%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/ens_bl.html}{Sujet de mathématique de l'E.N.S B/L 2014} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Sujet de mathématique de l'E.N.S lettres et sciences sociales B/L 2014.}

\begin{center}
	
	Durée: 4 heures.
	
	Calculatrice interdite.
	
\end{center}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les trois exercices qui suivent sont indépendants et peuvent donc être abordés dans un ordre laissé au libre choix du candidat.}
		
	\emph{Dans l'ensemble du sujet, pour répondre à une question, le candidat pourra admettre les résultats des questions précédentes, du moment qu'il l'aura clairement indiqué.}
	
	\emph{Il est demandé de soigneusement numéroter les questions. Il sera fait grand cas lors de la correction de la clarté, de la concision et de la précision de la rédaction.}

\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Exercice.}

\begin{sujet}
	
	Pour tout entier $n\ge 2$ on note $F_n$ la matrice à $n+1$ lignes et $n-1$ colonnes telle que, pour tout $k$, la $k$-ième colonne a tous ses coefficients nuls sauf le $k$-ième et le $(k+2)$-ième qui valent $1$. Ainsi \[ F_2=\begin{pmatrix}1\\0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad F_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad F_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le rang de $F_3$ dans $\mathbb{R}^4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $\mathrm{rg}(F_3)$.}
		
		Le rang d'une matrice est inférieur au minimum de son nombre de ligne et de colonne. Donc ici \[ \mathrm{rg}(F_3) \le 2. \]
		
		Comme les deux premières lignes de $F_3$ sont des vecteurs libres (matrice échelonnée, ou triangulaire) nous pouvons affirmer que \[ \mathrm{rg}(F_3) \ge 2 . \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathrm{rg}(F_3)=2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer pour $n$ quelconque le rang de $F_n$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $\mathrm{rg}(F_n)$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$.}
		
		Soit $n\ge$ un entier naturel.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $F_n$ est formée de $n-1$ colonnes et de $n+1$ lignes donc \[ \mathrm{rg}(F_n) \le n-1. \]
			
			\item 
			Démontrons que les $n-1$ colonnes de $F_n$, $C_1$, $\dots$, $C_{n-1}$, forment une famille libre.
			
			{\color{orange}Nous devons donc établir, par définition d'une famille libre, que \[ {\color{red}\forall \lambda_1, \dots , \lambda_n \in \mathbb{R}},\ {\color{blue}\lambda_1 C_1 + \cdots + \lambda_{n-1} C_{n-1} =0} \Rightarrow {\color{violet}\lambda_1= \cdots = \lambda_{n-1}=0}. \]
			
			Il s'agit d'une propriété universelle. Pour la démontrer nous "fixons" un choix de coefficients $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}$.
			}
			
			{\color{red}Soit $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1} \in \mathbb{R}$.}
			
			{\color{orange} Pour démontrer que l'implication est vraie je suppose que la prémisse de l'implication est vrai et nous démontrerons qu'alors forcément le second prédicat est vrai.}
			
			{\color{blue}Supposons que: $\lambda_1 C_1 + \cdots + \lambda_{n-1} C_{n-1} =0$}. Démontrons que (forcément): $\color{violet}\lambda_1= \cdots =\lambda_{n-1}=0$.
			
			\[ \lambda_1 C_1 + \cdots + \lambda_{n-1} C_{n-1} =0 \] équivaut successivement à
			
			\[ \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
			+ \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
			+ \lambda_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
			+ \cdots
			+ \lambda_{n-3} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
			+ \lambda_{n-2} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
			+ \lambda_{n-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
			=0 \]
			
			\[ 
			\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_1 +\lambda_3 \\ \lambda_2 +\lambda_4 \\ \lambda_3 +\lambda_5 \\ \vdots \\ \lambda_{n-7} +\lambda_{n-5} \\ \lambda_{n-6} +\lambda_{n-4} \\ \lambda_{n-5} +\lambda_{n-3} \\ \lambda_{n-2} \\ \lambda_{n-1} \end{pmatrix}
			=0 \]
			
			{\color{orange} Comme ici $0$ désigne le zéro de $\mathbb{R}^{n-1}$:}
			
			\[ 
			\left\{ 
			\begin{array}{rcl} \lambda_1 & = & 0 \\ \lambda_2 & = & 0 \\ \lambda_1 +\lambda_3 & = & 0 \\ \lambda_2 +\lambda_4 & = & 0 \\ \lambda_3 +\lambda_5 & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \lambda_{n-7} +\lambda_{n-5} & = & 0 \\ \lambda_{n-6} +\lambda_{n-4} & = & 0 \\ \lambda_{n-5} +\lambda_{n-3} & = & 0 \\ \lambda_{n-2} & = & 0 \\ \lambda_{n-1} & = & 0 \end{array}
			=0
			\right.
			\]
			
			En résolvant de proche en proche nous obtenons: $\lambda_1= \cdots =\lambda_{n-1}=0$.
			
			\medskip
			Nous avons donc démontré que $C_1, \dots, C_{n-1}$ forment une famille libre. 
			
			Par conséquent: $\mathrm{rg}(f)\ge n-1$.
			
			\item Des deux inégalités précédentes nous concluons:
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathrm{rg}(f)=n-1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout $n\ge 2$, soit $G_n$ la matrice à $n-1$ lignes et $n+1$ colonnes telles que, pour tout $k \in \{ 1, \dots , n-1 \}$, la $k$-ième ligne de $G_n$ est nulle sauf le coefficient $k$ qui vaut $(n-k+1) (n-k)$ et le coefficient $ k+2$ qui vaut $k(k+1)$. Ainsi 
		\[ G_2= \begin{pmatrix}
		2 & 0 & 2
		\end{pmatrix},\  G_3 = \begin{pmatrix}
		6 & 0 & 2 & 0 \\
		0 & 2 & 0 & 6
		\end{pmatrix}, \ G_4 =\begin{pmatrix}
		12 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
		0 & 6 & 0 & 6 & 0 \\
		0 & 0 & 2 & 0 & 12
		\end{pmatrix}, \]
		
		\[ G_n= \begin{pmatrix}
		n(n-1) & 0 & 2 & 0 & \dots & \dots & 0 \\
		0 &(n-1)(n-2) & 0 & 6 & 0 & \dots & 0 \\
		\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
		0 & \dots & 0 & 6 & 0 &(n-1)(n-2) & 0 \\
		0 & \dots & \dots & 0 & 2 & 0 & n(n-1)
		\end{pmatrix}. \]
		
		Déterminer le noyau de $G_3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le noyau de $G_3$.}
		
		{\color{orange}Plutôt que de chercher à résoudre un système, nous allons rechercher une base e $\mathbb{R}^4$ dans laquelle le noyau et l'image sont aisément accessibles.}
		
		\[  \left( \begin{array}{cccc}
		6 & 0 & 2 & 0 \\
		0 & 2 & 0 & 6 \\
		\hline
		1 & 0 & 0 & 0 \\
		0 & 1 & 0 & 0 \\
		0 & 0 & 1 & 0 \\
		0 & 0 & 0 & 1
		\end{array} \right) \]	
		
		\[  \left( \begin{array}{cccc}
		6 & 0 & 0 & 0 \\
		0 & 2 & 0 & 6 \\
		\hline
		1 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\
		0 & 1 & 0 & -3 \\
		0 & 0 & 1 & 0 \\
		0 & 0 & 0 & 1
		\end{array} \right) 
		\begin{array}{l}
		C_3 \leftarrow C_3- \frac{1}{3}C_1 \\
		C_4 \leftarrow C_4- 3C_1
		\end{array} \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathrm{Ker}(G_3)$ est le sous-$\mathbb{R}$-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ dont $\displaystyle \left( \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \right)$ est une base.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer, pour $n$ quelconque, la dimension de $\mathrm{Ker} (G_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrire la matrice $M_n=G_nF_n$. Préciser en particulier le nombre de lignes et de colonnes de $M_n$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $M_n$ a même rang qu'une matrice triangulaire supérieure telle que, pour tout $k$, le $k$-ième terme diagonal vaut $(n-k+1)(n-k)(1- \epsilon_k)+k(k+1)$, avec, pour tout $k$, $0 \leqslant \epsilon_k < 1$.
		
		En déduire que $M_n$ est inversible.
		
		\emph{Indication: appliquer l'algorithme du pivot de Gauss et procéder par récurrence sur les colonnes.}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $\mathbb{R}^{n+1}= \mathrm{Im}(F_n) \oplus \mathrm{Ker}(G_n)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice: théorème de Weierstrass.}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice, on considère la fonction suivante: \[ f: \left\{ \begin{array}{ccl}[0,1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ t & \mapsto & \cos ( \pi t ) \mathrm{e}^{-\pi t} \end{array} \right. .\]
	
\end{sujet}

\subsubsection{Préliminaires.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner le tableau de variation de la fonction $f$ et représenter son graphe sur l'intervalle $[0,1]$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que \[ \forall (t,u) \in [0,1]^2,\ |f(t)-f(u) | \leqslant M | t-u|, \] pour une constante numérique $M$ que l'on précisera.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{\color{purple}Erratum: question à ne pas faire.}
		
		Soit $Y$ une variable aléatoire positive ne prenant qu'un nombre fini de valeurs, montrer que \[ \forall y>0,\ \mathbb{E}[Y] \geqslant y \mathbb{P}( Y \geqslant y). \]
		
		\emph{Indication: on pourra écrire $\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[ Y \mathbf{1}_{Y<y} ]+ \mathbb{E}[ Y \mathbf{1}_{Y\geqslant y} ]$. On rappelle que $\mathbf{1}_{Y<y}$ est la variable aléatoire qui vaut $1$ si $Y<y$ et $0$ sinon, ainsi on a toujours $\mathbf{1}_{Y \geqslant y}=1$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie 1.}

\begin{sujet}
	
	Soit $Q_n$ ma fonction définie par \[ Q_n: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ t & \mapsto & \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f \left( \frac{k}{n} \right) t^k (1-t)^{n-k} \end{array} \right. .\]
	
	Soit $p \in [0,1]$ et $X_1, \dots ,X_n$ des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi $\mathcal{B}(p)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner la loi de $S_n= \sum_{i=1}^n X_i$. Donner son espérance et sa variance.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $\overline{X}_n = \frac{S_n}{n}$, montrer que \[ \mathrm{Var} \left( \overline{X}_n \right) \leqslant \frac{1}{4n}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que \[ \mathbb{E} \left[ f \left( \overline{X}_n \right) \right] = Q_n(p). \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que \[ Q_n(p)-f(p) = \sum_{k=0}^n \left( f \left( \frac{k}{n} \right) -f(p) \right) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. \]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\epsilon >0$, on note $A_1$ l'ensemble des entiers $k \in \{ 0,1, \dots ,n \}$ tels que $\displaystyle \left| p - \frac{k}{n} \right| < \frac{\epsilon}{M}$ et $A_2$ l'ensemble des entiers $k\in \{ 0,1, \dots , n \}$  tels que $\displaystyle \left| p - \frac{k}{n} \right| \geqslant \frac{\epsilon}{M}$. On a donc $Q_n(p)-f(p)=S_1(p) -S_2(p)$, où \[ \forall i \in \{ 1,2 \}, \ S_i =\sum_{k\in A_i} \left( f \left( \frac{k}{n} \right) -f(p) \right) \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{7}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout $k \in A_1$, $\left| f\left( \frac{k}{n} \right) -f(p) \right| \leqslant \epsilon$, en déduire que $|S_1| \leqslant \epsilon$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $|S_2 | \leqslant M \mathbb{P} \left( \left| \overline{X}_n - p \right| \geqslant  \frac{\epsilon}{M} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que \[ \forall p\in [0,1],\ \lim_{n \to + \infty} Q_n(p) = f(p). \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que \[ \mathbb{P} \left( \left| \overline{X}_n-p \right| \geqslant  \frac{\epsilon}{M} \right) \leqslant  \frac{ \mathrm{Var} \left( \overline{X}_n \right)}{ \left( \frac{\epsilon}{M} \right) ^2}. \]
		
		\emph{Indication: on admettra que, pour toute variable aléatoire $Y$ admettant une variance,} \[ \forall y >0,\ \mathbb{P}(|Y-\mathbb{E}[Y]| > y) \leqslant  \frac{\mathrm{Var}(Y)}{y^2}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que \[ \forall p \in [0,1],\ |Q_n(p)-f(p)| \leqslant C \frac{M}{n^{1}{3}}, \] pour une constante numérique $C$ que l'on précisera.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le théorème de Weierstrass affirme que, pour toute fonction $g$ continue sur $[0,1]$, il existe une suite $(P_n)_{n\geqslant 1}$ de polynômes telle que \[ \lim_{n \to + \infty} \sup_{x \in [0,1]} -g(x)-P_n(x)|=0. \]
		
		Montrer que le théorème de Weierstrass est vérifié dans le cas où $g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}_1$ quelconque.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple} Exercice.}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice, $\alpha \in ]0, +\infty[ \setminus \mathbb{N}$ désigne un nombre réel positif non-entier et $f$ est la fonction  \[ f: \left\{ \begin{array}{ccl} ]0,+\infty[ & \rightarrow & ]0,+ \infty[ \\ x & \mapsto & x^{\alpha} \end{array} \right. . \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $f$ est une fonction infiniment dérivable sur $]0, + \infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner, pour tout $k \in \mathbb{N}$, une expression de la dérivée $k$-ième de $f$, $f^{(k)}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On définit la fonction \[ f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} ]0,+\infty[ & \rightarrow & ]0,+ \infty[ \\ x & \mapsto & f(x+1)-f(x) \end{array} \right. . \]
		
		Montrer que, pour tout $x >0$, il existe $x_1 \in [x , x+1]$ tel que $f_1(x)=f'(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour toute fonction $g$ définie sur  $]0,+ \infty[$ et infiniment dérivable sur cet intervalle, on définit récursivement les fonctions $(g_k)_{k \geqslant 0}$ sur $]0,+ \infty[$ comme suit
		
		\begin{align*}
			g_0(x) &= g(x)\\
			g_{k+1}(x) &= g_k(x+1)-g_k(x).
		\end{align*}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que, pour tout entier $k$, la dérivée de $g_k$ est égale à $(g')_k$.
			
			\emph{Indication: on pourra utiliser une récurrence.}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $g^{(k)}$ la dérivée $k$-ième de $g$. Montrer que, pour tout $k\geqslant 1$, pour toute fonction $g$ et tout réel $x>0$, il existe $x_k \in [x,x+k]$ tel que \[ g_k(x)=g^{(k)}(x_k). \]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose dans cette question que $n^{\alpha}$ est un entier pour tout $n$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $k$ une entier tel que $\alpha \in ] k-1,k[$. Montrer que, pour tout entier $n$, \[ f_k(n)>0 \quad \text{et} \quad f_{k+1}(n)<0. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $u_n$ est une suite strictement décroissante d'entiers naturels.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $\beta$ un réel. Montrer que $\beta \in \mathbb{N}$ si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n^{\beta} \in \mathbb{N}$.
		
		\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$