%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}


\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{violet}\noindent \underline{Exercice supplémentaire.}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.75\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour souligné l'objetif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}\underline{#1}}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=formname,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
%\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\small }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small  - \thepage]{\small  - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Capes externe de mathématique épreuve 1.}

\begin{sujet}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Problème 1.}

\begin{sujet}

Les parties \textbf{D} et \textbf{E} de ce problème sont indépendantes des parties \textbf{B} et \textbf{C}.

\medskip
\textbf{Notation}

$\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m, n \rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m\le k \le n$.

Soit $I$ un intervalle d $\mathbb{R}$. Pour $n\in\mathbb{N}$, on note $\mathcal{C}^n(I)$ l'ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur $I$, $n$ fois dérivables et dont la dérivée $n$-ième est continue.

Pour $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients réels. $\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ est noté $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

$\mathbb{R}[X]$ désigne le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

Pour tout entier naturel $n$, $\mathbb{R}_n[X]$ désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égale à $n$.

\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: interpolation de Lagrange.}

\begin{sujet}

Soit $n$ un entier supérieur ou égale à $2$ et soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels deux à deux distincts. Pour tout entier $k\in \llbracket 1,n \rrbracket$, on considère le polynôme \[ L_k(X)=\prod_{ \begin{array}{c}1\le i \le n, \\ i\ne k \end{array}} \frac{X-a_i}{a_k-a_i} \]

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $k\in \llbracket 1, n \rrbracket$. Montrer que $L_k$ est l'unique polynôme de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que pour tout $i\in \llbracket 1,n \rrbracket$, \[ P(a_i)=\left\{ \begin{array}{l}0 \text{ si }i\ne k\\ 1 \text{ si } i=k\end{array} \right. \]
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	Il est clair que $L_k$ vérifie bien la propriété proposée. 
	
	Montrons qu'il est unique.
	
	\medskip
	Considérons \[ \varphi :\left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}_{n-1}[X] & \rightarrow & \mathbb{R}^n\\ P & \mapsto & \left( P(a_1,\dots , P(a_n) \right) \end{array} \right. \]
	
	$\varphi$ est une application $\mathbb{R}$-linéaire entre des espaces vectoriels de même dimension. Pour que $\varphi$ soit un isomorphisme il faut et il suffit donc que $\varphi$ soit injective c'est-à-dire que $\mathrm{ker}(\varphi)=\{ 0 \}$.
	
	\medskip
	Soit $P\in \mathbb{R}_{n-1}[X]$.
	
	Si $\varphi(P)=0$, alors $P(a_1)=\dots=P(a_n)=0$. Ainsi $P$ est un polynôme de degré inférieur à $n-1$ qui admet $n$ racines distinctes. Donc $P=0$, et $\varphi$ est injective.
	
	\medskip
	Puisque $\varphi$ est un isomorphisme il existe un unique polynôme $P$ tel que $i\in \llbracket 1,n \rrbracket$, \[ P(a_i)=\left\{ \begin{array}{l}0 \text{ si }i\ne k\\ 1 \text{ si } i=k\end{array} \right. \]
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère l'application \[ F: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}_{n-1}[X] & \rightarrow & \mathbb{R}^n\\ P & \mapsto & \left( P(a_1,\dots , P(a_n) \right) \end{array} \right. \]
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $F$ est une application linéaire.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$(\mathbb{R}_{n-1}[X],+,\cdot )$ et $(\mathbb{R}^n,+,\cdot)$ sont des $\mathbb{R}$-espaces vectoriels.
		
		\medskip
		$F$ est linéaire puisque: $\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \forall (P,Q)\in \left( \mathbb{R}_{n-1}[X] \right) ^2,$ \[ F(\lambda P+Q)=\lambda \left( P(a_1),\dots, P(a_n) \right) +\left( Q(a_1),\dots ,Q(a_n) \right) \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Soit $(e_1,\dots ,e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$. Pour $k\in \llbracket 1, n \rrbracket$, montrer qu'il existe un polynôme $P$ dans $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que $F(P)=e_k$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Nous remarquons, d'après la question \textbf{A}.1, que: $\forall k\in \llbracket 1,n \rrbracket,\ F(L_k)=e_k$.
		
		\medskip
		Ce qui établit l'existence du polynôme $P$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $F$ est surjective, puis justifier que $F$ est bijective.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Montrons que $F$ est surjective.
		
		Soit $y=(y_1,\dots,y_n)\in \mathbb{R}^n$.
		
		Avec les notations de la question précédente: $y=\sum_{1\le k \le n} y_ke_k$.
		
		D'après notre remarque à la question précédente: $y=\sum_{1\le k\le n} y_kF(L_k)$.
		
		Puisque $F$ est $\mathbb{R}$-linéaire: $y=P\left( \sum_{1\le k\le n}y_kL_k \right)$.
		
		Comme $\sum_{1\le k\le n}y_kL_k \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$, nous avons bien établi que $F$ est surjective.
		
		\medskip
		$F$ est une application linéaire surjective entre deux espaces vectoriels de même dimension donc c'est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer qu'il existe un unique polynôme $P\in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que pour tout $k\in \llbracket 1,n \rrbracket , P(a_k)=f(a_k)$. Ce polynôme $P$ est appelé \emph{polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1,\dots ,a_n$}.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$P$ est l'unique antécédent de $(f(a_1),\dots ,f(a_n))$ par la bijection $F$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Exprimer le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1,\dots ,a_n$ à l'aide des polynômes $L_1,\dots,L_n$ et des valeurs de $f$ en $a_1,\dots,a_n$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		On vérifie aisément que si \[ P=\sum_{1\le k \le n}f(a_k)L_k \] alors \[ \forall k\in \llbracket 1 , n \rrbracket,\ P(a_k)=f(a_k) \]
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: erreur d'interpolation.}

\begin{sujet}

Soient $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel supérieur ou égale à $2$. Soit $f$ une fonction dans $\mathcal{C}^n([a,b])$ et $a_1<\dots <a_n$ des nombres réels appartenant à $[a,b]$. On note $P$ le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1,\dots ,a_n$ (on rappelle que $P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]$). Le but de cette partie est de majorer la valeur absolue de la différence entre $f$ et $P$ sur le segment $[a,b]$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $g$ une fonction définie sur $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
	
	\end{sujet}
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		\textbf{Question de cours.} Énoncer le théorème de Rolle.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soient $a<b$ des réels, $f$ une fonction définie sur $[a,b]$.
		
		$ \text{Si:} \left\{\begin{array}{l} f \text{ est continue sur } [a,b],\\ f \text{ est dérivable sur } ]a,b[,\\ \text{et } f(a)=f(b) \end{array}  \right.$
		
		alors: $\exists c\in]a,b[,\ f'(c)=0$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		On suppose que $g$ est $n$ fois dérivable sur $[a,b]$ et s'annule en au moins $n+1$ points distincts de $[a,b]$. Montrer que la fonction dérivée $n$-ième $g^{(n)}$ s'annule en au moins un point de $[a,b]$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Puisque $n\ge 2$ on peut noter pour tout $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$, $P_k$:\og $g^{(k)}$ s'annule en $n+1-k$ points distincts de $[a,b]$\fg{}.
		
		\medskip
		Montrons par récurrence sur $k$ que $P_k$ est vraie pour tout $k\in\llbracket 0,n \rrbracket$.
		
		\medskip
		$P_0$ est vrai par hypothèse.
		
		\medskip
		Soit $k\in \llbracket 0, n-1\llbracket$. Supposons $P_k$ vraie est démontrons qu'alors $P_{k+1}$ l'est aussi.
		
		$g^{(k)}$ s'annule en $n+1-k$ points distincts de $[a,b]$ que nous noterons $\beta_1<\dots <\beta_{n+1-k}$.
		
		Soit $h\in \llbracket 0,n+1-k-1 \llbracket$.
		
		$g^{(k)}$ qui est définie sur $[\beta_h ,\beta_{h+1 }]$ vérifie bien les hypothèses du théorème de Rolle:
			\begin{itemize}
			\item $g^{(k)}$ est continue sur $[\beta_h ,\beta_{h+1}]$,
			\item $g^{(k)}$ est dérivable sur $]\beta_h ,\beta_{h+1}[$,
			\item et $g^{(k)}(\beta_h)=g^{(k)}(\beta_{h+1})=0$.
			\end{itemize}
		
		donc il existe $c_h \in ]\beta_h ,\beta_{h+1}[$ tel que $g^{(k+1)}(c_h)=0$.
		
		Ainsi $g^{(k+1)}$ s'annule en au moins $n-k$ valeurs (nombre d'intervalles $[\beta_h,\beta_{h+1}]$). Autrement dit $P_{k+1}$ est vraie.
		
		\medskip
		Nous avons donc démontré par récurrence que $g^{(k)}$ s'annule en au moins $n+1-k$ points.
		
		En particulier $g^{(n)}$ s'annule en au moins un point.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On fixe $c\in [a,b]$, distinct de $a_1,\dots ,a_n$. On définie la fonction $g_c$ sur $[a,b]$ par \[ g_c(x)=f(x)-P(x)+\left( f(c)-P(c) \right) \prod_{k=1}^n \frac{x-a_k}{c-a_k} \]
	
	\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $g_c$ s'annule en au moins $n+1$ points distincts de $[a,b]$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		On vérifie immédiatement que $g_c(a_1)=\dots = g_c(a_n)=g_c(c)=0$.
		
		Les valeurs $a_1,\dots ,a_n,c$ sont bien distinctes.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $g_c$ est $n$ fois dérivable sur $[a,b]$ puis que $g_c^{(n)}$ s'annule en au moins un point de $[a,b]$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$f\in \mathcal{C}^n([a,b])$ et $x\mapsto -P(x)+\left( f(c)-P(c) \right) \prod_{k=1}^n \frac{x-a_k}{c-a_k}$ est polynomiale donc indéfiniment dérivable.
		
		Donc $g_c\in \mathcal{C}^n([a,b])$.
		
		\medskip
		D'après la question \textbf{B}.1.(b) $g_c^{(n)}$ s'annule en au moins un point de $[a,b]$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Soit $h_c$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h_c(x)=\prod_{k=1}^n \frac{x-a_k}{c-a_k}$.
		
		En remarquant que $h_c$ est une fonction polynôme de degré $n$, donner une expression de $h_c^{(n)}$, puis de $g_c^{(n)}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$h_c$ est une fonction polynomiale de degré $n$ et de coefficient dominant $\prod_{k=1}^n \frac{1}{c-a_k}$.
		
		Par une récurrence immédiate: $h_c^{(n)}(x)=\left( \prod_{k=1}^n \frac{1}{c-a_k} \right) n!$.
		
		\medskip
		Comme $g_c(x)=f(x)-P(x)-(f(c)-P(c))h_c(x)$, que la dérivation est linéaire, que $P$ est de degré au plus $n-1$: $g_c^{(n)}(x)= f^{(n)}(x)-\left( f(c)-P(c) \right) h_c^{(n)}(x)$.
		
		Et donc: $g_c^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-n!\left( f(c)-P(c) \right) \prod_{k=1}^n \frac{1}{c-a_k}$.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item 
		
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Déduire des questions précédentes qu'il existe un réel $\zeta\in [a,b]$ tel que \[ f(c)-P(c)=\frac{f^{(n)}(\zeta)}{n!}\prod_{k=1}^n (c-a_k)\]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		D'après la question \textbf{B}.2, il existe $\zeta \in [a,b]$ tel que $g_c(\zeta) =0$. Autrement dit: $f^{(n)}(x)-n!\left( f(c)-P(c) \right) \prod_{k=1}^n \frac{1}{c-a_k}=0$ et donc \[ f(c)-P(c)=\frac{f^{(n)}(\zeta)}{n!}\prod_{k=1}^n (c-a_k)\]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que le résultat établi dans la question \textbf{B}.3.(a) reste vraie si $c$ est égal à l'un des $a_k$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$P$ est le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1,\dots ,a_n$ donc:
		
		$\left[ \exists k\in\llbracket 1, n \rrbracket ,\ c=a_k \right] \Rightarrow \left[ f(c)-P(c)=\frac{f^{(n)}(\zeta) }{n!} \prod_{k=1}^n (c-a_k)=0 \right]$
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire que \[ \displaystyle \max_{x\in [a,b]} |f(x)-P(x)|\le \frac{1}{n!}\max_{x\in [a,b]}|f^{(n)}(x) | \times \max_{x\in [a,b]} \prod_{k=1}^n |x-a_k|\]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soit $c\in [a,b]$.
		
		D'après la question précédente \[ \exists \zeta \in [a,b],\ f(c)-P(c)=\frac{f^{(n)}(\zeta)}{n!}\prod_{k=1}^n (c-a_k) \]
		
		Or \[ \left| \frac{f^{(n)}(\zeta)}{n!} \right|  \le \max_{\zeta \in [a,b]} \left| \frac{f^{(n)}(\zeta)}{n!} \right| =\frac{1}{n!}\max_{x\in [a,b]} \left| f^{(n)}(x) \right| \]
		et \[ \left| \prod_{k=1}^n (c-a_k)\right| \le \max_{c\in [a,b]} \left| \prod_{k=1}^n (c-a_k) \right|=\max_{x\in [a,b]} \left| x-a_k\right| \]
		
		donc \[ \left| f(c)-P(c) \right| \le \frac{1}{n!}\max_{x\in [a,b]}|f^{(n)}(x) | \times \max_{x\in [a,b]} \prod_{k=1}^n |x-a_k|\]
		
		Et enfin:
		\[ \max_{c\in [a,b]} \left| f(c)-P(c) \right| \le \frac{1}{n!}\max_{x\in [a,b]}|f^{(n)}(x) | \times \max_{x\in [a,b]} \prod_{k=1}^n |x-a_k|\]
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: un exemple.}

\begin{sujet}

Dans cette partie, on interpole de deux manières différentes la fonction \[ f: \left\{ \begin{array}{rcl} [0,\pi ] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \sin(x) \end{array} \right. \]

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Première méthode}. On considère le polynôme d'interpolation $P$ de $f$ en les points d'abscisses $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Calculer $P$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		D'après \textbf{A}.3.(b) \[ P=\sum_{1\le k \le n} f(a_k)L_k \]
		Donc
		
		\begin{align*}
		P(X) &= \sin(0)\cdot L_1(X) +\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)L_2(X)+\sin(\pi) L_3(X)\\
		&= \frac{X-0}{\frac{\pi}{2}-0} \cdot \frac{X-\pi}{\frac{\pi}{2}-\pi}\\
		&= -\left( \frac{2}{\pi} \right) ^2X(X-\pi)
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En utilisant les résultats de la partie \textbf{B}, montrer que pour tout $x\in [0,\pi]$, \[ \left| f(x)-P(x) \right| \le \max_{x\in[0,\pi]} \frac{\left| x\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x-\pi)\right|}{6} \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Pour $x\in [0,\pi]$, $f^{(3)}(x)=-\cos(x)$.
		
		Donc \begin{align*}
		&\frac{1}{n!}\max_{x\in [a,b]}|f^{(n)}(x) | \times \max_{x\in [a,b]} \prod_{k=1}^n |x-a_k|\\
		\intertext{est successivement égal à}
		&\frac{1}{6} \max_{x\in [0,\pi]} |-\cos(x)| \times \max_{x\in [0,\pi]} \left| x\left( x-\frac{\pi}{2} \right) (x-\pi) \right|\\
		&\frac{1}{6}\max_{x\in [0,\pi]} \left| x\left( x-\frac{\pi}{2} \right) (x-\pi) \right|
		\end{align*}
		
		D'après \textbf{B}.3.(c) \[ \forall x\in [0,\pi],\ \left| f(x)-P(x) \right| \le \max_{x\in[0,\pi]} \frac{\left| x\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x-\pi)\right|}{6} \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire que pour tout $x\in [0,\pi]$, \[ \left| f(x)-P(x) \right|\le \frac{\pi^3\sqrt{3}}{216} \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Étudions les variation de $r:x\mapsto x\left(x-\frac{\pi}{2} \right)(x-\pi)$ sur $[0,\pi]$.
		
		\medskip
		En développant
		\begin{align*}
		r(x) &= x^3-\frac{3\pi}{2} x^2+\frac{\pi^2}{2}\\
		\intertext{En dérivant:}
		r'(x) &=3x^2-3\pi x+\frac{\pi^2}{2}
		\end{align*}
		
		Recherchons les racines de ce trinôme Comme $\Delta= b^2-4ac= 9\pi^2-6\pi^2=3\pi^2$ il admet eux racines réelles distinctes: $x_1=\frac{3\pi-\sqrt{3\pi^2}}{2\times 3}=\frac{\pi}{6}(3-\sqrt{3})$ et $x_2=\frac{\pi}{6}(3+\sqrt{3})$.
		
		D'où le tableau de variation de $r$:
		
			\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $r'(x)$ /0.8, $r(x)$ /1.6}
		{$0$ ,$x_1$, $x_2$, $\pi$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\tkzTabVar {-/ $0$, +/ $r(x_1)$, -/ $r(x_2)$, +/ $\pi$ / }
		\end{tikzpicture}
		
		Or:
		\begin{align*}
		r(x_1) &= \frac{\pi}{6}(3-\sqrt{3})\left( -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} \right) \left( -\frac{\pi}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{6}\right)\\
		&=\frac{\pi^3}{6^3}\sqrt{3}(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})\\
		&=\frac{\pi^3\sqrt{3}}{6^2}
		\end{align*}
		
		et, de même:
		\begin{align*}
		r(x_2) &= -\frac{\pi^3\sqrt{3}}{6^2}
		\end{align*}
		
		\medskip
		Nous en déduisons l'encadrement: $0\le |\frac{r(x)}{6}| \le \frac{\pi^3\sqrt{3}}{6^3}$.
		
		Enfin \[  \left| f(x)-P(x) \right|\le \frac{\pi^3\sqrt{3}}{216} \]
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Seconde méthode.} On choisit un entier $n\ge 1$.
	
	Pour tout $k\in \llbracket 0,n-1 \llbracket$, on note $P_k$ le polynôme (de degré inférieur ou égale à $1$) d'interpolation de $f$ aux points d'abscisses $\frac{k\pi}{n}$ et $\frac{(k+1)\pi}{n}$. On note $Q_n$ la fonction affine par morceaux définie par: \[  Q_n(x)=\left\{ \begin{array}{l}
	\displaystyle P_0(x) \text{ si } 0\le x < \frac{\pi}{n},\\
	\\
	\displaystyle P_1(x) \text{ si } \frac{\pi}{n} \le x < \frac{2\pi}{n},\\
	\vdots\\
	\displaystyle P_k(x) \text{ si } \frac{k\pi}{n}\le x < \frac{(k+1)\pi}{n}\ (k\in \llbracket 0,n-2\rrbracket),\\
	\vdots\\
	\displaystyle P_{n-1}(x) \text{ si }\frac{(n-1)\pi}{n} \le x <\pi
	\end{array} \right. \]
	
	\end{sujet}
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Calculer $Q_1$ et $Q_2$. Tracer la courbe représentative de $Q_2$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$Q_1(X)=P_0(X)=\sin(0)L_1+\sin(\pi)L_2(X)=0$
		
		\medskip
		Si $0\le x < \frac{\pi}{2}$, alors
		\begin{align*}
		Q_2(x) &= P_0(x)\\
		&=\sin(0)L_1(x)+\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) L_2(x)\\
		&= L_2(x)\\
		&= \frac{x-0}{\frac{\pi}{2}-0}\\
		&=\frac{2}{\pi}x
		\end{align*}
		
		Si $\frac{\pi}{2} \le x <\pi$, alors
		\begin{align*}
		Q_2(x) &= P_1(x)\\
		&=\sin\left( \frac{\pi}{2}\right)L_1(x)+\sin\left( \pi \right) L_2(x)\\
		&= L_1(x)\\
		&= \frac{x-\pi}{\frac{\pi}{2}-\pi}\\
		&=-\frac{2}{\pi}(x-\pi)
		\end{align*}
		
		
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{4};
	\def\yZ{2};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x};
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\y};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:{pi/2}] plot(\x,{2*\x/pi});
	\draw[blue, thick][samples=100,domain={pi/2}:{pi}] plot(\x,{-2*(\x-pi)/pi});
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Justifier que $Q_n$ est continue sur $[0,\pi]$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Pour tout $k\in \llbracket 0, n-1\rrbracket$, $P_k$ est une fonction affine donc continue sur $\left[ \frac{k\pi}{n},\frac{(k+1)\pi}{n} \right[$.
		
		De plus si $k\in \llbracket 0, n-2 \rrbracket$, alors
		\begin{align*}
		P_k(x)&= \sin \left( \frac{k\pi}{n} \right)\frac{x-\frac{(k+1)\pi}{n}}{\frac{k\pi}{n}-\frac{(k+1)\pi}{n}} + \sin \left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right)\frac{x-\frac{k\pi}{n}}{\frac{(k+1)\pi}{n}-\frac{k\pi}{n}}
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
		P_k(x) &= -\frac{n}{\pi}\sin \left( \frac{k\pi}{n} \right) \cdot \left( x-\frac{(k+1)\pi}{n} \right)+\frac{n}{\pi}\sin\left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right) \cdot \left( x-\frac{k\pi}{n} \right)
		\end{align*}
		
		En particulier:
		\begin{align*}
		P_k\left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right) &= \sin\left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right)
		\end{align*}
		
		Or de même
		\[ P_{k+1}(x) = -\frac{n}{\pi}\sin \left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right) \cdot \left( x-\frac{(k+2)\pi}{n} \right)+\frac{n}{\pi}\sin\left( \frac{(k+2)\pi}{n} \right) \cdot \left( x-\frac{k\pi}{n} \right) \]
		
		et donc
		\[ P_{k+1}\left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right)= \sin \left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right) \]
		
		\medskip
		Ainsi $Q_n$ est continue sur $[0,\pi[$ et il est clair que $P_{n-1}$ est prolongeable par continuité en $\pi$ en prenant la valeur $0$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Soit $k\in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$. Montrer que pour tout $x\in \left[ \frac{k\pi}{n},\frac{(k+1)\pi}{n} \right]$, \[ \left| \left( x-\frac{k\pi}{n} \right) \left( x-\frac{(k+1)\pi}{n} \right) \right| \le \frac{\pi^2}{4n^2} \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		La fonction $t:x\mapsto \left( x-\frac{k\pi}{n} \right) \left( x-\frac{(k+1)\pi}{n} \right)$ est polynomiale de degré 2.
		
		Son extremum est atteint en $\frac{\frac{k\pi}{n}+\frac{(k+1)\pi}{n}}{2}=\frac{k\pi}{n}+\frac{\pi}{2n}$.
		
		Le coefficient dominant de $t$ étant positif nous en déduisons son tableau de variation:
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $t(x)$ /1.6}
		{$\frac{k\pi}{n}$ ,$\frac{k\pi}{n}+\frac{\pi}{2n}$, $\frac{(k+1)\pi}{n}$}
		\tkzTabVar {+/ $0$, -/ $-\left( \frac{\pi}{2n} \right)^2$, +/$0$}
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $x\in [0,\pi]$, \[ |f(x)-Q_n(x)|\le \frac{\pi^2}{8n^2}. \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soit $x\in [0,\pi]$.
		
		$\exists k\in \llbracket 0,n-1 \rrbracket , |f(x)-Q_n(x)|= |f(x) -P_k(x)-$.
		
		$P_k$ étant le polynôme d'interpolation de $f$ en les points $\frac{k\pi}{n}$ et $\frac{(k+1)\pi}{n}$ donc, d'après la question \textbf{B}.3.(c):
		
		\[ |f(x)-P_k(x)| \le \frac{1}{2!}\max_{x\in [0,\pi]}|f^{(2)}(x) | \times \max_{x\in [0,\pi]} \left| \left( x-\frac{k\pi}{n} \right) \left( x-\frac{(k+1)\pi}{n} \right) \right| \]
		
		Et d'après la question précédente \[ |f(x)-P_k(x)| \le \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\pi^2}{4n^2} \]
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Parmi ces deux méthodes d'approximation, quelle est la meilleure? Justifier la réponse.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$\frac{\pi^2}{8n^2}>0$, $\frac{\pi^3\sqrt{3}}{216}>0$ et $\displaystyle \frac{\frac{\pi^2}{8n^2}}{\frac{\pi^3\sqrt{3}}{216}}=\frac{27}{\pi\sqrt{3}}>1$.
	
	Donc $\frac{\pi^2}{8n^2}>\frac{\pi^3\sqrt{3}}{216}$.
	
	La première méthode est la meilleure.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: déterminant de Vandermonde.}

\begin{sujet}

On considère la matrice de Vandermonde \[ A= \begin{pmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \dots & a_1^{n-1} \\
1 & a_2 & a_2^2 & \dots & a_2^{n-1}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
1 & a_n & a_n^2 & \dots & a_n^{n-1} \\
\end{pmatrix} \]
où $n$ est un entier naturel supérieur ou égale à $2$ et $a_1,\dots ,a_n$ sont des nombres réels.

On cherche à déterminer par deux méthodes différentes une condition nécessaire et suffisante portant sur les $a_k$ pour que $A$ soit inversible.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Calculer le déterminant de $A$ lorsque $n=2$ et $n=3$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$\begin{vmatrix}
	1 & a_1\\
	1 & a_2 \\
	\end{vmatrix} =1\cdot a_2-1\cdot a_1=a_2-a_1$.
	
	et
	
	$\begin{vmatrix}
	1 & a_1 & a_1^2\\
	1 & a_2 & a_2^2 \\
	1 & a_3 & a_3 ^2 \\
	\end{vmatrix}= a_2 a_3^2 +a_1a_2^2 +a_1^2a_3-a_2a_1^2-a_2^2a_3-a_1a_3^2$
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Première méthode}.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $A$ est la matrice de l'application linéaire $F$ définie dans la question \textbf{A}.2 dans des bases bien choisies.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$A$ est la matrice de $F$ dans les bases canoniques des espaces $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ et $\mathbb{R}^n$.
		
		$F(X^h)=(a_1^h,\dots ,a_n^h)=\sum_{i=1}^n a_i^h \cdot e_i$
		
		Autrement dit \[ \mathrm{Mat}_{(1,X,\dots, X^{n-1}),(e_1,\dots ,e_n)}(F)=A \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire que si les $a_k$ sont deux à deux distincts $A$ est inversible.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Nous avons établi dans la partie \textbf{A} que si les $a_k$ sont distincts $F$, et donc $A$, est inversible.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Qu'en est-il si deux des $a_k$ sont égaux?
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Supposons par exemple que $a_1=a_2$, alors $F(P)=0$ lorsque $P(X)=(X-a_2)\dots (X-a_n)$ et pourtant $P\ne 0$ donc $F$ n'est pas injective et \emph{a fortiori} pas bijective.
		
		Si deux des $a_k$ sont égaux alors $A$ n'est pas inversible.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Conclure.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Nous avons démontré avec les questions \textbf{D}.2.(b) et \textbf{D}.2.(c) nous avons démontré par conditions nécessaire et suffisante que $A$ est inversible si et seulement si les $a_k$ sont deux à deux distincts.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Seconde méthode}. On considère le polynôme \[ P(X)=(X-a_1)\dots (X-a_{n-1}). \]
	
	\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer qu'il existe des réels $\lambda_0,\dots ,\lambda_{n-2}$ tels que \[ P(X)=X^{n-1}+\lambda_{n-2}X^{n-2}+\dots +\lambda_1X+\lambda_0. \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		En développant l'expression factorisée de $P$ nous voyons que son monôme dominant est $X^{n-1}$ donc $P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]$ et: $\exists (\lambda_0,\dots ,\lambda_{n-2})\in \mathbb{R}^{n-1},\ P(X)= X^{n-1}+\lambda_{n-2}X^{n-2}+\dots +\lambda_1X+\lambda_0$. 
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		On note $C_1,\dots ,C_n$ les colonnes de $A$. Montrer que \[ C_n+\lambda_{n-2}C_{n-1}+\dots +\lambda_0C_1= \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ P(a_n) \\ \end{pmatrix} \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Clairement \[ C_n+\lambda_{n-2}C_{n-1}+\dots +\lambda_0C_1= \begin{pmatrix} P(a_1) \\ \vdots \\ P(a_n) \\ \end{pmatrix} \]
		
		Or par construction les $a_1,\dots ,a_{n-1}$ sont les racines de $P$ donc \[ \begin{pmatrix} P(a_1) \\ \vdots \\ P(a_n) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ P(a_n) \\ \end{pmatrix} \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire que  \[ \det(A)=P(a_n) \begin{vmatrix}
		1 & a_1 & a_1^2 & \dots & a_1^{n-2} \\
		1 & a_2 & a_2^2 & \dots & a_2^{n-2}\\
		\vdots & \vdots &  & \vdots \\
		1 & a_{n-1} & a_{n-1}^2 & \dots & a_{n-1}%^{n-2} \\
		\end{vmatrix} \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		La valeur d'un déterminant est inchangée si l'on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes donc 
		\begin{align*}
		\det(A) &= \left| C_1, \dots, C_n\right|\\
		&= \left| C_1,\dots, C_{n-1}, C_n+\lambda_{n-2}C_{n-1}+\dots +\lambda_0C_1\right| \\
		\intertext{D'après la question précédente:}
		\det(A) &= \left| C_1,\dots ,C_{n-1}, \begin{pmatrix}0 \\ \vdots \\ 0 \\ P(a_n) \end{pmatrix} \right| \\
		\intertext{En développant par rapport à la dernière colonne:}
		\det(A) &= P(a_n) \begin{vmatrix}
		1 & a_1 & a_1^2 & \dots & a_1^{n-2} \\
		1 & a_2 & a_2^2 & \dots & a_2^{n-2}\\
		\vdots & \vdots &  & \vdots \\
		1 & a_{n-1} & a_{n-1}^2 & \dots & a_{n-1}%^{n-2} \\
		\end{vmatrix}
		\\
		\intertext{En réitérant le développement:}
		\det(A) &= P(a_n) \times \prod_{i=1}^{n-2} (a_{n-1}-a_i) \begin{vmatrix}
		1 & a_1 & a_1^2 & \dots & a_1^{n-3} \\
		1 & a_2 & a_2^2 & \dots & a_2^{n-3}\\
		\vdots & \vdots &  & \vdots \\
		1 & a_{n-2} & a_{n-2}^2 & \dots & a_{n-2}^{n-3} \\
		\end{vmatrix}
		\\
		\det(A) &= \prod_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i) \times \prod_{i=1}^{n-2} (a_{n-1}-a_i) \times \dots \times \prod_{i=1}^{2} (a_3-a_i) \times (a_2-a_1)\\
		\det(A) &= \prod_{1\le i < j \le n}^{n-2} (a_j-a_i)
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Conclure.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$A$ est inversible si et seulement si  $\det(A)\ne 0$. Autrement dit d'après la question précédente si et seulement si $i\ne j \Rightarrow a_i\ne a_j$
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Partie E: application à la recherche de paraboles.}

\begin{sujet}

On fixe trois points distincts $A_1$, $A_2$, $A_3$ du plan affine euclidien. On recherche toutes les paraboles de ce plan passant par $A_1$, $A_2$ et $A_3$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Dans cette question, on impose en plus aux paraboles recherchées d'avoir un axe parallèle à une droite $D$ donnée. On choisit un repère orthonormé du plan tel que $D$ ait pour équation $x=0$. Par définition , les paraboles d'axes parallèles à $D$ sont les les courbes d'équation \[ y=\alpha x^2 +\beta x+ \gamma, \] avec $(\alpha, \beta, \gamma)\in \mathbb{R},\ \alpha \ne 0$. Les coordonnées du point $A_i$ dans ce repère sont notées $(a_i,b_i)$ pour $1\le i \le 3$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que la recherche des paraboles d'axe parallèle à $D$ et passant par les points $A_1$, $A_2$ et $A_3$ est équivalente à la recherche des solutions $(\gamma, \beta, \alpha )$, avec $\alpha \ne 0$, du système: \[ (S): \left\{ \begin{array}{l} \gamma +a_1\beta +a_1^2\alpha =b_1,\\ \gamma +a_2\beta +a_2^2\alpha =b_2,\\ \gamma +a_3\beta +a_3^2\alpha =b_3. \end{array} \right. \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soit $i\in \llbracket 1,3 \rrbracket$ et $\Gamma$ une parabole d'axe parallèle à $D$.
		
		Par définition: $A_i(a_i,b_i) \in \Gamma \Leftrightarrow b_i=\alpha a_i^2 +\beta a_i+\gamma$.
		
		Donc:
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} A_1(a_1,b_1) \in \Gamma \\ A_2(a_2,b_2) \in \Gamma \\ A_3(a_3,b_3) \in \Gamma \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b_1=\alpha a_1^2 +\beta a_1+\gamma \\ b_2=\alpha a_2^2 +\beta a_2+\gamma \\ b_3=\alpha a_3^2 +\beta a_3+\gamma \end{array} \right. \]
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que si deux points $A_i$ ont la même abscisse $(S)$ n'a aucune solution.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Si $a_1=a_2$ alors, d'après les deux premières lignes du système, $b_1=b_2$. Autrement dit $A_1=A_2$ ce qui est impossible les points $A_i$ étant supposés distincts (deux à deux).
		
		Sous cette hypothèse le système n'admet pas de solution.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		On suppose que les abscisses des points $A_i$ sont deux à deux distinctes.
		
		\end{sujet}
		
			\begin{enumerate}
			\item \begin{sujet}
			
			Montrer que le système $(S)$ possède une unique solution $(\gamma ,\beta, \alpha )$.
			
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
			
			La matrice du système est $\begin{pmatrix}
			1 & a_1 & a_1^2\\
			1 & a_2 & a_2^2\\
			1 & a_{3} & a_{3}^2\\
			\end{pmatrix}$.
			
			Le déterminant de cette matrice est un déterminant de Vandermonde. D'après la partie D, ce dernier est inversible si et seulement si les $a_i$ sont deux à deux distincts. Cette dernière hypothèse étant supposée vraie par l'énoncé, nous pouvons affirmer que le système $(S)$ possède une unique solution.
			
			\end{correction}
			
			\item \begin{sujet}
			
			Exprimer $\alpha$ sous forme d'un quotient de déterminants.
			
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons les formules de Cramer:}
			
			\begin{center}
			\begin{tabular}{m{8cm}}
			Soient $(S)$ un système d'équation de Cramer d'écriture matricielle $AX=B$, l'unique solution $(S)$ est le $n$-uplet $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ tel que: \[ \forall i\in \llbracket 1, n\rrbracket,\ x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \] où $A_i$ est la matrice obtenue à partir de $A$ en remplaçant sa $i^{\text{ème}}$ colonne par $B$. \\ \end{tabular}
			\end{center}
			
			Démontrons ce résultat.
			
			Notons $(C_i)_{1\le i \le n}$ les colonnes de $A$. Comme $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$  est solution de $(S)$ \[ \sum_{1\le i \le n} x_iC_i=B \]
			Donc, pour $j\in \llbracket 1,n \rrbracket$:
			\begin{align*}
			\det(A_j) &= \det(C_1,\dots ,C_{j-1},B,C_{j+1},\dots ,C_n)\\
			&= \sum_{1\le i \le n} \det(C_1,\dots ,C_{j-1},x_iC_i,C_{j+1},\dots ,C_n)\\
			&= \sum_{1\le i\le n} x_i \det(C_1,\dots ,C_{j-1},C_i,C_{j+1},\dots ,C_n)\\
			&= x_j\det(C_1,\dots ,C_{j-1},C_j,C_{j+1},\dots ,C_n)\\
			&= x_i \det (A)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
			
			Donc ici $ \alpha =\frac{ 
			\begin{vmatrix}
			1 & a_1 & b_1\\
			1 & a_2 & b_2 \\
			1 & a_3 & b_3\\
			\end{vmatrix} 
			}
			{
			\begin{vmatrix}
			1 & a_1 & a_1^2\\
			1 & a_2 & a_2^2 \\
			1 & a_3 & a_3^2\\
			\end{vmatrix} 
			}
			$
			
			\end{conclusion}
						
			\end{correction}
			
			\item \begin{sujet}
			
			Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
			
				\begin{enumerate}[(i)]
				\item $\alpha =0$,
				\item $\begin{vmatrix}
				a_2-a_1 & b_2-b_1 \\
				a_3-a_1 & b_3-b_1 \\
				\end{vmatrix} =0$
				\item $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont alignés.
				\end{enumerate}
			
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
			
			\objectif{Montrons que $(i) \Leftrightarrow (ii)$.}
			
			D'après la question précédente
			
			\begin{align*}
			\alpha =0 &\Leftrightarrow 
			\begin{vmatrix}
			1 & a_1 & b_1\\
			1 & a_2 & b_2 \\
			1 & a_3 & b_3\\
			\end{vmatrix} =0 \\
			\intertext{En soustrayant la première ligne aux deux autres}
			\alpha =0 &\Leftrightarrow 
			\begin{vmatrix}
			1 & a_1 & b_1\\
			1-1 & a_2-a_1 & b_2-b_1 \\
			1-1 & a_3-a_1 & b_3-b_1\\
			\end{vmatrix} =0\\
			& \Leftrightarrow
			\begin{vmatrix}
			1 & a_1 & b_1\\
			0 & a_2-a_1 & b_2-a_1 \\
			0 & a_3-a_1 & b_3-a_1\\
			\end{vmatrix} =0 \\
			\intertext{En développant par rapport à la première colonne}
			\alpha =0 & \Leftrightarrow 
			\begin{vmatrix}
			a_2-a_1 & b_2-b_1 \\
			a_3-a_1 & b_3-b_1\\
			\end{vmatrix} =0
			\end{align*}
			
			\medskip
			\objectif{Montrons que $(ii) \Leftrightarrow (iii)$.}
			
			\begin{align*}
			\begin{vmatrix}
			a_2-a_1 & b_2-b_1 \\
			a_3-a_1 & b_3-b_1\\
			\end{vmatrix} =0
			&\Leftrightarrow
			\left\{ 
			\begin{pmatrix}
			a_2-a_1\\
			b_2-a_1
			\end{pmatrix}
			,
			\begin{pmatrix}
			a_3-a_1\\
			b_3-a_1
			\end{pmatrix}
			\right\}
			\text{ est une famille libre}\\
			&\Leftrightarrow
			\left\{ \overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3} \right\} \text{ est une famille libre}
			\end{align*}
			
			Ce qui équivaut à dire que $\overrightarrow{A_1A_2}$ et $\overrightarrow{A_1A_3}$ sont colinéaires. Autrement dit $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont colinéaires.
			
			\end{correction}
				
			
			\end{enumerate}
		
		\end{enumerate}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que le problème admet une solution si et seulement si $A_1$, $A_2$, $A_3$ ne sont pas alignés et aucune des droites $(A_1A_2)$, $(A_2,A_3)$ et $(A_1A_3)$ n'est parallèle à $D$.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\section{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}