%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                  
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/capes.html}{Capes de mathématique 2018 épreuve 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Capes de mathématique 2018 épreuve 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2018_maths/capes_externe_2018_epreuve_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/capes_2018_maths/capes_externe_2018_epreuve_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\begin{sujet}
	
	Le sujet comporte cinq parties.
	
	\medskip
	\textbf{Notations.}
	
	$\mathbb{N}$ désigne l’ensemble des nombres entiers naturels et $\mathbb{N}^*$ l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
	
	Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,n \rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m\leqslant k \leqslant n$.
	
	$\mathbb{Z}$ désigne l'ensemble des entiers relatifs.
	
	$\mathbb{Q}$ désigne l'ensemble des nombres rationnels.
	
	$\mathbb{R}$ désigne l’ensemble des nombres réels.
	
	On note $\mathrm{e}$ le nombre $\exp(1)$, image de $1$ par la fonction exponentielle.
	
	On rappelle que, pour tout nombre réel $x$, il existe un unique entier relatif $E(x)$ tel que $E(x)\leqslant x <E(x)+1$. Cet entier $E(x)$ est appelé \emph{partie entière de} $x$.
	 
\end{sujet}

\subsection*{Partie A: suites adjacentes.}

\begin{sujet}
	
	Étant données deux suites réelles $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$, on rappelle qu'elles sont dites \emph{adjacentes} si l'une des deux est croissante, l'autre décroissante et si $\lim_{n\to +\infty}(a_n-b_n)=0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose dans cette question que la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et que la suite $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la suite $(a_n-b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n\leqslant b_n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(-b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont croissantes donc $(a_n-b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ l'est aussi.
			
			Puisque de plus $\lim_{n\to +\infty}(a_n-b_n)=0$ nécessairement $a_n-b_n\leqslant 0$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que les suites $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont convergentes  vers une même limite $\ell$ vérifiant: \[ \forall n\in\mathbb{N},\ a_n \leqslant \ell \leqslant b_n. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			l'une est croissante et majorée et l'autre est décroissante et minorée donc elle sont convergente. Comme la limite de la différence est $0$ elle ont la  même limite.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose de plus les suites $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ strictement monotones. Montrer que: \[ \forall n\in\mathbb{N},\ a_n<\ell <b_n. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par l'absurde: si égalité pour un certain rang alors la suite est constante et contredit la stricte monotonie.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $\displaystyle a_n=\sum_{p=0}^n \frac{1}{p!}$ et $\displaystyle b_n=a_n+\frac{1}{n\times n!}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que les suites $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ sont adjacentes.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$(a_n)$ est clairement strictement croissante comme somme de termes strictement positifs.
			
			$b_{n+1}-b_n<0$ donc suite strictement décroissante.
			
			$b_n-a_n=\frac{1}{n \times n!}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\displaystyle \mathrm{e}-a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 (1-t)^n\mathrm{e}^t\ \mathrm{d}t$.
			
			\emph{Indication:} on pourra procéder par récurrence.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\mathrm{e}-a_{n+1}=\mathrm{e}-a_{n}-\frac{1}{(n+1)!}=-\frac{1}{(n+1)!} +\frac{1}{n!}\int_0^1 (1-t)^n\mathrm{e}^t\ \mathrm{d}t=\frac{1}{(n+1)!}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\mathrm{e}^t\ \mathrm{d}t$ avec une intégration par parties.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0<\mathrm{e}-a_n<\frac{1}{n\times n!}$.
			
			En déduire la limite de la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
			
			\emph{Indication:} on pourra étudier les variations de la fonction $t \mapsto (1-t)\mathrm{e}^t$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire une valeur de $n$ telle que $a_n$ soit une valeur approchée de $\mathrm{e}$ à $10^{-5}$ près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$a_7$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose que $\mathrm{e}$ est un nombre rationnel.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Montrer qu'il existe un entier naturel non nul $q$ tel que le nombre $\mathrm{e}q!$ soit un entier naturel.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Si $e=\frac{a}{b}$ avec $(a,b)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ alors $b!\mathrm{e}\in\mathbb{Z}$. D plus $\mathrm{e}>0$ donc $a>0$ et $b!\mathrm{e}\in\mathbb{N}$.
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Montrer que $\displaystyle x= q!\left( \mathrm{e} -\sum_{p=0}^q \frac{1}{p!} \right)$ est un entier naturel.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$q!e\in\mathbb{N}$, $\frac{q!}{p!}\in\mathbb{N}$ car $p\leqslant q$ donc $x \in\mathbb{Z}$. $\mathrm{e}-a_q>0$ donc $x \in\mathbb{N}$.
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Montrer que $0<x<1$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$\frac{1}{q \times q!}>\mathrm{e}-a_q>0$ donc $1>x >0$. 
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Conclure.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Contradiction entre les deux précédentes réponse. Démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\mathrm{e}$.
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$. On rappelle que $f$ est dite \emph{développable en série entière} au voisinage de $0$ s'il existe un nombre réel $R>0$ et une suite $(a_n)_{n\geqslant 0}$ de nombres réels tels que $]-R,R[$ est inclus dans $I$ et: \[ \forall x \in]-R,R[,\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la fonction $x \mapsto \frac{1}{1+x}$ est développable en série entière au voisinage de $0$. Préciser son développement et donner son rayon de convergence de cette série entière.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\forall x \in ]-1;1[,\ \frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k x^k$ somme d'une suite géométrique.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que, pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $]-1,1[$, \[ \ln(1+x)=\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1}. \] On énoncera avec soin le théorème utilisé.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Hypothèses.
			\begin{enumerate}[*]
				\item pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x\mapsto (-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}$ est de classe $\mathcal{C}^1$.
				\item Soit $R \in ]0;1[$. $\sum_{n} x\mapsto (-1)^nx^n$ converge normalement sur $[-R,R]$, donc uniformément, car $\| (-1)^nx^n \|_{\infty, [-R,R]}=R^n$.
				\item $\sum_n (-1)^n \frac{0^{n+1}}{n+1}$ converge.
			\end{enumerate}
			
			On en déduit que 
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $\sum_{n\geqslant 0} x\mapsto (-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n+1}$ converge localement uniformément sur $]-1,1[$.
				\item $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1;1[$.
				\item $\left( \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1} \right)'= \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} x^{n}$.
			\end{enumerate}
			
			Et donc: $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n+1}=\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t}=\ln(1+x)$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour $x\in [0,1]$ et $n\in\mathbb{N}$, on pose $\displaystyle S_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}$.
			
			Démontrer que les deux suites $\left( S_{2n}(x) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left( S_{2n+1}(x) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ sont adjacentes.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$S_{2n+1}(x)-S_{2n}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			$S_{2n+2}(x)-S_{2n}(x)=\frac{x^{2n+2}}{2n+2}-\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\leqslant0$.
			
			$S_{2n+3}(x)-S_{2n+1}(x) \geqslant0$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[ S_{2n+1}(x) \leqslant \ln(1+x) \leqslant S_{2n}(x).\]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[ S_{2n+1}(1)\leqslant \ln(2) \leqslant S_{2n}(1). \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\ln(2)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{k+1}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$S_{2n+1}(1) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\ln(2)$ et $S_{2n}(1) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\ln(2)$ donc $S_{n}(1) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\ln(2)$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B: écriture d'un entier en base deux .}

\begin{sujet}
	
	Le but de cette partie est de démontrer que pour tout entier naturel $N$ supérieur ou égale à $2$ s'écrit de manière unique \[ N=\sum_{k=0}^{n-1} d_k2^k \text{ avec } n\geqslant 2 \text{ et } \left\{ \begin{array}{l} \forall k \in \llbracket 0,n-2 \rrbracket,\ d_k\in \{ 0;1\} \\ d_{n-1}=1 \end{array} \right. \]
	L'égalité précédente se note $N=\overline{d_{n-1}d_{n-2}\dots d_0}$ (écriture de $N$ en base deux); la suite finie $(d_k)_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ s'appelle la suite des chiffres dans l'écriture de $N$ en base deux.
	
	\medskip
	Dans toute cette partie, $N$ désigne un entier naturel supérieur ou égale à $2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $\displaystyle N=\sum_{k=0}^{n-1}d_k2^k$ avec: $\forall k \in \llbracket 0;n-2 \rrbracket,\ d_k\in\{ 0;1\} \text{ et } d_{n-1}=1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $2^{n-1}\leqslant N\leqslant 2^n-1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En sommant les $0\leqslant d_k\leqslant 1$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $d_0$ est le reste  de la division euclidienne de $N$ par $2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$N=2\left( \sum{k=1}^{n-1}d_k2^{k-1} \right)+d_0$ avec $0\leqslant d_0<2$ donc $d_0$ est le reste.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite  $(d_0,\dots,d_{n-1})$ est déterminée de manière unique.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On définit deux suites d'entiers $(y_k)_{k\in\mathbb{N}}$ et $(d_k)_{k\in\mathbb{N}}$ par $y_0=N$ et pour tout entier naturel $k$, $y_{k+1}$ et $d_k$ désignent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $y_k$ par $2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On fixe $k \in\mathbb{N}^*$. Exprimer $N$ en fonction de $k$, $d_0,\dots,d_{k-1}$ et $y_k$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $(y_k)_{k\in\mathbb{N}}$ est nulle à partir d'un certain rang et qu'il existe un entier $n\geqslant 1$ tel que $\overline{d_{n-1}d_{n-2}\dots d_0}$ soit l'écriture de $N$ en base deux.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrire un algorithme qui, pour tout entier naturel $N$ supérieur ou égale à $2$ donné, renvoie la suite $(d_0,d_1,\dots,d_{n-1})$ des chiffres de son écriture en base deux.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrire en base deux le nombre qui s'écrit $391$ en base deux.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se propose à présent de calculer le nombre $N$ qui s'écrit $\overline{d_{n-1}d_{n-2}\dots d_0}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Première méthode: méthode \og naïve\fg{}.
			
			On écrit $N=\sum_{k=0}^{n-1} d_k2^k$. Combien d'opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer a priori pour calculer $N$ avec cette méthode?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Deuxième méthode: méthode de Hörner.
			
			On écrit $N=\left( \left( \left( d_{n-1}\times 2+d_{n-2}\right) \times 2+d_{n-3}\right) \times 2+\dots \right)\times 2+d_0$. Combien d'opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer a priori pour calculer $N$ avec cette méthode?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrire un algorithme qui, pour toute suite de chiffres $(d_0,\dots,d_{n-1})$ donnée, renvoie la valeur de $N$ calculée à l'aide de cette deuxième méthode.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le nombre dont l'écriture en base deux est $\overline{101001000100001}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C: nombres dyadiques.}

\begin{sujet}
	
	L'ensemble $D_2=\left\{ \frac{a}{2^p};\ a\in\mathbb{Z},\ p\in\mathbb{N} \right\}$ est appelé ensemble des nombres dyadiques. On note $D_2^+$ l'ensemble des nombres dyadiques positifs ou nuls.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $\mathbb{Z}$ est strictement inclus dans $D_2$ et que $D_2$ est strictement inclus dans $\mathbb{Q}$. \emph{Indication:} on pourra montrer que $\frac{1}{3}\in D_2$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $x\in D_2^+\setminus \mathbb{N}$. On se propose de démontrer qu'il existe un unique entier $n \geqslant 1$ et une unique suite $(a_0,a_1,\dots,a_n)$ avec $a_0\in\mathbb{N}$ et $(a_1,\dots,a_n)\in \{ 0;1\}^n$ tels que \[ x=\sum_{k=0}^n a_k2^{-k},\ text{avec } a_n\ne 0. \] Le membre de droite de cette égalité  s'appelle le développement dyadique de $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose qu'une telle suite existe. Montrer  que $a_0=E(x)$ puis montrer la suite $(a_0,a_1,\dots,a_n)$ est déterminée de manière unique.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On souhaite à présent montrer l’existence d’une telle suite. À l’aide de la partie précédente, montrer l’existence d’un entier $a_0$, d’un entier $p\geqslant 1$ et d’une suite de nombres entiers $d_0, \dots,d_{p-1}$ égaux à $0$ ou $1$, non tous nuls, tels que \[ x=a_0+\sum_{k=0}^{p-1} d_k2^{k-p}.\]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner le développement dyadique de $\frac{35}{4}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection*{Partie D: développement illimité.}

\begin{sujet}
	
	On appelle suite dyadique toute suite $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ où pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $a_k$ est un élément de $\{0,1\}$. De plus: 
	\begin{itemize}
		\item une suite dyadique $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est dite impropre s'il existe un entier $m\in\mathbb{N}^*$ tel que pour tout $k \geqslant m$, $a_k=1$;
		\item une suite dyadique $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est dite propre si elle n'est pas impropre. 
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $a=(a_k)_{k\in\mathbb{n}^*}$ est une suite dyadique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la série de terme général $a_k2^{-k}$ est convergente. On note sa somme $s(a)=\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $N$ un entier naturel. Que vaut $\sum_{k=N}^{+\infty} 2^{-k}$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que $s(a)\in[0,1]$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si $a$ est une suite dyadique propre, alors $s(a)\in [0,1[$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si a est une suite dyadique impropre, alors $s(a)$ est un nombre dyadique.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $a=(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par \[ a_k=\left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si } k \text{ est impair},\\ 1 \text{ si } k \text{ est pair.} \end{array} \right.\] Montrer que $s(a)=\frac{1}{3}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $x$ un nombre dyadique compris dans l’intervalle $[0, 1[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant les résultats de la partie C, montrer qu’il existe une suite dyadique propre $a$ telle que \[ x=\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}.\]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si $x$ est non nul, alors il existe également une suite dyadique impropre $b$ telle que \[ x=\sum_{k=1}^{+\infty} b_k2^{-k}.\]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on considère un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0, 1[$. On lui associe la suite $\alpha(x)=\left( \alpha_k(x) \right)_{k\in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ par égalité \[ \alpha_k(x)=E(2^kx)-2E(2^{k-1}x).\] pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $u_n(x)=\sum_{k=1}^n \alpha_k(x)2^{-k}$ et $v_n(x)=u_n(x)+2^{-n}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $\left( \alpha_k(x) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est une suite dyadique.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que les deux suites $(u_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(v_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$ sont adjacentes et prennent leurs valeurs dans $D_2 \cap [0;1]$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que $E(2^nx)=2^nu_n(x)$ et en déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, \[ u_n(x)\leqslant x <v_n(x).\]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la limite commune des suites $(u_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(v_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\left( \alpha_k(x)\right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est une suite dyadique propre et que \[ x=\sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k(x)2^{-k}.\]
			
		\end{sujet}
		
		\item 

		\begin{sujet}
			
			En déduire que pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $[0;1[$, il existe une unique suite dyadique propre $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ telle que \[ x=\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}.\] On note alors $x=\overline{0,a_1a_2a_3 \dots}$
			
			Cette nouvelle représentation de $x$ est appelée la \emph{représentation dyadique propre} de $x$. Si la suite $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est nulle à partir d’un certain rang, on dit que la représentation dyadique de $x$ est finie.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si $d=(d_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite dyadique propre, on note $x=s(d)$ et $d'=(d_{n+1})_{n\in\mathbb{N}^*}$. Justifier que $d_1=E(2x)$ et $s(d')=2x-d_1$.
			
			En déduire un algorithme qui prend en entrées un nombre réel $x\in[0;1[$ et un entier $n\in\mathbb{N}^*$ et qui renvoie la liste des $n$ premiers chiffres du développement dyadique propre de $x$. On admettra l'existence d'une fonction \emph{floor} qui renvoie la partie entière de son argument.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $D_2\cap [0;1]$ est dense dans $[0;1]$. En déduire que $D_2$ est dense dans $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $\mathbb{R}\setminus D_2$ est dense dans $\mathbb{R}$.
		
		\emph{Indication:} on pourra utiliser la question 7.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $x$ un nombre réel dans l'intervalle $[0;1[$ dont un développement dyadique, propre ou impropre, est $\overline{0,a_1a_2a_3\dots}$
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le développement dyadique de $1-x$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose que $2x \in [0;1[$. Quel est le développement dyadique de $2x$? Plus généralement quel est le développement dyadique de $2^lx$, lorsque $l$ est un entier relatif et que $2^lx\in[0;1[$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le développement dyadique de $\frac{2}{3}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection*{Partie E: suite extraite de la suite $\left( \cos(n\pi\theta)\right)_{n\in\mathbb{N}}$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{15}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, $\theta$ désigne un nombre réel strictement positif. On pose \[ c_n=\cos(n\pi\theta) \qquad s_n=\sin(n\pi\theta).\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que pour tout entier naturel $n$
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}