\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
%\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

%########QCM auto multiple choice
%########Options: ordre (annule le mélange sur les réponses), correc (produit le corrigé), noshufflegroups ( annule le mélange automatique de l’ordre des questions des groupes)
\usepackage[francais,box]{automultiplechoice}

%########Marges forcément après AMC
\usepackage{geometry}
\geometry{top=2.25cm,bottom=1.5cm,left=1.25cm,right=1.25cm}

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

\exclure{notabene}
 
\begin{document}

\begin{notabene}
	\section{Réglages.}
\end{notabene}
	
	% Pour colorier les bonnes réponses pour faire un corrigé type
	\makeatletter
	\def\AMCforcecorrect{\AMC@correctrue}
	\makeatother
	%\AMCforcecorrect % décommenter pour avoir les réponses
	
	%%Modification en tête de question
	
	\def\AMCbeginQuestion#1#2{\par\noindent{\bf Question #1} #2\hspace*{1em}}
	
	%Textes particuliers AMC qui nesont pas affichés sur les qcm imprimés
	
	\AMCtext{draft}{}%texte grisé en plein milieu de la feuille en diagonale
	\AMCtext{message}{}%texte en bleu en pied de page
	\AMCsetFoot{\thepage} %Affiche la pagination en bas de page
	
	%%% preparation of the groups

	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	% Plusieurs réponses
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{notabene}
	\section{2023 Centres étrangers groupe I sujet 1 13 mars 2023}
\end{notabene}
	
	%Centres étrangers groupe I sujet 1 13 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230313etrangerg1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 
			\[u_n = \dfrac{1 + 2^n}{3 + 5^n}.\]
			
			Cette suite :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{diverge vers $+\infty$.}
				\wrongchoice{converge vers $\dfrac25$.}
				\correctchoice{converge vers 0.}
				\wrongchoice{converge vers $\dfrac13$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230313etrangerg1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.
			
			L'expression de la fonction dérivée de $f$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f'(x) = 2x\ln x$.}
				\correctchoice{$f'(x) = x(2\ln x + 1)$}
				\wrongchoice{$f'(x) = 2$.}
				\wrongchoice{$f'(x) = x$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230313etrangerg1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous:
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=5 , espcl=3.2, deltacl=1]{$x$ /0.8, Variations de $h$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $\infty$ / }
			\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{1}{0}
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$.
			
			Elle vérifie la propriété :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$H$ est positive sur $]-\infty~;~0]$.}
				\wrongchoice{$H$ est négative sur $]-\infty~;~1]$.}
				\wrongchoice{$H$ est croissante sur $]-\infty~;~1]$.}
				\wrongchoice{$H$ est croissante sur $\mathbb{R}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230313etrangerg1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
			
			On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l'intervalle
			$[a~;~b]$ et qui s'annule en un réel $\alpha$.
			
			Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner
			une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def racine$(a, b)$:\\
						\quad while abs$(b - a)> = 0.001$:\\
						\qquad $m = (a + b)/2$ \\
						\qquad if $f(m) < 0$ :\\
						\qquad \quad $b = m$\\
						\qquad  else:\\
						\qquad \quad $a = m$ \\
						\quad return $m$\\
						\hline
					\end{tabular}}
				\wrongchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def racine$(a, b)$: \\
						\quad $m = (a + b)/2$\\
						\quad while abs$(b - a)>= 0.001$:\\
						\qquad if $f(m) < 0$:\\
						\qquad \quad$a = m$\\
						\qquad else:\\
						\qquad \quad $b = m$\\
						\quad return $m$\\
						\hline
				\end{tabular}}
				\wrongchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def racine$(a, b)$:\\
						\quad $m = (a + b)/2$\\
						\quad while abs$(b - a)<=0.001$:\\
						\qquad if $f(m)< 0$ :\\
						\qquad \quad $a = m$ \\
						\qquad else:\\
						\qquad \quad $b = m$ \\
						\quad return $m$\\
						\hline
				\end{tabular}}
				\correctchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def racine $(a, b)$:\\
						\quad while abs $(b - a)>= 0.001$:\\
						\qquad $m =(a + b)/2$\\
						\qquad if $f(m) < 0$:\\
						\qquad \quad $a = m$\\
						\qquad else :\\
						\qquad\quad$b = m$\\
						\quad return $m$\\
						\hline
				\end{tabular}}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}		
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230313etrangerg1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes.
			
			On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{7}{10}\right)^2 \times \dfrac{3}{10}$}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$}
				\wrongchoice{$\displaystyle \binom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$}
				\correctchoice{$\displaystyle \binom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Centres étrangers groupe I sujet 2 14 mars 2023}
\end{notabene}
	
	%Centres étrangers groupe I sujet 2 14 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230314etrangerg1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^x$.
			
			Une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ est définie par:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$.}
				\correctchoice{$F(x) = (x - 1)\text{e}^x$}
				\wrongchoice{$F(x) = (x + 1)\text{e}^x$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac2 x \text{e}^{x^2}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230314etrangerg1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable
			sur $]0~;~+\infty[$. On sait que :
			
			\begin{itemize}
				\item[$\bullet~~$] le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d'abscisse 3 ;
				\item[$\bullet~~$] le point P d'abscisse 5 est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.
			\end{itemize}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
				\def\xY{-1};
				\def\yY{-3};
				\def\xZ{13.9};
				\def\yZ{5.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw node[below left](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {-1,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.6:13.9] plot(\x,{(\x-1)/exp(0.5*\x)*10});
				\draw[blue] (1.2,-2) node[fill=white] {$\mathcal{C}$};
				\draw (5,3.2834) node [above right] {$P$};
				\draw (5,3.2834) node {$\times$};
				\draw[dashed, thick] (1,{(3-1)/exp(0.5*3)*10}) -- (5.2,{(3-1)/exp(0.5*3)*10});
				\draw[dashed, thick][samples=100,domain=2.2:9] plot(\x,{(exp(-0.5*5)*10+-0.5*(5-1)*exp(-0.5*5)*10)*(\x-5)+(5-1)*exp(-0.5*5)*10});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			On a:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{pour tout $x \in  ]0~;~5[,\:f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe;}
				\wrongchoice{pour tout $x \in ]5~;~+\infty[\:, f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe;}
				\wrongchoice{pour tout $x \in ]0~;~5[,\: f'(x)$ et $f''(x)$ sont de même signe;}
				\correctchoice{pour tout $x \in  ]5~;~+\infty[,\: f(x)$ et $f''(x)$ sont de même signe.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230314etrangerg1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = \dfrac{a}{b + \text{e}^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
			
			On sait que $g(0) = 2$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  g(t) = 3$. 
			
			Les valeurs de $a$ et $b$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{ $a = 2$ et $b = 3$}
				\wrongchoice{ $a = 4$ et $b = \dfrac43$}
				\wrongchoice{$a = 4$ et $b = 1$}
				\correctchoice{$a = 6$ et $b = 2$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230314etrangerg1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher.
			
			L'urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges.
			
			L'urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.
			
			Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte.
			
			La probabilité qu'elle ait choisi l'urne B est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac38$.}
				\wrongchoice{$\dfrac12$.}
				\correctchoice{$\dfrac35$.}
				\wrongchoice{$\dfrac58$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230314etrangerg1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On pose $S = 1 + \dfrac12  + \dfrac13 + \dfrac14 + \ldots + \dfrac{1}{100}$.
			
			Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def somme$\_{}$a():\\
						\quad S = 0\\
						\quad for k in range(100):\\
						\qquad S=1/(k+1) \\
						\quad return S
						\\
						\hline
				\end{tabular}}
				\correctchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def somme$\_{}$b():\\
						\quad S = 0\\
						\quad for k in range(100) :\\
						\qquad S = S + 1/(k + 1)\\
						\quad return S
						\\
						\hline
				\end{tabular}}
				\wrongchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def somme$\_{}$c():\\
						\quad k = 0\\
						\quad while S < 100 :\\
						\qquad S = S+1/(k+1)\\
						\quad return S
						\\
						\hline
				\end{tabular}}
				\wrongchoice{\begin{tabular}{|l|}
						\hline
						def somme$\_{}$d():\\
						\quad k = 0\\
						\quad while k $< 100$: \\
						\qquad S = S + 1/(k + 1)\\
						\quad return S
						\\
						\hline
				\end{tabular}}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023.}
\end{notabene}
	
	%Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230321etrangerg2sujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =x\text{e}^x$, est la fonction $F$, définie sur $\mathbb{R}$, par :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$F(x) =\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$.}
				\correctchoice{$F(x) = (x - 1)\text{e}^x$.}
				\wrongchoice{$F(x) = (x + 1)\text{e}^x$.}
				\wrongchoice{$F(x) =x^2 \text{e}^{x^2}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230321etrangerg2sujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right).$
			
			La fonction $g$ est définie sur:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\mathbb{R}$.}
				\correctchoice{$]-\infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[$.}
				\wrongchoice{$]-2~;~ +\infty[$.}
				\wrongchoice{$]-2~;~1[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230321etrangerg2sujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)= (x + 1)\text{e}^{x}$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{concave sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{convexe sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{convexe sur $] -\infty~;~-3]$ et concave sur $[-3~;~+\infty[$.}
				\correctchoice{concave sur $]-\infty~;~-3]$ et convexe sur $[-3~;~+\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230321etrangerg2sujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 3 et converge vers un réel $\ell$.
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\ell = 3$.}
				\correctchoice{$\ell \geqslant 3$.}
				\wrongchoice{La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.}
				\wrongchoice{La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d'un certain rang.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230321etrangerg2sujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La suite $\left(w_n\right)$ est définie par $w_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, 
			
			$w_{n+1} = \dfrac1n w_n$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique.}
				\wrongchoice{La suite $\left(w_n\right)$ n'admet pas de limite.}
				\wrongchoice{$w_5 = \dfrac{1}{15}$.}
				\correctchoice{La suite $\left(w_n\right)$ converge vers 0.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	

\begin{notabene}
	\section{2023 Amérique du Nord sujet 2 28 mars 2023.}
\end{notabene}
	
	%Amérique du Nord sujet 2 28 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230328ameriquedunordsujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par 
			\[f(x)= 0,05 - \dfrac{\ln x}{x - 1}.\]
			
			La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$+\infty$.}
				\correctchoice{$0,05$.}
				\wrongchoice{$-\infty$.}
				\wrongchoice{$0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Amérique du Nord sujet 2 28 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230328ameriquedunordsujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère une fonction $h$ continue sur l'intervalle $[-2 ; 4]$ telle que :
			
			\[h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1.\]
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~1]$.}
				\wrongchoice{la fonction $h$ est positive sur l'intervalle $[-1~;~1]$.}
				\correctchoice{il existe au moins un nombre réel $a$ dans l'intervalle $[1~;~3]$ tel que $h(a) = 1$.}
				\wrongchoice{l'équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Amérique du Nord sujet 2 28 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230328ameriquedunordsujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que 
			
			$\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers 0 .
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(\frac{1}{v_{n}}\right)$ converge.}
				\correctchoice{la suite $\left(\frac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.}
				\wrongchoice{la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Amérique du Nord sujet 2 28 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230328ameriquedunordsujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ \euro.
			
			Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
			
			\begin{itemize}
				\item s'il obtient 1, il remporte $12$ \euro{};
				\item s'il obtient un nombre pair, il remporte $3$\euro{};
				\item sinon, il ne remporte rien.
			\end{itemize}
			
			En moyenne, le joueur :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{gagne $3,50$ \euro.}
				\wrongchoice{perd $3$ \euro.}
				\wrongchoice{perd $1,50$ \euro.}
				\correctchoice{perd $0,50$ \euro.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Amérique du Nord sujet 2 28 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230328ameriquedunordsujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
			
			On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$p = \dfrac{1}{5}$.}
				\wrongchoice{$P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$.}
				\correctchoice{$p = \dfrac{4}{5}$.}
				\wrongchoice{$P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	
\begin{notabene}
	\section{2023 La Réunion sujet 2 29 mars 2023.}
\end{notabene}
	
	%La Réunion sujet 2 29 mars 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230329lareunionsujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x\mathrm{e}^x$.
			
			Le nombre de solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x) = - \dfrac{73}{100}$ est égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\correctchoice{$2$.}
				\wrongchoice{une infinité.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230329lareunionsujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
			\[g(x) = \dfrac{x+ 1}{\mathrm{e}^x}.\]
			
			La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$-\infty$.}
				\wrongchoice{$+\infty$.}
				\wrongchoice{$0$.}
				\wrongchoice{elle n'existe pas.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230329lareunionsujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
			\[h(x) = (4x - 16)\mathrm{e}^{2x}.\]
			
			On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$h$ est convexe sur $\mathbb{R}$.}
				\correctchoice{$\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x = 3$.}
				\wrongchoice{$h$ est concave sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{$\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x = 3,5$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230329lareunionsujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : 
			\[k(x) = 3 \ln (x) - x.\]
			
			On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé. 
			
			On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = \text{e}$.
			
			Une équation de $T$ est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$y = (3 - \text{e})x$.}
				\correctchoice{$y = \left(\dfrac{3 - \text{e}}{\text{e}}\right)x$.}
				\wrongchoice{$y = \left(\dfrac{3}{\text{e} }- 1\right)x + 1$.}
				\wrongchoice{$y = (\text{e} - 1)x + 1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230329lareunionsujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère l'équation $[\ln (x)]^2 + 10 \ln (x) + 21 = 0$, avec $x \in ]0~;~+\infty[$.
			
			Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\correctchoice{$2$.}
				\wrongchoice{une infinité.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

	
\begin{notabene}
	\section{2023 Nouvelle-Calédonie sujet 1 28 août 2023.}
\end{notabene}
	
	%Nouvelle-Calédonie sujet 1 28 août 2023
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230828nouvellecaledoniesujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = (x + 1)\text{e}^x$. 
			
			Une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est définie par:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$F(x) = (1+x)\mathrm{e}^x$.}
				\wrongchoice{$F(x) = (2 + x)\mathrm{e}^x$.}
				\correctchoice{$F(x) = 1+x\mathrm{e}^x$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}  + x\right)\mathrm{e}^x$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230828nouvellecaledoniesujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On se place dans l'espace muni d'un repère
			orthonormé $\left( O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$.
			
			On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement:
			\begin{center}
				$\left(d_1\right)\left\{\begin{array}{l c r}
					x&=&2+r\\
					y&=&1 + r\\
					z&=&- r
				\end{array}\right. \:(r \in \mathbb{R})$\quad et 
				$\left(d_2\right)\left\{\begin{array}{l c l}
					x&=&\phantom{-}1 - s\\
					y&=&-1 + s\\
					z&=&\phantom{-}2 - s
				\end{array}\right. \:(s \in \mathbb{R})$\end{center}
			
			Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$  sont: 
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{strictement parallèles.}
				\wrongchoice{confondues.}
				\correctchoice{sécantes.}
				\wrongchoice{non coplanaires.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230828nouvellecaledoniesujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On se place dans l'espace muni d'un repère
			orthonormé $\left( O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$.
			
			On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est: 
			\[2x - y + z - 1 = 0.\]
			On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est:
			\[\left\{\begin{array}{l c r}
				x&=&2 + u\\
				y&=&4 + u\\
				z&=&1 - u
			\end{array}\right. \:(u \in \mathbb{R})\]
			La droite $(\Delta)$  est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{sécante et non orthogonale au plan $(P)$.}
				\wrongchoice{strictement parallèle au plan $(P)$.}
				\correctchoice{incluse dans le plan $(P)$.}
				\wrongchoice{orthogonale au plan $(P)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230828nouvellecaledoniesujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On se place dans l'espace muni d'un repère
			orthonormé $\left( O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$.
			
			On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x - 2y + z + 1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$ dont une équation cartésienne est $2x + y + z - 6 = 0$.
			
			Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{sécants et perpendiculaires.}
				\wrongchoice{confondus.}
				\correctchoice{sécants et non perpendiculaires.}
				\wrongchoice{strictement parallèles.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20230828nouvellecaledoniesujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On se place dans l'espace muni d'un repère
			orthonormé $\left( O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$.
			
			On considère les points E(1~;~2~;~1), F(2~;~4~;~3) et G$(-2~;~ 2~;~5)$.
			
			On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l'angle $\widehat{\text{FEG}}$ vérifie:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\alpha = 90\degres$.}
				\wrongchoice{$\alpha > 90\degres$.}
				\correctchoice{$\alpha \approx  71\degres$.}
				\wrongchoice{$\alpha = 0\degres$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2022 Polynésie 4 mai 2022 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%Polynésie 4 mai 2022 sujet 1
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220504polynesiesujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}			
			On considère  la fonction $g$ définie et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ par :
			
			\[g(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right).\]
			
			Pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$g'(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$.}
				\wrongchoice{$g'(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$.}
				\wrongchoice{$g'(x) = \ln (2x + 1)$.}
				\correctchoice{$g'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220504polynesiesujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}			
			La fonction $x \longmapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$x \longmapsto \ln (x)$.}
				\wrongchoice{$x \longmapsto \dfrac{1}{x}$.}
				\correctchoice{$x \longmapsto x \ln (x) - x$.}
				\wrongchoice{$x \longmapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220504polynesiesujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}			
			On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie  pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par :
			
			\[a_n = \dfrac{1 - 3^n}{1 + 2^n}.\]
			
			La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$- \infty$.}
				\wrongchoice{$-1$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\wrongchoice{$+\infty$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220504polynesiesujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}			
			On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;~2]$. Le tableau de variations de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2]$ est donné par:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=5 , espcl=3.2, deltacl=1]{$x$ /0.8, Variations de $f'$ /1.6}
				{$-2$, $0$,  $2$}
				\tkzTabVar {+/ $1$, - / $-2$ , +/ $-1$ }
				\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{-1}{0}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			La fonction $f$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{convexe sur $[- 2~;~- 1]$.}
				\wrongchoice{concave sur [0~;~1].}
				\wrongchoice{convexe sur $[- 1~;~2]$.}
				\correctchoice{concave sur $[-2~;~0]$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220504polynesiesujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}			
			On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\xY{-2.1};
				\def\yY{-3.1};
				\def\xZ{4.1};
				\def\yZ{3.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {-2,-1,1, 2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-2,-3)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,-1)(3,0)(4,3)};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Par lecture graphique de la courbe de $f'$, déterminer l'affirmation correcte pour $f$ :
			
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f$ est décroissante sur [0~;~2].}
				\wrongchoice{$f$ est décroissante sur $[-1~;~0]$.}
				\correctchoice{$f$ admet un maximum en 1 sur [0~;2].}
				\wrongchoice{$f$ admet un maximum en 3 sur [2~;~4].}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220504polynesiesujet1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}			
			Une action est cotée à 57 \euro. Sa valeur augmente de 3\,\% tous les mois.
			
			La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 \euro{} est :
			
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{\fbox{\begin{tabular}{l}
							def seuil() :\\
							\quad m=0\\
							\quad v=57\\
							\quad while v < 200 :\\
							\qquad m=m+1\\
							\qquad v = v*1.03\\
							\quad return m
						\end{tabular}
					}.}
				\wrongchoice{\fbox{\begin{tabular}{l}
							def seuil() :\\
							\quad m=0\\
							\quad v=57\\
							\quad while v > 200 :\\
							\qquad m=m+1\\
							\qquad v = v*1.03\\
							\quad return m
						\end{tabular}
					}.}
				\wrongchoice{\fbox{\begin{tabular}{l}
							def seuil() :\\
							\quad v=57\\
							\quad for i in range (200) :\\
							\qquad v = v*1.03\\
							\quad return v
						\end{tabular}
					}.}
				\wrongchoice{\fbox{\begin{tabular}{l}
							def seuil() :\\
							\quad m=0\\
							\quad v=57\\
							\quad if v < 200 :\\
							\qquad m=m+1\\
							\quad else :\\
							\qquad v = v*1.03\\
							\quad return m
						\end{tabular}
					}.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2022 Polynésie 5 mai 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%Polynésie 5 mai 2022 sujet 2
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220505polynesiesujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par:
			\[f(x) = x \ln(x) - x + 1.\]
			
			Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$?
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\ln (x)$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{x} - 1$.}
				\wrongchoice{$\ln (x) - 2$.}
				\wrongchoice{$\ln (x) - 1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220505polynesiesujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x^2[1 - \ln (x)]$.
			
			Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$.}
				\correctchoice{$\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$.}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = 0$.}
				\wrongchoice{La fonction $g$ n'admet pas de limite en 0.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220505polynesiesujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 0,9x^2 -0,1x$. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\wrongchoice{$2$.}
				\correctchoice{$3$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220505polynesiesujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, 
			et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = h(2x)$, 
			alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$K(x) =H(2x)$.}
				\wrongchoice{$K(x) =2H(2x)$.}
				\correctchoice{$ K(x) =\dfrac{1}{2}H(2x)$.}
				\wrongchoice{$K(x) =2H(x)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220505polynesiesujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^x$ est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$y = \text{e}x + \text{e}$.}
				\correctchoice{$y =2\text{e}x - \text{e}$.}
				\wrongchoice{$y = 2\text{e}x +  \text{e}$.}
				\wrongchoice{$y = \text{e}x$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2022 Métropole Antilles-Guyane 11 mai 2022 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%Métropole Antilles-Guyane 11 mai 2022 sujet 1
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511metropolereunionguyanesujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ admet pour asymptote
			la droite d'équation:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$x = -2$.}
				\wrongchoice{$y = -1$.}
				\correctchoice{$y = - 2$.}
				\wrongchoice{$y = 0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511metropolereunionguyanesujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^{x^2}$.
			
			La primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0) = 1$ est définie par :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2}$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \left(1 + 2x^2\right)\text{e}^{x^2}$.}
				\correctchoice{$F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2} + \dfrac{1}{2}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511metropolereunionguyanesujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de \textbf{la fonction dérivée }\boldmath $f'$\unboldmath{} d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{11.2};
				\def\yZ{1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw node[below left](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue] (1,-3.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
				\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-0.3,-6)(-0.2,-5)(0,-4)(1,-1.2)(2,0)(3,0.45)(4,0.5)(5,0.45)(6,0.4)(10,0.1)(11,0.08)};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			On peut affirmer que la fonction $f$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{concave sur $]0~;~+\infty[$.}
				\wrongchoice{convexe sur $]0~;~+\infty[$.}
				\correctchoice{convexe sur [0~;~2].}
				\wrongchoice{convexe sur $[2~;~+\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511metropolereunionguyanesujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x) = 3\text{e}^{-x^2} + 2$ :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{toutes sont croissantes sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{toutes sont décroissantes sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{certaines sont croissantes sur $\mathbb{R}$ et d'autres décroissantes sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{toutes sont croissantes sur $]-\infty~;~0]$ et décroissantes sur $[0~;~+\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511metropolereunionguyanesujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac23$.}
				\wrongchoice{$+ \infty$.}
				\wrongchoice{$- \infty$.}
				\correctchoice{$0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511metropolereunionguyanesujet1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			L'équation $\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 12 = 0$ admet dans $\mathbb{R}$ :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{trois solutions.}
				\wrongchoice{deux solutions.}
				\correctchoice{une seule solution.}
				\wrongchoice{aucune solution.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2022 Métropole Antilles-Guyane 12 mai 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512metropolereunionguyanesujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant v_n\leqslant  w_n$ et de plus: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n= 3$.
			
			On peut alors affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(v_n\right)$ converge.}
				\correctchoice{Si la suite 
					$\left(u_n\right)$ est croissante alors la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$.}
				\wrongchoice{$1 \leqslant  v_0 \leqslant 3$.}
				\wrongchoice{la suite $\left(v_n\right)$ diverge.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512metropolereunionguyanesujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n \leqslant  u_{n+1}  \leqslant \dfrac1n$.
			
			On peut alors affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(u_n\right)$ diverge.}
				\correctchoice{la suite $\left(u_n\right)$ converge.}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =  0$.}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =  1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512metropolereunionguyanesujet2q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère $\left(u_n\right)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a : $n < u_n < n + 1$. 
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier.}
				\correctchoice{la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.}
				\wrongchoice{la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.}
				\wrongchoice{La suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2022 Centres étrangers 11 mai 2022 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%2022 Centres étrangers 11 mai 2022 sujet 1
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511centresetrangerssujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \ln \left(1  + x^2\right)$. 
			
			Sur $\mathbb{R}$, l'équation $f(x) = \np{2022}$
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{n'admet aucune solution.}
				\wrongchoice{admet exactement une solution.}
				\correctchoice{admet exactement deux solutions.}
				\wrongchoice{admet une infinité de solutions.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511centresetrangerssujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par: 
			\[g(x) = x \ln (x) - x^2\]
			
			On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction $g$ est convexe sur $]0~;~+\infty[$.}
				\wrongchoice{La fonction $g$ est concave sur $]0~;~+\infty[$.}
				\correctchoice{La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement un point d'inflexion sur $]0~;~+\infty[$.}
				\wrongchoice{La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement deux points d'inflexion sur $]0~;~+\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511centresetrangerssujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $]- 1~;~1[$ par
			
			\[f(x) = \dfrac{x}{1 - x^2}\]
			
			Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] - 1~;~1[$ par :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$g(x) = - \dfrac12 \ln \left(1 - x^2\right)$.}
				\wrongchoice{$g(x) =  \dfrac{1 + x^2}{ \left(1 - x^2\right)^2}$.}
				\wrongchoice{$g(x)= \dfrac{x^2}{2\left(x - \dfrac{x^3}{3}\right)}$.}
				\wrongchoice{$g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left(1 - x^2\right)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511centresetrangerssujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La  fonction $x \longmapsto  \ln \left(-x^2- x + 6\right)$ est définie sur
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$]- 3~;~2[$.}
				\wrongchoice{$]- \infty~;~6]$.}
				\wrongchoice{$]0~;~+\infty[$.}
				\wrongchoice{$]2~;~+\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511centresetrangerssujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5~;~+ \infty [$ par 
			
			\[f(x) =x^2- 4x+ 3 \ln (2x - 1)\]
			
			Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$y = 4x- 7$.}
				\wrongchoice{$y = 2x - 4$.}
				\wrongchoice{$y = -3(x - 1) + 4$.}
				\wrongchoice{$y = 2x - 1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220511centresetrangerssujet1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			L'ensemble $S$ des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln (x + 3) < 2\ln (x + 1)$ est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$S = ]- \infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[$.}
				\correctchoice{$S = ]1~;~+ \infty[$.}
				\wrongchoice{$S = \emptyset$.}
				\wrongchoice{$S = ]- 1~;~1[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Centres étrangers 12 mai 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2022 Centres étrangers 12 mai 2022 sujet 2
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512centresetrangerssujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
			
			\[f(x) =\dfrac{x}{\text{e}^x}\]
			
			On suppose que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f'(x) = \text{e}^{-x}$.}
				\wrongchoice{$f'(x) = x\text{e}^{-x}$.}
				\correctchoice{$f'(x) = (1- x)\text{e}^{-x}$.}
				\wrongchoice{$f'(x) = (1+x) \text{e}^{-x}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512centresetrangerssujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3~;~1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f''$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{-3.5};
				\def\yY{-3.5};
				\def\xZ{1.5};
				\def\yZ{3.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {-3,-2,-1,1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:1] plot(\x,{\x*\x*\x+3*\x*\x-\x-3});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			On peut alors affirmer que:			
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1~;~1]$.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[- 2~;~0]$.}
				\wrongchoice{La fonction $f'$ est décroissante sur l'intervalle $[-2~;~0]$.}
				\correctchoice{La fonction $f'$ admet un maximum en $x = -1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512centresetrangerssujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
			
			\[f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}\]
			
			Si $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, 
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$F(x) = - \dfrac16\left(x^3 + 1\right)\text{e}^{-x^2}$.}
				\wrongchoice{$F(x) = - \dfrac14 x^4\text{e}^{-x^2}$.}
				\correctchoice{$F(x)=-\dfrac12\left(x^2 + 1\right)\text{e}^{-x^2}$.}
				\wrongchoice{$F(x)= x^2\left(3 - 2x^2\right)\text{e}^{-x^2}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512centresetrangerssujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Que vaut :
			
			\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x + 1}{\text{e}^x - 1}\]
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$-1$.}
				\correctchoice{$1$.}
				\wrongchoice{$+ \infty$.}
				\wrongchoice{n'existe pas.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512centresetrangerssujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{2x +1}$.
			
			La seule primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ telle que $F(0) = 1$ est la fonction :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$x \longmapsto  2\text{e}^{2x+1} - 2\text{e} + 1$.}
				\wrongchoice{$x \longmapsto  2\text{e}^{2x+1} - \text{e}$.}
				\correctchoice{$x \longmapsto \dfrac12\text{e}^{2x+1} - \dfrac12 \text{e} + 1$.}
				\wrongchoice{$x \longmapsto \text{e}^{x^2 + x}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220512centresetrangerssujet2q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[- 2 ~;~4]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{3};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
				\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(\x*\x*\x/3-\x*\x+8/3)*3/8});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f''$,
			dérivée seconde de $f$ ? 			
			\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-3};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{3};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
				\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{ \x-1});
				\end{tikzpicture}}
				\wrongchoice{
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
					\def\xY{-3};
					\def\yY{-3};
					\def\xZ{5};
					\def\yZ{3};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
					\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{ 1-\x});
					\end{tikzpicture}}
				\wrongchoice{
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
					\def\xY{-3};
					\def\yY{-2};
					\def\xZ{5};
					\def\yZ{4};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
					\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{ \x/3*(\x-2)});
					\end{tikzpicture}}
				\wrongchoice{
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
					\def\xY{-3};
					\def\yY{-2};
					\def\xZ{5};
					\def\yZ{4};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
					\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.8:3.8] plot(\x,{ (\x-1)*(\x-1)/2});
					\end{tikzpicture}}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Centres étrangers groupe 1 18 mai 2022 sujet 1.}
\end{notabene}

	%2022 Centres étrangers groupe 1 18 mai 2022 sujet 1
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
			
			Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15\,\%.
			
			Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{2 heures.}
				\wrongchoice{8 heures.}
				\correctchoice{9 heures.}
				\wrongchoice{13 heures.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 4\ln (3x)$.
			
			Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ , on a :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f(2x) = f(x) + \ln (24)$.}
				\correctchoice{$f(2x) = f(x) + \ln (16)$.}
				\wrongchoice{$f(2x) = \ln (2) + f(x)$.}
				\wrongchoice{$f(2x) = 2f(x)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par : 
			
			\[g(x) = \dfrac{\ln (x)}{x - 1}.\]
			
			
			On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{une asymptote verticale et une asymptote horizontale.}
				\wrongchoice{une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.}
				\correctchoice{aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.}
				\wrongchoice{aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Centres étrangers groupe 2 19 mai 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2022 Centres étrangers groupe 2 19 mai 2022 sujet 2
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^{\np{1000}} + x$. 
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la fonction $g$ est concave sur $\mathbb{R}$.}
				\correctchoice{la fonction $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{la fonction $g$ possède exactement un point d'inflexion.}
				\wrongchoice{la fonction $g$ possède exactement deux points d'inflexion.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. 
		
			On note $f'$ sa fonction dérivée.
			
			On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.
			
			On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f'$.
			
			On a tracé ci-dessous la courbe $\Gamma$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-1.8};
				\def\yY{-1.6};
				\def\xZ{3.2};
				\def\yZ{1.4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1,1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {-1,1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.4:3.2] plot(\x,{(\x +1)/exp(\x )});
				\draw[blue] (2.5,1) node[blue,fill=white] {$\Gamma$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 .
			
			On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation : 
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$y =x$.}
				\wrongchoice{$y = 0$.}
				\wrongchoice{$y = 1$.}
				\wrongchoice{$x = 0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}$.
			
			On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{majorée et non minorée.}
				\wrongchoice{minorée et non majorée.}
				\correctchoice{bornée.}
				\wrongchoice{non majorée et non minorée.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $k$ un nombre réel non nul.
			
			Soit $\left(v_n\right)$  une suite définie pour tout entier naturel $n$.
			
			On suppose que $v_0 = k$ et que pour tout $n$, on a $v_n \times v_{n+1} < 0$.
			
			On peut affirmer que $v_{10}$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{positif.}
				\wrongchoice{négatif.}
				\correctchoice{du signe de $k$.}
				\wrongchoice{du signe de $- k$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
			
			\[w_{n+1} = 2w_n - 4\quad \text{et}\quad  w_2 = 8.\]
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$w_0 = 0$.}
				\correctchoice{$w_0 = 5$.}
				\wrongchoice{$w_0 = 10$.}
				\wrongchoice{Il n'est pas possible de calculer $w_0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
			
			\[a_{n+1} = \dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n + 1}a_n\quad \text{et} \quad a_0 = 1.\]
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(a_n\right)$ est strictement croissante.}
				\correctchoice{la suite $\left(a_n\right)$ est strictement décroissante.}
				\wrongchoice{la suite $\left(a_n\right)$ n'est pas monotone.}
				\wrongchoice{la suite $\left(a_n\right)$ est constante.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519centresetrangersgroupe1sujet2q7}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite. 
			
			On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu'une cellule donnée se divise en deux cellules.
			
			On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ \np{4000} cellules.
			
			On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{moins d'une minute.}
				\wrongchoice{12 minutes.}
				\correctchoice{20 minutes.}
				\wrongchoice{1 heure.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Amérique du Nord 19 mai 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2022 Amérique du Nord 19 mai 2022 sujet 2
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519ameriquedunordsujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Le réel $a$ est définie par $a = \ln (9) + \ln \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)  + \ln \left(\dfrac19 \right)$ est égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$1 - \dfrac12 \ln (3)$.}
				\wrongchoice{$\dfrac12 \ln (3)$.}
				\wrongchoice{$3 \ln (3) + \dfrac12$.}
				\correctchoice{$- \dfrac12 \ln (3)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519ameriquedunordsujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On note $(E)$ l'équation suivante $\ln x + \ln (x - 10) = \ln 3 + \ln 7$ d'inconnue le réel $x$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{3 est solution de $(E)$.}
				\wrongchoice{$5 - \sqrt{46}$ est solution de $(E)$.}
				\correctchoice{L'équation $(E)$ admet une unique solution réelle.}
				\wrongchoice{L'équation $(E)$ admet deux solutions réelles.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519ameriquedunordsujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par l'expression $f(x) = x^2(- 1 + \ln x)$.
			
			On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = 2x + \dfrac1x$.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.}
				\wrongchoice{$f'\left(\sqrt{\text{e}} \right)$ est différent de $0$.}
				\correctchoice{La droite d'équation $y = - \dfrac12 \text{e}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519ameriquedunordsujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
			
			La probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au millième, est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,683$.}
				\correctchoice{$0,346$.}
				\wrongchoice{$0,230$.}
				\wrongchoice{$0,165$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519ameriquedunordsujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
			
			La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,078$.}
				\wrongchoice{$0,259$.}
				\wrongchoice{$0,337$.}
				\correctchoice{$0,922$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220519ameriquedunordsujet2q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus.
			
			On réalise l'expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac. 
			
			On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages. 
			
			Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,4$.}
				\wrongchoice{$1,2$.}
				\correctchoice{$2$.}
				\wrongchoice{$2,5$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Métropole, Antilles-Guyane 8 septembre 2022 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%2022 Métropole, Antilles-Guyane 8 septembre 2022 sujet 1
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220908antillesguyanesujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 
			
			\[ g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x +1}.\]
			
			La courbe représentative de la fonction $ g$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite d'équation :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$x = 2$.}
				\correctchoice{$y = 2$.}
				\wrongchoice{$y = 0$.}
				\wrongchoice{$x = - 1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220908antillesguyanesujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
			
			On appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique.
			
			On désigne par $f''$ la dérivée seconde de $f$.
			
			On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f''$, notée 
			$\mathcal{C}''$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-7};
				\def\yY{-6.02};
				\def\xZ{3.02};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1,1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-7:2.14] plot(\x,{(\x +1)*exp(\x )*(\x-2)});
				\draw[blue] (-5,1.25) node[fill=white] {$\mathcal{C}''$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion.}
				\wrongchoice{$f$ est convexe sur l'intervalle $[- 1~;~2 ]$.}
				\correctchoice{$f$ est convexe sur $]- \infty~;~- 1$] et sur $[2~;~+ \infty[$.}
				\wrongchoice{$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220908antillesguyanesujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$.
			
			La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n  - 2$, est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{arithmétique de raison $- 2$.}
				\wrongchoice{géométrique de raison $- 2$.}
				\wrongchoice{arithmétique de raison 1.}
				\correctchoice{géométrique de raison  $\dfrac12$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220908antillesguyanesujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a :
			
			\[1  + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}\]
			
			On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{converge vers 2.}
				\correctchoice{converge vers 1.}
				\wrongchoice{diverge vers $+ \infty$.}
				\wrongchoice{n'a pas de limite.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220908antillesguyanesujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$. 
			
			Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est définie par :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac13 x^3 (\ln x - 1)$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac13 x^2$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac13 x^2 (\ln x - 1)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220908antillesguyanesujet1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Pour tout réel $x$, l'expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à : 
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Métropole, Antilles-Guyane 9 septembre 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2022 Métropole, Antilles-Guyane 9 septembre 2022 sujet 2
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20220909antillesguyanesujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,5a_n + 1$ et $b_n = a_n - 2$.
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left(a_n\right)$ est arithmétique.}
				\correctchoice{$\left(b_n\right)$ est géométrique.}
				\wrongchoice{$\left(a_n\right)$ est géométrique.}
				\wrongchoice{$\left(b_n\right)$ est arithmétique.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2022 Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022 sujet 2
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par	\[u_n  = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.\]
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$.}
				\wrongchoice{la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.}
				\wrongchoice{la suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite.}
				\correctchoice{la suite $\left(u_n\right)$ converge.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie :
			
			\[a_0 = 2 \:\:\text{et, pour tout entier naturel}\: n, \quad a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.\]
			
			
			Pour tout entier naturel $n$, on a :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$a_n = 4 \times \left(\dfrac13\right)^n - 2$.}
				\correctchoice{$a_n = - \dfrac{2}{3^n} + 4$.}
				\wrongchoice{$a_n = 4 - \left(\dfrac13\right)^n$.}
				\wrongchoice{$a_n = 2 \times \left(\dfrac13\right)^n + \dfrac{8n}{3}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a :\[b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).\]
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(b_n\right)$ est croissante.}
				\correctchoice{la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.}
				\wrongchoice{la suite $\left(b_n\right)$ n'est pas monotone.}
				\wrongchoice{le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}.\]
			
			On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
			
			La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{une asymptote verticale et une asymptote horizontale.}
				\correctchoice{une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.}
				\wrongchoice{aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.}
				\wrongchoice{aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q7}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = x\mathrm{e}^{x^2+1}.\]
			
			Soit $F$ une primitive sur $\mathrm{R}$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$F(x) = \dfrac12x^2\mathrm{e}^{x^2+1}$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\mathrm{e}^{x^2+1}$.}
				\wrongchoice{$F(x) = \mathrm{e}^{x^2+1}$.}
				\correctchoice{$F(x) = \dfrac12\mathrm{e}^{x^2+1}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 sujet 0.}
\end{notabene}

%2021 sujet 0
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac2021sujet0q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n$,
			
			\[u_n= 1-\left(\frac{1}{4}\right)^n \hspace{3em} \text{et }\hspace{3em} v_n=1+\left(\frac{1}{4}\right)^n.\]
			
			On considère de plus une suite $\left(w_n\right)$ qui, pour tout entier naturel $n$, vérifie $u_n\leqslant w_n\leqslant v_n$.
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont géométriques.}
				\correctchoice{La suite $(w_n)$ converge vers 1.}
				\wrongchoice{La suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 1.}
				\wrongchoice{La suite $\left(w_n\right)$ est croissante.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac2021sujet0q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= x\mathrm{e}^{x^2}$.
			
			La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur $\mathrm{R}$ par :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$ f'(x) = 2x\mathrm{e}^{x^2}$.}
				\wrongchoice{$ f'(x) = (1+2x) \mathrm{e}^{x^2}$.}
				\correctchoice{$ f'(x) = \left(1+2x^2\right) \mathrm{e}^{x^2}$.}
				\wrongchoice{$ f'(x) = \left(2+x^2\right) \mathrm{e}^{x^2} $.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac2021sujet0q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Que vaut $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}$?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$-1 $.}
				\wrongchoice{$0$.}
				\correctchoice{$\frac{1}{2} $.}
				\wrongchoice{$+\infty  $.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac2021sujet0q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-1~;~1]$ telle que
			\[h(-1)=0 \qquad  h(0)=2\qquad  h(1)=0 .\]
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~0]$.}
				\wrongchoice{La fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.}
				\correctchoice{Il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle [0~;~1] tel que $h(a) =1$.}
				\wrongchoice{L’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-1~;~1]$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac2021sujet0q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On suppose que $g$ est une fonction dérivable sur l’intervalle $[-4~;~4]$.
			On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée $g'$.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%extremites du graphique
					\def\xcoinbasgauche{-4.1};
					\def\xcoinhautdroit{4.25};
					\def\ycoinbasgauche{-1.2};
					\def\ycoinhautdroit{3.3};
					%Les deux grilles
					%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					\foreach \x in {-4,-3,...,4} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {-1,1,2,3} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					%Les deux axes
					\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
					\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
					%fonction
					\draw[red, thick][samples=100,domain=-4:0] plot({\x},{-0.75*\x*(\x+4)});
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:2] plot({\x},{1.75*\x*\x -\x*\x*\x/4-2.5*\x});
					\draw[red, thick][samples=100,domain=2:4] plot({\x},{-(\x-2)*(\x-5)});
					%Points
					\foreach \a/\b in { -4/0, -2/3,0/0,1/-1,2/0,4/2} {\draw [black] ({\a},{\b}) node{$\bullet$};}
					\draw [red] ({-3.5},{2.5}) node{$\mathcal{C}_{g'}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$g$ admet un maximum en $-2$.}
				\wrongchoice{$g$ est croissante sur l’intervalle [1~;~2].}
				\correctchoice{$g$ est convexe sur l’intervalle [1~;~2].}
				\wrongchoice{$g$ admet un minimum en 0.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Asie 8 juin 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}
	
	%2021 Asie 8 juin 2021 (candidats libres)
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210608asiecandidatslibresq1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par 
			
			\[f(x) = \left(x^2 - 2x - 1\right)\mathrm{e}^x.\]
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x - 2)\mathrm{e}^x$.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.}
				\correctchoice{$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210608asiecandidatslibresq2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \mathrm{e}^x}$.
			
			Sa courbe représentative dans un repère admet :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{une seule asymptote horizontale.}
				\wrongchoice{une asymptote horizontale et une asymptote verticale.}
				\correctchoice{deux asymptotes horizontales.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210608asiecandidatslibresq3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f''}$ représentant la fonction dérivée seconde $f''$  d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3,5~;~6]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
					\def\xY{-4};
					\def\yY{-3};
					\def\xZ{7};
					\def\yZ{5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
					\foreach \x in {-4,...,-1,1, 2,...,6} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {-3,...,-1,1,2,...,4} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.5:6] plot(\x,{0.1*\x*\x*\x-0.4*\x*\x-1.1*\x +3});
					\draw (1.5,4.25) node {Courbe de la fonction dérivée seconde $f''$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~3]$.}
				\correctchoice{La fonction $f$ admet trois points d'inflexion.}
				\wrongchoice{La fonction dérivée $f'$ de $f$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2].}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210608asiecandidatslibresq4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 17n + 20$.
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.}
				\wrongchoice{La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.}
				\wrongchoice{L'un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à \np{2021}.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210608asiecandidatslibresq5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,\,
			
			$u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
			
			On considère la fonction \og seuil \fg{} suivante écrite en Python :
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|l|}\hline
					def seuil() :\\
					\quad u = 2\\
					\quad n = 0\\
					\quad while u < 45 :\\
					\qquad u = 0,75*u + 5\\
					\qquad n = n+1\\
					\quad return n\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Cette fonction renvoie :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant  45$.}
				\wrongchoice{la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n  < 45$.}
				\wrongchoice{la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Métropole 9 juin 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}

%2021 Métropole 9 juin 2021 (candidats libres)
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210609metropolecandidatslibresq1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 
			
			\[f(x) = x\mathrm{e}^{-2x}.\]
			
			On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
			
			Quel que soit le réel $x$, \,$f''(x)$ est égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$(1 - 2x)\mathrm{e}^{-2x}$.}
				\correctchoice{$4(x - 1)\mathrm{e}^{-2x}$.}
				\wrongchoice{$4\mathrm{e}^{-2x}$.}
				\wrongchoice{$ (x+2)\mathrm{e}^{-2x}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210609metropolecandidatslibresq2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Le nombre de combinaisons possibles est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{\np{1728}.}
				\wrongchoice{\np{1320}.}
				\correctchoice{\np{220}.}
				\wrongchoice{\np{33}.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210609metropolecandidatslibresq3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On donne ci-dessous la représentation graphique de $f'$ fonction dérivée d'une fonction $f$ définie sur [0~;~7].
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					\def\xY{-1.5};
					\def\yY{-4.5};
					\def\xZ{7.5};
					\def\yZ{1.1};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2, ...,7} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(2-\x)*(\x-4)*0.4/exp(0.25*\x)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Le tableau de variation de $f$  sur l'intervalle [0~;~7] est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
						{$0$ ,$\np{3,25}$, $7$}
						\tkzTabVar {-/ , + / , - /  / }
					\end{tikzpicture}}
				\correctchoice{\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
						{$0$ ,$\np{2}$, $4$, $7$}
						\tkzTabVar {+/ , - / , + / , -/ / }
				\end{tikzpicture}}
				\wrongchoice{\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
						{$0$ ,$\np{2}$, $4$, $7$}
						\tkzTabVar {-/ , + / , - / , +/ / }
				\end{tikzpicture}}
				\wrongchoice{\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
						{$0$ ,$\np{2}$, $7$}
						\tkzTabVar {-/ , + / , - /  / }
				\end{tikzpicture}}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210609metropolecandidatslibresq4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.
			
			Une étude statistique montre que 2,8\,\% des puces ont le défaut A, 2,2\,\% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4\,\% des puces n'ont aucun des deux défauts.
			
			La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{0,05.}
				\correctchoice{0,004.}
				\wrongchoice{0,046.}
				\wrongchoice{On ne peut pas le savoir.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210609metropolecandidatslibresq5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On se donne une fonction $f$, supposée dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.
			
			On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ :
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
					\tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + / $0$ , - / $-\infty$  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			D'après ce tableau de variation :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f’$ est positive sur $\mathbb{R}$.}
				\correctchoice{ $f’$ est positive sur $] - \infty~;~ - 1]$.}
				\wrongchoice{$f’$ est négative sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{$f’$ est positive sur $[- 1~;~ +\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Centres étrangers 10 juin 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}
	
	%2021 Centres étrangers 10 juin 2021 (candidats libres)
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210610centresetrangerscandidatslibresq1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$  par $g(x)= x^2+ 2x - \dfrac{3}{x}$.
			
			Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$y=7(x - 1)$.}
				\wrongchoice{$y = x - 1$.}
				\wrongchoice{$y = 7x + 7$.}
				\wrongchoice{$ y = x +1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210610centresetrangerscandidatslibresq2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = \dfrac{3n}{n + 2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 1$.}
				\correctchoice{$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 3$.}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = \dfrac{3}{2}$.}
				\wrongchoice{On ne peut pas la déterminer.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210610centresetrangerscandidatslibresq3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{\np{0,1662}.}
				\wrongchoice{0,4.}
				\correctchoice{\np{0,1115}.}
				\wrongchoice{\np{0,8886}.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{bac20210610centresetrangerscandidatslibresq4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\mathrm{e}^x - x$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$.}
				\correctchoice{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty $.}
				\wrongchoice{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =  -\infty$.}
				\wrongchoice{On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
	\begin{question}{bac20210610centresetrangerscandidatslibresq5}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		Un code inconnu est constitué de 8 signes.
		
		Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a	donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.
		
		Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
		\begin{choiceshoriz}
			\wrongchoice{environ 0,3 seconde.}
			\correctchoice{environ 8 heures.}
			\wrongchoice{environ 3 heures.}
			\wrongchoice{environ 470 heures.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 ESSA 20 mars 2021.}
\end{notabene}

	%2021 esa
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les solutions réelles de l'équation $3 \left( \ln x \right)^2+2 \ln x-5=0$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\left\{ \mathrm{e}; \mathrm{e} ^{ -\dfrac{5}{3}} \right\}$.}
				\wrongchoice{$\left\{ 1; -\dfrac{5}{3} \right\}$.}
				\wrongchoice{$\left\{  \mathrm{e}^{-\dfrac{5}{3}} \right\}$.}
				\wrongchoice{$\left\{ \mathrm{e} \right\}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les solutions réelles de l'équation $\left( \mathrm{e}^x-1 \right)\left( 1-x \right)\geqslant 0$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$[0;1]$.}
				\wrongchoice{$[0;+\infty[$.}
				\wrongchoice{$]-\infty;1]$.}
				\wrongchoice{$]-\infty;0 ] \cup [1;+\infty[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les solutions réelles de l'équation $\ln(-x+5)<\ln(x+1)$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$]2;5[$.}
				\wrongchoice{$]2;+\infty[ $.}
				\wrongchoice{$]-\infty;5[$.}
				\wrongchoice{$]-1;5[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La limite de $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$ en $+\infty$ est égale à:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\wrongchoice{$2$.}
				\wrongchoice{$+\infty$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{x^2-1}$, alors:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\displaystyle f'(x)=(2x^2+1) \mathrm{e}^{x^2-1}$.}
				\wrongchoice{$\displaystyle f'(x)=\mathrm{e}^{x^2-1}$.}
				\wrongchoice{$\displaystyle f'(x)=2x\mathrm{e}^{x^2-1}$.}
				\wrongchoice{$\displaystyle f'(x)=2x^2\mathrm{e}^{x^2+1}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			L'intégrale $\displaystyle I=\int_0^{\pi} x \cos x \ \mathrm{d}x$ est égale à 
			(Indication: on pourra calculer la dérivée de la fonction $h$ définie par $h(x)=x \sin x +\cos x$.):			
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$-2$.}
				\wrongchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\wrongchoice{$\pi$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q7}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une population dont $5\ \%$ est touchée par une maladie.
			
			On choisit de manière aléatoire et indépendante deux personnes de cette population. 
			
			Soit l'événement $A$: \og aucune personne n'est malade \fg{}. La probabilité de $A$ est égale à:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$0,9025$.}
				\wrongchoice{$0,0025$.}
				\wrongchoice{$0,9975$.}
				\wrongchoice{$0,1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q8}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère une population dont $5\ \%$ est touchée par une maladie.
			
			On sait que la probabilité qu'une personne ait un test positif à cette maladie, sachant qu'elle est malade, est $0,8$. D'autre part, la probabilité d'avoir un test positif pour une personne de cette population est $0,1$. La probabilité que la personne soit malade sachant qu'elle a un test positif est égale à:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$0,4$.}
				\wrongchoice{$0,8$.}
				\wrongchoice{$0,01$.}
				\wrongchoice{$0,04$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q9}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $f$ la fonction  définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{2x}+3x-1$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$y=5x$.}
				\wrongchoice{$y=4x$.}
				\wrongchoice{$y=5x+3$.}
				\wrongchoice{$y=5x-1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q10}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit la suite réelle $(u_n)$ définie  par  $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1,5 \\ u_{n+1}=2u_n-1 \text{ pour tout entier naturel } n \end{array} \right.$.
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{La suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-1$ est géométrique.}
				\wrongchoice{La suite $(u_n)$ converge vers $1$, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y=x$ et $y=2x-1$.}
				\wrongchoice{La suite $(u_n)$ est majorée.}
				\wrongchoice{La suite $(u_n)$ est décroissante.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q11}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2-10n+1$. Alors:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{La suite diverge vers $+\infty$.}
				\wrongchoice{La suite converge vers $1$.}
				\wrongchoice{La suite converge vers $0$.}
				\wrongchoice{La suite diverge vers $-\infty$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac}{
		\begin{question}{essa20210309q12}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La solution $y$ de l'équation différentielle $2y'-y=3$ vérifiant $(0)=-1$ est définie sur $\mathbb{R}$ par:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$y(x)=\mathrm{e}^{2x}-2$.}
				\wrongchoice{$y(x)=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x} -3$.}
				\wrongchoice{$y(x)=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}-1$.}
				\wrongchoice{$y(x)=\mathrm{e}^{2x-3}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2019 ESSA 13 avril 2018.}
\end{notabene}

%2029 esa

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q01}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		$\displaystyle \frac{\left( \mathrm{e}^2 \right)^4 \times \sqrt{\mathrm{e}^6}}{\mathrm{e}^5 \times \sqrt{\mathrm{e}^{12}}}=$
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$1$.}
			\wrongchoice{$0$.}
			\wrongchoice{$\mathrm{e}$.}
			\wrongchoice{$\mathrm{e}^{-2}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q02}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		L'inéquation $| \ln x |>0$ a pour ensemble des solutions
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$]0;1[ \cup ]1;+\infty[$.}
			\wrongchoice{$]1;+\infty[$.}
			\wrongchoice{$]0;1[$.}
			\wrongchoice{$]0;+\infty[$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q03}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		Dans une université de médecine où la moitié des étudiants travaille sérieusement, $60\ \%$ des élèves sont reçus au concours de fin d’année. De plus, parmi ceux qui travaillent sérieusement, $90\ \%$ réussissent le concours.
		
		Quelle est la probabilité qu’un étudiant réussisse le concours sachant qu’il n’a pas travaillé sérieusement?
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$0,3$.}
			\wrongchoice{$0,15$.}
			\wrongchoice{$0,01$.}
			\wrongchoice{$0,505$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q04}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		On pose $\displaystyle z= -\frac{1}{2}+ i \frac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $z^2$ est égale à:
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\displaystyle \frac{1}{z}$.}
			\wrongchoice{$z^3$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle 1-i\frac{\sqrt{3}}{2}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q05}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		$\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x} \left( \ln x \right)^2\ \mathrm{d}x=$
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\displaystyle \frac{(\ln 2)^3}{3}$.}
			\wrongchoice{$(\ln 2)^3$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \ln 2^3$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle -\frac{1}{2^3}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q06}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		La durée d’efficacité d’un médicament, en heures, peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
		
		Quel est le paramètre $\lambda$ de cette loi sachant que $P(X\geqslant 20)=0,3$?
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\displaystyle -\frac{\ln 0,3}{20}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle -\frac{\ln 0,7}{20}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \frac{\ln 0,3}{20}$.}
			\wrongchoice{$20 \ln (0,3)$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q07}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left( \mathrm{e}^x-1 \right) \left( 1-x^2 \right) \geqslant 0$ est:
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$]-\infty ; -1] \cup ][0,1]$.}
			\wrongchoice{$[-1;0] \cup [1;+\infty[$.}
			\wrongchoice{$[0;1]$.}
			\wrongchoice{$[-1;1]$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q08}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		La fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par $\displaystyle f(x)= \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}$ a pour dérivée:
		\begin{choiceshoriz}
			\wrongchoice{$\displaystyle f'(x)=\frac{4\mathrm{e}^{4x}-1}{\left( \mathrm{e}^{2x}+1 \right)^2}$.}
			\correctchoice{$\displaystyle f'(x)=\frac{-4\mathrm{e}^{2x}}{\left( \mathrm{e}^{2x}+1 \right)^2}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle f'(x)=\frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\left( \mathrm{e}^{2x}+1 \right)^2}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle f'(x)=\frac{4\mathrm{e}^{2x}}{\left( \mathrm{e}^{2x}+1 \right)^2}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q09}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$ par $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}$. Laquelle de ces propositions est exacte?
		\begin{choiceshoriz}
			\wrongchoice{$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$.}
			\correctchoice{$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)= \mathrm{e}^{-1}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \lim_{\substack{x \to 1 \\ x<1}} f(x)= 0$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \lim_{\substack{x \to 1 \\ x>1}} f(x)= +\infty$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q10}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		La suite $(u_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l}u_{n+1}= \ln (1+u_n) \\ u_0=1 \end{array} \right.$ est
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{décroissante.}
			\wrongchoice{croissante.}
			\wrongchoice{convergente vers $\mathrm{e}$.}
			\wrongchoice{divergente vers $-\infty$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q11}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		On lance trois fois un dé équilibré, la probabilité d’obtenir exactement $2$ fois le chiffre $6$ est:
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\displaystyle \frac{15}{6^3}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \frac{1}{6^2}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \frac{5}{6^3}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \frac{2}{6^3}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac}{
	\begin{question}{essa20190413q12}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		L'équation $x^2 \ln 2=x^3 \ln 3$ a pour ensemble des solutions:
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\displaystyle \left\{ 0; \frac{\ln 2}{\ln 3} \right\}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \left\{ 0; \ln \frac{2}{3} \right\}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \left\{ \frac{\ln 2}{\ln 3} \right\}$.}
			\wrongchoice{$\displaystyle \left\{ 0 \right\}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}
	
\begin{notabene}
	\section{Exemple.}
\end{notabene}

	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	% Exemple
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	\element{histoire}{
		\begin{questionmult}{Nantes}
			What can be said about the \emph{Édit de Nantes}?
			\begin{choices}
				\correctchoice{It was signed in 1598}
				\correctchoice{Il has been revoked by Louis XIV}
				\wrongchoice{It was signed by Henri II}
			\end{choices}
		\end{questionmult}
	}

\begin{notabene}
	\section{Mise en page.}
\end{notabene}

	%%% Détail de ce qui doit apparaître sur les feuilles.
	
	%Nombre de copies après \onecopie{}
	\onecopy{1}{
		
		%%% Entête de page avec numéro étudiant et nom et prénom:
		
		\begin{minipage}{.4\linewidth}
			\AMCcodeH{codetu}{4}\hspace*{\fill}
		\end{minipage}
		\quad \champnom{
			\fbox{
				\begin{minipage}{.45\linewidth}
					Numéro identifiant:
					
					\vspace*{.5cm}\dotfill
					\vspace*{4mm}
				\end{minipage}
			}
		}
		
		%%% fin de l'entête
		
		% Titre du qcm
		
		\begin{center}
			\hrule\vspace{2mm}
			\bf\Large Q.C.M. de bac.
			\vspace{2mm}\hrule
		\end{center}
		
		% Appel des différents groupes de questions.
		
		% Mis: 2ieme_nathan_hyperbole_2017
		% Mis: 2ieme_didier_mathx_2010
		% Mis: 2ieme_hachette_reperes_2010_pdf
		% À mettre: 2ieme_hatier_odysee_2010_pdf
		
		
		\shufflegroup{bac} % Pour afficher tout. Si j'active ce mélange en plus du copygroup alors les exercices pris au hasard seront différents d'une copie à l'autre. Donc risque de plaintes des élèves.
		\insertgroup{bac} %Pour afficher tout
		%\cleargroup{Plusieursreponsesaffiches} %Pour afficher certains. Groupe de ce qui sera affiché.
		%\copygroup[24]{Lesreponses}{Plusieursreponsesaffiches} %Pour afficher certains. Le numéro indique le nombre d'exercices choisis dans le groupe Lesréponses est qui ajouté au groupe Plusieursreponsesaffiches dans l'ordre où ils sont écrits
		%\shufflegroup{Plusieursreponsesaffiches} %Pour afficher certains.
		%\restituegroupe{Plusieursreponsesaffiches} % Pour afficher certains. Affiche les exercices du groupe Plusieursreponsesaffiches
		
		% Réglages sur la pagination
		\AMCcleardoublepage % si en recto verso pourrajouter des pages blanches afin d'en avoir un nombre pair
		%\clearpage % si seulement en recto
	}
	
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de 
		succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}