &= \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^{k}\\
			&= B_{n,k}(t)
		\end{align*}		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ \forall k\in \llbracket 0,n \rrbracket,\ t \in \mathbb{R},\  B_{n,k}(t)=B_{n,n-k}(1-t)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Partition de l'unité.}
		
		Démontrer que, pour tout nombre réel $t$ et tout entier naturel $n$, \[ \sum_{k=0}^n B_{n,k}(t)=1.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $n \in \mathbb{N}$, $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $t \in \mathbb{R}$.
		
		\medskip
		\objectif{Montrons que la somme des $B_{n,k}$ égale $1$.}
		
		D'après la formule du binôme:
		\begin{align*}
			\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} t^k(1-t)^{n-k} &= \left[ t+(1-t) \right]^n\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall t \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n B_{n,k}(t)=1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Relations de récurrence.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ et tout nombre réel $t$, 
			\begin{align*}
				B_{n,0}(t) &= (1-t)B_{n-1,0}(t),\\
				B_{n,n}(t) &= tB_{n-1,n-1}(t).
			\end{align*}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, tout entier naturel $k$ de $\llbracket 1, n-1\rrbracket$ et tout nombre réel $t$, \[ B_{n,k}(t)=(1-t)B_{n-1,k}(t)+ t B_{n-1,k-1}(t).\]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Dérivabilité et maximum.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette question, $n$ désigne un entier naturel non nul.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que, pour tout $k \in \llbracket 0, n\rrbracket$, $B_{n,k}$ est dérivable et démontrer les égalités
suivantes, valables pour tout nombre réel $t$:
		\begin{align*}
			B_{n,0}'(t) &= -nB_{n-1,0}(t),\\
			B_{n,n}'(t) &= nB_{n-1,n-1}(t),\\
			\forall n \in \llbracket 1,n-1\rrbracket,\ B_{n,k}'(t) &= n\left( B_{n-1,k-1}(t)-B_{n-1,k}(t) \right).
		\end{align*}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, \[ B_{n,k}'(0)=\left\{\begin{array}{l} -n \text{ si } k=0, \\n \text{ si } k=1,\\ 0 \text{ si } k\geqslant 2. \end{array} \right. \qquad B_{n,k}'(1)=\left\{\begin{array}{l} n \text{ si } k=n, \\-n \text{ si } k=n-1,\\ 0 \text{ si } k\leqslant n-2. \end{array} \right.\]
		
	\end{sujet}
	
	\item Soit $k$ dans $\llbracket 0,n\rrbracket$. Démontrer que la fonction, qui à tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0,1]$ associe $B_{n,k}(t)$, admet un unique maximum, atteint en $\dfrac{k}{n}$. Donner la valeur de ce maximum.
		
\end{enumerate}

\subsubsection{Un peu d'algèbre linéaire.}

\begin{sujet}
	
	Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égale à $2$. Pour $P\in\mathbb{R}[X]$, on note $P'$ son polynôme dérivé et on définit les polynômes $\Phi_n(P)$ et $\Psi_n(P)$ par: \[ \Phi_n(P)(X)=nXP(X)+X(1-X)P'(X),\quad \Psi_n(P)(X)=\sum_{k=0}^nP\left( \frac{k}{n} \right) B_{n,k}(X). \]
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $\Phi_n$ et $\Psi_n$ sont des endomorphismes de $\mathbb{R}_n[X]$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que, pour tout entier $k$ dans $\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ \Phi_n(B_{n,k})(X)=kB_{n,k}(X).\]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que $\left( B_{n,0},B_{n,1},\dots, B_{n,n} \right)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$ et que $\Phi_n(X)$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}_n[X]$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $\Phi_n$ n'est pas bijectif et que $\Psi_n$ est bijectif.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Partie C: courbes de Bézier.}

\begin{sujet}
	
	Les courbes de Bézier ont été inventées à la fin des années 1950 par Pierre Bézier, ingénieur
des usines Renault, pour tracer des profils de carrosserie à l’aide d’un logiciel. Ces courbes
sont également utilisées pour concevoir les polices de caractères dites polices vectorielles,
comme la police Postscript.
	
	\bigskip
	\textbf{Définition.}
	
	Soit $n$ un entier naturel non nul et $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ un $n+1$-uplet de points de $\mathcal{P}$. L'ensemble des points $M(tà)=\mathrm{bar}\left( \left(P_0,B_{n,0}(t)\right), \left(P_1,B_{n,1}(t)\right),\dots,\left(P_n,B_{n,n}(t)\right)\right)$, lorsque $t$ décrit l'intervalle $[0,1]$, s'appelle la courbe de Bézier de points de contrôle $\left( P_0,P_1,\dots, P_n\right)$. On note cette courbe $\Gamma \left( \left( P_0,P_1, \dots,P_n \right) \right)$. Le point $M(t)$ est le point de $\Gamma \left( \left( P_0,P_1, \dots,P_n \right) \right)$ de paramètre $t$.
	
\end{sujet}

\setcounter{subsubsection}{7}

\subsubsection{}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0,1]$, $M(t)$ est bien défini.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0,1]$ \[ \overrightarrow{OM(t)}=\sum_{k=0}^n B_{n,k}(t) \overrightarrow{OP_k}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que les points $P_0$ et $P_n$ appartiennent à la courbe de Bézier $\Gamma \left( \left( P_0,P_1,\dots ,P_n \right)\right)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{}

\begin{sujet}
	
	On considère la courbe de Bézier $\Gamma$ associée aux points de contrôle 
	
	$\left( P_0,P_1,\dots,P_{n-1},P_n \right)$ et la courbe de Bézier $\Gamma'$ associée aux points de contrôle $\left( P_n,P_{n-1},\dots,P_{1},P_0 \right)$ (la liste des points de contrôle de $\Gamma'$ est parcourue en sens inverse de celle des points de contrôle de $\Gamma$).
	
	Pour tout réel $t\in [0,1]$ on pose: \[ \begin{array}{l} M(t)=\mathrm{bar} \left( (P_0,B_{n,0}(t)), (P_1,B_{n,1}(t)),\dots , (P_{n-1},B_{n,n-1}(t)), (P_n,B_{n,n}(t)) \right),\\
	N(t)=\mathrm{bar} \left( (P_n,B_{n,n}(t)), (P_{n-1},B_{n,n-1}(t)),\dots , (P_{1},B_{n,1}(t)), (P_0,B_{n,0}(t)) \right). \end{array} \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout $t \in [0,1],\ M(t)=N(1-t)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut-on en déduire pour les courbes de Bézier $\Gamma$ et $\Gamma'$?
		
	\end{sujet}
		
\end{enumerate}

\subsubsection{ Dans cette question on suppose que $P_0$ et $P_1$ sont distincts et que $P_n$ et $P_{n-1}$ sont distincts.}

\begin{sujet}
	
	Montrer qu'un vecteur tangent en $P_0$ à $\Gamma\left( ( P_0,\dots, P_n) \right)$ est $n \overrightarrow{P_0P_1}$ et préciser un vecteur tangent en $P_n$ à $\Gamma\left( ( P_0,\dots, P_n) \right)$.
	
\end{sujet}

\subsubsection{}

\begin{sujet}
	
	Soit $g$ une application affine
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}